四川省内江市威远县凤翔中学2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份四川省内江市威远县凤翔中学2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题4分，共48分）
1. 在下列实数、0.31、、、3.602 4×103、、1.212 212 221 …(每两个1之间依次多一个2)中，无理数的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的定义进行判断即可．
【详解】无理数有3，，1.212 212 221 …(每两个1之间依次多一个2)共3个，
故答案为C．
【点睛】本题主要考查对无理数的定义的理解和掌握，能熟练地根据无理数的定义进行判断是解此题的关键．
2. 如图，乐乐在∠ABC的平分线上任取一点P，并作PE⊥AB于点E，经测量知PE＝2 cm，由此可以推断点P到BC的距离为( )
A. 4 cmB. 3 cmC. 2 cmD. 1 cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得．
【详解】过P作PF⊥BC于F．
∵BP是∠ABC的平分线，PE⊥AB，PF⊥BC，∴PE=PF=2．
故选C．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3. 白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚上的A点出发，奔向小河旁边的点饮马，饮马后再到点宿营，若到水平直线（表示小河）的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4，则最小值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题以及勾股定理．首先作A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最小；然后可得的最小值，再利用勾股定理求解，即可求得答案．
【详解】解：作A关于直线l对称点，连接交直线l于点P，此时最小；
则，
∴，
过点B作于点C，
则，
∴，
∴，
∴最小值．
故选：C．
4. 如图，中，，将折叠后，使得点B与点A重合，．折痕分别交、于点D、E．如果，的周长为，那么的长为（ ）

A. 10cmB. 12cmC. 13cmD. 17cm
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理等知识，掌握翻折变换后对应线段相等是解题的关键．利用翻折变换的性质得出，进而利用求出，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵将沿直线折叠后，使得点B与点A重合，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
故选：C．
5. “折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何?”意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面的高度是（ ）
A. 尺B. 尺C. 5尺D. 4尺
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面的高度为尺，则斜边长为尺，
根据勾股定理，得，
解得，
∴折断处离地面的高度为尺．
故选：A．
6. 某校为了解七年级1200名新生的上学方式，随机对该年级部分学生的上学方式（乘车、步行、骑车）进行了调查，并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，则下列判断错误的是（ ）
A. 调查的学生中步行上学的有8名
B. 扇形统计图中步行的学生人数所占的圆心角是72°
C. 该校七年级学生中骑车上学的约有360名
D. 扇形统计图中骑车的学生人数所占的圆心角是
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查利用条形统计图和扇形统计图综合判断，能从统计图中提取相关信息进行计算是解题的关键．
【详解】解：A. 调查的学生中步行上学的有名，正确；
B. 扇形统计图中步行的学生人数所占的圆心角是，正确；
C. 该校七年级学生中骑车上学的约有名，正确
D. 扇形统计图中骑车的学生人数所占的圆心角是，错误；
故选D．
7. 若，则的正确结果是（ ）
A. -1B. 1C. -5D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值的非负性质及算术平方根的性质求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了算术平方根的性质及非负数的性质，解决本题的关键是熟练掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
8. 若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那m的值是（ ）
A. ±12B. －12C. ±24D. －24
【答案】C
【解析】
【详解】∵9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式,又∵(3x±4y)2=9x2±24xy＋16y2，
∴m=±24，
故选C.
9. 下列多项式，能用公式法分解因式的有（ ）
① ② ③ ④
⑤ ⑥
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】A
【解析】
【详解】根据完全平方公式,平方差公式,的特征可判定②可以利用平方差公式进行因式分解,⑥可以利用完全平方公式进行因式分解,
故选A.
10. 如图所示，三角形ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，如果AC＝5，BC＝4，则△BCD的周长是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线得出AD=BD，推出CD+BD=4，即可求出答案．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=DB，
∵AC=5，
∴AD+CD=5，
∴CD+BD=5，
∵BC=4，
∴△BCD的周长是CD+BD+BC=5+4=9，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
11. 在钝角三角形ABC中，把AB=AC，D是BC上一点，AD把ABC分成两个等腰三角形，则BAC的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠DAC，∠B＝∠C，再由三角形外角的性质可得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝2∠B，设∠B＝x°，则∠DAC＝∠ADC＝2x°，∠BAC＝3x°，由三角形的内角和定理可得x＋x＋3x＝180，解方程求得x的值，即可求得BAC的度数.
【详解】如图，
根据题意，△ABD、△ADC是等腰三角形，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠DAC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
根据三角形外角的性质可得，
∠ADC＝∠B＋∠BAD＝2∠B，
设∠B＝x°，则∠DAC＝∠ADC＝2x°，∠BAC＝3x°，
根据三角形内角和，x＋x＋3x＝180，
解得x＝36，
∴∠BAC＝3x°＝108°.
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质及三角形的内角和定理，熟练运用相关知识是解决问题的关键.
12. 如图，点是线段上一点，、是等边三角形与交于点，与交于点，与交于点下列结论：①；②；③；④；⑤平分其中正确的是（ ）
A. ①③④B. ①②③⑤C. ①③⑤D. ①②③④⑤
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形内外角关系，根据手拉手先得到，再证，即可得到答案；
【详解】解：∵、是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，故正确，
③∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，故正确，
②∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，故正确；
④，
∴，
∵，
∴，
∴不一定等于，
∴不一定等于，
∴不一定等于，
又∵，
∴不一定垂直平分，故错误；
如图，过点作于，于，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分，故正确；
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. 在一组数据中，第1个数的频率是0.2，频数是30，第2个数的频率是0.5，则第2个数的频数是________.
【答案】75.
【解析】
【分析】根据频率=频数/总数,先求出总数，再求频数.
【详解】因为，第1个数的频率是0.2，频数是30，
所以，总数是30÷0.2=150，第2个数的频率是0.5，则第2个数的频数是150×0.5=75.
所以，
故答案为75
【点睛】本题考核知识点：频率和频数. 解题关键点：熟记频率计算公式.
14. 如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小明头顶正上方4 000米处，经过了20秒，飞机距离小明头顶5 000米，则飞机飞行的速度是________米/秒．
【答案】150
【解析】
【分析】利用勾股定理解答即可．
【详解】解：设A点为小刚头顶，C为正上方时飞机的位置，B为20s后飞机的位置，则AB2=BC2+AC2，即BC2=AB2﹣AC2=9000000，∴BC=3000米，∴飞机的速度为3000÷20=150（米/秒）．
故答案为150．
【点睛】本题考查了正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．解题时注意运用数形结合的思想方法使问题直观化．
15. 已知a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，那么a＝_______，b＝______.
【答案】 ①. -1 ②. 3
【解析】
【详解】∵a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，
∴a2＋2a＋1+b2－6b＋9＝0，
∴(a+1)2+(b﹣3)2=0，
则a+1=0，b﹣3=0，
即a=﹣1，b=3.
故答案为﹣1；3.
【点睛】本题考查了完全平方公式及其非负性，解此题的关键在于将原式配方成两个完全平方相加等于0，再根据非负数的性质求解即可.
16. 如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，有下列四个结论：①点P在∠BAC平分线上；②AS＝AR；③QP∥AB；④△BRP≌△CSP.其中，正确的有__________(填序号即可)．
【答案】①②③④
【解析】
【分析】根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；根据HL推出△BRP≌△CSP即可．
【详解】∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC，PR=PS，∴点P在∠A的平分线上，∴①正确；
∵点P在∠A的平分线上，∴∠QAP=∠BAP．
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2．
∵AP=AP，PR=PS，∴AR=AS，∴②正确；
∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA．
∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QP∥AB ，∴③正确；
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠CAB=60°，AB=AC．
∵∠QAP=∠BAP，∴BP=CP．
∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠BRP=∠PSQ=90°．
在Rt△BRP和Rt△CSP中，∵BP=CP，PR=PS，∴△BRP≌△CSP，∴④正确．
故选A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．
三、解答题（6个小题，共56分）
17. （1）计算：
（2）求x的值：
（3）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）1；（2）；（3）；0
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算、完全平方公式，平方差公式，以及立方根解方程，整式的化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先化简绝对值以及乘方，立方根，算术平方根，再运算加减，即可作答．
（2）先方程两边进行除以8，再运用立方根的性质进行解方程，即可作答．
（3）先去括号以及根据完全平方公式，平方差公式展开，再合并同类项，得出，再把，代入进行计算，即可作答．
【详解】解：（1）
；
（2）∵
∴
∴
∴；
（3）
当时，
18. 阅读下面的解答过程．
已知x2－2x－3＝0，求x3＋x2－9x－8的值．
解：因为x2－2x－3＝0，所以x2＝2x＋3.
所以x3＋x2－9x－8＝x·x2＋x2－9x－8＝x·(2x＋3)＋(2x＋3)－9x－8＝2x2＋3x＋2x＋3－9x－8＝2(2x＋3)－4x－5＝1.
请你仿照上题的做法完成下面的题．
已知x2－5x＋1＝0，求x3－4x2－4x－1的值．
【答案】－2
【解析】
【分析】根据题文中的方法进行变形代入即可求解.
【详解】∵x2－5x＋1＝0，
∴x2＝5x－1，
∴x3－4x2－4x－1＝x·x2－4x2－4x－1＝x·(5x－1)－4(5x－1)－4x－1
＝5x2－x－20x＋4－4x－1
＝5(5x－1)－25x＋3
＝－2.
19. 某校学生会为了丰富学生的课外活动，准备组织一次球类比赛．他们通过调查问卷的方式，随机抽查了部分学生，了解了学生们最喜欢的球类运动，并绘制成不完全统计图．
调查问卷：你最喜欢的球类运动是（ ）（单选）
A.足球 B.乒乓球 C.篮球 D.羽毛球 E.排球 F.其它球类

根据图表信息解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为______人，最喜欢排球运动的人数占调查总人数的百分比为______；
（2）补全条形统计图，直接写出扇形统计图中，最喜欢羽毛球运动一组所占圆心角的度数为______；
（3）若你是这次球类比赛的组织者，你会组织哪一种球类比赛？请说明理由．
【答案】（1），；
（2）图见解析，
（3）组织乒乓球比赛，因为在调查的人中，最喜欢乒乓球运动的人最多．
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联问题，旨在考查学生的数据处理能力．
（1）根据选项A的条形统计图和扇形统计图的数据即可求解；
（2）计算出选项C的人数即可补全条形统计图，根据最喜欢羽毛球运动所占比例即可求解；
（3）组织喜欢人数最多的球类比赛即可．
【小问1详解】
解：本次调查的总人数为：（人），
最喜欢排球运动的人数占调查总人数的百分比为：
故答案为：，；
【小问2详解】
解：喜欢篮球的人数为：（人）
补全条形统计图如下：
最喜欢羽毛球运动一组所占圆心角的度数为：，
故答案为：
【小问3详解】
解：组织乒乓球比赛，因为在调查的人中，最喜欢乒乓球运动的人最多．
20. 如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线BM上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为，则当等于几秒时，与全等．

【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查三角形全等性质；分两种情况：①当在线段AB上时，②当在上，再分别分成两种情况，进行计算即可．
【详解】解：①当在线段AB上，时，
，
，
，
点 的运动时间为 (秒)．
②当在上，时，
，
，
．
点 的运动时间为 (秒)．
③当在上，时，

点的运动时间为 (秒)
④当在线段AB上，时，这时在点未动，因此时间为秒不符合题意．
故答案为：或或．
21. 如图，已知中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，当点运动到点A时运动结束，设出发的时间为秒．

（1）出发1秒时，求的长；
（2）当点在边上运动时，通过计算说明能否把的周长平分；
（3）当点在边上运动时，请直接写出能使成为等腰三角形的运动时间．
【答案】（1）的长为
（2）P在上运动时不能把的周长平分；
（3）当t的值为秒或3秒或秒时，为等腰三角形
【解析】
【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出，再求出和，根据勾股定理即可求得的长；
（2）由勾股定理求出，由题意得出方程，解方程求出t，即可得出结论；
（3）当点Q在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当时（图1），则，可证明，则，则，从而求得t；
②当时（图2），则，易求得t；
③当时（图3），过B点作于点E，则求出，，即可得出t．
【小问1详解】
解：，
，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：由勾股定理得：，
根据题意得：，，，
若能把的周长平分，则，
即，
解得：，
此时，
∴不合题意，
∴点Q在边上运动时，不能把的周长平分；
【小问3详解】
解：①当时，如图1所示

则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（秒）；
②当时，如图2所示：

则，
∴（秒）；
③当时，如图3所示：

过B点作于点E，
则，
∴，
∴，
∴，
∴（秒），
由上可知，当t的值为秒或3秒或秒时，为等腰三角形．
【点睛】本题考查勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质、一元一次方程的应用，注意方程思想、分类讨论思想的应用．
22. （1）如图1，四边形中，，是上一点，平分，平分．则线段的长度满足的数量关系为______；

（2）如图2，将（1）中的条件“”改为“”，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请举出反例；
（3）将（1）中的条件“”改为“”，其他条件不变，试探究线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，根据题意作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
（1）过点有作，根据得出，再根据平分，得出，即可证明，最后根据全等三角形对应边相等，即可得结果；
（2）在上截取，连接，先证明，再证明，最后根据全等三角形性质可得结论；
（3）在上截取，，连接，先证明，再证明，然后证明等边三角形，最后求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点有作，

，
．
又，
．
平分，
．
又．
．
．
同理可得．
．
故答案为：；
（2）成立，理由如下：
在上截取，连接，如图所示：

、分别平分、，
，，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3），理由如下：
在上截取，，连接，如图所示：

、分别平分、，
，，
在和中，
，
，
在和中，
，，
，
，
为等边三角形
，
；