北师大版（2024）九年级上册2 矩形的性质与判定第1课时教案设计

这是一份北师大版（2024）九年级上册2 矩形的性质与判定第1课时教案设计，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重点及难点，教学用具，相关资，教学过程，课堂小结，板书设计等内容，欢迎下载使用。
第1课时
一、教学目标
1．理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系．
2．经历矩形性质定理的探索过程，进一步发展合情推理能力．
3．能够用综合法证明矩形的性质定理，以及其他相关结论，进一步发展演绎推理能力．
4．探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
5．进一步体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想．
二、教学重点及难点
重点：掌握矩形的性质及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
难点：矩形的性质的灵活应用．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资
多张《生活中的矩形》图片，《平行四边形变矩形》动画，《矩形的性质》微课，《矩形的性质》图片.
五、教学过程
【情境引入】
下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？

师生活动：教师出示问题及图片，学生观察图片并尝试回答问题．
生：这些特殊的平行四边形中都有一个角是直角．
这就是我们本节课要研究的矩形．
设计意图：通过实际生活中的图片引入本课，激发学生学习本节课的兴趣．
【探究新知】
矩形的定义．
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
矩形应满足的两个条件：（1）是平行四边形；（2）有一个角是直角．
师生活动：教师讲解，并明确矩形应满足的两个条件．
师：矩形是生活中常见的图形，你还能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流。
生：……
设计意图：让学生感受到矩形在实际生活中的广泛应用．
想一想：
矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？
（2）矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
师生活动：教师首先引导学生回忆一般平行四边形的性质，从而得出矩形的一般性质，然后再探究矩形的特殊性质．
答：矩形的一般性质：具备平行四边形的所有性质．
边：对边平行且相等．
角：对角相等．
对角线：对角线互相平分．
中心对称性：是中心对称图形．
矩形的特殊性质：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴．
教师追问：（3）矩形还有特殊性质吗？
师生活动：教师追问，引导学生继续探究矩形的性质．
发现：四个内角都是直角，两条对角线长度相等．
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
试一试：你能证明一下上面猜想的正确性吗？
师生活动：教师引导学生写出已知、求证并完成证明过程．
猜想1的证明：
已知：四边形ABCD是矩形，∠B=90°．
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∠B=90°，
又∵矩形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°．
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，即矩形的四个角都是直角．
性质1：矩形的四个角都是直角．
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
猜想2的证明：
已知：AC与BD是矩形ABCD的对角线．
求证：AC=BD．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠ABC=∠DCB．
又BC=CB，
∴△ABC≌△DCB．
∴AC=BD．
性质2：矩形的对角线相等．
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD．
设计意图：培养学生发现规律的能力和逻辑推理能力．
议一议：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？
师生活动：教师出示问题，学生思考，教师找学生代表回答，最后得出答案．
答：BE是斜边AC上的中线，BE=．
得到的结论是：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
尝试完成定理的证明。
因为四边形ABCD是矩形，所以AC与BD互相平分，且AC=BD．所以BE=．
设计意图：从矩形对角线的相关性质推出直角三角形的性质，达到了“学数学，用数学”的目的，培养了学生的数学应用意识．
【典例精析】
例 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长．
师生活动：教师出示例题，学生思考，教师要求学生用两种方法解答．
分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的特殊性质，根据矩形的这个特性和已知条件，可得△AOB是等边三角形，因此可求出对角线的长度．
解：方法1：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD（矩形的对角线相等），
OA=OC=AC，OB=OD=BD（矩形的对角线互相平分）．
∴OA=OB．
∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-120°=60°．
∴△AOB是等边三角形．∴OA=OB=2.5．∴AC=BD=5．
方法2：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD（矩形的对角线相等），
OA=OC=AC，OB=OD=BD（矩形的对角线互相平分）．
∴OA=OD．
∵∠AOD=120°，
∴∠ODA=∠OAD=(180°-120°)=30°．
又∵∠DAB=90°（矩形的四个角都是直角），
∴BD=2AB=2×2.5=5．
设计意图：培养学生应用所学知识解决问题的能力．
【课堂练习】
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）．
A．对角相等 B．对边相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
2．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线．若∠A=20°，则∠BDC=（ ）．
A．30° B．40°
C．45° D．60°
师生活动：教师先找学生代表回答，然后讲解出现的问题．
3．一直角三角形中，两条直角边的长分别为12和5，则斜边上的中线长为（ ）．
A．26 B．13 C．8.5 D．6.5
4．如图，要使□ABCD成为矩形，需添加的条件是（ ）．
A．AB=BC B．AC⊥BD
C．∠ABC=90° D．∠1=∠2
5．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC′的度数为_______度．
6．已知：矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．
求证：CE=EF．
7．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．求证：BD=BE；
参考答案
1．C．
2．B．解析：∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD=CD=AD．∴∠A=∠DCA=20°，∴∠BDC=∠A+∠DCA=20°+20°=40°．故选B．
3．D．解析：由勾股定理，得斜边长为13，又因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．故选D．
4．C．解析：因为有一个直角的平行四边形是矩形．故选C．
5．125．解析：由折叠可知，∠DEF=∠BEF，∠EFC=∠EFC′．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=∠C=90°．
又∵∠ABE=20°，
∴∠AEB=70°．
∴∠DEF=55°．
在四边形EFCD中，∵∠EFC=125°，
∴∠EFC′=125°．
6．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，且AD=BC，AD∥BC．
∴∠1=∠2．
∵DF⊥AE， ∴∠AFD=90°．
∴∠B=∠AFD．
又∵AE=BC=AD，
∴△ABE≌△DFA．
∴BE=AF．
∴CE=EF．
此题还可以连接DE，证明△DEF≌△DEC，得到CE=EF．
7．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AB∥CD．
又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形．
∴BE=AC，∴BD=BE．
设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
六、课堂小结
1．矩形是如何从平行四边形演变而来的呢？
2．对比平行四边形的性质，矩形还有哪些特殊性质？
矩形的四个角都是直角．
矩形的对角线相等．
3．直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
矩形的问题经常转化到等腰三角形或直角三角形中解决．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：通过小结，让学生对比新旧知识，明确研究平行四边形性质的方法可以迁移到研究特殊平行四边形的性质，渗透类比和转化的数学思想，形成解决问题的一些策略，体验解决问题的多样性．
七、板书设计
1.2 矩形的性质与判定（1）
1．矩形的定义
2．矩形的性质定理
矩形的四个角都是直角．
矩形的对角线相等
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．