浙江省义乌市丹溪中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相反数和倒数的定义，掌握相反数和倒数的定义是解答本题的关键．
根据题意利用相反数和倒数的定义计算即可．
【详解】解：，
的倒数为，
故选：D．
2. 抛物线向下平移个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的性质，求出新抛物线的解析式，再求顶点坐标即可求解．
【详解】解：抛物线向下平移个单位得，，
∴根据顶点坐标公式得，，把代入得，，
∴顶点坐标为：．
故选：．
【点睛】本题主要考查函数的平移的性质，顶点坐标的计算方法，掌握平移的性质，顶点坐标的计算公式是解题的关键．
3. 太阳与地球的平均距离大约是150000000千米，其中数150000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对于大于10的数，可以写成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n为正整数，n的值比原数的整数位数少1．
【详解】150 000 000=1.5×108，
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法，解题的关键是确定a和n的值．
4. 已知的面积为，若点O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据的面积，求出半径，即可求解．
【详解】解：设的半径为，
由的面积为可得，解得
∵，
∴直线与相交，
故选：A
【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆的位置关系的判断方法，圆的半径为，直线到圆心的距离为，当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离．
5. 如图，小聪和他同学利用影长测量旗杆的高度，当1米长的直立的竹竿的影长为1.5米时，此时测得旗杆落在地上的影长为12米，落在墙上的影长为2米，则旗杆的实际高度为（ ）
A. 8米B. 10米C. 18米D. 20米
【答案】B
【解析】
【分析】如图，AB为旗杆，AC为旗杆在地上的影长12米，CD为旗杆落在墙上的影长2米，延长AC，BD交于点E，由题意知，AE是旗杆在地上的影长，可知，有，由于1米长的直立的竹竿的影长为1.5米，可知，故有，计算求解，和的值即可．
【详解】解：如图，AB为旗杆，AC为旗杆在地上的影长12米，CD为旗杆落在墙上的影长2米，延长AC，BD交于点E
由题意知，AE是旗杆在地上的影长
∴
∵1米长的直立的竹竿的影长为1.5米
∴
∴
解得：
∴
∴
故选B．
【点睛】本题考查了三角形相似的应用．解题的关键在于利用三角形相似求解．
6. 在平行四边形中，的角平分线把边分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形的周长为（ ）
A. 13或14B. 26或28C. 13D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是先根据平行四边形的性质和平行线的性质求出，根据等腰三角形的判定得出，分两种情况讨论：当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：设的平分线交于点E，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当，时，如图1，

则，，
∴；
当，时，如图2，

则，，
∴，
∴平行四边形的周长为26或28，
故选：B．
7. 如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，的度数为60°，则∠B+∠D的度数是（ ）

A. 180°B. 120°C. 100°D. 150°
【答案】D
【解析】
【分析】连接AB，先求得∠ABE=30°，根据圆内接四边形的性质得出∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°，即可求得∠EBC+∠D=150°．
【详解】解：如图，连接AB，
∵为60°
∴∠ABE=30°
∵点A，B，C，D在⊙O上
∴四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠ABC+∠ADC=180°
∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°
∴∠EBC+∠D=180°-∠ABE=180°-30°=150°
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构建内接四边形是解题的关键．
8. 如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（ ）
A. B. 3C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长．
【详解】解：∵D为斜边AC中点，F为CE中点，DF＝2，
∴AE＝2DF＝4，
∵AE＝AD，
∴AD＝4，
在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，
∴BD＝AC＝AD＝4，
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出AD的长．
9. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（ ）
A. B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，过点M、N作以点O为圆心，∠MON=90°的圆，则点P在所作的圆上，观察圆O所经过的格点，找出到点M距离最大的点即可求出．
【详解】作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=MN，以O为圆心，OM为半径作圆，如图，
因为OQ为MN垂直平分线且OQ=MN，所以OQ=MQ=NQ，
∴∠OMQ=∠ONQ=45°，
∴∠MON=90°，
所以弦MN所对的圆O的圆周角为45°，
所以点P在圆O上，PM为圆O的弦，
通过图像可知，当点P在位置时，恰好过格点且经过圆心O，
所以此时最大，等于圆O的直径，
∵BM＝4，BN＝2，
∴，
∴MQ=OQ=，
∴OM=，
∴，
故选 C．
【点睛】此题考查了圆的相关知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径是圆上最大的弦，会灵活用已知圆心角和弦作圆是解题的关键．
10. 如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F， 交于点G，若，则的长是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，由题干所给条件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cs∠AGP=，即可得到FG的长；
【详解】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，
由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点，
∴BE=2，
又∵，
∴BH=1，即H是BE中点，
∴AB=AE=4，
又∵AF是∠DAE的角平分线，，
∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG，
又∵，，
∴PF=AD=4，
设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，
∵，
∴∠AGP=∠AEB=∠B，
∴cs∠AGP===，
解得x=；
故选B．
【点睛】本题考查菱形的性质、角平分线的性质、平行线的性质和解直角三角形，熟练掌握角平分线的性质和解直角三角形的方法是解决本题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 已知为锐角，且，则度数等于________度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
根据特殊角的三角函数值解决问题即可．
【详解】解：，为锐角，
，
故答案为：．
12. 已知点M为线段的黄金分割点，且，若，则____．
【答案】##
【解析】
【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长．
【详解】解：∵点M为线段的黄金分割点，且，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查黄金分割的定义，解题的关键是熟知把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
13. 如果圆锥的高为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面积公式可进行求解．
【详解】∵圆锥的高为3，母线长为5，
∴由勾股定理得，底面半径，
∴底面周长，
∴侧面展开图的面积．
故答案为．
【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积计算公式，熟练掌握公式是解题的关键．
14. 如图，为半圆的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点在半圆上，斜边过点，一条直角边交该半圆于点．若，则弧的长为_____．
【答案】π
【解析】
【分析】本题考查的是圆周角定理，掌握弧长公式是解答此题的关键．连接，根据圆周角定理可得出，根据弧长公式即可得出结论．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
弧的长．
故答案为：．
15. 如图，，点在射线上的动点，连接，作，，动点在延长线上，，连接，，当，时，的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作CN⊥BE于N，过点D作DM⊥CN延长线于M，连接EM，设BN=x，则CN =3x，由△ACN≌△CDM可得AN=CM=10+x，CN=DM=3x，由点C、M、D、E四点共圆可得△NME是等腰直角三角形，于是NE=10-2x，由勾股定理求得AC可得CE，在Rt△CNE中由勾股定理建立方程求得x，进而可得BE；
【详解】解：如图，过点C作CN⊥BE于N，过点D作DM⊥CN延长线于M，连接EM，
设BN=x，则CN=BN•tan∠CBN=3x，
∵△CAD，△ECD都是等腰直角三角形，
∴CA=CD，EC=ED，∠EDC=45°，
∠CAN+∠ACN=90°，∠DCM+∠ACN=90°，则∠CAN=∠DCM，
在△ACN和△CDM中：∠CAN=∠DCM，∠ANC=∠CMD=90°，AC=CD，
∴△ACN≌△CDM（AAS），
∴AN=CM=10+x，CN=DM=3x，
∵∠CMD=∠CED=90°，
∴点C、M、D、E四点共圆，
∴∠CME=∠CDE=45°，
∵∠ENM=90°，
∴△NME是等腰直角三角形，
∴NE=NM=CM-CN=10-2x，
Rt△ANC中，AC=，
Rt△ECD中，CD=AC，CE=CD，
Rt△CNE中，CE2=CN2+NE2，
∴，
，
，
x=5（舍去）或x=，
∵BE=BN+NE=x+10-2x=10-x，
∴BE=；
故答案为：；
【点睛】本题考查了三角函数，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，一元二次方程等知识；此题综合性较强，正确作出辅助线是解题关键．
16. 三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”（标号2—9）转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形CDEF和四边形DGMN都是平行四边形，AC=BC=13cm，DE=2cm，DN=1cm．
（1）若关闭折伞后，点A、E、H三点重合，点B与点M重合，则BN=_________；
（2）在（1）的条件下，折伞完全撑开时，∠BAC=75°，则点H到伞柄AB距离是_________．
（参考数据：，，，结果精确到）
【答案】 ①. 23 ②. 69.8
【解析】
【分析】（1）根据点A、E、H三点重合，得到AF=EF=11，利用平行四边形的性质，即可求解；
（2）作出如图的辅助线，解直角三角形求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形CDEF是平行四边形，
∴CF=DE=2cm，
∵AC=BC=13cm，
∴AF=AC-CD=11(cm)，
又∵关闭折伞后，点A、E、H三点重合，
∴AF=EF=11(cm)，CD=EF=11(cm)，
又∵DN=1cm，
∴CN=CD-DN=10(cm)，
∴BN=BC+CN=23(cm)；
故答案为：23；
（2）如图：连接AH，过点F作FP⊥AE于点P，过点G作GQ⊥EH于点Q，过点C作CL⊥AB于点L，过点M作MK∥AH与过点H作MK的垂线于点K，
由（1）知：AF=EF=11(cm)，则AP=EP，
∵∠BAC=75°，
∴∠PFA=75°，
∴AP=AF sin 75°11×0.97=10.67(cm)，
∴AE=2AP=21.34(cm)，
在Rt△ACL中，cs∠BAC=，
∵∠BAC=75°，AC=13cm，
∴AL13×0.26=3.38(cm)，AB=2AL=6.76(cm)，
∵AB∥PF，
∴∠AFP=∠BAC=75°，
由题意知：GH=GE，
∴∠GHE=∠GEH=15°，
∵AH∥MK，
∴∠HMK=∠GHE=15°，
∴∠MHK=75°，
又∵HK=AB=6.76(cm)，
在Rt△MHK中，cs∠MHK=，
∴MH26(cm)，
又∵DN=1cm，四边形DGMN是平行四边形，
∴DN=GM=1cm，
∴GH=MH-MG=25(cm)，
又∵∠QGH=∠MHK=75°，
在Rt△QGH中，sin∠QGH=，
∴QH24.25(cm)，EH=2QH=48.5(cm)，
∴AH=AE+EH=21.34+48.569.8(cm)，
∴点H到伞柄AB距离69.8cm．
故答案为：69.8．
【点睛】本题考查了解直角三角形，平行四边形的性质，该题是一个比较常规的解直角三角形问题，建立模型是解题的关键．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17. 计算或解不等式组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入特殊角的三角函数值，利用负整数指数幂、二次根式的化简分别计算，最后进行加减法计算即可；
（2）利用一元一次不等式的解法分别求出两个不等式的解，再求公共部分即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
解第一个不等式得：，
解第二个不等式得：，
所以不等式组的解集为：．
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的化简、一元一次不等式组的解法，掌握以上知识点是解答此题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中x是方程的根．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解法，熟练掌握分式的运算法则以及一元二次方程的解法是解答本题的关键．
根据分式的运算法则进行化简，然后解方程求出的值，最后将的值代入原式即可求出答案．
【详解】解：原式
，
又∵可化为，得：，
∴当时，原式．
19. 年中央电视台兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿，图是平面示意图．若舞者上半身为米，下半身为米，下半身与水平面的夹角，与上半身的夹角，求此时舞者的垂直高度约为多少米．（参考数据：，，，结果精确到米）

【答案】舞者的垂直高度约为米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过作于， 作于，得到，四边形为矩形，根据矩形的性质得到，，求得，解直角三角形即可得到结论，正确地找出辅助线是解题的关键．
【详解】如图，过作于， 作于，

∴，，
∴，四边形为矩形，
∴，
中，，米，
∴(米)，
同理：(米)，
∴(米)，
答：舞者的垂直高度约为米．
20. 某校为了解学生对“宪法”的了解程度，做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．不了解；B．基本了解；C．比较了解；D．非常了解．根据调查统计结果，绘制了如下二种不完整的统计图请，结合统计图，回答下列问题：
（1）求扇形统计图中扇形D的圆心角度数，并补全条形统计图．
（2）该校为提高学生对“宪法”的了解程度，准备开展关于“宪法”的知识竞赛，九（5）班欲从3名男生和1名女生中任选2人参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中“1男1女”的概率．
【答案】（1）；见详解
（2）恰好选中“1男1女”概率是
【解析】
【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列树状图法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）根据的人数以及百分比即可求得总人数， 根据的人数和总人数即可求得的百分比，D的百分比，即可算出扇形D的圆心角度数，再算出C的人数和D的人数， 然后补全统计图即可；
（2）根据列树状图法求概率即可求解．
【小问1详解】
解：本次参与调查的学生共有(人)．
B百分比，
D百分比，
扇形统计图中扇形D的圆心角度数为，
C的人数人，
D的人数人，
补全条形统计图如图：
【小问2详解】
解：列树状图如图：
共有12种情况，“1男1女”有6种情况，
故恰好选中“1男1女”的概率．
21. 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标是，点B的纵坐标是．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）请直接写出不等式的解集：________________；
（3）C为x轴正半轴上一点，连接AC，BC．若的面积是16，求点C的坐标．
【答案】（1），
（2）或者
（3）
【解析】
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数，即可求出反比例函数解析式，再根据B的纵坐标求出B的坐标，最后利用待定系数法即可求解一次函数解析式；
（2）不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，结合图象即可作答；
（3）先求出一次函数与x轴的交点D的坐标，即有，根据，可得，即：，解方程即可求解．
【小问1详解】
将点A的坐标代入反比例函数，
可得：，解得：，
∴，反比例函数的解析式为：，
∵点B的纵坐标是，
∴，解得：，
∴点B的坐标是，
将点B的坐标是，点A的坐标代入一次函数，
可得：，
解得：，
∴一次函数解析式为：；
【小问2详解】
∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，
∴不等式的解集为：或者；
【小问3详解】
设一次函数与x轴相交于点D，如图，

当时，，
解得：，
即点D的坐标为：，
根据题意设点C的坐标为：，且，
∴，
∵，
∴，
即：，
解得：，
故C点坐标为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象与性质，待定系数法以及结合图象求解不等式解集的知识，注重数形结合，是解答本题的关键．
22. 如图，正五边形内接于，是直径，以点F为圆心，长为半径作圆弧，与相交于点M，N，连结．
（1）若，求弧的长；
（2）从点A开始，以长为半径，在上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值．
【答案】（1）
（2）15
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆、等边三角形的性质和判定、弧长公式等知识点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）先计算出的度数，然后根据弧长公式计算即可；
（2）根据题意和（1）中的结果，计算出的度数，然后即可计算出的值．
【小问1详解】
解：连接，如图，
由题意可得：，
∴是等边三角形，
∴，
同理可得，
，
故，
∵五边形是正五边形，
，
，
，
同理，，
∴，
，
∴，
，
，
∴；
【小问2详解】
解：如图，连接，
由（1）可得，
，
，
，
，
，
∴的值是15．
23. 如图，在平面直角坐标系中，，Px,y为平面坐标系中一点且．
（1）求证：；
（2）x轴上一点有，求取得最小值时点的坐标．
【答案】（1）证明见详解
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据两点间的距离公式及完全平方公式求解即可；
（2）根据绝对值的性质及坐标内点的坐标性质求解即可．
【小问1详解】
证明：，，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
当时，取得最小值，
当时，点在线段的垂直平分线上，
，，
点的横坐标为，即，
由（1）知，，
，
，
当时，无解，
当时，，
综上，取得最小值时点的坐标为或．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了两点间的距离公式、绝对值的性质及坐标系内点的坐标性质等知识点，熟练运用有关知识是解题的关键．
24. 如图，以AB为直径的与相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦交于点D，连结，点A关于CD的对称点为E，直线CE交于点F，交于点G．
（1）求证：；
（2）当点E在AB上时，连结交CD于点P，若，求的值；
（3）当点E在射线AB上，，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）设CD与AB相交于点M，由与相切于点A，得到，由，得到和，进而得到，由平行线的性质推导得，，最后由点A关于的对称点为E得到，结合圆周角定理得即可证明．
（2）过F点作于点K，设AB与CD交于点N，连接，证明得到，再证明得到；最后根据及得到和，最后根据平行线分线段成比例求解．
（3）分四种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，如图3中，当时，如图4中，当时，分别求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，设CD与AB相交于点M，
∵与相切于点A，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵点A关于的对称点为E，
∴，
∵，
∴．
则；
【小问2详解】
解：过F点作于点K，设AB与CD交于点N，连接，如下图所示：
由同弧所对的圆周角相等可知：，
∵为的直径，且，由垂径定理可知：，
∴，
∵点A关于的对称点为E，
∴，
∴，即，
∴，
由同弧所对的圆周角相等可知：，且，
∴，
∴，
∵，AB与CD交于点N，
∴．
∵，，
∴，
∴，设，，
∵点A关于的对称点为E，
，，，
又，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：分类讨论如下：
如图1，当时，连接，，设，则，
∵，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
∵，
，
，
；
如图2，当时，连接，设交点．
设，
∵，
，
，
，，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
；
如图3，当时，连接，，
设，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
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如图4，当时，连接，，．
设，
∵，
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由，
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．
综上所述，满足条件的的长为或或或，
【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判断和性质，等腰三角形的判定和性质，同弧所对的圆周角相等，垂径定理以及对称的性质等，解题的关键是掌握圆的相关知识和分类讨论思想的应用．