吉林省长春市东北师大净月实验学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份吉林省长春市东北师大净月实验学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共24分）
1. 16的算术平方根是（ ）
A. 4B. -4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义，即可求解．
【详解】16的算术平方根是：4．
故选A．
【点睛】本题主要考查算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义，是解题的关键．
2. 设，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A. 2和3B. 3和4C. 4和5D. 5和6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，估算的大小，即可得出答案，掌握正确的估算方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴a在3和4之间，
故选：B．
3. 下列运算正确是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】选项A. 所以A错.
选项B. ,所以B错,
选项C. ,正确.
选项 D. 所以D错.
所以选C.
点睛：(1)易错辨析
a+a=2a;
a-a=0,
a,
a
.
.
(2)公式辨析
,,,.
要灵活应用上述公式的逆用.
4. 平行四边形中，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质，可得，，再结合，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故选：B
5. 设x、y为实数，且y＝，则|x﹣y|的值是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的有意义的条件求出x的值，代入已知式子求出y的值，代入计算即可．
【详解】解：要使有意义，必须x﹣2≥0，
要使有意义，必须2﹣x≥0，
解得，x＝2，
则y＝﹣4，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次根式的有意义的条件和二次根式的计算，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
6. 如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出，根据，由此即可解决问题．
本题考查了矩形的性质，实数与数轴，勾股定理，等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∵以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，
∴，
∴点M表示的实数为，
故选：A．
7. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 1，，C. ，2，D. 5，6，7
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A． ，不能构成直角三角形，故本选项错误；
B． ，能构成直角三角形，故本选项正确；
C． ，不能构成直角三角形，故本选项错误；
D． ，不能构成直角三角形，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
8. 如图，矩形ABCD中，对角线AC＝4， △AOB 是等边三角形，则AD的长为( )
A. 2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求得∠ACB=30°，再求出AB=2cm，由勾股定理求得AD的长．
【详解】解：矩形ABCD中，OA=OB=OC=OD，．
∵△AOB是等边三角形，
∴∠BAC=60°，∴∠ACB=30°，
∵AC=4cm，
∴AB=2cm，
在Rt△ABC中，BC= cm，
∵AD=BC，
∴AD的长为 cm．
故选：D．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，关键是根据在直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；以及勾股定理解答．
二、填空题（每空3分，共18分）
9 计算=_______；
【答案】
【解析】
【分析】根据单项式除以单项式法则计算．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了单项式除以单项式：把被除式与除式的系数和相同变数字母的幂分别相除，其结果作为商的因式．
10. 计算__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方运算法则，直接利用积的乘方运算法则化简，得出答案，正确掌握相关性质和运算法则是解本题的关键．
【详解】解：
；
故答案为：．
11. 已知x+y=0，xy=－6，则x2y+xy2的值为________．
【答案】0
【解析】
【分析】将原式提取公因式，得到，再将代入即可得出答案．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，将原式化简，得到与已知式子相关的代数式是解题的关键．
12. 如图，在平行四边形中，．的平分线交于点F，交的延长线于点E，则的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可以求得和的长，从而可以得到的长，再根据平行线的性质可以得到和的关系，从而可以得到和的关系，进而得到的长，本题得以解决．
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：在平行四边形中， ，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABDE的方法证明了勾股定理(如图)，若Rt△ABC的斜边AB＝5，BC＝3，则图中线段CE的长为____．
【答案】．
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AC，根据全等三角形的性质得到AF＝BC＝3，EF＝AC＝4，求出FC，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，AC4．
∵Rt△ACB≌Rt△EFA，
∴AF＝BC＝3，EF＝AC＝4，
∴FC＝AC﹣AF＝1，
∴CE．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理、全等三角形的性质，掌握勾股定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．
14. 如图，菱形的两条对角线分别长4和6，点P是对角线上的一个动点，点M，N分别是边AB，的中点，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】要求的最小值，不能直接求，可作M关于的对称点E，再连接，利用菱形的性质计算出的长，就是的最小值．
此题主要考查菱形的性质和轴对称及平行四边形的判定等知识的综合应用，关键是掌握菱形是轴对称图形，菱形对角线互相垂直且平分．
【详解】解：如图：作交于E， 连接、， 则就是的最小值，
∵四边形是菱形，
∵M、N分别是、的中点，
交于E，
∴四边形是平行四边形，
而由题意可知，可得
的最小值为
故答案为：．
三、解答题（共78分）
15. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．
（1）先求出立方根，算术平方根，化简绝对值，然后在进行二次根式的加减混合运算即可．
（2）先利用二次根式的性质化简，然后再进行二次根式的乘除法运算，最后再加减运算即可．
【小问1详解】
解：
小问2详解】
16. 分解因式
（1）x3﹣6x2+9x；
（2）a2（x﹣y）+4（y﹣x）．
【答案】（1）x（x﹣3）2；（2）（x﹣y）（a+2）（a﹣2）．
【解析】
【分析】（1）原式提取x，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：（1）原式＝x（x2﹣6x+9）＝x（x﹣3）2；
（2）原式＝a2（x﹣y）﹣4（x﹣y）＝（x﹣y）（a2﹣4）＝（x﹣y）（a+2）（a﹣2）．
【点睛】本题主要考查提公因式法的综合运用，关键要掌握提取公因式后，根据多项式的项数来选择方法继续因式分解，如果是两项，则考虑用平方差公式；如果是三项，则考虑用完全平方公式．
17. 任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算．
（1）用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简；
（2）当时，求输出的结果．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，正确得出运算程序是解题的关键．
（1）直接利用运算程序进而得出关于m的代数式；
（2）把已知数据代入求出答案．
【小问1详解】
解：由题意可得：
；
小问2详解】
解：当时，
，
∴输出的结果是．
18. 明朝数学家程大位在著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙述了一道“荡秋千”问题：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争藏，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索有几？建立数学模型，如图，秋千绳索静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），已知于点C，于点D，于点E，，求秋千绳索（或）的长度．
【答案】秋千绳索（或）的长度为尺.
【解析】
【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解.
本题主要考查了勾股定理的应用，运用勾股定理列方程是解题的关键.
【详解】解：设的长为x尺,
尺，尺，
(尺),
在中，尺，尺，尺，
由勾股定理得：
解得：，
答： 秋千绳索（或）的长度为尺.
19. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形．
（1）使三角形三边长为3，，；
（2）使平行四边形有一锐角为45°，且面积为4．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】（1）本题中实际上是长为2宽为2的正方形的对角线长，实际上是长为2宽为1的矩形的对角线的长，据此可找出所求的三角形；
（2）可先找出一个直角边为2的等腰直角三角形，然后据此画出平行四边形．
【详解】（1）△ABC为所求；
（2）四边形ABCD为所求．
【点睛】关键是确定三角形的边长，然后根据边长画出所求的三角形．
20. 已知，AD是的角平分线，交AB于点E，交于点F，求证：四边形为菱形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查菱形的判定和平行四边形的性质．运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．
先根据题中已知条件判定四边形是平行四边形，然后再推出一组邻边相等．
【详解】证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∵AD是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形．
21. 阅读理解题，下面我们观察：
反之，所以，
所以．
完成下列各题：
（1）在实数范围内因式分解：；
（2）化简：；
（3）化简：．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简：
（1）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可；
（2）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可；
（3）利用二次根式的性质结合完全平方公式直接化简得出即可．
【小问1详解】
解： ；
【小问2详解】
解：∵，
反之，
∴；
【小问3详解】
解：，
反之，
∴．
22. 如图，正方形的边长为a，点E在AB边上，四边形也是正方形，它的边长为b（），连结、CF、．
（1）用含a、b的代数式表示__________；
（2）若两个正方形的面积之和为6，边长之差为2，求图中线段的长；
（3）的面积为，的面积为，请比较和的大小关系．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方公式和几何图形的结合，
根据图形可知，则；
根据题意得，求得，结合，即可求得；
和，即可判断其关系．
【小问1详解】
解：（1），
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
，
则，
；
【小问3详解】
∵
，
，
∴．