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天津市西青区2023-2024学年高一下学期期末数学试题（原卷版）
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这是一份天津市西青区2023-2024学年高一下学期期末数学试题（原卷版），共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. 已知向量，，若，则m的值为（ ）
A. －1B. 1C. D.
2. 8个样本数据11，2，8，13，5，7，4，6的75%分位数为（ ）
A. 11B. 9.5C. 8D. 7.5
3. 由下列条件解，其中有两解的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在复平面内，复数，对应向量分别是，其中O是原点，则向量对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
5. 设，为两个平面，m为平面内一条直线．则“”是“”（ ）
A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件
C 必要不充分条件D. 充分不必要条件
6. 从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（ ）
A. B. C. D.
7. 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）
A B. C. D.
8. 已知向量，设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
9. 下列五个命题
①若则；
②投掷一枚质地均匀的硬币1000次，一定有500次“正面朝上”；
③若甲组数据方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定；
④分别投掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”，“第二枚正面朝上”，事件“两枚硬币朝上的面相同”，则A、B、C三个事件两两独立；
⑤为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式．
以上5个命题正确的命题个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
10. 天津广播电视塔是津门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年：它曾是亚洲第一高塔，现为集广播电视、观光旅游、娱乐餐饮于一体的4A级景区．某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量天塔AB的高度．在天塔湖岸边上，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点、．测得，在、两观测点处测得天塔顶部的仰角分别为，则天塔的高约为（ ）
A. 414mB. C. D. 207m
第Ⅱ卷（80分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给1分，全部答对的给5分，把答案写在答题纸相应的横线上
11. 已知复数z满足______．
12. 天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为______．
13. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则角______．
14. 如图，在正方体中，异面直线与BC所成角的大小为______；平面与平面ABCD所成的二面角的大小为______．
15. 甲，乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班人，乙班人．甲班的平均成绩为，方差为；乙班的平均成绩为，方差为．那么甲，乙两班全部名学生成绩的方差是______．
16. 在平行四边形中，是线段的中点，点满足若设，则可用表示为______；若，则______．
三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程.
17. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
（1）求角的值；
（2）求的值．
18. 已知向量满足
（1）若，求向量的坐标；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）在（1）的条件下，若与垂直，求的值．
19. 今年3月在北京召开了中国人民政治协商会议第十四届全国委员会第二次会议和第十四届人民代表大会第二次会议．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（2）今年政府工作报告将“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”列为2024年首要任务．为了更好的帮助同学们理解新质生产力，感受新质生产力强劲“脉搏”，学校团总支利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成“新质生产力扬帆起航”宣讲团．
①求应从和学生中分别抽取的学生人数；
②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，写出这个试验的样本空间Ω；（用恰当的符号表示）
③设事件“至少有1人测试成绩位于区间”，求在②的条件下事件A的概率．
20. 如图，直三棱柱中，，E、F分别为AB、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若，直线EF与平面ABC所成角为，求三棱锥的体积．
第Ⅰ卷（40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. 已知向量，，若，则m的值为（ ）
A. －1B. 1C. D.
2. 8个样本数据11，2，8，13，5，7，4，6的75%分位数为（ ）
A. 11B. 9.5C. 8D. 7.5
3. 由下列条件解，其中有两解的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在复平面内，复数，对应向量分别是，其中O是原点，则向量对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
5. 设，为两个平面，m为平面内一条直线．则“”是“”（ ）
A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件
C 必要不充分条件D. 充分不必要条件
6. 从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（ ）
A. B. C. D.
7. 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）
A B. C. D.
8. 已知向量，设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
9. 下列五个命题
①若则；
②投掷一枚质地均匀的硬币1000次，一定有500次“正面朝上”；
③若甲组数据方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定；
④分别投掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”，“第二枚正面朝上”，事件“两枚硬币朝上的面相同”，则A、B、C三个事件两两独立；
⑤为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式．
以上5个命题正确的命题个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
10. 天津广播电视塔是津门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年：它曾是亚洲第一高塔，现为集广播电视、观光旅游、娱乐餐饮于一体的4A级景区．某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量天塔AB的高度．在天塔湖岸边上，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点、．测得，在、两观测点处测得天塔顶部的仰角分别为，则天塔的高约为（ ）
A. 414mB. C. D. 207m
第Ⅱ卷（80分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给1分，全部答对的给5分，把答案写在答题纸相应的横线上
11. 已知复数z满足______．
12. 天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为______．
13. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则角______．
14. 如图，在正方体中，异面直线与BC所成角的大小为______；平面与平面ABCD所成的二面角的大小为______．
15. 甲，乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班人，乙班人．甲班的平均成绩为，方差为；乙班的平均成绩为，方差为．那么甲，乙两班全部名学生成绩的方差是______．
16. 在平行四边形中，是线段的中点，点满足若设，则可用表示为______；若，则______．
三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程.
17. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
（1）求角的值；
（2）求的值．
18. 已知向量满足
（1）若，求向量的坐标；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）在（1）的条件下，若与垂直，求的值．
19. 今年3月在北京召开了中国人民政治协商会议第十四届全国委员会第二次会议和第十四届人民代表大会第二次会议．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（2）今年政府工作报告将“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”列为2024年首要任务．为了更好的帮助同学们理解新质生产力，感受新质生产力强劲“脉搏”，学校团总支利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成“新质生产力扬帆起航”宣讲团．
①求应从和学生中分别抽取的学生人数；
②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，写出这个试验的样本空间Ω；（用恰当的符号表示）
③设事件“至少有1人测试成绩位于区间”，求在②的条件下事件A的概率．
20. 如图，直三棱柱中，，E、F分别为AB、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若，直线EF与平面ABC所成角为，求三棱锥的体积．
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