吉林省吉林市第七中学校2023-2024学年八年级下学期数学开学考试（解析版）

这是一份吉林省吉林市第七中学校2023-2024学年八年级下学期数学开学考试（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页，满分120分，答题时间120分钟
一、选择题（每小题2分，共12分）
1. 在下列四个图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】轴对称图形的概念：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合的图形叫做轴对称图形.
根据轴对称图形的概念不难判断只有C选项图形是轴对称图形.
故选C.
点睛：掌握轴对称图形的概念.
2. 下列运算错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法公式，合并同类项法则，积的乘方与幂的乘方公式依次判定即可．
【详解】解：A、，故此选项正确，不符合题意；
B、，故此选项错误，符合题意；
C、，故此选项正确，不符合题意；
D、，故此选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法公式，合并同类项法则，积的乘方与幂的乘方公式，掌握相关公式和法则是解题的关键．
3. 如图，已知ABCD，且∠1=45°，∠2=35°，则∠3的度数是（ ）
A. 80°B. 75°C. 60°D. 45°
【答案】A
【解析】
【分析】先根据平行线的性质求出∠C的度数，再根据三角形外角的性质求出∠3度数即可
【详解】解：∵，
∴∠C=∠1=45°，
∴∠3=∠C+∠2=80°，
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角的度数等于其不相邻的两个内角的度数和是解题的关键．
4. 若分式的值为零，则x的值为（ ）
A. 0B. C. 3D. 3或
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查分式为的条件，熟记分式为的条件是解决问题的关键．
根据分式为的条件（分子为0，分母不为0）列式求解即可得到答案．
【详解】解：分式的值为0，
，且，
解得，
故选：B．
5. 若一个多边形的内角和比外角和的2倍少180°，则这个多边形是（ ）
A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可求解．
【详解】设多边形的边数为n，则
2×360 -(n−2) 180=180，
解得n=5.
故答案选C.
【点睛】本题考查的知识点是多边形内角与外角，解题的关键是熟练的掌握多边形内角与外角.
6. 如图，在四边形中，，，连接，，，若点P是边上一动点，则长的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. 3D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的判定和性质定理，垂线段最短，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．由三角形内角和定理，推出，由垂线段最短可知，当时，的长度最小，再利用角平分线的性质定理，得到，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，即平分，
由垂线段最短可知，当时，长度最小，
，，
，
，
的最小值是6，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 分解因式：______．
【答案】xy(x+y)
【解析】
【分析】利用提公因式法即可求解．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式的知识，掌握提公因式法是解答本题的关键．
8. 某种微粒的直径为0.000058米，则该微粒的直径用科学记数法可以表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】0.000058用科学记数法可以表示为．
故答案为：．
9. 已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是______．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出、的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．先根据非负数的性质列式求出、的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】解：根据题意得，，，
解得，，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
，
不能组成三角形；
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长．
所以，三角形的周长为20．
故答案：20
10. 用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形 ABCD，如图所示，它的面积是75，其中 AE＝33，空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为 __________________.
【答案】43
【解析】
【分析】通过正方形的面积求出边长为5，根据图形之间的联系求出空白小正方形的边长3-2=，即可求解.
【详解】解：∵正方形 ABCD 的面积是 75，
∴AB＝5 ，
∵AE＝3，
∴BE＝2，
∴空白小正方形的边长 3﹣2＝，
∴小正方形的周长为 4；
故答案为 4；
【点睛】本题考查正方形的面积与边长；能够观察出图形之间的联系是解题的关键．
11. 已知点，关于轴对称，则的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于轴对称点的性质得出，的值，进而得出答案．
【详解】解：点与点关于轴对称，
，，
则．
故答案为：1．
12. 如图，将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点A、B、C、D四点共线，E为公共顶点．则______．
【答案】75°##75度
【解析】
【分析】根据正多边形的外角和，分别得出∠EBC=45°，∠ECB=60°，再根据三角形的内角和即可求出∠BEC．
【详解】解∶由正多边形内角和可得
∠CBE=，∠ECB=，
∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ECB=75°．
故答案为∶75°．
【点睛】本题考查了正多边形的外角和，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是运用正多边形的外角和求出∠CBE和∠ECB的度数．
13. 如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，DC⊥BC，将四边形沿对角线 BD 折叠，点 A 恰好落在 DC 边上的 点 A'处，若∠A'BC=20°，则∠A'BD 的度数为_____.
【答案】25°
【解析】
【分析】根据AD∥BC，DC⊥BC，∠A'BC=20°，再利用三角形外角的性质，可求得∠DA'B的度数，由折叠的性质，可得：∠A=∠DA'B=110°，∠ABD=∠A'BD，继而求得∠A'BD的度数.
【详解】∵AD∥BC，DC⊥BC
∴∠C=90°
∵∠A'BC=20°
∴∠D A'B=∠A'BC +∠C=20°+90°=110°
由折叠的性质可得：∠A=∠D A'B =110°，∠ABD=∠A'BD
∵AD∥BC
∴∠ABC=180°-∠A=180°-110°=70°
∴∠A'BD=
故填25°.
【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等.
14. 如图，在中，垂直的平分线于点P，若，且，则__________．
【答案】4
【解析】
分析】延长交于点E，证明，得出，，根据，得出，证明，根据，求出，即可得出答案．
【详解】解：延长交于点E，如图所示：
∵垂直的平分线于点P，
∴，，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴与等底同高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判断方法．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，平方差公式，多项式乘多项式的应用，能正确运用乘法公式进行计算是解此题的关键，难度适中．
【详解】解：
．
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【详解】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
先根据二次根式的性质和完全平方公式化简二次根式，再合并即可求解．
解：
．
17. 解方程：．
【答案】无解
【解析】
【分析】将分式去分母，然后再解方程即可．
【详解】解：去分母得：
整理得，解得，
经检验，是分式方程的增根，
故此方程无解．
【点睛】本题考查的是解分式方程，要注意验根，熟悉相关运算法则是解题的关键．
18. 如图，点、、、在同一条直线上，于点，于点，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
由题意易得，，，进而问题可求证．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，，
∴．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了平面直角坐标系及格点（顶点是网格线的交点）．
（1）的面积为______；
（2）请画出关于轴对称的，其中点的坐标为______；
（3）点在轴上运动，若的周长最小，则点的坐标为______．
【答案】（1）10 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了图形的轴对称及轴对称的性质，三角形面积，以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握坐标系中点的对称及待定系数法求函数解析式是解决本题的关键．
（1）用矩形的面积减去四个三角形的面积即可求解；
（2）画出三点关于轴对称的三点，依次连接即可；
（3）当三点共线时，周长最小，再根据待定系数法求出直线解析式，即可求解；
【小问1详解】
解：，
故答案为：10；
【小问2详解】
解：关于轴对称的，如图所示：点的坐标为．
【小问3详解】
解：连接交轴于点，连接，则，
故，
当三点共线时，最小，最小值为，
∵不变，
故此时周长最小，
设直线解析式为，将代入得
，解得：
故函数表达式为，
令，则，
故点的坐标为0,1．
20. 先化简，再从，0，1，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值．
【答案】；
【解析】
【分析】先将原分式化简，再选择合适的数代入，即可求解．
【详解】解：


根据题意得： 不能取0，1，-1，
当 时，原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21. 如图，在中，，为的角平分线．以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，连接，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，角的平分线，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理
（1）根据，结合，证明：即可．
（2）根据，结合，可得，结合，平分，可得．根据计算即可．
【小问1详解】
证明：根据以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴．
∴．
22. 如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C在灯塔B的北偏西50°方向．
（1）求的度数；
（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．
【答案】（1）70°；（2）15km/h
【解析】
【分析】（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，根据三角形的内角和定理即可求得∠ACB；
（2）根据等腰三角形的判定可得BC=AB=75km，进而由速度=路程÷时间求解即可．
【详解】解：（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，
∴∠ACB=180°－∠BAC－∠ABC=180°－70°－40°=70°；
（2）∵∠BAC=∠ACB=70°，
∴BC=AB=75km，
∴轮船的速度为75÷5=15（km/h）．
【点睛】本题考查方位角、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，理解方位角，熟练掌握等腰三角形的等角对等边是解答的关键．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 某超市用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．
（1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？
（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多60件，求：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具多少件？
【答案】（1）甲6元，乙5元；（2）112件
【解析】
【分析】（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为元，根据结合“用1200元购进一批甲玩具，用800元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具件，根据进货的总资金不超过2100元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的整数，即可得出结论．
【详解】解：（1）设甲种玩具的进货单价为x元，则乙种玩具的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
．
答：甲种玩具的进货单价6元，则乙种玩具的进价为5元．
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具件，
根据题意得：，
解得：，
∵y为整数，
答：该超市用不超过2100元最多可以采购甲玩具112件．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
24. 请认真观察图形，解决下列问题：
（1）图①是由边长分别为，的两个正方形和长为，宽为的两个长方形纸片拼成的一个大正方形，请根据图形的面积写出一个乘法公式______；
（2）利用（1）中结论解决下面问题：
如图②，两个正方形边长分别为，，如果，求阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景；
（1）根据阴影部分面积等于两个正方形面积的和，或者用边长为的大正方形的面积减去两个长方形的面积，阴影部分的面积不变即可得出等式；
（2）根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积，化简，整体代入求值即可．
【小问1详解】
解：阴影部分的面积等于两个正方形面积的和，则阴影部分面积为，
阴影部分的面积用边长为的大正方形的面积减去两个长方形的面积，则阴影部分面积为，
∴，
∴乘法公式为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据图②可得，阴影部分的面积为：
∵，
∴阴影部分的面积为．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 如图，在中，过点，分别作直线，，且，过点作直线交直线于点，交直线于点．
（1）如图①，若，分别平分，，求的度数；
（2）在（1）的条件下，若，，求的长；
（3）如图②，若，且，点是上一点，，连接，若，，则的长为______．（用含，的式子表示）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由分别平分和,求出 进而得出由,得出，代入计算即可得到结果；
（2）在AB上取一点, 使, 连接CF, 证明再证明≌，代入计算即可求得结果；
（3）在上截取连接，先证明均为等边三角形，再证明即可得到．
【小问1详解】
∵平分

同理，
∵
∴
∴
∴ ；
【小问2详解】
如图, 在AB上取一点, 使, 连接CF,
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
【小问3详解】
如图,
∵,,
∴为等边三角形，
∴,
∵,
∴为等边三角形，
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵，
∴,
∴,
∴,
∴
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题.
26. 如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为，当点到达点时，点也随之停止运动．连接，，设点的运动时间为．
（备用图）
（1）当点在线段上运动时，的长为______，的长为______（用含的式子表示）；
（2）当与的一条边垂直时，求的值；
（3）在运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出的值．
【答案】（1），
（2）或或
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据路程，时间，速度关系求解即可；
（2）分三种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，同法可得，如图3中，当时，同法可得，分别求解即可；
（3）如图4-1中，过点C作于点T，用t表示出，，再分三种情况分别画图，结合方程，三线合一，特殊位置可得答案．
【小问1详解】
解：由题意，．
【小问2详解】
解：如图1中，当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图2中，当时，同法可得，
∴，
∴；
如图3中，当时，同法可得，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的t的值为2或4或8；
【小问3详解】
解：如图，过点C作于点T，
∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，而，
当时，，
∴（不合题意舍去）．
当时，如图，
过作于，过作于，
由三线合一可得：，，
∵，
∴不合题意舍去，
当时，如图，
此时运动到的中点，为的中点，为的中点，，
∴，
∴，
如图4-2中，当时，过点P作于T，
∵，，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的t的值为3或9．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．