初中数学北师大版（2024）九年级上册第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程第2课时教案设计

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程第2课时教案设计，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重点及难点，教学用具，相关资，教学过程，课堂小结，板书设计等内容，欢迎下载使用。
第2课时
一、教学目标
1．经历列一元二次方程解决简单实际问题的过程，体会模型思想，增强应用意识和能力．
2．推导求根公式、判别方程根的情况的过程中，强化推理技能训练，进一步发展演绎推理能力．
二、教学重点及难点
重点：一元二次方程求根公式的应用．
难点：一元二次方程求根公式的应用．
三、教学用具
多媒体课件，计算器.
四、相关资
《一元二次方程求根公式》动画.
五、教学过程
【复习引入】
学生活动：用公式法解下列方程：
（1）2x2-5x+2=0；（2）2x2=1-3x．
解：（1）因为a=2，b=-5，c=2，
所以Δ=b2-4ac=(-5)2-4×2×2=25-16=9＞0．
所以x==，
即x1=2，x2=．
（2）方程化为2x2+3x-1=0，其中a=2，b=3，c=-1．
所以Δ=b2-4ac=32-4×2×(-1)=9+8=17＞0．
所以x==，
即x1=，x2=．
总结用公式法解一元二次方程的一般步骤：（学生总结，老师点评）：
（1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值；
（2）求出b2－4ac的值；
（3）当b2-4ac≥0时，把a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式x=，求出x1，x2.
设计意图：通过复习引入，让学生回忆用公式法解一元二次方程的一般步骤，为本节课的学习做好铺垫．
【探究新知】
例 在一块长16 m、宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你能给出设计方案吗？
小明的设计方案如图1所示，其中花园四周小路的宽度都相等．通过解方程，他得到小路的宽为2 m或12 m．
小亮的设计方案如图2所示，其中花园每个角上的扇形都相同．
（1）你认为小明的结果对吗？为什么？
（2）你能帮小亮求出图中的x吗？
（3）你还有其他设计方案吗？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师找学生代表回答，最后教师给出规范解题过程．
解：（1）小明的结果不正确；正确解法：设小路的宽度为x m．根据题意列方程，得．整理，得x2-14x+24=0．解得x1=2，x2=12．小路的宽12 m符合所列方程，但荒地的宽为12 m，因而小路的宽不可能是12 m，因此x=12不是实际问题的解，应舍去．而小路的宽2 m符合这个实际问题，所以小路的宽应是2 m．
（2）在小亮的设计方案中，4个相同扇形的面积之和恰好为一个圆的面积，且其半径为x m，根据题意，得．解得．所以图中的x约为5.5．
（3）设计方案是多种多样的，下面给出几种仅供参考：
注意：一元二次方程有两个根，这些根虽然都满足所列的一元二次方程，但未必符号实际问题．因此，解完一元二次方程之后，要按题意检验这些根是不是实际问题的解．
设计意图：通过引导学生分析、探究，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．
【典例精析】
对于例2中的花园设计问题，小颖的设计方案如图所示，你能帮她求出图中的x吗？
解：根据题意列方程，得．整理，得x2-28x+96=0．
解得x1=4，x2=24（不合题意，舍去）．所以图中的x为4．
【课堂练习】
1．在一幅长90 cm、宽40 cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72％，那么金色纸边的宽应该是多少？
师生活动：教师出示问题，找学生代表回答．
2．如图，圆柱的高为15 cm，全面积（也称表面积）为200π cm2，那么圆柱底面半径为多少？
3．如图所示，要建一个面积为150 m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为a m，另三边用竹篱笆围成，已知竹篱笆总长为35 m，且要求全部用完．
（1）求鸡场的长与宽各为多少米？
（2）题中的墙长为a m对题目的解起着怎样的作用？
师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题．
参考答案
1．金色纸边的宽应该是5 cm．
2．圆柱底面半径为5 cm．
3．解：（1）设鸡场的宽为x m，则长为(35-2x)m．依题意可列方程为x(35-2x)=150．
整理，得2x2-35x+150=0．
解方程，得x1=10,x2=7.5．
当x=10时，35-2x=15；当x=7.5时，35-2x=20．
答：当鸡场的宽为10 m时，长为15 m；当鸡场的宽为7.5 m时，长为20 m．
（2）由（1）解得的结果可知：题中墙长a m对题目的解起着严格的限制作用．
当a＜15时，上述问题无解；
当15≤a＜20时，上述问题只有一个解，即可建宽为10 m，长为15 m的一种鸡场；
当a≥20时，上述问题有两个解．
设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
六、课堂小结
本节课我们主要复习了：
1．用公式法求解一元二次方程．
2．列一元二次方程解决简单实际问题．
注意：在利用一元二次方程解决实际问题时，要检验所得的一元二次方程的解是不是实际问题的解．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
2.3 用公式法求解一元二次方程（2）
1．用公式法求解一元二次方程．
2．列一元二次方程解决简单实际问题．