黑龙江省牡丹江市第十六中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

这是一份黑龙江省牡丹江市第十六中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版），共26页。试卷主要包含了选择题，四象限，则，，，所以必过一，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每小题3分，满分36分)
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查最简二次根式的概念，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．利用最简二次根式的概念判断每个选项即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，本选项不合题意；
B、，不是最简二次根式，本选项不合题意；
C、，不是最简二次根式，本选项不合题意；
D、是最简二次根式，本选项符合题意；
故选：D
2. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减乘除的运算法则．根据二次根式的加减乘除运算法则进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C．
3. 测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，则计算结果不受影响的是（ ）
A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差
【答案】A
【解析】
【分析】根据中位数的定义解答可得．
【详解】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响，
所以将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是中位数，
故选A．
【点睛】本题主要考查方差、极差、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义．
4. 李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为（ ）
A. 88B. 90C. 91D. 92
【答案】C
【解析】
【分析】根据统计图结合题意，根据加权平均数进行计算即可求解．
【详解】解：
故选C
【点睛】本题考查了加权平均数，正确的计算是解题的关键．
5. 下列说法：
四边相等的四边形一定是菱形
顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形
对角线相等的四边形一定是矩形
经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分
其中正确的有 个．
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【详解】∵四边相等的四边形一定是菱形，∴①正确；
∵顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，∴②错误；
∵对角线相等的平行四边形才是矩形，∴③错误；
∵经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，∴④正确；
其中正确的有2个，
故选：C．
6. 如图，圆柱的高，底面直径，现在有一只蚂蚁想要从 A 处沿圆柱侧面爬到对角C 处捕食．若π取3，则它爬行的最短路程是（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查最短路径，勾股定理，要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A． C的最短距离为线段的长．
，，
在中 ，，
，
故选：C．
7. 点，点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质．由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合，即可得出．
【详解】解：，
随的增大而减小，
又点，点是一次函数图象上的两个点，且，
．
故选：B．
8. 直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象．若过第一、三象限，则，所以过第二、四象限，可对、进行判断；若过第二、四象限，则，，，所以过第一、三象限，与轴的交点在轴下方，则可对、进行判断．
【详解】解：A、过第一、三象限，则，所以必过二、四象限，所以A选项错误；
B、过第二、四象限，则，，，所以必过一、三象限，与轴的交点在轴下方，所以B选项错误；
C、过第二、四象限，则，，，所以必过一、三象限，与轴的交点在轴下方，所以C选项正确；
D、过第一、三象限，则，所以必过二、四象限，所以D选项错误．
故选：C．
9. 已知x，y为实数，，那么 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查利用二次根式的性质化简．根据已知条件分情况讨论，当，或，时，直接利用二次根式的性质化简，再整体代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴分情况讨论，
当，时，
∴；
当，时，
∴，
综上，的值为．
故选：D．
10. “蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁．李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形形状和面积分别是（ ）
A. 平行四边形，B. 平行四边形，
C. 菱形，D. 菱形，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理．先证明四边形是平行四边形，则，如图，作于，于，利用面积法证明，得到四边形是菱形，再由勾股定理求得，然后根据重合部分四边形的面积为，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
如图，作于，于，连接，则，

∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
则，
∴重合部分四边形的面积为：
，
故选：D．
11. 如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接，若正方形的边长为8，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，涉及点的运动轨迹，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等．连接，根据正方形的性质易证，进一步可得，可知点的运动轨迹，根据垂线段最短即可求出的最小值．
【详解】解：连接，如图所示：
四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，，
，
，
，
点的运动轨迹是射线，
，M是的中点，
，
当时，最小，最小值，
故选：C．
12. 如图，已知在正方形中，对角线与相交于点，，分别是与的平分线，的延长线与相交于点，下列结论：①；②；③；④；⑤图中有12个等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】①证明，进而得，便可判断①的正误；②证明，得垂直平分，得，得，得，便可判断②的正误；③由得，便可判断③的正误；④证明，由平行于三角形一边的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例便可得与的数量关系，进而判断④的正误；数出图中等腰三角形的个数，进而判断⑤的正误．
【详解】解：①四边形是正方形，
，
，分别是与的平分线，
，
，
，
，即，故①结论正确；
②在和中，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
③，
，故③正确；
④∵，
，
，
，
，
，故④错误．
以为直角顶点的等腰直角三角形有，，，，，
以正方形四个顶点为直角顶点的等腰直角三角形有，，，，
∵，，∴，也是等腰三角形，
∴图中只有11个等腰三角形，故⑤错误．
综上，正确的有①②③．
故选：B．
【点睛】本题是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的判定．涉及的知识点多，关系复杂，增加了解题的难度，关键是灵活运用这些知识解题．
二、填空题(每小题3分，共24分)
13. 在函数 中，自变量x的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了函数自变量取值范围．根据二次根式的被开方数是非负数，列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：根据题意得：，
，
故答案为：．
14. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：______________，使四边形ABCD成为菱形．
【答案】AB=AD.
【解析】
【分析】由条件OA=OC，AB=CD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，再加上条件AB=AD可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定．
【详解】添加AB=AD，
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为AB=AD．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
15. 已知x，y是直角三角形的两边长，且满足，则此直角三角形的第三边长为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理．首先利用非负数的性质求得，然后对分类讨论：分是直角边和是斜边两种情况，进行计算即可得到答案．
【详解】解：是直角三角形的两边，且满足，
，
，
当是直角边时，第三边为：，
当是斜边时，第三边为：，
综上所述，此直角三角形的第三边长为：或，
故答案为：或．
16. 若直线经过点，与x轴交于点A，且，则___________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数关系式．先利用三角形面积公式求出或，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设，
，
由题意得，则，
解得或，
∴或，
把，代入，
，解得；
把，代入，
，解得；
综上，的值为或．
故答案为：或．
17. 如图，在等腰中，，D，E分别是的中点，连接，，，与相交于点O．若，，则四边形的周长为___________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，算术平方根的应用．利用三角形中位线定理求得，利用勾股定理求得，据此计算即可求解．
【详解】解：∵D，E分别是的中点，
∴，
∴，
∵，
，
由勾股定理得，，
，
，
∵，D，E分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的周长为，
故答案为：．
18. 如图，在中，，D为边上的动点，点D从点C出发，沿边往点A运动，当运动到点A时停止．已知点D运动的速度为每秒2个单位长度，设点 D 运动的时间为，当是直角三角形时，t的值为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，难点在于要分情况讨论．分两种情况讨论即可．
【详解】解：，
，
当时，则点与点重合，
；
当时，则，
，
，
，
；
综上，当t为或10时，是直角三角形．
故答案为：或．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，点A 在x 轴的正半轴上，的平分线交于点，则直线的解析式为___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质得出．利用角平分线的定义得出，等量代换可得出，根据等角对等边可得出，设，利用两点之间的距离公式得出m的值，然后用待定系数法求一次函数解析式即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴
∵
∴设，
∴，
解得：，
∴，
∴设的解析式为：，
则，
解得：，
∴的解析式为：
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边的性质，两点之间的距离，以及待定系数法求一次函数解析式，得出是解题的关键．
20. 如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为_____
【答案】55
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得，，，，然后列式解答即可．
【详解】解：建立如图的数据，
由题意得，，，，，，
∴
，
故答案为：55．
三、解答题(满分 60分)
21. 计算
（1）；
（2）；
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先把二次根式化最简二次根式，然后合并即可；
（2）先进行二次根式的乘除法运算，然后化简后合并即可；
（3）利用乘法公式展开，然后合并即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
．
22. 先化简，再求值：，其中.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的运算法则进行化简，再代入求解．
【详解】解：原式=
将代入原式得．
【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则．
23. 如图，在平行四边形中，，经过中点O，分别交于点M，N，连接，且．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质推出，得到，判定四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形为矩形；
（2）利用直角三角形的性质结合勾股定理求得、和的长，再利用矩形的性质求得，，再利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
∴，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，，
在中，，，
∴，
由（1）知四边形是矩形，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理．证明四边形是矩形是解题的关键．
24. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制出如图不完整的统计图．(图1、图2)
（1）求被抽取的学生成绩在 C：组的有 人，并把条形统计图补完整；
（2）所抽取学生成绩的中位数落在 组内；
（3）若该学校有1400名学生，估计这次竞赛成绩在D组的学生有多少人？
【答案】（1）24 补充条形统计图见详见
（2）C （3）420人
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数，用样本估计总体等知识，正确读懂图形是解题的关键．
（1）先计算出总抽样人数，再求出C组人数，补充完整条件统计图即可．
（2）根据中位数的定义，确定成绩在30、31名所在组数，可得结论；
（3）根据样本估算整体即可
【小问1详解】
解：被调查的总人数有：人，
∴被抽取的学生成绩在 C：组的有：人，
补充条形统计图如下：
故答案为：24
【小问2详解】
∵共抽样60人，由于成绩在A组的6人，在B组的12人，C组24人，所以成绩位于第30、31的两位同学在C组．
即：所抽取学生成绩的中位数落在C这一组内；
故答案为：C．
【小问3详解】
人 ，
故学校这次竞赛成绩在D组的学生有420人．
25. 快、慢两车分别从A，B两地沿同一路线匀速行驶，快车到达 B 地后立即按原路原速返回A 地(快车掉头的时间忽略不计)，慢车在快车出发1小时后出发，到达 A 地后停止行驶，快、慢两车距A 地的路程y(千米)与快车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
（1）直接写出慢车的行驶速度，并在图中( )内填上正确的数：
（2）求图中线段所在直线的函数解析式；
（3）直接写出快车出发后几小时两车相距的路程为 100千米．
【答案】（1）240 （2）
（3）小时或小时或小时
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
（1）慢车的行驶速度为，括号内的数为，
（2）快车的速度是，快车回到甲地的时间是，可得点的坐标是，再用待定系数法可得所在直线的函数解析式；
（3）设快车出发后小时两车相距的路程为 100千米，进行分类讨论，列出方程求解即可．
【小问1详解】
慢车的行驶速度为，
，
图中( )内的数是120；
【小问2详解】
快车的速度是：，
快车回到甲地时间是：，
点的坐标是，
设所在直线的函数解析式为，
把点和点代入得：
，
解得，
所在直线的函数解析式；
【小问3详解】
设所在直线的函数解析式为，将代入得：
，解得：，
所在直线的函数解析式，
设快车出发后小时两车相距的路程为 100千米．
两车第一次相遇前相距的路程为 100千米时，根据题意得：
，解得：，
两车第一次相遇后且快车到达B地前，两车相距的路程为 100千米时，根据题意得：
，解得：，
快车返回A地且两车第二次相遇前，两车相距的路程为 100千米时，根据题意得：
，解得：，
时,两车相距,而，
∴快车与慢车第二次相遇后不存在相距100km的情况，
快车出发后小时或小时或小时两车相距的路程为 100千米．
26. 某家纺专卖店计划购进某款枕芯、枕套进行销售．经了解，一个枕芯的进价比一个枕套贵元，且用元购进的枕芯数量与用元购进的枕套数量相同．
（1）一个枕芯和一个枕套的进价分别是多少元？
（2）该家纺专卖店销售此款枕芯、枕套的零售价及成套售价的信息如下表：
已知该家纺专卖店计划购进此款枕芯和枕套的总数量不超过个，且枕芯的数量比枕套数量的2倍多个．若将一半的枕套配上枕芯成套（一个枕套配一个枕芯）销售，其余均以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】（1）一个枕芯的进价是元，一个枕套的进价是元
（2）当购进枕套个，枕芯个时，才能获得最大利润，最大利润是元
【解析】
【分析】（1）根据题意列出分式方程，解出分式方程的解即可；
（2）设设购进枕套x个，则购进枕芯个，建立不等式，解得，设获得的利润为y元，根据题意列出获得利润的式子然后进行化简分析即可．
【小问1详解】
解：设一个枕芯的进价是a元，则一个枕套的进价是元.
根据题意，得，解得
经检验，是原分式方程的解，且符合题意.
则.
答：一个枕芯的进价是元，一个枕套的进价是元；
【小问2详解】
解：设购进枕套x个，则购进枕芯个，
根据题意，得，解得，
设获得的利润为y元，
根据题意，得，
，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，y取得最大值，最大值，
此时，
答：当购进枕套个，枕芯个时，才能获得最大利润，最大利润是元．
【点睛】本题主要考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握一次函数的性质．
27. （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形；
（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．
【答案】（1）见详解；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）通过证明，得到，可证四边形为平行四边形，再由，可证平行四边形为菱形；
（2）过点作于，先判断四边形是矩形，再求矩形的边长，进而求出周长；
（3）过点作，交的延长线于，过点作于，先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，在中，求出， 中，求出即可．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：过点作于，
由折叠可知：，，
在中，，即，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
四边形的周长；
（3）解：过点作，交的延长线于，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可知：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
在 中，．
【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质是解题的关键．
零售价（元/个）
成套售价（元/套）
枕芯
枕套