43-2024年广西中考数学试卷

这是一份43-2024年广西中考数学试卷，共24页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ）
A．北京﹣4.6℃B．上海5.8℃C．天津﹣3.2℃D．重庆8.1℃
2．（3分）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）广西壮族自治区统计局发布的数据显示，2023年全区累计接待国内游客8.49亿人次．将849000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.849×109B．8.49×108C．84.9×107D．849×106
4．（3分）榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是（ ）
A．1B．C．D．
6．（3分）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为（2，1），则点Q的坐标为（ ）
A．（3，0）B．（0，2）C．（3，2）D．（1，2）
8．（3分）激光测距仪L发出的激光束以3×105km/s的速度射向目标M，t s后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离d km与时间t s的关系式为（ ）
A．d＝tB．d＝3×105t
C．d＝2×3×105tD．d＝3×106t
9．（3分）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，若x1＜0＜x2，则有（ ）
A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．0＜y1＜y2
10．（3分）如果a+b＝3，ab＝1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）
A．0B．1C．4D．9
11．（3分）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ）
A．++＝1B．++＝100
C．3x+4x+5x＝1D．3x+4x+5x＝100
12．（3分）如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点．连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（ ）
A．1B．2C．5D．10
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。）
13．（2分）已知∠1与∠2为对顶角，∠1＝35°，则∠2＝ °．
14．（2分）写出一个比大的整数，可以是 ．
15．（2分）八桂大地孕育了丰富的药用植物．某县药材站把当地药市交易的400种药用植物按“草本、藤本、灌木、乔木”分为四类，绘制成如图所示的统计图，则藤本类有 种．
16．（2分）不等式7x+5＜5x+1的解集为 ．
17．（2分）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 cm．
18．（2分）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝ m．
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．（6分）计算：（﹣3）×4+（﹣2）2．
20．（6分）解方程组：．
21．（10分）某中学为了解七年级女同学定点投篮水平，从中随机抽取20名女同学进行测试，每人定点投篮5次，进球数统计如表：
（1）求被抽取的20名女同学进球数的众数、中位数、平均数；
（2）若进球数为3以上（含3）为“优秀”，七年级共有200名女同学，请估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＞BC．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）所作的图中，连接BE，若AB＝8，求BE的长．
23．（10分）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水．
浓度关系式：d后＝，其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：kg）．
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%．
【动手操作】请按要求完成下列任务：
（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？
（2）如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
24．（10分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC．点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE并延长至点F，使DE＝EF，连接AF．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）求证：AF与⊙O相切；
（3）若tan∠BAC＝，BC＝12，求⊙O的半径．
25．（10分）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y＝x2+2ax+a﹣3的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出a＝﹣4，求二次函数y＝x2+2ax+a﹣3的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成如表：
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x＝﹣a，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值”
（2）请结合函数解析式y＝x2+2ax+a﹣3，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
26．（10分）如图1，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6．AC的垂直平分线分别交AC，AB于点M，O，CO平分∠ACB．
（1）求证：△ABC∽△CBO；
（2）如图2，将△AOC绕点O逆时针旋转得到△A'OC'，旋转角为α（0°＜α＜360°）．连接A′M，C′M．
①求△A'MC'面积的最大值及此时旋转角α的度数，并说明理由；
②当△A'MC'是直角三角形时，请直接写出旋转角α的度数．
2024年广西中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）
1．（3分）下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ）
A．北京﹣4.6℃B．上海5.8℃C．天津﹣3.2℃D．重庆8.1℃
【分析】根据﹣4.6℃＜﹣3.2℃＜5.8℃＜8.1℃，即可得出结果．
【解答】解：∵﹣4.6℃＜﹣3.2℃＜5.8℃＜8.1℃，
∴气温最低的是北京﹣4.6℃，
故选：A．
【点评】本题考查的是有理数大小比较，正负数，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
2．（3分）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形不都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的两条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念及性质，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）广西壮族自治区统计局发布的数据显示，2023年全区累计接待国内游客8.49亿人次．将849000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.849×109B．8.49×108C．84.9×107D．849×106
【分析】根据科学记数法—表示较大的数的方法即可作答．
【解答】解：849000000＝8.49×108．
故选：B．
【点评】本题主要考查科学记数法—表示较大的数，熟练掌握用科学记数法表示较大的数的方法是解题的关键．
4．（3分）榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案．
【解答】解：从正面看，可得选项A的图形．
故选：A．
【点评】此题考查了简单组合体的三视图，用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
5．（3分）不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是（ ）
A．1B．C．D．
【分析】据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：∵袋子中装有3个球，其中有1个红球、2个白球，
∴从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率为：．
故选：D．
【点评】本题主要考查了概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
6．（3分）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
【分析】由于钟表的指针恰好是2点整，时针指向2，分针指向12，根据钟面被分成12大格，每大格为30度得到此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数＝2×30°．
【解答】解：钟表的指针恰好是2点整，时针指向2，分针指向12，所以此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数＝2×30°＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查了钟面角．解题的关键是掌握钟面角的知识：钟面被分成12大格，每大格为30度；分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为（2，1），则点Q的坐标为（ ）
A．（3，0）B．（0，2）C．（3，2）D．（1，2）
【分析】根据平面直角坐标系中点Q的位置即可得出答案．
【解答】解：点Q的坐标为（3，2）．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，解题的关键是熟练掌握点的坐标的表示方法．
8．（3分）激光测距仪L发出的激光束以3×105km/s的速度射向目标M，t s后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离d km与时间t s的关系式为（ ）
A．d＝tB．d＝3×105t
C．d＝2×3×105tD．d＝3×106t
【分析】本题利用路程＝速度×时间，即可作答．
【解答】解：激光由L到M的时间为，
光速为3×105km/s，
则L到M的距离d＝×3×105＝．
故选：A．
【点评】本题主要考函数关系式，熟练掌握路程＝速度×时间是解题的关键．
9．（3分）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，若x1＜0＜x2，则有（ ）
A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．0＜y1＜y2
【分析】根据反比例函数所在的象限即可判断．
【解答】解：∵2＞0，
∴反比例函数y＝的图象在一、三象限，
∵x1＜0＜x2，
∴y1＜0＜y2，
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据k值判断反比例函数图象所在的象限是解题的关键．
10．（3分）如果a+b＝3，ab＝1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）
A．0B．1C．4D．9
【分析】先利用提公因式法和公式法将原式变形为ab（a+b）2，再将a+b＝3，ab＝1整体代入计算即可．
【解答】解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴原式＝a3b+2a2b2+ab3
＝ab（a2+2ab+b2）
＝ab（a+b）2
＝1×32
＝9，
故选：D．
【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
11．（3分）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ）
A．++＝1B．++＝100
C．3x+4x+5x＝1D．3x+4x+5x＝100
【分析】根据题意列出方程式，整理即可得出答案．
【解答】解：设出租的田有x亩，根据题意得，
×1+×1+×1＝100，
整理得，++＝100．
故选：B．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，找到等量关系是解题的关键．
12．（3分）如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点．连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（ ）
A．1B．2C．5D．10
【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质求得四边形MNPQ的边长，从而即可求得四边形MNPQ的面积．
点评
【解答】解：正方形的边长为5，则CD＝5，CF＝2.5，
由勾股定理得，DF＝，
由题意得△DQG∽△DFC，
：．DQ：QG＝CD：CF＝2：1，得
DQ＝2QG＝，
∵E，F，G，H分别为各边中点．
∴DQ＝PQ＝
∴四边形MNPQ的面积＝，
故选：C．
【点评】本题利用了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求解．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。）
13．（2分）已知∠1与∠2为对顶角，∠1＝35°，则∠2＝ 35 °．
【分析】根据对顶角的定义即可作答．
【解答】解：∵∠1与∠2为对顶角，∠1＝35°，
∴∠2＝∠1＝35°．
故答案为：35．
【点评】本题主要考查对顶角和邻补角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键．
14．（2分）写出一个比大的整数，可以是 2（答案不唯一） ．
【分析】根据，即1＜2，因此即可得出结果．
【解答】解：∵，
∴1＜2，
∴比大的整数是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握其估算方法是解题的关键．
15．（2分）八桂大地孕育了丰富的药用植物．某县药材站把当地药市交易的400种药用植物按“草本、藤本、灌木、乔木”分为四类，绘制成如图所示的统计图，则藤本类有 80 种．
【分析】用总数量×藤本类所占的百分比即可得出答案．
【解答】解：400×20%＝80（种），
故答案为：80．
【点评】本题主要考查百分比的应用，熟练掌握百分数的灵活应用是解题的关键．
16．（2分）不等式7x+5＜5x+1的解集为 x＜﹣2 ．
【分析】先移项、再合并同类项，系数为1即可求解．
【解答】解：7x+5＜5x+1，
7x﹣5x＜1﹣5，
2x＜﹣4，
x＜﹣2．
故答案为：x＜﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
17．（2分）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 cm．
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，易知四边形ABCD为平行四边形，AE＝AF＝3cm，∠ADF＝∠ABE＝60°，可证△ADF≌△ABE（AAS），得到AD＝AB，可证四边形ABCD为菱形．在Rt△ADF中，AD＝＝，因此四边形ABCD的周长为：＝cm．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵两张纸条宽度均为3cm，
∴四边形ABCD为平行四边形，且AE＝AF＝3cm，
∴∠ADF＝∠ABE＝60°，
∴△ADF≌△ABE（AAS），
∴AD＝AB，
∴四边形ABCD为菱形，
在Rt△ADF中，∠ADF＝60°，AF＝3cm，
∴AD＝＝，
四边形ABCD的周长为：＝cm．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，解直角三角形等知识．
18．（2分）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝ m．
【分析】以O为坐标原点，OM为x轴正半轴，OP为y轴正半轴，建立直角坐标系，由题意可知，P（0，），B（5，4），其中B点为抛物线顶点，
设抛物线顶点式为：y＝a（x﹣5）2+4，将P（0，）代入上式，求出a的值，进而求出抛物线表达式，最后将y＝0代入表达式中即可得出答案．
【解答】解：如图，以O为坐标原点，OM为x轴正半轴，OP为y轴正半轴，建立直角坐标系，
由题意可知，P（0，），B（5，4），其中B点为抛物线顶点，
设抛物线顶点式为：y＝a（x﹣5）2+4，
将P（0，）代入上式，
解得：a＝﹣，
即抛物线的解析式式为：y＝﹣（x﹣5）2+4，
M为抛物线与x轴的交点，
即y＝﹣（x﹣5）2+4＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣（舍），
∴OM＝m．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，建立合适的直角坐标系是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．（6分）计算：（﹣3）×4+（﹣2）2．
【分析】根据有理数的混合运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣12+4
＝﹣8．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
20．（6分）解方程组：．
【分析】利用加减消元法求解即可．
【解答】解：，
①+②，得2x＝4，解得x＝2；
①﹣②，得4y＝2，解得y＝；
∴方程组的解为．
【点评】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
21．（10分）某中学为了解七年级女同学定点投篮水平，从中随机抽取20名女同学进行测试，每人定点投篮5次，进球数统计如表：
（1）求被抽取的20名女同学进球数的众数、中位数、平均数；
（2）若进球数为3以上（含3）为“优秀”，七年级共有200名女同学，请估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数．
【分析】（1）利用统计表，进而得出平均数、众数和中位数；
（2）利用样本中优秀率，再估计总体优秀人数．
【解答】解：（1）女生进球数的众数为：1；
∵第10，11个数据都是2，则其平均数为：2，
∴女生进球数的中位数为：2，
由统计表可得，女生进球数的平均数为：（0×1+1×8+2×6+3×3+4×1+5×1）÷20＝1.9（个），
（2）样本中优秀率为：，
故七年级共有女生200人，“优秀”等级的女生为：200×＝50（人），
答：估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数约为50人．
【点评】本题主要考查了中位数、众数以及利用样本估计总体和算术平均数求法，掌握相应的定义是解题关键．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＞BC．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）所作的图中，连接BE，若AB＝8，求BE的长．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）证明△BDE是等腰直角三角形，可得结论．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）∵DE垂直平分线段AB，
∴EB＝EA，
∴∠EBA＝∠A＝45°，
∴∠BEA＝90°，
∵BD＝DA，
∴DE＝DB＝DA＝AB＝4，
∴BE＝BD＝4．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
23．（10分）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水．
浓度关系式：d后＝，其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：kg）．
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%．
【动手操作】请按要求完成下列任务：
（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水？
（2）如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
【分析】（1）把 d后＝0.01%，d前＝0.2%，代入 ，求出w即可；
（2）经过两次计算，求出d后；
（3）由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，所以从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．
【解答】解：（1）把 d后＝0.01%，d前＝0.2%，代入 ，
得 ，
解得w＝9.5．经检验符合题意，
∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5kg清水；
（2）第一次漂洗：把w＝2kg，d前＝0.2% 代入 ，
∴，
第二次漂洗：把 w＝2kg，d前＝0.04% 代入 ，
∴，
而0.008%＜0.01%，
∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
（3）由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，
∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．
【点评】本题考查了实际生活中函数的应用，理解题目意思是解题的关键．
24．（10分）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC．点D，E分别是BC，AC的中点，连接DE并延长至点F，使DE＝EF，连接AF．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）求证：AF与⊙O相切；
（3）若tan∠BAC＝，BC＝12，求⊙O的半径．
【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质得到DC＝AF，∠EDC＝∠F，利用内错角相等两直线平行的性质得到BC∥AF，利用线段中点的定义得到BD＝AF，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形的性质解答即可得出结论；
（2）连接AD，利用等腰三角形的三线合一的性质得到AD垂直平分BC，利用（1）的结论得到DA⊥AF，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
（3）连接OB，OC，OD，利用等腰三角形的 三线合一的性质得到OD⊥BC，∠BOD＝∠BOC，利用圆周角定理得到∠BOD＝∠BAC，则tan∠BOD＝，求得OD后再利用勾股定理解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，
∴BD＝DC，AE＝EC，
在△EDC和△EFA中，
，
∴△EDC≌△EFA（SAS），
∴DC＝AF，∠EDC＝∠F，
∴BC∥AF，BD＝AF，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）证明：连接AD，如图，
∵AB＝AC，BD＝DC
∴AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AD经过圆心O，
由（1）知：AF∥BC，
∴DA⊥AF，
∵OA为⊙O半径，
∴AF与⊙O相切；
（3）解：连接OB，OC，OD，如图，
∵OB＝OC，BD＝CD＝BC＝6，
∴OD⊥BC，∠BOD＝∠BOC，
∵∠BAC＝BOC，
∴∠BOD＝∠BAC．
∵tan∠BAC＝，
∴tan∠BOD＝，
∵tan∠BOD＝，
∴，
∴OD＝8，
∴OB＝＝10，
∴⊙O的半径为10．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的切线的判定定理，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．
25．（10分）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y＝x2+2ax+a﹣3的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出a＝﹣4，求二次函数y＝x2+2ax+a﹣3的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成如表：
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x＝﹣a，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值”
（2）请结合函数解析式y＝x2+2ax+a﹣3，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
【分析】（1）①a＝﹣4，y＝x2+2ax+a﹣3＝x2﹣8x﹣7；
②当x＝﹣＝4时，y取得最小值，即可求解；
（2）1＞0，故函数有最小值，即可求解
（3）当x＝﹣a时，y＝x2+2ax+a﹣3＝﹣a2+a﹣3，﹣1＜0，故y有最大值，即可求解．
【解答】解：（1）①a＝﹣4，y＝x2+2ax+a﹣3＝x2﹣8x﹣7；
②当x＝﹣＝4时，y取得最小值为：16﹣32﹣7＝﹣23；
（2）合理，理由：
∵1＞0，故函数有最小值，
当x＝﹣＝﹣a时，y取得最小值，
故甲同学的说法合理；
（3）正确，理由：
当x＝﹣a时，y＝x2+2ax+a﹣3＝﹣a2+a﹣3，
∵﹣1＜0，故y有最大值，
当a＝时，y的最大值为：﹣+﹣3＝﹣．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质、函数最值得求解等，熟悉函数的性质是解题的关键．
26．（10分）如图1，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6．AC的垂直平分线分别交AC，AB于点M，O，CO平分∠ACB．
（1）求证：△ABC∽△CBO；
（2）如图2，将△AOC绕点O逆时针旋转得到△A'OC'，旋转角为α（0°＜α＜360°）．连接A′M，C′M．
①求△A'MC'面积的最大值及此时旋转角α的度数，并说明理由；
②当△A'MC'是直角三角形时，请直接写出旋转角α的度数．
【分析】（1）从问题出发，证△ABC∽△CBO，两个三角形有一个公共角，所以只需证一角相等即可，由题干很容易得出∠ACO＝∠BCO＝∠A，即可得证；
（2）△A'MC'的底是定长，所以只要找到高的最大值就可求出面积最值，当N、H重合时MH取最大值，此时最大值为OM+ON＝4，即可求解；
（3）首先有条件可知只有可能是∠A'MC'＝90°，由特殊三角形和旋转的性质大胆猜测当点C'与A重合时和当A'与C重合时满足∠A'MC'＝90°，进而求旋转角即可．
【解答】（1）证明：∵OM垂直平分AC，
∴OA＝OC，∠A＝∠ACO，
∵CO平分∠ACB，
∴∠ACO＝∠BCO＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△CBO．
（2）解：①∵∠ACO＝∠BCO＝∠A，∠B＝90°，
∴：∠ACO＝∠BCO＝∠A＝30°，
在Rt△ABC中，AB＝6，
∴AC＝＝4，
∴AM＝2，
∴OM＝AM•tan30°＝2，
如图3，作MH⊥A'C'于点H，ON⊥A'C'于点N，连接MN，
在△AOC旋转的过程中，对应边AC＝A'C'＝4，对应高OM＝ON＝2，
在Rt△MHN中，MH＜MN，
在△OMN中，MN＜OM+ON，
∴MH＜MN＜OM+ON，
如图4，当N、H重合时MH取最大值，此时最大值为OM+ON＝4，
∴S△A'MC'＝A'C'•MH＝8，即△A'MC'面积最大值是8，
此时M、O、N三点共线，α＝∠MON＝180°．
②在旋转得过程中，等腰三角形AOC的形状、大小不变，∠AOC＝∠A'OC'＝120°，
∵MC′≤MO+OC'＝MO+OC＝6＜4＝A'C'，同理MA'≤6＜A'C'，
∴△A'MC'中只有可能∠A'MC'＝90°，
∵OM垂直平分AC，
∴MA＝MC，∠AMO＝90°，
（Ⅰ）如图5，当点C'与A重合时，A'恰好在MO的延长线上，满足∠A'MC'＝90°，此时α＝120°；
（Ⅱ）如图6，当A'与C重合时，点C'恰好在MO的延长线上，满足∠A'MC'＝90°，此时α＝240°．
综上，当△A'MC'是直角三角形时，α为120°或240°．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定、含有30°的直角三角形、旋转的性质、几何动点问题等知识点，掌握相关基础知识是解题的关键，其中在最后一文中大胆的想象和猜测也是一种解题策略．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/13 14:20:09；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.cm；学号：39221433进球数
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