山西省大同市浑源县第七中学校2023-2024学年高二下学期期末数学试题（解析版）

这是一份山西省大同市浑源县第七中学校2023-2024学年高二下学期期末数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（共8小题，每题5分，共40分）
1. 下列集合中表示同一集合的是（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合的定义和元素的三个性质，对A、B、C、D四个选项进行一一判断；
【详解】A.、都是点集，与是不同的点，则、是不同的集合，故错误；
B.，，根据集合的无序性，集合，表示同一集合，故正确；
C.，集合的元素表示点的集合，，表示直线的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故错误；
D.集合M的元素是两个数字2，3，，集合的元素是一个点，故错误；
故选：B.
【点睛】本题主要考查集合的定义及元素的性质，属于基础题.
2. 设全集与集合，的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合元素属于但不属于，即阴影部分对应的集合，即可求解.
【详解】由图得，元素属于但不属于，即阴影部分对应的集合为.
故选：D.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据对数的运算性质进行化简求值即可.
【详解】解：已知，
.
故选：C.
4. 下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】A. 在上为减函数，所以该选项不正确；B. 在上不单调，所以该选项不正确；C. ，函数在上为增函数，所以该选项正确；D. 在上为减函数，所以该选项不正确.
【详解】解：A. 在上为减函数，所以该选项不正确；
B. 在上单调递减，在单调递增，所以该选项不正确；
C. ，由复合函数的单调性原理得函数在上为增函数，所以该选项正确；
D. 在上为减函数，所以该选项不正确.
故选：C
5. 设甲：，乙：，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
6. 基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A. 1.2天B. 1.8天
C. 2.5天D. 3.5天
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得It=ert=e0.38t，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据e0.38(t+t1)=2e0.38t，解得即可得结果.
【详解】因为R0=3.28，，R0=1+rT，所以r=3.28-16=0.38，所以It=ert=e0.38t，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则e0.38(t+t1)=2e0.38t，所以e0.38t1=2，所以0.38t1=ln2，
所以t1=ln20.38≈≈1.8天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
7. 已知函数，则下列图象错误的是（ ）
A. 的图象：
B. 的图象：
C. 的图象：
D. 的图象：
【答案】C
【解析】
【分析】作出函数，结合四个选项的函数及图象变换，即可得出图象错误的选项，得到答案.
【详解】先作出的图象，如图所示，
所以A正确；
对于B，的图象是由的图象向右平移一个单位得到，故B正确；
对于C，当时，的图象与的图象相同，且函数的图象关于轴对称，故C错误；
对于D，的图象与的图象关于轴对称而得到，故D正确.
故选：C.
8. 已知函数，若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. (
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式，作出函数的图象，根据图象可得当取不同值时，的交点个数，即可结合二次函数零点的分布求解.
【详解】根据，作出的大致图象如下：
由图可知：当时，此时由两个根，分别为，
当时，此时有4个交点，
当时，此时有3个交点，
当时，此时有2个交点，
故要使得由6个不同的零点，则令，有6个不同的实数根，
显然不是的根，
设的两个零点分别为，且，
故当时，此时有4个交点，有2个交点，满足题意，
故需要满足，解得，
当时，此时有3个交点，有3个交点，满足题意，
故需要满足，解得，
综上可得或
故选：A

二、多选题（共3小，每题6分，共18分）
9. 下列函数中，在上是减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由已知结合基本初等函数的单调性分别检验各选项即可求解．
【详解】解：对于A项，在上是减函数，故A正确；
对于B项，为增函数，在上是增函数，所以在上是增函数，故B错误；
对于C项，在上是减函数，故C正确；
对于D: 在上是减函数，在上是增函数，故D错误.
故选：AC
10. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的定义域为R
B. 是奇函数
C. 在定义域上是减函数
D. 无最小值，无最大值
【答案】BD
【解析】
【分析】求解，可判断A；利用函数奇偶性的定义可判断B；比较可判断C；分离常数得到，分析单调性及函数值域可判断D
【详解】选项A，，解得，故的定义域为，选项A错误；
选项B，函数定义域关于原点对称，且，故是奇函数，选项B正确；
选项C，，故，即在定义域上不是减函数，选项C不正确；
选项D，，令，，由于在上单调递增，在分别单调递减，故函数在分别单调递减，且时，，时，，时，，时，，故函数值域为，无最小值，无最大值，选项D正确
故选：BD
11. 定义在R上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 为的对称轴
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由，得函数图象关于直线对称，由是奇函数，得的图象关于点对称，从而得是周期函数，4是它的一个周期，由，得图象关于点对称，从而知与的图象的交点关于点对称，点是它们的一个公共点，由此可判断各选项．
【详解】，则函数图象关于直线对称，B正确；
是奇函数，即，，则的图象关于点对称，，，C正确；
所以，从而，所以是周期函数，4是它的一个周期，，A错；
又，图象关于点对称，因此与的图象的交点关于点对称，点是它们的一个公共点，
，D正确．
故选：BCD．
三、填空题（3小题，每小题5分，共15分）
12. 不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】移项通分后转化为一元二次不等式求解．
【详解】．
故答案为：．
13. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是____.
【答案】
【解析】
【分析】需对和两种情况进行讨论在上的单调性，从而可确定的取值范围.
【详解】若，则，这是一个一次函数，斜率为，
在上不是单调递增的，故，
若，函数是一个二次函数，其对称轴为，
因为在上的单调递增，所以该函数开口向上，则，
同时必须在区间左侧或者和重合，
所以，解之可得
综上，实数a的取值范围是.
故答案为：
14. 已知，且，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题可知，再利用基本不等式“1”的妙用求得，从而得解.
【详解】因，
当时，，当时，；
因为，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
要求的最小值，则令，此时，
当且仅当，时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题（5小题，共77分）
15. 在中，，，为锐角且的面积小于3.
（1）求的取值范围；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用面积公式表示出面积，结合面积小于3即可得；
（2）借助（1）问中的的范围，结合余弦定理即可得.
【小问1详解】
的面积，
则，
因为为锐角，所以A的取值范围是；
【小问2详解】
由（1）知的取值范围是，
则的取值范围是，
由余弦定理得，
所以的取值范围是.
16. 如图，在长方体中，点分别在棱上，且，.
（1）证明：点在平面内；
（2）若，，，求平面与平面夹角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求，的坐标，证明，由此证明点在平面内；
（2）求平面和平面的法向量，根据向量方法求两平面的夹角的余弦值，再利用同角关系求结论.
【小问1详解】
设，如图，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系.
连接，则，，E，F，
， ，所以，
所以，即四点共面，
所以点在平面内．
【小问2详解】
由已知得，，，，
则，，
，．
设n1=x1,y1,z1为平面的法向量，
则，即，
取，可得，
所以为平面的一个法向量.
设为平面的法向量，
则，即，
取，则，
所以为平面的一个法向量，
设平面与平面夹角，
则，
所以，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
17. 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上的两个动点，且的角平分线总垂直于轴，求证：直线的斜率为定值.
【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）见解析.
【解析】
【分析】（Ⅰ）由由题意可得，解得a2=6，b2=3，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设直线PA的方程为y+1=k（x-2），联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．
【详解】（Ⅰ）由题意得
解得，所以，椭圆的方程是.
(Ⅱ)设直线的斜率为，由题意知，直线的斜率为，
设，
直线的方程为，即
联立方程组
消去得，
因为为直线与椭圆的交点，
所以，即
把换为得，，所以，
所以 ，
所以直线AB的斜率，
故直线AB的斜率为定值.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．
18. 中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关.经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据(室温是).
（1）小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温(即)就不能再降的事实，决定选择函数模型来刻画.
①令，求出关于的线性回归方程；
②利用①的结论，求出中的与.
（2）你认为该品种绿茶用的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？
参考数据：，，，，，，，，.参考公式：，，.
【答案】（1）①；②，；（2）.
【解析】
【分析】（1）列出与数据表，求出平均值，求出回归方程中的系数，得回归方程，根据所求线性回归方程与原方程的关系可求得原方程为参数值；
（2）由（1）得，令求得值即可．
【详解】解：（1）①由已知得出与的关系，如下表：
设线性回归方程，
由题意，得，，
∴，
，
则，
，
则关于的线性回归方程为；
②由，得，
两边取对数得，，
利用①的结论得：，，
∴，；
（2）由（1）得，，
令，得.
∴该品种绿茶用的水泡制后饮用，口感最佳.
【点睛】思路点睛：本题考查回归方程的应用，非线性回归方程可以通过变形变成线性回归方程，求得线性回归直线方程后，再转化非线性的方程．
19. 已知函数
（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值；
（2）求函数在区间上的最小值.
【答案】（1）1 （2）当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为.
【解析】
【分析】（1）先求出直线的斜率，因为曲线的切线垂直于直线，所以曲线的切线在该点的斜率与直线的斜率乘积为，即曲线在该点的导数与直线的斜率乘积为．
（2）求出函数的导数，再讨论的范围，根据导数求出函数的最值
【小问1详解】
解：曲线在点处的切线垂直于直线，
又直线的斜率为1，函数的导数为，
【小问2详解】
解：
①当时，在区间上此时函数在区间上单调递减，
则函数在区间上的最小值为.
②当即时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，
则函数在区间上的最小值为.
③当，即时，
在区间上，此时函数在区间上单调递减，
在区间上，此时函数在区间上单调递增，
则函数在区间上的最小值为.
④当，即时，
在区间上此时函数在区间上单调递减，
则函数在区间上的最小值为.
综上所述，当时，函数在区间上的最小值为，当时，函数在区间上的最小值为泡制时间
0
1
2
3
4
水温
85
79
74
71
65
泡制时间
0
1
2
3
4
4.2
4.1
4.0
3.9
3.8