初中数学北师大版（2024）九年级上册2 矩形的性质与判定第2课时教案设计

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册2 矩形的性质与判定第2课时教案设计，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重点及难点，教学用具，相关资，教学过程设计，课堂小结，板书设计等内容，欢迎下载使用。
第2课时
一、教学目标
1．理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系．
2．经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力．
3．能够用综合法证明矩形的判定定理，以及其他相关结论，进一步发展演绎推理能力．
4．进一步体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想．
二、教学重点及难点
重点：探索矩形的判定方法．
难点：合理应用矩形的判定定理解决问题．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资
《四边形到平行四边形再到矩形的变化》动画，《矩形的判定》微课.
五、教学过程设计
【复习引入】
1．什么叫做矩形？
答：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2．矩形与平行四边形及四边形有什么从属关系？
3．矩形有什么特有的性质呢？
答：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等．
4．你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？
答：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义判定）．
5．那么除了矩形的定义外，还有没有其他判定矩形的方法呢？这节课我们就共同来探究一下．
师生活动：教师出示问题，学生回答，让学生复习前面学过的内容．
设计意图：通过复习，巩固旧知，铺垫新知，设置问题，引出新课．
【探究新知】
做一做 如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．
（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？
（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
师生活动：教师出示“做一做”并操作演示，学生思考、讨论、交流，猜想出矩形的一个判定方法．
答：（1）当∠α增大到90°时，两条对角线的长度相等．当∠α超过90°时，以∠α的顶点为端点的一条对角线逐渐变短，另一条对角线逐渐变长．
（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形的四个角都等于90°．
得到的猜想是：对角线相等的平行四边形是矩形．
思考 你能证明你的猜想吗？
师生活动：教师出示问题，学生思考，教师引导学生写出已知、求证并完成证明过程．
答：已知：如图，在四边形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB．
求证：□ABCD是矩形．
分析：利用全等三角形证明平行四边形的某两个相邻的角相等，而这两个角又互补，所以它们都是直角，从而得证．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC．
又∵BC=CB，AC=DB，
∴△ABC≌△DCB．
∴∠ABC=∠DCB．
∵AB∥DC，
∴∠ABC+∠DCB=180°．
∴∠ABC=∠DCB=．
∴□ABCD是矩形（矩形的定义）．
设计意图：培养学生发现规律的能力和逻辑推理能力．
判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形．
该判定定理的两个适用条件：（1）对角线相等；（2）是平行四边形．
想一想：我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论．
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论、交流，形成猜想并证明猜想．
猜想：一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形．
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵∠A=∠B=90°，
∴∠A+∠B=180°．
∴AD∥BC．
∵∠B+∠C=180°，∴AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
又∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
设计意图：培养学生的归纳猜想，推理论证的能力．
判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．
几何语言：
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
归纳:矩形的判定方法：
方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
方法2：对角线相等的平行四边形是矩形；
方法3：有三个角是直角的四边形是矩形．
议一议 你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流．
师生活动：教师出示问题，学生思考，教师找学生代表回答．
答：可以用直角尺检查安装的门框的四个角是否为直角．如果有三个角是直角，那么刚安装的门框一定是矩形．也可以用直尺（或皮尺）分别量出门框两组对边的长度，如果两组对边长度分别相等，则门框一定是平行四边形，再测量门框的对角线的长度，如果两条对角线的长度相等，那么刚安装的门框一定是矩形．
如果仅有一根较长的绳子，可以先用绳子分别测量出门框的两组对边的长度，做上记号．如果两组对边的长度分别相等，那么这个门框一定是平行四边形，再用绳子量出门框的对角线的长度．如果这两条对角线的长度相等，那么这个刚安装的门框一定是矩形，否则不是矩形．理由是对角线相等的平行四边形是矩形．
设计意图：让学生运用所学知识解决实际问题．
【典例精析】
例1 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积．
师生活动：教师出示例题，学生思考，教师引导学生完成本题．
分析：教师先带学生从已知条件入手，对平行四边形对角线的性质进行分析，再结合△ABO是等边三角形的条件，很容易推出对角线相等，从而利用刚学的矩形的判定定理“对角线相等的四边形是矩形”证得是矩形，再利用勾股定理求出边长BC，进而求出矩形的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
又∵△ABO是等边三角形，
∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°．
∴OA=OB=OC=OD=4．
∴AC=BD=2OA=2×4=8．
∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，
∴．
∴S□ABCD=AB·BC=4×=．
设计意图：培养学生应用所学知识解决问题的能力．
【课堂练习】
1．下列命题错误的是（ ）．
A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
B．对角互补的平行四边形是矩形
C．对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形
D．四个角都相等的四边形是矩形
参考答案 C
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为__________．
参考答案 12．
3．已知：如图，在□ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC．
求证：四边形ABCD是矩形．
师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．
答案
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC．∵M是AD边的中点，
∴AM=DM．又∵MB=MC，∴△ABM≌△DCM（SSS）．
∴∠A=∠D．又∵AB∥DC，∴∠A+∠D=180°．
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
4．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是□ABCD外一点，且∠AEC=∠BED=90°．
求证：□ABCD是矩形．
师生活动：教师出示题目，学生思考，教师请有思路的学生讲述解题思路，然后订正，最后教师写出解题过程．
证明：如图，连接OE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵∠AEC=∠BED=90°，
∴OE=AC=BD．
∴AC=BD．∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识，进一步加深对所学知识的理解．
六、课堂小结
请同学们回顾一下，我们学过的矩形的判定方法有哪些？
答：我们学过的矩形的判定方法有：
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．
师生活动：教师出示问题，引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
1.2 矩形的性质与判定（2）
1．矩形的判定方法：
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形
（3）判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形