江苏省苏州市太仓市实验中学2023-2024学年下学期九年级数学开学检测试题（原卷版+解析版）

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一．选择题（共8小题）
1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件分析即可．
【详解】由题意得，，
解得，．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解被开方数为非负数是解题的关键．
2. 方程的根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：，
∴，，
解得：
故选：C．
3. 已知直径为4cm．若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（ ）
A. 在上B. 在内C. 在外D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】利用点到圆心的距离与圆的半径之间的大小关系，进行判断即可．
【详解】解：∵的直径为4cm，
∴的半径为2cm，
∵点P到圆心O的距离为3cm，大于的半径，
∴点P在外；
故选C．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握利用点到圆心的距离与圆的半径之间的大小关系，来判断点与圆之间的位置关系，是解题的关键．
4. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据配方法把函数化为顶点式即可求解.
【详解】∵=
故顶点坐标是
故选B.
【点睛】此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知配方法的应用.
5. 如图，四边形为的内接四边形，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠D，再利用圆周角定理解答．
【详解】∵∠ABC=125°
∴∠D=180°-∠B=55°
∴∠AOC=2∠D=110°．
故选B．
【点睛】本题利用了圆周角定理，圆内接四边形的性质求解．
6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程有实数根，可知，求出解即可．
【详解】∵一元二次方程有实数根，
∴，
即，
解得．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握与一元二次方程的根的关系是解题的关键．即当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
7. 如图，在6×6的正方形网格图形中，M，N分别是上的格点，．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足的中，的最小值是（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据网格的特点，由题意可知点P在以为弦，O为圆心的圆上，找到满足的点，进而找到满足的最小值的点和最小值即可．
【详解】解：根据网格的特点，由题意可知点P在以为弦，O为圆心，半径为的圆上， 如图所示，
理由如下：
∵，
∴，，
∴是以为斜边的等腰直角三角形，，
以点O为圆心，为半径画圆，则由圆周角定理可知，图中的均满足要求，
∵，
∴所有满足的点中，的最小值是2．
故选：D
【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，读懂题意找到符合要求的格点是解题的关键．
8. 如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，
∴BC==5，
∵CD=DB，
∴AD=DC=DB=，
∵•BC•AH=•AB•AC，
∴AH=，
∵AE=AB，DE=DB=DC，
∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，
∵•AD•BO=•BD•AH，
∴OB=，
∴BE=2OB=，
在Rt△BCE中，EC=.
故选D．
点睛：本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
二．填空题（共8小题）
9. 如果关于x的一元二次方程有实数根，那么a的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程定义和根的判别式，根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，
∴，而且
解得：且；
故答案为：且．
10. 已知α、β均为锐角，且满足+=0，则α+β= ___________．
【答案】75°##75度
【解析】
【分析】根据非负数的性质得到sinα=，tanβ=1，利用特殊角的三角函数值分别求出α、β，计算即可．
【详解】由已知得sinα－=0，tanβ－1=0，
∴α=30°，β=45°，
∴α+β=75°．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键．
11. 二次函数的图象与x轴的交点坐标为__________．
【答案】2,0
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数与轴的交点，正确计算是解答此题的关键．令，求得的值即可．
【详解】解：令，得，
∴，
解得：，
∴二次函数的图象与轴的交点坐标为，
故答案为：．
12. 如图所示，已知和均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，与交于点O，与交于点G，与交于点F，连结、，则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论的序号有 _________．
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】首先根据等边三角形的性质，得到，，，然后由判定，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；由全三角形的对应角相等，得到，根据证得，即可得到②正确；根据三角形外角性质结合全等三角形的对应高相等证明即可得出③正确，如图，在上截取，使得，证明，可得④错误，证明，可得⑤正确．
【详解】解：∵和均是等边三角形，
∴
∴
∴
在和中
∴，
∴，∴①正确；
∴
∵
∴
∴在和中
∴，
∴，∴②正确；
∵
∴
∵
∴
∴，
过C作于M，于N，
∴，
，
∴（全等三角形的对应高相等）
，∴③正确；
如图，在上截取，使得，则是等边三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵与不一定相等，
∴，故④错误；
∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故⑤正确．
故答案为：①②③⑤．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，相似三角形的判定与性质等知识，正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键．
13. 已知圆锥的母线长为，底面半径为，则此圆锥的侧面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出圆锥的底面周长，即可得到圆锥侧面展开图的扇形弧长，再利用扇形面积公式即可求解．
【详解】解：圆锥的底面周长是，
∴圆锥的侧面积为．
故答案为：
【点睛】本题考查了圆锥侧面积的求法，熟知圆锥的侧面展开图是半径为母线，弧长为底面圆的周长的扇形是解题的关键．
14. 已知m是方程的一个根，则代数式的值为_________
【答案】
【解析】
【分析】由方程根的定义得到，整体代入即可得到答案．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，熟练掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．
15. 若抛物线，点为抛物线上两点，则______．（用“”或“”号连接）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，从而得到点离抛物线的对称轴越远，函数值越小，即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，
∴点离抛物线的对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了抛物线的图象和性质，熟练掌握抛物线的图象和性质是解题的关键．
16. 如图，二次函数与x轴交于点A，B，对称轴为直线l，顶点C到x轴距离为．点P为直线l上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿运动到点A停止，则时间最短为________秒．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接，作于点D，与交点即为符合题意的点P，可得，利用角所对的直角边等于斜边的一半得到动点运动的时间为解题即可．
【详解】如图，连接，作于点D，与交点即为符合题意的点P，
令，则，
解得或，
∴A，B两点坐标为，，
∴，
∵A，B两点关于对称，
∴，
∵顶点C到x轴的距离为，
∴
∴，
∵都是的高，
∴，
由题意得动点运动的时间为，
∵是等边三角形，，
∴，
∵作，
∴，
∴，
显然在l上另取一点，连接，
∵，
∴当时，运动时间最短为，
故答案为：．
【点睛】本题考查最短路径问题，等边三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
三．解答题（共13小题）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】把各特殊角的三角函数值代入算式求解即可 ．
【详解】解：原式=
=
=，
故答案为 ．
【点睛】本题考查特殊角三角函数值的应用，正确记忆特殊角的三角函数值并灵活运用是解题关键．
18. 解方程：
【答案】，．
【解析】
【分析】根据因式分解法求解一元二次方程即可得．
【详解】解：，
，
∴或，
∴，．
【点睛】题目主要考查运用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题关键．
19. 化简求值：，其中与2，3构成三角形的三边，且为整数．
【答案】，-2
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据三角形三边关系确定a的取值范围，把不合题意的a的值舍去，最后代入求值即可求解．
【详解】解：原式；
∵2，3，a为三角形的三边，
∴，
∴，
∵为整数，
∴，3或4，
由原分式得，，
∴且，
∴，
∴原式=．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确进行分式的化简是解题关键，在把a的值代入求值是要注意所求的a的值保证原分式有意义．
20. 某校开展了“文明城市”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题活动，每个学生限选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）本次随机调查的学生人数是_________人；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“B”主题对应扇形的圆心角为_________度；
（4）若该校共有名学生，试估计该校参与“生态环境”主题的学生人数．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
（4）人
【解析】
【分析】（1）用“A”的人数除以所占比例即可得出答案；
（2）求出“C”的人数，补全条形统计图即可；
（3）用360°乘以“B”所占的比例即可；
（4）学校总人数×参与“生态环境”主题所占的比即可得出答案．
【小问1详解】
解：本次随机调查的学生人数人；
故答案为；
小问2详解】
解：(人)，补全条形统计图如图所示：
【小问3详解】
解：在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角，
故答案为108．
【小问4详解】
解：（人）
答：该校参与“生态环境”主题的学生人数540人．
【点睛】本题考查了扇形统计图、条形统计图；读懂题意，正确的找出各个主题活动所对应的数据图是解题的关键．
21. 近期国内疫情形势持续变化，为守护好个人身体健康，广大市民应尽快完成新冠疫苗接种．为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，某小区管理部门准备在已经接种疫苗的居民中征集志愿宣传者，现有2男2女共4名居民报名．
（1）随机抽取1人，恰好是男性的概率为_______；
（2）随机抽取2人，求恰好抽到一男和一女的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
从4人中抽取1人为男性的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，
两人恰好是一男一女的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
22. 如图，是的直径，C是上一点，P是的延长线上一点，且．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为3，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）相切，理由见解析
（2）－
【解析】
【分析】（1）连接，根据直角所对的圆周角为直角可得，再结合，，可得，即可得证；
（2）根据已知条件可得，即，故可得到，用三角形的面积减去扇形的面积即可求解．
【小问1详解】
与相切．
理由如下：
连接，
是的直径，
，
，
，
又，
，
，
，即，
，
又是的半径，
与相切；
【小问2详解】
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积为－．
【点睛】本题考查切线的判定、不规则图形的面积，在证明切线时，连半径，证垂直；在求不规则图形的面积时，灵活使用割补法．
23. 如图，已知内接于，于点D且交于点F，平分，、的延长线交于点E．
（1）求证：与相切；
（2）若，求图中阴影部分的面积；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，证明，即可解决问题；
（2）证明是等边三角形，得图中阴影部分的面积的面积扇形的面积，进行计算即可；
（3）根据勾股定理求出，由，得，求出半径，进而求的长．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与相切；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积的面积扇形的面积
；
【小问3详解】
解：在中，，，
根据勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，三角形外接圆与外心，扇形面积计算，锐角三角函数的应用，解决本题的关键是得到．
24. 如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．
【答案】（1）y=-x2+2x （0≤x≤8）；
（2）不会碰到头，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点式y=a（x-4）2+4，再根据图象过原点，求出a的值即可；
（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即可．
【小问1详解】
解：如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，
结合函数图象可知，顶点B （4，4），点O （0，0），
设二次函数的表达式为y=a（x-4）2+4，
将点O （0，0）代入函数表达式，
解得：a=-，
∴二次函数的表达式为y=-（x-4）2+4，
即y=-x2+2x （0≤x≤8）；
【小问2详解】
解：工人不会碰到头，理由如下：
∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，
由题意得：工人距O点距离为0.4+×1.2=1，
∴将x=1代入y=-x2+2x，
解得：y==175，
∵1.75m＞1.68m，
∴此时工人不会碰到头．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解决问题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求k、b的值；
（2）若点D在y轴负半轴上，且满足S△COD=S△BOC，求点D的坐标．
【答案】（1）k=-1，b=4；（2）点D坐标为（0，-4）．
【解析】
【详解】分析：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出k、b的值；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，设点D的坐标为（0，m）（m＜0），根据三角形的面积公式结合S△COD=S△BOC，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，进而可得出点D的坐标．
详解：（1）当x=1时，y=3x=3，
∴点C的坐标为（1，3）．
将A（﹣2，6）、C（1，3）代入y=kx+b，
得：，
解得：．
（2）当y=0时，有﹣x+4=0，
解得：x=4，
∴点B的坐标为（4，0）．
设点D的坐标为（0，m）（m＜0），
∵S△COD=S△BOC，即﹣m=××4×3，
解得：m=-4，
∴点D的坐标为（0，-4）．
点睛：本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出k、b的值；（2）利用三角形的面积公式结合结合S△COD=S△BOC，找出关于m的一元一次方程．
26. 如图所示，直线与双曲线交于A、B两点，已知点B的纵坐标为，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点，，．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）；（2）点P的坐标为；（3）或
【解析】
【分析】（1）过点A作轴于点E，根据三角函数的性质，得点A，将点A代入，得；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；
（2）连接OB、、，结合（1）的结论，得点B；结合题意得；把代入，得点C；设点的坐标为，通过计算即可得到答案；
（3）根据（1）和（2）的结论，结合反比例和一次函数的图像，即可得到答案．
【详解】（1）如图，过点A作轴于点E，
∵，，
∴，，
∴点A，
∴双曲线的解析式为，
把，分别代入，
得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为；
（2）如图，连接OB、、
把代入，得，
∴点B，
∴，
∴，
把代入，得，
∴点C
设点的坐标为，
∵
∴，
∵，
∴点P的坐标为；
（3）根据（1）和（2）的结论，结合点A、点B
∴或．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二元一次方程组、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、反比例函数的性质，从而完成求解．
27. 已知抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于．
（1）求该抛物线的相应函数表达式；
（2）过点A的直线与y轴交于点．
①在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②点P、Q为抛物线对称轴左侧图象上两点（点P在点Q的左上方），，且所在直线垂直于直线，试求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①由，得到，求解直线的表达式，即可求解； ②由直线的表达式知，点P向右平移1个单位，则向下平移了2单位，此时，得到点Q的坐标为：，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得： ，
解得：，
即抛物线的表达式为：①；
【小问2详解】
解：当时，
解得：，，
∴点，
①存在，理由：设直线交y轴于点N，
∵，则为直角三角形， ，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，即，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，②
联立①②并得：，
解得：，， 则点；
②∵，，
∴，
则设直线的表达式为：，
设点P的坐标为：，
由直线的表达式知，点P向右平移1个单位，则向下平移了2单位，此时，
则点Q的坐标为：，
将点Q的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
即点P的坐标为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，涉及到图象的平移、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．
28. 定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点是一次函数图像的“1阶方点”．
（1）在①，②，③三点中，是反比例函数图像的“2阶方点”的有________（填序号）；
（2）如图，已知抛物线交y轴于点C，一次函数的图像交抛物线第二象限于点P，点Q为该一次函数图像的“1阶方点”．
①求的面积的最大值；
②若一次函数图像的“1阶方点”有且只有一个，求a的值；
（3）若抛物线的“m阶方点”一定存在，求m的取值范围．
【答案】（1）①② （2）①4；②或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）求出点P的坐标，结合图形求出的面积取得最大值时点Q的坐标，即可求出的面积的最大值；
②在以O为中心，边长为2的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求a的值即可；
（3）在以O为中心，边长为2m的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数图象的“m阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．
【小问1详解】
①到两坐标轴的距离分别是1，1，
∵，
∴是反比例函数图像的“2阶方点”；
②到两坐标轴的距离分别是2，，
∵，
∴是反比例函数图像的“2阶方点”；
③到两坐标轴的距离分别是，，
∵，
∴不是反比例函数图像的“2阶方点”；
故答案为：①②；
【小问2详解】
∵一次函数，
∴一次函数过定点，
当时，，
∴在抛物线上，
∴．
①∵点Q为该一次函数图像的“1阶方点”，
∴当Q的纵坐标为－1时，面积最大．
∴面积最大为；
②∵一次函数图像的“1阶方点”有且只有一个，
∴在以O为中心，边长为2的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
当一次函数过时，
，
解得．
当一次函数过时，
，
解得．
综上：或．
【小问3详解】
在以O为中心，边长为2m的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数图象的“m阶方点”一定存在，
如图，当时，，
当抛物线经过点B时，
，
解得；
当抛物线经过点D时，
，
解得（舍）或；
∴．
【点睛】本题考查了新定义问题，主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，一次函数的图形与性质吗，坐标与图形的性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．
29. 如图①，已知矩形，．点E从点B出发，沿边运动至点C停止．以为直径作，与对角线交于点F，连接，．
（1）如图②，当E运动至终点C时，求的值；
（2）试探究：在点E运动的过程中，的值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
（3）如图③，以，为边构造矩形，连接，求证：，并直接写出在这一运动过程中，点G所经过的路径长．
【答案】（1）
（2）是定值，
（3）证明见解析，点G所经过的路径长
【解析】
【分析】（1）直径所对的圆周角是，，找到两组对应角相等即得，那么；
（2）连接，半径相等即，即，进行等量代换即可得到；
（3）由（2）得，，由于四边形是矩形，然后得到，得到夹角相等即，从而得到点G所经过的路径长．
【小问1详解】
解：如图②，∵为直径，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：的值为定值．
如图①，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴点C在上．
∵在中，，
∴．
在中，，
∵为直径，
∴，
∴在中，．
【小问3详解】
解：∵四边形是矩形，
∴由（2）得，，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
点G所经过的路径长．
【点睛】本题主要考查圆与相似三角形、特殊四边形等综合内容，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解题的关键．