江西省南昌市第二中学2024-2025学年高一上学期入学测试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，事件“一正一反”的概率是（ ）
A B. C. D.
3. 已知集合只有一个元素，则实数的值为（ ）
A. 1或0B. 0C. 1D. 1或2
4. 如图，将沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心，那么半径长度为（ ）
A. 2B. 4C. D.
5. 如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为（ ）
A. -8B. C. 4D. -2
6. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②：③时，随的增大而增大；④若关于的一元二次方程没有实数根，则；⑤对于任意实数，总有.其中正确的结论有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
二､填空题（5小题，每小题4分，共20分）
7. 已知关于的方程的一个根是，则它的另一个根是__________.
8. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球__________个.
9. 设集合，，若，则的取值范围是________．
10. 圆锥侧面积为，侧面展开扇形的半径为，圆锥的底面半径为__________cm.
11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点的坐标分别为､.若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是__________.
三､解答题（共4题，每题8分，共32分）
12 解下列方程和不等式：
（1）
（2）
13. 从甲､乙､丙､丁4名学生中选2名学生参加羽毛球单打比赛.
（1）若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，则恰好选中乙的概率是__________；
（2）任意选取2名学生参加比赛，求选中丙的概率.（用树状图或列表的方法求解）
14. 晚上放学回家，小明和大华走在路灯下，突然灵机一动，想利用所学的知识测量路灯的高度.在灯光下，当大华站在点处时，小明测得大华的影长为3米；大华沿方向行走5米到达点，此时又测得大华的影长为4米.如果大华的身高为1.6米，请你根据以上信息，帮助他们计算路灯的高度.
15. 阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：；
立方差公式：.
根据材料和已学知识解决下列问题
（1）因式分解：；
（2）先化简，再求值：，其中.
（3）利用材料因式分解：
四､解答题（共3题，每题10分，共30分）
16. 如图，已知是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点.
（1）求反比例函数和一次函数解析式；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出不等式的解集.
17. 如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y.
（1）用x，y 表示 S;
（2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积.
18. 阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
（1）化简：；
（2）已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
（3）计算：．
六､解答题（本大题共14分）
19. 如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接.当的面积等于面积的2倍时，求点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.