江西省临川第一中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份江西省临川第一中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了 下列各数中最小数是， 不等式的解集是______等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列各数中最小数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用数的性质直接比价大小即可.
【详解】易知.
故选：C
2. 下列各点中，在函数的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据所给函数解析式逐项代入检验即可.
【详解】把所给点代入函数解析式可知，ABC错误；D正确.
故选；D
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的特点判断即可.
【详解】对于A，A是轴对称图形，但不是中心对称图形；
对于B，B是轴对称图形，也是中心对称图形；
对于C，C是轴对称图形，但不是中心对称图形；
对于D，D是中心对称图形，但不是轴对称图形；
故选：B.
4. 用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）

A. 20B. 21C. 23D. 26
【答案】C
【解析】
【分析】根据所给图形归纳出结论即可得解.
【详解】由所给图形可得规律；第个图形中菱形个数为，
所以第⑧个图形中菱形个数为.
故选：C
5. 如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接.若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用同一个圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半先得出，再根据垂径定理及等腰三角形的性质计算即可.
【详解】因为同一个圆中，同一段弧所对的圆周角是圆心角的一半，
所以，
由垂径定理可知，则有，
显然为等腰三角形，
则.
故选：B
6. 如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，平分交于点.若，则的长度为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】证明，得，证明，有，在中，由勾股定理求，可得的值.
【详解】正方形中，，，
又，则，有，
平分，，又，
得，有，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
，解得，即.
故选：D
二､填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则______.
【答案】1
【解析】
【分析】直接利用判别式计算即可.
【详解】由题意可知，所以.
故答案为：1
8. 不等式的解集是______.
【答案】x>2
【解析】
【分析】根据题意，结合一元一次不等式的解法，即可求解.
【详解】由不等式，可得，解得，即不等式的解集为x>2.
故答案为：x>2.
9. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球__________个.
【答案】8
【解析】
【分析】根据绿球个数除以总个数即可.
【详解】因为通过大量重复的摸球实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，所以摸到绿球的概率为，
设不透明的袋中有个绿球，因为空袋中有9个红个球，3个白球，所以，解得：;
故答案为：8
10. 半径为4，圆心角为的扇形的面积为__________（结果保留）.
【答案】
【解析】
【分析】利用扇形面积公式可得.
【详解】扇形的半径为4，圆心角为，则面积为.
故答案为：
11. 二次函数的图象过点，其中为常数，则的值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用二次函数的对称性可得的关系，代入三点坐标，利用消元法计算即可.
【详解】由题意知两点纵坐标相同，即关于二次函数的对称轴对称，
所以有，即，
又在二次函数图象上，
所以，整理得，
则，
所以.
故答案为：
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是______.
【答案】
【解析】
【分析】求出，设，，则，由勾股定理得到，求出，找到规律，同理可得横坐标为.
【详解】由题意得，，设，，则，
由勾股定理得，即，解得，故，
故，故，即 ，
同理可得，……，，
即的横坐标为.
故答案为：
三､简答题（本大题5小题，每小题6分，共30分.）
13. （1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中.
【答案】（1）2，（2），1
【解析】
【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可；
（2）先进行乘法运算，再去括号化简，最后代入求值.
【详解】（1）原式
（2）,
将代入上式可得.
14. 如图，已知矩形.
（1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接.求证：四边形是菱形.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用垂直平分线的作法作图即可；
（2）根据菱形的判定定理判定即可.
【小问1详解】
如图1所示，直线为所求；
【小问2详解】
如图2，设与的交点为，
由（1）可知，直线是线段的垂直平分线.
，
又四边形是矩形，，
，
，
四边形是菱形.
15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点.
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式的解集；
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据A点坐标先求k，得反比例函数解析式，再代入求B坐标，由两点坐标求一次函数解析式即可；
（2）直接利用图象求解集即可.
【小问1详解】
经过，解得，
把代入，得，解得，
把代入，
得，解得；
【小问2详解】
观察图像得：当或时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方，
不等式的解集为：或.
16. 如图，在中，.
（1）求证：；
（2）若平分，请直接写出的形状.
【答案】（1）证明见解析
（2）是等腰直角三角形.
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质与判定证明即可；
（2）利用（1）的结论及平行线的性质计算即可.
【小问1详解】
，
；
【小问2详解】
是等腰直角三角形.
，平分，
，
，
是等腰直角三角形.
17. 小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高40cm，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽DEBD⊥BC,CE⊥BC为35cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离.（结果保留1位小数）
【答案】此时台灯最高点到桌面的距离为57.3cm
【解析】
【分析】先证明四边形BDEM是平行四边形，再过点作于点，利用直角三角形求得，即可求解.
【详解】由已知，，在图1中，，
四边形是平行四边形，，
中，，
在图2中，过点作于点，
，
灯柱高40cm，点到桌面的距离为.
答：此时台灯最高点到桌面的距离为57.3cm.
四､解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长相交于点，过点作于点，交于点.
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为6，点为线段的中点，，求的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质及角的关系证明即可；
（2）证明，根据，求出即可得解.
【小问1详解】
证明：连接，如图，
，，
又，
，
，
是的切线.
【小问2详解】
如（1）图，，
又，
，
的半径为，
，即，
又点为线段的中点，，
，
，.
19. 某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如图1）.并绘制出不完整的条形统计图（如图2）.
图1学生体质健康统计表

图2学生体质健康条形统计图
（1）图1中__________，__________，__________；
（2）请补全图2的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；
（3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会.请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率.
【答案】（1）
（2）条形图见解析，估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人；
（3）选取的2名学生均为“良好”的概率为.
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得样本容量为，进而求得的值；
（2）根据题意，补全条形统计图，进而得到该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；
（3）设3名“良好”分别用表示，1名“优秀”，用表示，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意得，样本容量为，
则，.
【小问2详解】
解：由题得，补全条形统计图，如图所示：

则（人），
所以估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数为462人.
【小问3详解】
解：设3名“良好”分别用表示，1名“优秀”，用表示，列表如下：
由表格知一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2名学生均为“良好”的结果数有6种，
所以选取的2名学生均为“良好”的概率为.
20. 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共1500进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/.
（1）求A，B两种水果各购进多少千克；
（2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价.
【答案】（1）种水果购进1000千克，种水果购进500千克
（2）种水果的最低销售单价为12.5元
【解析】
【分析】（1）根据题意建立二元一次方程组解方程即可；
（2）根据题意建立不等式解不等式即可.
【小问1详解】
设A种水果购进千克，种水果购进千克，
根据题意有：，解得：，
种水果购进1000千克，种水果购进500千克.
【小问2详解】
设A种水果的销售单价为元，根据题意有：，
解得，故A种水果的最低销售单价为元.
五､解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变.某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示.
列车运行时刻表
请根据表格中的信息，解答下列问题：
（1）D1001次列车从站到站行驶了__________分钟，从站到站行驶了__________分钟；
（2）记D1001次列车的行驶速度为，离站的路程为次列车的行驶速度为，离站的路程为.
①__________；
②从上午8：00开始计时，时长记为分钟（如：上午9：15，则），已知千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中，若，求的值.
【答案】（1）90，60
（2）①；②或125
【解析】
【分析】（1）由表格直接得解即可；
（2）①计算各车运行时间，根据距离相等得解；②由题意得出列车速度及车站间距离，
可分析出时，次列车经过站，当时，次列车在站停车，据此对的范围分类讨论求解即可.
【小问1详解】
次列车从站到站行驶了90分钟，从站到站行驶了60分钟，
故答案为：90，60；
【小问2详解】
①根据题意得：D1001次列车从站到站共需分钟，
次列车从站到站共需分钟，
，故答案为：；
②（千米/分钟），（千米/分钟）.
与站之间的路程为360.
当时，次列车经过站.
由题意可如，当时，次列车在站停车.
次列车经过站时，次列车正在站停车.
i. 当时，，
（分钟）；
ii. 当时，，
（分钟），不合题意，舍去；
iii. 当时，，
（分钟），不合题意，舍去；
iv. 当时，，
（分钟）.
综上所述，当或125时，.
22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线.
（1）求拋物线的表达式；
（2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标.
【答案】（1）
（2）最大值为；此时
（3），
【解析】
【分析】（1）由抛物线过点A及对称轴可建立方程组解方程即可求解析式；
（2）过作轴交于，利用锐角三角函数将问题转化为求的最大值，设点P坐标，由坐标建立二次函数求最值即可；
（3）先得出平移后抛物线的解析式，利用特殊角确定直线，求得M坐标，分类讨论N的位置结合锐角三角函数得出线段比计算即可.
【小问1详解】
∵与轴交于两点，交轴于点，
抛物线的对称轴是直线，解得；
【小问2详解】
如图，延长交轴于，过作轴交于，
当时，解得：，
当时，，
，
轴，，
，
，设为，
解得：直线为：，
设，
∵的对称轴为直线，
，
当时，取得最大值，最大值为；此时；
【小问3详解】
抛物线沿射线方向平移个单位，
即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
新的抛物线为：，
如图，当在轴的左侧时，过作轴于，
同理可得：直线为，当时，，
，
，
，
，设，
，解得：或（舍去），
；
如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过
作过的垂线于，同理可得：，
设，则，同理可得：，
或（舍去），，
综上可知或
六､解答题（本大题共12分）
23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片和中，.
（1）初步感知】
如图1，连接，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值.
（2）【深入探究】
如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长.
（3）【拓展延伸】
在纸片绕点A旋转过程中，试探究三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）能，4或16或12或
【解析】
【分析】（1）证明,求出,可得,故,又,可得,从而;
（2）连接CE,延长BM交CE于点,连接交于，延长交于，由,得,求出,证明，即可得，,从而四边形矩形,有,,得,可得是的中位线,,设,证明，得,故,，由得，可得CF的长.
（3）分四种情况分别画出图形解答即可.
【小问1详解】
，
,即，
,
【小问2详解】
连接，延长交于点,连接交于,延长交于，如图：
根据（1）得，
是中线，
，即
，
，
四边形是平行四边形，
四边形矩形，
，
，设，则，
,
解得
，
，
，解得.
【小问3详解】
如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形，
故；
如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形，
故；
如图，当时，此时是直角三角形，过点作于点，
，
四边形是矩形，，
，故；
如图，当时，此时是直角三角形，过点作于点，交于点，
，
，
，
，
，
解得；故.
综上所述，直角三角形的面积为4或16或12或.
【点睛】思路点精：纸片绕点A旋转过程中，若三点能构成直角三角形，则有以下情况：当与重合时，此时，此时是直角三角形，
当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形，
当时，此时是直角三角形，
当时，此时是直角三角形，
在了解每种情况之后，一般都需要通过辅助线寻找三角形相似，进而求解边长和面积.成绩
频数
百分比
不及格
3
及格
良好
45
优秀
32
A
B
C
D
A
C
D
车次
站
站
站
发车时刻
到站时刻
发车时刻
到站时刻
途经站，不停车