云南省文山州丘北县2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份云南省文山州丘北县2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列是一元二次方程的是（ ）
A．x+y＝1B．x2+2＝0C．2x2﹣y＝1D．
2．（3分）下列图形中不一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形B．两个等腰直角三角形
C．两个长方形D．两个正方形
3．（3分）下列说法中，不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4．（3分）连续掷两枚质地均匀的硬币，出现一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率为（ ）
A．B．C．D．1
5．（3分）关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x﹣2k＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
6．（3分）一个盒子中装有a个白球和3个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%左右，则a的值约为（ ）
A．9B．12C．15D．18
7．（3分）在一幅比例尺为1：1000000的地图上，量得某座大桥长5.5厘米，这座大桥的实际长度是（ ）
A．55米B．10千米C．55千米
8．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转一个角度得到AB1C1D1，使得点D1恰好落在BC边上，若AD＝2AB＝4，则CD1的长为（ ）
A．1B．2C．D．
9．（3分）若a、b是菱形ABCD的两条对角线的长，且a、b是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．4B．5C．D．10
10．（3分）如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，不能判断△ABC与△BDC相似的是（ ）
A．∠CBD＝∠AB．
C．∠CBA＝∠CDBD．
11．（3分）要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．如果共有x个队参赛，为了求出x，根据题意可列方程（ ）
A．x（x+1）＝4×7B．x（x﹣1）＝4×7
C．D．
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于点G，连接AG，下列结论中，不正确的是（ ）
A．CE＝DFB．CE⊥DF
C．D．△ADG是等边三角形
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分共8分）
13．（2分）如果，那么＝ ．
14．（2分）如图，在△ABC中，若∠ACB＝90°，点D是AB的中点，AB＝4，则CD的长度是 ．
15．（2分）若关于x的方程x2+bx+6＝0的一个根是3，则b的值为 ．
16．（2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．（6分）解方程：
（1）x2﹣4x＝4；
（2）（x+2）（x+1）＝12．
18．（6分）如图，D、E、F分别是△ABC的AB、AC、BC边上的点，且DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
19．（7分）随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车业进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，八月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础下，九月、十月的全天包车数持续走高，十月份的全天包车数达到64次．若从八月份到十月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率．
20．（7分）如图，佳佳同学正在使用手电筒进行物理光学实验，水平地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，木板到平面镜的水平距离BC＝3m，已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，求灯泡到地面的高度AG．
21．（7分）在一个不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出一个乒乓球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出一个乒乓球，记下数字．
（1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）求两次摸到乒乓球上的数字之和是奇数的概率．
22．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，且∠ABO＝∠ACE，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD还菱形；
（2）若，∠ADC＝120°，求菱形ABCD的面积．
23．（8分）已知实数a、b满足（2a2+b2+1）（2a2+b2﹣1）＝80，试求2a2+b2的值．解：设2a2+b2＝m，则原方程可化为（m+1）（m﹣1）＝80，即m2＝81，解得：m＝±9，∵2a2+b2≥0，∴2a2+b2＝9，上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．根据以上阅读材料，解决下列问题：
（1）已知实数x、y满足（2x2+2y2﹣1）（x2+y2）＝3，求3x2+3y2﹣2的值；
（2）若四个连续正整数的积为120，求这四个正整数．
24．（8分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A出发沿着边AB向点B以1cm/s的速度运动，同时动点Q从点B出发沿着边BC向点C以2cm/s的速度运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为ts．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）是否存在某一时刻，使得以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下列是一元二次方程的是（ ）
A．x+y＝1B．x2+2＝0C．2x2﹣y＝1D．
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为二次的整式方程即为一元二次方程．
【解答】解：A、含有两个未知数，不符合定义，故不符合题意；
B、符合定义，故符合题意；
C、含有两个未知数，不符合定义，故不符合题意；
D、含有分式，不符合定义，故不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键．
2．（3分）下列图形中不一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形B．两个等腰直角三角形
C．两个长方形D．两个正方形
【分析】根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、两个等边三角形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项错误；
B、两个等腰直角三角形，顶角都是直角相等，夹边成比例，一定相似，故本选项错误；
C、两个长方形，四个角都是直角相等，但对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项正确；
D、两个正方形对应边成比例，对应角相等，一定相似，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了相似图形的概念，注意从对应边成比例，对应角相等两个方面考虑．
3．（3分）下列说法中，不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【分析】根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：一组邻边相等的矩形是正方形，故选项A正确；
一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，如图AD＝BC，∠ABC＝90°，则四边形ABCD不是矩形，故选项B错误；
一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项C正确；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D正确；
故选：B．
【点评】本题考查正方形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定、矩形的判定，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．
4．（3分）连续掷两枚质地均匀的硬币，出现一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率为（ ）
A．B．C．D．1
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有4种等可能结果，其中一枚正面朝上、一枚反面朝上的有2种结果，
所以一枚正面朝上、一枚反面朝上的概率为＝，
故选：A．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
5．（3分）关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x﹣2k＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【分析】根据根的判别式进行判断即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝k﹣3，c＝﹣2k，
∴Δ＝b2﹣4ac
＝（k﹣3）2﹣4×1×（﹣2k）
＝k2﹣6k+9+8k
＝k2+2k+9
＝（k+1）2+8，
∵（k+1）2≥0
∴（k+1）2+8＞0，即Δ＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
6．（3分）一个盒子中装有a个白球和3个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%左右，则a的值约为（ ）
A．9B．12C．15D．18
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【解答】解：由题意可得，×100%＝20%，
解得a＝12．
经检验：a＝12是原分式方程的解，
所以a的值约为12，
故选：B．
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
7．（3分）在一幅比例尺为1：1000000的地图上，量得某座大桥长5.5厘米，这座大桥的实际长度是（ ）
A．55米B．10千米C．55千米
【分析】根据比例尺的定义列式计算，然后再把单位换算为千米即可．
【解答】解：5.5×1000000＝5500000（厘米），
5500000厘米＝55千米．
故大桥的实际长度是55千米．
故选：C．
【点评】本题考查了比例线段，主要利用了比例尺的定义，难点在于把所求的数值进行单位换算．
8．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转一个角度得到AB1C1D1，使得点D1恰好落在BC边上，若AD＝2AB＝4，则CD1的长为（ ）
A．1B．2C．D．
【分析】根据矩形的性质得到∠B＝90°，BC＝AD＝4，由旋转得到AD1＝AD＝4，利用勾股定理求出BD1即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，BC＝AD＝4，
∵AD＝2AB＝4，
∴AB＝2，
由旋转得AD1＝AD＝4，
∴，
∴，
故选：D．
【点评】此题考查了矩形的性质，勾股定理，以及旋转的性质，综合掌握各性质定理是解题的关键．
9．（3分）若a、b是菱形ABCD的两条对角线的长，且a、b是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．4B．5C．D．10
【分析】先求出方程的解，根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO＝OC＝4，OB＝OD＝3，AB＝BC＝CD＝AD，再根据勾股定理求出AB即可．
【解答】解：解方程x2﹣14x+48＝0，得x＝6或8，
所以菱形ABCD的对角线为6和8，
设菱形ABCD的对角线AC和BD交于O，
所以AC⊥BD，AO＝OC＝4，OB＝OD＝3，
由勾股定理得：AB＝BC＝CD＝AD＝＝＝5，
即菱形ABCD的边长是5．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质，勾股定理等知识点，能熟记菱形的性质是解此题的关键，注意：菱形的对角线互相垂直平分．菱形的四条边都相等．
10．（3分）如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，不能判断△ABC与△BDC相似的是（ ）
A．∠CBD＝∠AB．
C．∠CBA＝∠CDBD．
【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∠CBD＝∠A，∠C＝∠C，符合相似三角形的判定定理（有两角对应相等的两三角形相似），能推出△ABC与△BDC相似，故本选项不符合题意；
B．＝，不符合相似三角形的判定定理，不能推出△ABC与△BDC相似，故本选项符合题意；
C．∠CBA＝∠CDB，∠C＝∠C，符合相似三角形的判定定理（有两角对应相等的两三角形相似），能推出△ABC与△BDC相似，故本选项不符合题意；
D．＝＝，符合相似三角形的判定定理（有三边对应成比例的两三角形相似），能推出△ABC与△BDC相似，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键，①有两角对应相等的两三角形相似，②有三边对应成比例的两三角形相似，③有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．
11．（3分）要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队之间都要赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．如果共有x个队参赛，为了求出x，根据题意可列方程（ ）
A．x（x+1）＝4×7B．x（x﹣1）＝4×7
C．D．
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝4×7，把相关数值代入即可．
【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）＝4×7．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
12．（3分）如图，在正方形ABCD中，E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于点G，连接AG，下列结论中，不正确的是（ ）
A．CE＝DFB．CE⊥DF
C．D．△ADG是等边三角形
【分析】由正方形的性质可得△BCE≌△CDF即可得出CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，进而得出∠DCG+∠CDF＝90°，即CE⊥DF，由H是中点可得GH＝CD＝AD，△CGD是直角三角形，DG≠CD，即DG≠AD，△ADG不是等边三角形．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠DCF，
∵E，F是中点，
∴BE＝CF，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，故A正确；
∵∠BCE+∠DCG＝90°，
∴∠DCG+∠CDF＝90°，
∴∠DGC＝90°，
∴CE⊥DF，故B正确；
∵H是中点，
∴GH＝CD＝AD，故C正确；
∵，△CGD是直角三角形，
∴DG≠CD，即DG≠AD，
∴△ADG不是等边三角形．故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分共8分）
13．（2分）如果，那么＝ ．
【分析】根据，得3a＝5b，根据比例的性质即可得的值．
【解答】解：∵，
∴3a﹣3b＝2b，
即3a＝5b，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
14．（2分）如图，在△ABC中，若∠ACB＝90°，点D是AB的中点，AB＝4，则CD的长度是 2 ．
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度．
【解答】解：∵点D是AB的中点，AB＝4，
∴CD＝AB＝×4＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟知“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
15．（2分）若关于x的方程x2+bx+6＝0的一个根是3，则b的值为 ﹣5 ．
【分析】将x＝3代入方程求解即可．
【解答】解：将x＝3代入方程，得9+3b+6＝0，
解得b＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解．
16．（2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为 24 ．
【分析】由菱形的性质可得AO＝CO，AB＝BC＝CD＝AD，由三角形中位线定理可得AD＝2OE＝6，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AB＝BC＝CD＝AD，
∵点E为CD的中点，
∴DE＝CE，
∴AD＝2OE＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4AD＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，掌握菱形的四边相等是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．（6分）解方程：
（1）x2﹣4x＝4；
（2）（x+2）（x+1）＝12．
【分析】（1）配方法解方程；
（2）因式分解法解方程．
【解答】（1）解：x2﹣4x＝4，
∴x2﹣4x+4＝4+4，
∴（x﹣2）2＝8，
∴，
解得：，；
（2）解：（x+2）（x+1）＝12，
整理得：x2+3x﹣10＝0，
∴（x﹣2）（x+5）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣5．
【点评】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
18．（6分）如图，D、E、F分别是△ABC的AB、AC、BC边上的点，且DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
【分析】利用一组平行线被第三条直线所截它们的同位角相等，找到符合相似三角形的条件即可．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED＝∠ECF，∠CEF＝∠EAD．
∴△ADE∽△EFC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定以及平行线的性质．
19．（7分）随着“共享经济”的概念迅速普及，共享汽车业进入了人们的视野，某共享汽车租赁公司年初在某地投放了一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元．据统计，八月份的全天包车数为25次，在租金不变的基础下，九月、十月的全天包车数持续走高，十月份的全天包车数达到64次．若从八月份到十月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率．
【分析】设全天包车数的月平均增长率为x，利用十月份的全天包车数＝八月份的全天包车数×（1+全天包车数的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设全天包车数的月平均增长率为x，
根据题意得：25（x+1）2＝64，
解得：x1＝0.6＝60%，x2＝﹣2.6 （不符合题意，舍去）．
答：全天包车数的月平均增长率为60%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（7分）如图，佳佳同学正在使用手电筒进行物理光学实验，水平地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，木板到平面镜的水平距离BC＝3m，已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，求灯泡到地面的高度AG．
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵∠FBC＝∠GBA，∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴，
即 ，
解得AG＝1.2m，
答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．
【点评】直接利用相似三角形的判定与性质得出BC的长，根据相似三角形的性质列方程进而求出AG的长．
21．（7分）在一个不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出一个乒乓球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出一个乒乓球，记下数字．
（1）用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）求两次摸到乒乓球上的数字之和是奇数的概率．
【分析】（1）列表即可得出所有等可能的结果．
（2）由表格可得出所有等可能的结果数以及两次摸到乒乓球上的数字之和是奇数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）所有可能出现的结果列表如下：
由表格可知，共有9种等可能出现的结果．
（2）由（1）可知，两次摸到乒乓球上的数字之和是奇数的结果有4种，分别为：（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），
∴两次摸到乒乓球上的数字之和是奇数的概率为．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E，且∠ABO＝∠ACE，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD还菱形；
（2）若，∠ADC＝120°，求菱形ABCD的面积．
【分析】（1）先证AO⊥OB，再证四边形ABCD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质和勾股定理得，OB＝3，BD＝6，代入菱形的面积计算公式解答即可．
【解答】（1）证明：∵CE⊥AB，
∴∠CEA＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
∵∠ABO＝∠ACE，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AO⊥OB，
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，
∴OA＝OC，OB＝OD，∠DAB＝60°，∠CAB＝30°，
在 Rt△ACE 中，，AB＝2OB，
∴，
在 Rt△ABO 中，AB2＝OB2+OA2，
∴，
解得：OB＝3（负值舍去），
∴BD＝6，
∴．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
23．（8分）已知实数a、b满足（2a2+b2+1）（2a2+b2﹣1）＝80，试求2a2+b2的值．解：设2a2+b2＝m，则原方程可化为（m+1）（m﹣1）＝80，即m2＝81，解得：m＝±9，∵2a2+b2≥0，∴2a2+b2＝9，上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．根据以上阅读材料，解决下列问题：
（1）已知实数x、y满足（2x2+2y2﹣1）（x2+y2）＝3，求3x2+3y2﹣2的值；
（2）若四个连续正整数的积为120，求这四个正整数．
【分析】（1）令 x2+y2＝m，则原方程为：（2m﹣1）m＝3，结合x2+y2≥0可得答案；
（2）根据题意设最小数为x，列出关系式，进而利用换元法即可求解．
【解答】解：（1）令 x2+y2＝m，
∴（2x2+2y2﹣1）（x2+y2）＝3化为：（2m﹣1）m＝3，
解得： 或m＝﹣1，
∵x2+y2≥0，
∴，
∴；
（2）设最小的数为x，则 x（x+1）（x+2）（x+3）＝120，
∴（x2+3x）（x2+3x+2）＝120，
设 x2+3x＝m，则 m2+2m﹣120＝0，
解得：m1＝﹣12m2＝10，
∵x是正整数，
∴x2+3x＝10，
解得：x1＝2，x2＝﹣5 （舍去），
∴这四个正整数为2，3，4，5．
【点评】本题考查了解一元二次方程，多项式的乘法，平方差公式与求方程的解，解答本题的关键是把代数式看作一个整体，通过换元求解．
24．（8分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A出发沿着边AB向点B以1cm/s的速度运动，同时动点Q从点B出发沿着边BC向点C以2cm/s的速度运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为ts．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）是否存在某一时刻，使得以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；
（2）分①当△PBQ∽△ABC时，②当△PBQ∽△CBA时，两种情况分别求解即可．
【解答】（1）证明：∵∵OB＝OD，OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：存在，
由题意可得：AP＝t，BP＝6﹣t，BQ＝2t，
∵∠ABC＝∠PBQ＝90°，
∴需分两种情况分析：
①当△PBQ∽△ABC时，，
即，
解得：t＝3；
②当△PBQ∽△CBA时，，
即 ，
解得：，
综上所述，当t的值为3或时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，主要分类讨论是解题的关键．
1
2
3
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）