江西省南昌市第二中学2024-2025学年高一上学期入学测试数学试题（解析版）

这是一份江西省南昌市第二中学2024-2025学年高一上学期入学测试数学试题（解析版），共17页。
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称，轴对称的定义可依次判断各个选项.
【详解】对于A选项，既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故A错误；
对于B选项，是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误；
对于C选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
对于D选项，既是中心对称图形也是轴对称图形，故D正确.
故选：D.
2. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，事件“一正一反”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币可能出现的情况为：正正，正反，反正，反反.
所以出现“一正一反”的概率是.
故选：A.
3. 已知集合只有一个元素，则实数的值为（ ）
A. 1或0B. 0C. 1D. 1或2
【答案】A
【解析】
【分析】讨论，当时，方程是一次方程，当时，二次方程只有一个解，，即可求.
【详解】若集合只有一个元素，则方程只有一个解，
当时，方程可化为，满足题意，
当时，方程只有一个解，则，解得，
所以或.
故选：.
4. 如图，将沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心，那么半径长度为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作于，连接，结合直角三角形，利用勾股定理即可求解.
【详解】如图，作于，连接，
,
,由折叠得，设，则，
在直角三角形中，，，
所以.
故选：B
5. 如图，的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为（ ）
A. -8B. C. 4D. -2
【答案】D
【解析】
【分析】作垂直轴于点，作垂直轴于点，连接，由题意可得，进而求得，可求的值.
详解】如图所示，作垂直轴于点，作垂直轴于点，连接，
因为，所以，
又因为的中点恰好落在轴上，即有，
所以，
易知，所以，
又易得，
所以，所以，
所以，由题意可得，所以.
故选：D.
6. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论，①；②：③时，随的增大而增大；④若关于的一元二次方程没有实数根，则；⑤对于任意实数，总有.其中正确的结论有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】由图象及条件可确定的正负和的关系，由此可判断①②，结合图象判断③，结合一元二次方程的解与判别式的关系判断④，化简可得，由此判断⑤，根据判断选择结论.
【详解】因为抛物线与轴交于点，
所以，
因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
所以，，
所以，，，，
所以，①正确；
因为，所以②正确，
当时，随的增大而减少，③错误；
方程，可化为，
即，
若方程没有实数根，则，
所以，又，
所以，④正确；
，又，
所以对于任意实数，总有，⑤正确.
所以正确的结论有个.
故选：C.
二､填空题（5小题，每小题4分，共20分）
7. 已知关于的方程的一个根是，则它的另一个根是__________.
【答案】5
【解析】
【分析】根据一元二次方程韦达定理可知，两根之积等于，即可求得答案.
【详解】设方程的另一根为，由韦达定理，知，可得=.
故答案为：5.
8. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球__________个.
【答案】8
【解析】
【分析】根据绿球个数除以总个数即可.
【详解】因为通过大量重复的摸球实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，所以摸到绿球的概率为，
设不透明的袋中有个绿球，因为空袋中有9个红个球，3个白球，所以，解得：;
故答案为：8
9. 设集合，，若，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由集合间的关系，即可得出结论.
【详解】因为，，
所以
故答案为：
【点睛】本题考查的是集合的运算，较简单.
10. 圆锥侧面积为，侧面展开扇形的半径为，圆锥的底面半径为__________cm.
【答案】2
【解析】
【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，结合圆锥的结构特征及侧面积公式列方程，解方程可得结论.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，
由已知，，
所以，
所以圆锥的底面半径为.
故答案为：.
11. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为､.若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】找到抛物线的图象与正方形有公共点时的临界点，代入求解即可.
【详解】若抛物线的图象与正方形有公共点，
则抛物线的开口必然向上，，
随着的变化抛物线的开口大小会随之改变，
与正方形有公共点的两个临界位置分别是抛物线经过点和点，
经过点时，；
，经过点时，.
且从点到点抛物线的开口逐渐变大，的值逐渐减小，
所以的取值范围是.
故答案为：.
三､解答题（共4题，每题8分，共32分）
12. 解下列方程和不等式：
（1）
（2）
【答案】（1）4或
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程的解法求得正确答案.
（2）根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
【小问1详解】
依题意，，
解得或.
【小问2详解】
依题意，6x2+5x-6=3x-22x+3>0
解得或，
所以不等式的解集为或x>23.
13. 从甲､乙､丙､丁4名学生中选2名学生参加羽毛球单打比赛.
（1）若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，则恰好选中乙的概率是__________；
（2）任意选取2名学生参加比赛，求选中丙概率.（用树状图或列表的方法求解）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.
（2）利用列表法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.
【小问1详解】
由甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，
共有甲､乙，甲､丙，甲､丁三种等可能，符合条件的情况数有1种，
甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概率是；
【小问2详解】
列表如下：
所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种，
所以选中丙的概率为：.
14. 晚上放学回家，小明和大华走在路灯下，突然灵机一动，想利用所学的知识测量路灯的高度.在灯光下，当大华站在点处时，小明测得大华的影长为3米；大华沿方向行走5米到达点，此时又测得大华的影长为4米.如果大华的身高为1.6米，请你根据以上信息，帮助他们计算路灯的高度.
【答案】高度为9.6米
【解析】
【分析】由三角形相似得到方程，得到方程组，求出，得到答案.
【详解】如图，于点于点，
由题意可知，米，米，米，米，
，即①，
，
，即，②
由①②得，，解得，，
经检验，是方程的根且符合题意，
，解得，.
答：路灯杆的高度为9.6米.
15. 阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式：；
立方差公式：.
根据材料和已学知识解决下列问题
（1）因式分解：；
（2）先化简，再求值：，其中.
（3）利用材料因式分解：
【答案】（1）
（2），5
（3）
【解析】
【分析】（1）利用题干中的立方差公式求解即可；
（2）对式子化简求解即可；
（3）利用题干中的立方差公式因式分解即可.
【小问1详解】
原式.
【小问2详解】
原式
.
当时，原式.
【小问3详解】
.
四､解答题（共3题，每题10分，共30分）
16. 如图，已知是反比例函数的图象和一次函数的图象的两个交点.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出不等式的解集.
【答案】（1），
（2）6 （3）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求得函数的解析式.
（2）结合图象以及三角形的面积公式求得的面积.
（3）根据图象以及两点的坐标求得不等式的解集.
【小问1详解】
点在反比例函数的图象上，
，即，反比例函数解析式为：，
点在反比例函数的图象上，
，点的坐标为，
在一次函数的图象上，可得：
，解得，一次函数解析式为：
小问2详解】
如图，一次函数的图象与轴交于点C-2,0，
.
【小问3详解】
，
由图象可知，的取值范围是：或.
17. 如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y.
（1）用x，y 表示 S;
（2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积.
【答案】（1）
（2）纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72.
【解析】
【分析】（1）由题意知，再代入化简即可；
（2）利用基本不等式即可求出最值.
小问1详解】
由题意，，
.
【小问2详解】
，
当且仅当，即时等号成立，
所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72.
18. 阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
（1）化简：；
（2）已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值．
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）9
【解析】
【分析】（1）分母有理化化简即可；
（2）分母有理化再求出整数部分后计算即可；
（3）分母有理化化简求解即可；
【小问1详解】
；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴的整数部分为，小数部分为，
∴；
【小问3详解】
∵，
∴
．
六､解答题（本大题共14分）
19. 如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接.当的面积等于面积的2倍时，求点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）或
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）代入点坐标即可；
（2）利用铅锤法表示的面积，根据题意列出等式求出点坐标即可；
（3）利用图形全等，由先确定点位置，进而求得其坐标.
【小问1详解】
把代入中，得：
，解得：，
抛物线解析式为；
【小问2详解】
过点作轴平行线交轴于，交于点，作于点，
把代入中，得：点坐标是0,3，
设直线，
把代入，得，解得，
直线的解析式为设，则，
由得：，
整理得：解得：
的值为1或2，
当时，，
当时，，
点的坐标为1,4或2,3；
【小问3详解】
存在.由得，
①当点在左侧时.在轴上取点，延长交抛物线于点.
在和中，有，所以，
故
，
设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
设直线的解析式为，
由得：或（舍去），所以；
②当点在右侧时，
作关于的对称交二次函数于点，则
，
，
四边形是正方形，，
令中，，则，
解得或，
，
在点抛物线上，即点满足条件.
故存在满足条件的点有两个，分别是.
甲
乙
丙
丁
甲
甲､乙
甲､丙
甲､丁
乙
乙､甲
乙､丙
乙､丁
丙
丙､甲
丙､乙
丙､丁
丁
丁､甲
丁､乙
丁､丙