初中数学北师大版（2024）九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系教案

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系教案，共4页。教案主要包含了教学目标，教学重点及难点，教学用具，相关资，教学过程，课堂小结，板书设计等内容，欢迎下载使用。
一、教学目标
1．了解一元二次方程根与系数的关系．
2．利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题．
二、教学重点及难点
重点：根与系数的关系及其运用．
难点：根与系数的关系的发现及其运用．
三、教学用具
多媒体课件。
四、相关资
《根与系数关系》动画、《一元二次方程根与系数关系的应用》微课.
五、教学过程
【复习引入】
我们前面学过了用公式法解一元二次方程，请同学们回忆一下一元二次方程的求根公式是什么？
师生活动：教师出示问题，学生思考并回答问题．
答：一元二次方程的求根公式是(b2-4ac≥0)．
由求根公式我们很容易发现一元二次方程的根完全由它的系数a，b，c确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？今天我们就一起来探究吧！
插入【数学探究】根与系数关系.
教师活动：教师播放动画，引入课题．
学生活动：学生倾听、思考，初步了解本节课所要研究的问题．
设计意图：创设问题情境，激发学生的好奇心和求知欲．
【探究新知】
做一做 解下列方程：
（1）x2-2x+1=0；（2）；（3）2x2-3x+1=0．
每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？
对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？你能证明你的猜想吗？
师生活动：教师出示问题，学生先解方程，然后猜想，最后验证猜想．
解：（1）原方程可化为(x-1)2=0．解得x1=x2=1．∴x1+x2=2，x1x2=1．
（2）由原方程可得a=1，b=，c=-1．∴b2-4ac=-4×1×(-1)=12+4=16．
∴．∴，．
∴，．
（3）方程两边同除以2，得．
配方，得，即．
∴．∴x1=1，x2=．∴，．
每个方程的两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数．猜想：对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立．
证明：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)当b2-4ac≥0时有两根：
，．
∴两根之和x1+x2=；
两根之积
x1·x2=．
结论：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=．
设计意图：让学生经历观察、猜想、验证的过程，从特殊到一般，得出两根之和与系数之间的关系、两根之积与系数之间的关系．
【典例精析】
例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
（1）x2+7x+6=0；（2）2x2-3x-2=0．
师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析，师生共同完成本题．
教师分析：本例题的解答应分为两步：首先判断方程的根的情况，然后再根据一元二次方程的根与系数的关系得出两根之和、两根之积．
解：（1）这里a=1，b=7，c=6．Δ=b2-4ac=72-4×1×6=49-24=25＞0，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根分别是x1，x2，那么x1+x2=-7，x1x2=6．
（2）这里a=2，b=-3，c=-2．Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=9+16=25＞0，
∴方程有两个实数根．
设方程的两个实数根分别是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=-1．
设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积．
【课堂练习】
1．已知x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a，b的值分别是（ ）．
A．a=-3，b=1 B．a=3，b=1
C．，b=-1 D．，b=1
2．已知m，n是方程x2++1=0的两根，则代数式的值为（ ）．
A．9 B．±3 C．3 D．5
3．若关于x的一元二次方程x2+(m2-9)x+m-1=0的两个实数根互为相反数，则m的值是__________．
4．设a，b是方程x2+x-2015=0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值为_________．
5．已知方程x2-5x-6=0的根是x1和x2，求下列式子的值：
（1）；（2）．
师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题．
答案 1．D．2．C．3．-3．
4．2014．解析：∵a是方程x2+x-2015=0的实数根，∴a2+a-2015=0，
∴a2= -a+2015．∴a2+2a+b=-a+2015+2a+b=a+b+2015．
∵a，b是方程x2+x-2015=0的两个不相等的实数根，∴a+b=-1，
∴a2+2a+b =a+b+2015=-1+2015=2014．
5．解：由一元二次方程根与系数的关系知：x1+x2=5，x1x2=-6．
（1）原式=；
（2）原式=．
设计意图：让学生加深对根与系数关系的认识．
六、课堂小结
本节课我们学习了一元二次方程根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．
七、板书设计
2.5 一元二次方程的根与系数的关系
1．一元二次方程根与系数的关系