初中数学北师大版（2024）九年级上册第一章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定第1课时教案

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册第一章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定第1课时教案，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重点及难点，教学用具，相关资，教学过程，课堂小结，板书设计等内容，欢迎下载使用。
第1课时
一、教学目标
1．理解菱形的概念，了解它与平行四边形之间的关系.
2．经历菱形性质定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.
3．能够用综合法证明菱形的性质定理，进一步发展演绎推理能力.
4．体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
二、教学重点及难点
重点：菱形性质的探索与证明．
难点：引导学生探究菱形的性质，并利用菱形的性质解决实际问题．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板.
四、相关资
《平行四边形性质》动画，《生活中的菱形》动画，《生活中的菱形》图片，《折纸》动画，《菱形对称性》动画，《（1）证明》动画，《（2）证明》动画，《四边形到平行四边形再到菱形的变化》动画.
五、教学过程
【复习引入】
我们学习了平行四边形，那么什么样的四边形是平行四边形呢？它有哪些性质呢？
师生活动：教师出示问题，学生回答．
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
教师引导学生从以下几个方面思考、总结平行四边形的性质：
从对称性看：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点；
从边看：对边平行且相等；
从角看：对角相等，相邻的两个角互补；
从对角线看：对角线互相平分．
设计意图：本环节旨在通过提问，复习并梳理平行四边形的性质，为菱形性质的学习做铺垫．
【探究新知】
下面几幅图片中都含有一些平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？
师生活动：教师出示图片，引导学生观察、归纳、总结出菱形的定义．
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
师：你能举出一些生活中菱形的例子吗？
设计意图：此环节使用了教科书的引入，先让学生观察，然后通过测量比较，发现邻边相等的特征，从而引出菱形的定义．
想一想 菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？与同伴交流.
设计意图：从菱形与平行四边形的关系入手，思考菱形的性质.菱形是特殊的平行四边形，因此具有一般平行四边形的所有性质.通过对平行四边形性质的回顾，结合菱形的形状特征，让学生感悟到菱形的一些特殊性质，为下面的探索、证明菱形的特殊性质做铺垫.
做一做 用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
（2）菱形中有哪些相等的线段？
师生活动：教师出示问题，引导学生完成“做一做”．
通过对折，我们发现菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线就是它的对称轴，对称轴之间互相垂直．
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．通过对折，可以发现以下结论：
从边看：四边相等，即AB=BC=CD=DA；
从角看：对角线平分每对内角，即∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB，
∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA；
从对角线看：对角线互相垂直，即AC⊥BD；
从三角形形状看：等腰三角形有△ABC，△ADC，△BAD，△BCD；
直角三角形有△OAB，△OCB，△OCD，△OAD．
设计意图：平行四边形的许多性质都与它的中心对称性有关，而菱形不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形．因此，菱形的特殊性质与它的轴对称性有关．通过折纸活动，可以让学生发现邻边的关系、对角线的关系，甚至对角线与内角的关系，从而加深学生对菱形特性的认识．
教师：通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明．
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O．
求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD．
师生共同分析：①菱形不仅对边相等，而且邻边也相等，这样就可以证明菱形的四条边都相等了．
②因为菱形是平行四边形，所以点O是对角线AC与BD的中点；又因为在菱形中可以得到等腰三角形，这样就可以利用“三线合一”来证明结论了．
学生活动：写出证明过程，进行组内交流对比，优化证明方法，掌握相关定理．
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）．
又∵AB=AD，
∴AB=BC=CD=AD．
（2）∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）．
在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD，
∴AO⊥BD，
即AC⊥BD．
教师活动：展示学生的证明过程，进行恰当的点评和鼓励，优化学生的证明方法，提高学生的逻辑证明能力，最后强调“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直”，让学生形成牢固记忆，留下深刻印象．板书：
定理 菱形的四条边相等
定理 菱形的对角线互相垂直
设计意图：学生通过折纸可以猜想到菱形的相关性质，教师在参与学生活动的过程中，应该关注学生的口述论证过程，并根据学生的认知水平加以引导，尽量减少学生推理论证过程中的困难．
学生经过了折纸这一操作活动后，再经过逻辑证明，把操作层面的感知上升到了理性认识，充分了解了菱形的本质特征．本环节让学生进行猜想、探究和证明，符合学生的认知规律．同时，操作活动得到的结论与逻辑推理相结合，是对数学知识进行探索活动的自然延续，实现了从感性认识到理性认识的升华．
【典例精析】
例 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长．
师生共同分析：①因为菱形的邻边相等，且一个内角是60°，这样就可以得到等边△ABD；又因为BD=6，所以菱形的边长也是6．
②由菱形的对角线互相垂直，可以得到直角△AOB；由菱形的对角线互相平分，可以得到OB=3，这样根据勾股定理就可以求出OA的长度；最后根据菱形的对角线互相平分，即AC=2OA，求出AC的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD（菱形的四条边都相等），
AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
OB=OD=BD=×6=3（菱形的对角线互相平分）．
在等腰三角形ABD中，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形．
∴AB=BD=6．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2．
∴．
∴AC=2OA=（菱形的对角线互相平分）．
设计意图：通过认识概念、探究性质、证明结论、应用结论这几个环节，让学生掌握菱形的概念及其性质．注意引导学生将推理的过程写清楚，不能只关注计算结果.
【课堂练习】
1．已知菱形的周长为40 cm，两条对角线的长度之比为3︰4，那么对角线的长分别为（ ）．
A．3 cm，8 cm B．3 cm，4 cm
C．12 cm，16 cm D．24 cm，32 cm
参考答案C．
2．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（ ）．
A．50° B．60° C．70° D．80°
参考答案B．
解析：连接BF，因为EF垂直平分AB，所以AF=BF．易证△BCF≌△DCF．
所以BF=DF．所以AF=BF=DF．因此∠ADF=∠FAD=40°．
而∠ADC=180°－80°=100°，所以∠CDF=60°．
3．如图，在菱形ABCD中，若∠B=60°，点E、F分别在AB、AD上，且BE=AF，则∠AEC＋∠AFC的度数等于_________．
参考答案180°．
解析：连接AC．
在菱形ABCD中，∵∠B=60°，∠BAD=120°，
∴．∴BC=AC．
又∵BE=AF，∴△BCE≌△ACF．∴∠BEC=∠AFC．
又∵∠BEC＋∠AEC=180°，
∴∠AEC＋∠AFC=180°．
4．如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是_________．
参考答案5．
解析：作M关于BD的对称点，设其为Q，连接NQ，交BD于点P，连接PM，此时PM＋PN的值最小．
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．
已知AB=5 cm，AO=4 cm，求BD的长．
师生活动：老师先找几名学生板演，然后分析，最后师生共同写出规范的解题过程．
分析：从题意可知AC与BD互相垂直，所以△AOB是直角三角形；又因为AB=5 cm，AO=4 cm，这样就可以运用勾股定理求出OB；又因为菱形的对角线互相平分，所以BD是OB的两倍，这样就可以很方便地求出BD的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得AO2+BO2=AB2．
∴．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD=2OB=2×3=6（菱形的对角线互相平分）．
所以，BD的长是6 cm．
设计意图：学生通过本环节的学习，进一步理解和掌握了菱形的性质，对前面所学知识进行了更加深入地认识，同时提高了学生的逻辑推理能力，培养了学生的主动探索能力，激发了学生的学习兴趣．
六、课堂小结
本节课我们探讨了菱形的定义和性质，下面我们来共同总结一下：
1．菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2．菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分．
3．菱形具有平行四边形的所有性质，应用菱形的性质可以进行计算和推理．
师生活动：教师鼓励学生交流课堂实践的经历、感受和收获，学生尝试归纳、总结．
设计意图：培养学生的归纳能力，使学生形成完整的知识结构，培养学生的自我评价能力、反思意识及总结能力．
七、板书设计
1.1 菱形的性质与判定（1）
1．菱形的概念
2．菱形的性质定理
菱形的四条边相等
菱形的对角线互相垂直