63-2024年四川省雅安市中考数学试卷

这是一份63-2024年四川省雅安市中考数学试卷，共28页。

A．2024B．﹣2024C．D．
2．（3分）计算（1﹣3）0的结果是（ ）
A．﹣2B．0C．1D．4
3．（3分）下列几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+3b＝4abB．（a2）3＝a5C．a3•a2＝a6D．a5÷a＝a4
5．（3分）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB于O，若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
A．55°B．45°C．35°D．30°
6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（1，﹣1）向右平移2个单位后，得到的点P1关于x轴的对称点坐标是（ ）
A．（1，1）B．（3，1）C．（3，﹣1）D．（1，﹣1）
8．（3分）如图，⊙O的周长为8π，正六边形ABCDEF内接于⊙O．则△OAB的面积为（ ）
A．4B．C．6D．
9．（3分）某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（ ）
A．众数是92B．中位数是84.5
C．平均数是84D．方差是13
10．（3分）已知+＝1（a+b≠0）．则＝（ ）
A．B．1C．2D．3
11．（3分）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（ ）
A．25米B．25米C．25米D．50米
12．（3分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有两实根x1＝﹣1，x2＝3，且abc＞0，则下列结论中正确的有（ ）
①2a+b＝0；
②抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，）；
③a＜0；
④若m（am+b）＜4a+2b，则0＜m＜1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接填写在答题卡相应的横线上。
13．（3分）使式子有意义的x的取值范围是 ．
14．（3分）将﹣2，，π，0，，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是 ．
15．（3分）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示H＝ ．
①杯子底部到杯沿底边的高h；
②杯口直径D；
③杯底直径d；
④杯沿高a．
16．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝40°，将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD∥BC时，∠BAE的度数是 ．
17．（3分）如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F，若AB＝6，BC＝8，则cs∠ABF的值是 ．
三、解答题（本大题共7个小题、共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.
18．（12分）（1）计算：﹣（）﹣1+（﹣5）×|﹣|；
（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2．
19．（8分）某中学对八年级学生进行了教育质量监测，随机抽取了参加15米折返跑的部分学生成绩（成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级），并绘制了不完整的统计图（如图所示）．根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整；
（2）若该校八年级学生有300人，试估计该校八年级学生15米折返跑成绩不合格的人数；
（3）从所抽取的优秀等级的学生A、B、C、D、E中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到A、B两位同学的概率．
20．（8分）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△ODE≌△OBF；
（2）当EF⊥BD时，DE＝15cm，分别连接BE，DF．求此时四边形BEDF的周长．
21．（9分）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．
（1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
（2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y＝的图象交于M（，4），N（n，1）两点．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）求△OMN的面积；
（3）若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时，求点P的坐标．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若sin∠B＝，求证：AC＝AP；
（3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6，求AD的长．
24．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且∠CQD＝2∠OCQ．在y轴上是否存在点E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年四川省雅安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题的四个选项中，有且仅有一个是正确的.
1．（3分）2024的相反数是（ ）
A．2024B．﹣2024C．D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【解答】解：2024的相反数是﹣2024，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（3分）计算（1﹣3）0的结果是（ ）
A．﹣2B．0C．1D．4
【分析】根据零指数幂的运算性质进行计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣2）0＝1．
故选：C．
【点评】本题考查零指数幂，掌握“任何不为零的零次幂等于1”是正确解答的关键．
3．（3分）下列几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据主视图的特点解答即可．
【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意；
B、圆柱的主视图是矩形，故此选项不符合题意；
C、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条虚线，故此选项不符合题意；
D、正方体的主视图为正方形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+3b＝4abB．（a2）3＝a5C．a3•a2＝a6D．a5÷a＝a4
【分析】根据同类项的定义，幂的乘方与积的乘方，同底数幂乘除法的计算方法逐项进行判断即可．
【解答】解：A．a与3b不是同类项，不能合并运算，因此选项A不符合题意；
B．（a2）3＝a6，因此选项B不符合题意；
C．a3•a2＝a5，因此选项C不符合题意；
D．a5÷a＝a4，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查同类项，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂乘除法，掌握同类项的定义，幂的乘方与积的乘方，同底数幂乘除法的计算方法是正确解答的关键．
5．（3分）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB于O，若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
A．55°B．45°C．35°D．30°
【分析】已知OE⊥AB，∠1＝35°，可得∠AOC的度数，因为对顶角∠2＝∠AOC，即得∠2的度数．
【解答】解：∵OE⊥AB，∠1＝35°，
∴∠AOC＝55°，
∴∠2＝∠AOC＝55°，
故选：A．
【点评】本题考查了垂线、对顶角的性质，关键是掌握垂线、对顶角的性质．
6．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x﹣2≥4，得：x≥2，
解不等式2x＜x+6，得：x＜6，
则不等式组的解集为2≤x＜6，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（1，﹣1）向右平移2个单位后，得到的点P1关于x轴的对称点坐标是（ ）
A．（1，1）B．（3，1）C．（3，﹣1）D．（1，﹣1）
【分析】直接利用平移的性质得出对应点坐标，再利用关于x轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵将点P（1，﹣1）向右平移2个单位后，
∴平移后的坐标为（3，﹣1），
∴得到的点P1关于x轴的对称点坐标是（3，1）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质以及平移的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
8．（3分）如图，⊙O的周长为8π，正六边形ABCDEF内接于⊙O．则△OAB的面积为（ ）
A．4B．C．6D．
【分析】根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】解：设半径为r，由题意得，2πr＝8π，
解得r＝4，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是正三角形，
∴弦AB所对应的弦心距为OA＝2，
∴S△AOB＝×4×2＝4．
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
9．（3分）某校开展了红色经典故事演讲比赛，其中8名同学的成绩（单位：分）分别为：85，81，82，86，82，83，92，89．关于这组数据，下列说法中正确的是（ ）
A．众数是92B．中位数是84.5
C．平均数是84D．方差是13
【分析】找出这组数据中出现次数最多的即为众数，这组数据排列后找出最中间的两个数求出平均数即为中位数，求出这组数据的平均数，利用方差公式求出方差，判断即可．
【解答】解：排列得：81，82，82，83，85，86，89，92，
出现次数最多是82，即众数为82；
最中间的两个数为83和85，平均数为84，即中位数为84；
（81+82+82+83+85+86+89+92）÷8＝85，即平均数为85；
×[（81﹣85）2+2（82﹣85）2+（83﹣85）2+（85﹣85）2+（86﹣85）2+（89﹣85）2+（92﹣85）2]
＝×（16+18+4+1+16+49）
＝13，即方差为13．
故选：D．
【点评】此题考查了方差，算术平均数，中位数，以及众数，熟练掌握各自的计算方法是解本题的关键．
10．（3分）已知+＝1（a+b≠0）．则＝（ ）
A．B．1C．2D．3
【分析】由已知条件可得a+2b＝ab，将其代入中计算即可．
【解答】解：∵+＝1（a+b≠0），
∴＝1，
∴a+2b＝ab，
∴
＝
＝
＝2，
故选：C．
【点评】本题考查分式的加减，分式的值，结合已知条件求得a+2b＝ab是解题的关键．
11．（3分）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（ ）
A．25米B．25米C．25米D．50米
【分析】设DC＝x米，在Rt△ACD中，利用锐角三角函数定义表示出AC，在Rt△BCD中，利用锐角三角函数定义表示出BC，再由AC﹣BC＝AB＝50列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值即可．
【解答】解：设DC＝x米，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，
tanA＝，即tan30°＝＝，
整理得：AC＝x米，
在Rt△BCD中，∠DBC＝60°，
tan∠DBC＝，即tan60°＝＝，
整理得：BC＝x米，
∵AB＝50米，
∴AC﹣BC＝50，即x﹣x＝50，
解得：x＝25，
则这栋楼的高度为25米．
故选：A．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
12．（3分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有两实根x1＝﹣1，x2＝3，且abc＞0，则下列结论中正确的有（ ）
①2a+b＝0；
②抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，）；
③a＜0；
④若m（am+b）＜4a+2b，则0＜m＜1．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】依据题意，由ax2+bx+c＝0有两实根x1＝﹣1，x2＝3，可得，从而可得8a+4b＝0，即2a+b＝0，故可判断①；又抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝1，进而抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（1，a+b+c），再结合a＝﹣，b＝﹣2a＝c，可得a+b+c＝c，故可判断②；依据题意可得c＝﹣3a，又b＝﹣2a，abc＞0，进而可得abc＝a•（﹣2a）•（﹣3a）＝6a3＞0，从而可以判断③；由m（am+b）＜4a+2b，故am2+bm+c＜4a+2b+c，即对于函数y＝ax2+bx+c，当x＝m时的函数值小于当x＝2时的函数值，再结合a＞0，抛物线的对称轴是直线x＝1，从而根据二次函数的性质即可判断④．
【解答】解：由题意，∵ax2+bx+c＝0有两实根x1＝﹣1，x2＝3，
∴．
∴②﹣①得，8a+4b＝0．
∴2a+b＝0，故①正确．
∴b＝﹣2a．
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝1．
∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（1，a+b+c）．
又b＝﹣2a，a﹣b+c＝0，
∴3a+c＝0，即a＝﹣．
∴b＝﹣2a＝c．
∴a+b+c＝c．
∴顶点坐标为（1，c），故②正确．
∵3a+c＝0，
∴c＝﹣3a．
又b＝﹣2a，abc＞0，
∴abc＝a•（﹣2a）•（﹣3a）＝6a3＞0．
∴a＞0，故③错误．
∵m（am+b）＜4a+2b，
∴am2+bm+c＜4a+2b+c．
∴对于函数y＝ax2+bx+c，当x＝m时的函数值小于当x＝2时的函数值．
∵a＞0，抛物线的对称轴是直线x＝1，
又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
∴|m﹣1|＜2﹣1．
∴﹣1＜m﹣1＜1．
∴0＜m＜2，故④错误．
综上，正确的有①②共2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、根的判别式、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接填写在答题卡相应的横线上。
13．（3分）使式子有意义的x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵式子有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
14．（3分）将﹣2，，π，0，，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是 ．
【分析】找出6张卡片中有理数的个数，除以6即可确定出所求事件的概率．
【解答】解：在﹣2，，π，0，，3.14这6个数中，
有理数为：﹣2，，0，3.14，共4个数，
则P（卡片上的数为有理数）＝＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式，实数，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．解题的关键是找到6个数中有理数的情况数．
15．（3分）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示H＝ h+an ．
①杯子底部到杯沿底边的高h；
②杯口直径D；
③杯底直径d；
④杯沿高a．
【分析】如图可知，纸杯叠放在一起后的总高度H＝杯子底部到杯沿底边的高h+杯子数量n×杯沿高a，列式即可．
【解答】解：如图可知，纸杯叠放在一起后的总高度H＝杯子底部到杯沿底边的高h+杯子数量n×杯沿高a，
∴H＝h+an，
故答案为：h+an．
【点评】本题考查的是数字的变化规律，熟练找出题目中字母间的变量关系是解题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝40°，将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD∥BC时，∠BAE的度数是 30°或150° ．
【分析】当点D在点A的左侧时，由等腰三角形的性质求出∠ABC＝65°，由平行线的性质可求出∠BAD＝70°，则可求出答案；当点D在点A的右侧时，根据∠BAE＝∠BAC+∠DAC+∠DAE可求出答案．
【解答】解：当点D在点A的左侧时，如图1所示．
∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝70°．
∵AD∥BC，
∴∠BAD＝∠ABC＝70°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝70°﹣40°＝30°．
当点D在点A的右侧时，如图2所示．
∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝70°．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝70°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠DAC+∠DAE＝40°+70°+40°＝150°．
∴当AD∥BC时，∠BAE的度数为30°或150°．
故答案为：30°或150°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
17．（3分）如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F，若AB＝6，BC＝8，则cs∠ABF的值是 ．
【分析】折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，易证BF＝DF，再利用Rt△ABF求出边长，从而求解即可．
【解答】解：∵折叠，
∴∠DBC＝∠DBF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠DBF＝∠ADB，
∴BF＝DF，
∴AF＝AD﹣DF＝8﹣BF，
在Rt△ABF中，AB2+AF2＝BF2，
∴62+（8﹣BF）2＝BF2，
解得BF＝，
∴cs∠ABF＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、折叠问题等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
三、解答题（本大题共7个小题、共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.
18．（12分）（1）计算：﹣（）﹣1+（﹣5）×|﹣|；
（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2．
【分析】（1）先化简二次根式、负整数指数幂和绝对值，然后根据有理数的加减法计算即可；
（2）先计算分式的减法，再计算分式的除法进行化简，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2+（﹣5）×
＝3﹣2﹣1
＝0；
（2）原式＝•
＝•
＝，
当a＝2时，
原式＝＝．
【点评】本题考查了负整数指数幂，实数的混合运算，分式的化简求值等知识点，能正确根据分式的运算法则和实数的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
19．（8分）某中学对八年级学生进行了教育质量监测，随机抽取了参加15米折返跑的部分学生成绩（成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级），并绘制了不完整的统计图（如图所示）．根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整；
（2）若该校八年级学生有300人，试估计该校八年级学生15米折返跑成绩不合格的人数；
（3）从所抽取的优秀等级的学生A、B、C、D、E中，随机选取两人去参加即将举办的学校运动会，请利用列表或画树状图的方法，求恰好抽到A、B两位同学的概率．
【分析】（1）根据成绩为良好的人数除以占的百分比求出调查的总人数，进而求出不合格的人数，补全条形统计图即可；
（2）由样本中成绩不合格的百分比估计总体中成绩不合格的百分比，乘以300即可得到结果；
（3）列出得出所有等可能的情况数，找出恰好抽到A、B两位同学的情况数，即可求出恰好抽到A、B两位同学的概率．
【解答】解：（1）根据题意得：12÷40%＝30（人），
∴不合格的为：30﹣（5+12+10）＝3（人），
补全条形统计图，如图所示：
（2）根据题意得：300×＝30（人），
则该校八年级学生15米折返跑成绩不合格的人数约为30人；
（3）列表如下：
所有等可能的情况有20种，其中恰好抽到A、B两位同学的情况数为2种，
则P（恰好抽到A、B两位同学）＝＝．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，以及条形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键．
20．（8分）如图，点O是▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△ODE≌△OBF；
（2）当EF⊥BD时，DE＝15cm，分别连接BE，DF．求此时四边形BEDF的周长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥CB，则∠OED＝∠OFB，而∠DOE＝∠BOF，OD＝OB，即可根据“AAS”证明△ODE≌△OBF；
（2）由△ODE≌△OBF，得DE＝BF，而DE∥BF，所以四边形BEDF是平行四边形，因为EF⊥BD，所以四边形BEDF是菱形，则DF+BF+BE+DE＝4DE＝60cm，于是得到问题的答案．
【解答】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AD∥CB，
∴∠OED＝∠OFB，
∵点O是▱ABCD对角线的交点，
∴OD＝OB，
在△ODE和△OBF中，
，
∴△ODE≌△OBF（AAS）．
（2）解：连接BE，DF，
由（1）得△ODE≌△OBF，
∴DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形，
∴DF＝BF＝BE＝DE＝15cm，
∴DF+BF+BE+DE＝4DE＝4×15＝60（cm），
∴四边形BEDF的周长为60cm．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识，推导出∠OED＝∠OFB，OD＝OB，进而证明△ODE≌△OBF是解题的关键．
21．（9分）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前15天完成铺设任务．
（1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？
（2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元．该公司原计划最多应安排多少名工人施工？
【分析】（1）设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道（1+25%）x，根据原计划的时间＝实际的时间+15列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设该公司原计划应安排y名工人施工，根据工作时间＝工作总量÷工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可．
【解答】解：（1）设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道（1+25%）x＝1.25x米，
根据题意得：+15＝，
解得：x＝40，
经检验x＝40是分式方程的解，且符合题意，
∴1.25x＝50，
则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米；
（2）设该公司原计划应安排y名工人施工，3000÷40＝75（天），
根据题意得：300×75y≤180000，
解得：y≤8，
∴不等式的最大整数解为8，
则该公司原计划最多应安排8名工人施工．
【点评】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y＝的图象交于M（，4），N（n，1）两点．
（1）求反比例函数及一次函数的表达式；
（2）求△OMN的面积；
（3）若点P是y轴上一动点，连接PM，PN．当PM+PN的值最小时，求点P的坐标．
【分析】（1）依据题意，由M（，4）在反比例函数y＝上，可得k的值，进而求出反比例函数，再将N代入求出N的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（2）依据题意，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，由直线l为y＝﹣2x+5，可得A（，0），B（0，5），故OA＝，OB＝5，再由S△OMN＝S△AOB﹣S△AON﹣S△BOM＝×AO×BO﹣×AO•yN﹣×BO×xM，进而计算可以得解；
（3）依据题意，作点M关于y轴的对称点M'，连接M'N交y轴于点P，则PM+PN的最小值等于M'N的长，结合M（，4）与M'关于y轴对称，故M'为（﹣，4），又N（2，1），可得直线M′N为y＝﹣x+，再令x＝0，则y＝，进而可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵M（，4）在反比例函数y＝上，
∴k＝×4＝2．
∴反比例函数表达式为y＝．
又N（n，1）在反比例函数y＝上，
∴n＝2．
∴N（2，1）．
设一次函数表达式为y＝ax+b，
∴．
∴a＝﹣2，b＝5．
∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+5．
（2）由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，
又直线l为y＝﹣2x+5，
∴A（，0），B（0，5）．
∴OA＝，OB＝5．
∴S△OMN＝S△AOB﹣S△AON﹣S△BOM＝×AO×BO﹣×AO•yN﹣×BO×xM
＝××5﹣××1﹣×5×
＝．
（3）由题意，如图，作点M关于y轴的对称点M'，连接M'N交y轴于点P，则PM+PN的最小值等于M'N的长．
∵M（，4）与M'关于y轴对称，
∴M'为（﹣，4）．
又N（2，1），
∴直线M′N为y＝﹣x+．
令x＝0，则y＝，
∴P（0，）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA＝∠B．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若sin∠B＝，求证：AC＝AP；
（3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6，求AD的长．
【分析】（1）如图，连接OC，根据AB是⊙O的直径，可知∠ACB＝90°，根据OB＝OC，可得∠B＝∠BCO，再根据∠PCA＝∠B，可知OC⊥PC，故PC是⊙O的切线；
（2）根据sin∠B＝，可知∠B＝30°，则∠PCA＝30°，根据∠ACB＝90°，则∠CAB＝60°，可得∠P＝30°，故∠PCA＝∠P，可证AC＝AP；
（3）设AD＝x，在Rt△ACB中，CD⊥AB，可得CD2＝AD×BD＝6x，易证△PAC∽△PCB，故PC2＝PA•PB＝4（6+4+x）＝4（10+x），在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2+CD2＝PC2，即（4+x）2+6x＝4（10+x），求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCO+∠OCA＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠BCO，
∵∠PCA＝∠B，
∴∠PCA＝∠BCO，
∴∠PCA+∠OCA＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）证明：∵sin∠B＝，
∴∠B＝30°，
∴∠PCA＝∠B＝30°，
由（1）知∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠P＝∠CAB﹣∠PCA＝30°，
∴∠PCA＝∠P，
∴AC＝AP；
（3）设AD＝x，
在Rt△ACB中，CD⊥AB，
∴CD2＝AD×BD＝6x，
∵∠P＝∠P，∠PCA＝∠B，
∴△PAC∽△PCB，
∴，
∴PC2＝PA•PB＝4（6+4+x）＝4（10+x），
在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2+CD2＝PC2，
即（4+x）2+6x＝4（10+x），
整理得x2+10x﹣24＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣12（舍去），
故AD＝2．
【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角函数等知识，熟虑掌握这些数学知识进行分析是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段PQ的长度最大时，求点Q的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且∠CQD＝2∠OCQ．在y轴上是否存在点E，使得△BDE为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由PQ＝x﹣3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x，即可求解；
（3）当∠EDB为直角时，则直线DE的表达式为：y＝﹣（x﹣5）+8，则点E（0，），由点D、E的坐标得，DE2＝52+（8﹣）2≠68，故该点E不符合题设要求；当∠EBD为直角时，同理可得，点E不符合题设要求；当∠DEB为直角时，证明△DEG≌△EOB（AAS），即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3，
则a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，3），
由点B、C的坐标得，直线CB的表达式为：y＝x﹣3，
设点P（x，x2﹣4x+3），则点Q（x，x﹣3），
则PQ＝x﹣3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，
此时x＝，则y＝x2﹣4x+3＝﹣，
即点Q（，﹣）；
（3）存在，理由：
由点C、Q的坐标得，直线CQ的表达式为：y＝﹣x﹣3，
过点Q作TQ∥y轴交x轴于点T，则∠TQA＝∠QCO，
∵∠CQD＝2∠OCQ，∠TQA＝∠QCO，
则∠CQT＝∠QQT，
即直线AQ和DQ关于直线QT对称，
则直线DQ的表达式为：y＝（x﹣）﹣，
联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣4x+3＝（x﹣）﹣，
解得：x＝（舍去）或5，
即点D（5，8）；
由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为：y＝4（x﹣5）+8，BD2＝68，
当∠EDB为直角时，
则直线DE的表达式为：y＝﹣（x﹣5）+8，
则点E（0，），
由点D、E的坐标得，DE2＝52+（8﹣）2≠68，
故该点E不符合题设要求；
当∠EBD为直角时，
同理可得，点E不符合题设要求；
当∠DEB为直角时，
如下图，过点D作DG⊥y轴于点G，
∵△BDE为等腰三角形，
则DE＝BE，∠DEB＝90°，
∵∠DEG+∠BEO＝90°，∠BEO+∠EBO＝90°，
∴∠DEG＝∠EBO，
∵∠DGE＝∠EOB＝90°，
∴△DEG≌△EOB（AAS），
则DG＝5＝OE，GE＝OB＝3，
而OG＝OE+GE＝5+3＝8＝yD，
即点E（0，5）．
综上，E（0，5）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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B
C
D
E
A
﹣﹣﹣
（A，B）
（A，C）
（A，D）
（A，E）
B
（B，A）
﹣﹣﹣
（B，C）
（B，D）
（B，E）
C
（C，A）
（C，B）
﹣﹣﹣
（C，D）
（C，E）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
﹣﹣﹣
（D，E）
E
（E，A）
（E，B）
（E，C）
（E，D）
﹣﹣﹣