65-2024年辽宁省中考数学试卷

这是一份65-2024年辽宁省中考数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表：
其中最低海拔最小的大洲是（ ）
A．亚洲B．欧洲C．非洲D．南美洲
3．（3分）越山向海，一路花开．在5月24日举行的2024辽宁省高品质文体旅融合发展大产业招商推介活动中，全省30个重大文体旅项目进行集中签约，总金额达532亿元．将53200000000用科学记数法表示为（ ）
A．532×108B．53.2×109C．5.32×1010D．5.32×1011
4．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝2a5B．a2•a3＝a6
C．（a2）3＝a5D．a（a+1）＝a2+a
6．（3分）一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（ ）
A．摸出白球B．摸出红球C．摸出绿球D．摸出黑球
7．（3分）纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有x只，兔有y只，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．16
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，6）B．（﹣2，6）C．（﹣3，6）D．（﹣4，6）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）方程的解为 ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为A（2，﹣1），B（1，0），将线段AB平移后，点A的对应点A′的坐标为（2，1），则点B的对应点B′的坐标为 ．
13．（3分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1：4，若AB＝6，则CD的长为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 ．
15．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＞AB，AD＝a，AB＝10，以点A为圆心，以AB长为半径作弧，与BC相交于点E，连接AE．以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与EA，EC相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AEC的内部相交于点P，作射线EP，与AD相交于点F，则FD的长为 （用含a的代数式表示）．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（10分）（1）计算：；
（2）计算：．
17．（8分）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为36m3．工作期间需同时排水，乙池的排水速度是8m3/h．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．
（1）求甲池的排水速度．
（2）工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于24m3，那么最多可以排水几小时？
18．（8分）某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：D：60≤x＜70，C：70≤x＜80，B：80≤x＜90，A：90≤x≤100），部分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89．
请根据以上信息，解答下列问题；
（1）求所抽取的学生成绩为C等级的人数；
（2）求所抽取的学生成绩的中位数；
（3）该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
19．（8分）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，明理由．
20．（8分）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝60°，停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．
（1）求AB的长；
（2）求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
21．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在上，，点E在BA的延长线上，∠CEA＝∠CAD．
（1）如图1，求证：CE是⊙O的切线；
（2）如图2，若∠CEA＝2∠DAB，OA＝8，求的长．
22．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α（0°＜α＜45°）．将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）如图1，求证：△ABC≌△CED．
（2）如图2，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F，连接DF，DF的延长线与CB的延长线相交于点P，猜想PC与PD的数量关系，并加以证明．
（3）如图3，在（2）的条件下，将△BFP沿AF折叠，在α变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接EF．
①求证：点F是PD的中点；
②若CD＝20，求△CEF的面积．
23．（13分）已知y1是自变量x的函数，当y2＝xy1时，称函数y2为函数y1的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A（m，n），称点B（m，mn）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1的“升幂函数”y2的图象上．
例如：函数y1＝2x，当时，则函数是函数y1＝2x的“升幂函数”．
在平面直角坐标系中，函数y1＝2x的图象上任意一点A（m，2m），点B（m，2m2）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1＝2x的“升幂函数”的图象上．
（1）求函数的“升幂函数”y2的函数表达式．
（2）如图1，点A在函数的图象上，点A“关于y1的升幂点”B在点A上方，当AB＝2时，求点A的坐标．
（3）点A在函数y1＝﹣x+4的图象上，点A“关于y1的升幂点”为点B，设点A的横坐标为m．
①若点B与点A重合，求m的值；
②若点B在点A的上方，过点B作x轴的平行线，与函数y1的“升幂函数”y2的图象相交于点C，以AB，BC为邻边构造矩形ABCD，设矩形ABCD的周长为y，求y关于m的函数表达式；
③在②的条件下，当直线y＝t1与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为E，F，G，当直线y＝t2与函数y的图象的交点有2个时，从左到右依次记为M，N，若EF＝MN，请直接写出t2﹣t1的值．
2024年辽宁省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．
【解答】解：从上边看，底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，左齐．
故选：A．
【点评】本题主要考查了几何体的三视图，俯视图是从上面观察几何体得到的平面图形．
2．（3分）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表：
其中最低海拔最小的大洲是（ ）
A．亚洲B．欧洲C．非洲D．南美洲
【分析】根据有理数大小比较方法解答即可．
【解答】解：∵﹣415＜﹣156＜﹣40＜﹣28，
∴海拔最低的是亚洲．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较以及正数和负数，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小．
3．（3分）越山向海，一路花开．在5月24日举行的2024辽宁省高品质文体旅融合发展大产业招商推介活动中，全省30个重大文体旅项目进行集中签约，总金额达532亿元．将53200000000用科学记数法表示为（ ）
A．532×108B．53.2×109C．5.32×1010D．5.32×1011
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：53200000000＝5.32×1010，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
4．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【分析】根据平行线的性质和等边三角形的性质即可解答．
【解答】证明：∵△EBC是等边三角形，
∴∠CBE＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEB＝∠CBE＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝2a5B．a2•a3＝a6
C．（a2）3＝a5D．a（a+1）＝a2+a
【分析】利用合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、单项式乘多项式法则，逐个计算得结论．
【解答】解：a2与a3不是同类项，不能合并，故选项A计算错误；
a2•a3＝a5≠a6，故选项B计算错误；
（a2）3＝a6≠a5，故选项C计算错误；
a（a+1）＝a2+a，故选项D计算正确．
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解决本题的关键．
6．（3分）一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（ ）
A．摸出白球B．摸出红球C．摸出绿球D．摸出黑球
【分析】分别求得各个事件发生的概率，即可得出答案．
【解答】解：∵一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，共有10个球，
∴从中随机摸出一个球，摸出白球的概率为＝，
摸出红球的概率为，
摸出绿球的概率为＝，
摸出黑球的概率为．
故选：B．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．（3分）纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若直线两旁的图形能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某个点旋转180°，若旋转后的图形与原来的图形完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；据此进行判断即可．
【解答】解：A中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则A不符合题意；
B中图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，则B符合题意；
C中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，则C不符合题意；
D中图形不是轴对称图形，但它是中心对称图形，则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．
8．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有x只，兔有y只，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“上有35个头，下有94条腿”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵上有35个头，
∴x+y＝35；
∵下有94条腿，
∴2x+4y＝94．
∴根据题意可列方程组．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．16
【分析】根据平行四边形对角线互相平分得出OC、OD的长，再证明四边形OCED是平行四边形即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝，OD＝，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED的周长＝2（OC+OD）＝2×（）＝8，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题的关键．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线上，若点B的横坐标是8，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，6）B．（﹣2，6）C．（﹣3，6）D．（﹣4，6）
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B的坐标，利用两点间的距离公式，可求出OB的长，结合菱形的性质，可得出BC的长及BC∥x轴，再结合点B的坐标，即可得出点C的坐标．
【解答】解：当x＝8时，y＝×8＝6，
∴点B的坐标为（8，6），
∴OB＝＝10．
∵四边形AOBC是菱形，且AO在x轴上，
∴BC＝OB＝10，且BC∥x轴，
∴点C的坐标为（8﹣10，6），即（﹣2，6）．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征及菱形的性质，求出点B的坐标及BC的长是解题的关键．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）方程的解为 x＝3 ．
【分析】先把分式方程变形成整式方程，求解后再检验即可．
【解答】解：，
方程的两边同乘（x+2），得
5＝x+2，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解，
所以原分式方程的解为x＝3．
故答案为：x＝3．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．
12．（3分）在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别为A（2，﹣1），B（1，0），将线段AB平移后，点A的对应点A′的坐标为（2，1），则点B的对应点B′的坐标为 （1，2） ．
【分析】根据点A及点A对应点的坐标，得出平移的方向和距离，据此可解决问题．
【解答】解：因为点A坐标为（2，﹣1），且平移后对应点A′的坐标为（2，1），
所以2﹣2＝0，1﹣（﹣1）＝2，
所以1+0＝1，0+2＝2，
所以点B的对应点B′的坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．
13．（3分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1：4，若AB＝6，则CD的长为 12 ．
【分析】根据AB∥CD，得出△AOB和△DOC相似，从而得出，由此得出CD的长．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴，
∴，
∵AB＝6，
∴，
∴DC＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 4 ．
【分析】依据题意，由抛物线y＝ax2+bx+3过B（3，0），C（2，3），可得，求出a，b后可得抛物线的解析式，再求得对称轴，依据对称性可得A的坐标，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+3过B（3，0），C（2，3），
∴．
∴．
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3．
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝1．
∵抛物线与x轴的一交点为B（3，0），
∴另一交点为A（1﹣2，0），即A（﹣1，0）．
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
15．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＞AB，AD＝a，AB＝10，以点A为圆心，以AB长为半径作弧，与BC相交于点E，连接AE．以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与EA，EC相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠AEC的内部相交于点P，作射线EP，与AD相交于点F，则FD的长为 a﹣10 （用含a的代数式表示）．
【分析】利用基本作图得到AE＝AB＝10，EF平分∠AEC，接着证明∠AEF＝∠AFE得到AF＝AE＝10，然后利用FD＝AD﹣AF求解．
【解答】解：由作法得AE＝AB＝10，EF平分∠AEC，
∴∠AEF＝∠CEF，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AF＝AE＝10，
∴FD＝AD﹣AF＝a﹣10．
故答案为：a﹣10．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了列代数式、平行线的性质和角平分线的定义．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（10分）（1）计算：；
（2）计算：．
【分析】（1）先算乘方、化简二次根式，再化简绝对值算除法，最后加减；
（2）先算分式乘法，再算加法．
【解答】解：（1）
＝16﹣10+2+3﹣
＝9+；
（2）
＝•+
＝+
＝
＝1．
【点评】本题考查了实数的混合运算及分式的混合运算，掌握实数的运算法则和绝对值的意义及分式的运算法则是解决本题的关键．
17．（8分）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为36m3．工作期间需同时排水，乙池的排水速度是8m3/h．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．
（1）求甲池的排水速度．
（2）工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于24m3，那么最多可以排水几小时？
【分析】（1）设甲池的排水速度是x m3/h，根据“36﹣3×甲池的排水速度＝2×（36﹣3×乙池的排水速度）”列方程并求解即可；
（2）设排水t小时，根据“t小时后这两个水池剩余水量的和≥24”列关于t的一元一次不等式并求解即可．
【解答】解：（1）设甲池的排水速度是x m3/h．
根据题意，得36﹣3x＝2（36﹣3×8），
解得x＝4，
∴甲池的排水速度是4m3/h．
（2）设排水t小时．
根据题意，得36×2﹣（4+8）t≥24，
解得t≤4，
∴最多可以排水4小时．
【点评】本题考查一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意列一元一次方程和一元一次不等式并求解是解题的关键．
18．（8分）某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：D：60≤x＜70，C：70≤x＜80，B：80≤x＜90，A：90≤x≤100），部分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89．
请根据以上信息，解答下列问题；
（1）求所抽取的学生成绩为C等级的人数；
（2）求所抽取的学生成绩的中位数；
（3）该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
【分析】（1）用B等级组人数除以40%可得样本容量，再用样本容量减去其它三个等级的人数可得C等级的人数；
（2）根据中位数的定义解答即可；
（3）用360乘样本中成绩为A等级的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）样本容量为：12÷40%＝30，
30﹣1﹣12﹣10＝7（人），
即所抽取的学生成绩为C等级的人数为7人；
（2）所抽取的学生成绩为C等级的人数为＝85；
（3）360×＝120（人），
答：该校七年级估计成绩为A等级的人数大约为120人．
【点评】本题考查中位数以及用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．（8分）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，明理由．
【分析】（1）依据题意，设一次函数的关系式为y＝kx+b，又结合表格数据图象过（45，55），（55，45），可得，求出k，b即可得解；
（2）依据题意，销售额＝x（﹣x+100）＝﹣x2+100x，又销售额是2600元，从而可得x2﹣100x+2600＝0，又Δ＝（﹣100）2﹣4×2600＝﹣400＜0，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，设一次函数的关系式为y＝kx+b，
又结合表格数据图象过（45，55），（55，45），
∴．
∴．
∴所求函数关系式为y＝﹣x+100．
（2）由题意，销售额＝x（﹣x+100）＝﹣x2+100x，
又销售额是2600元，
∴2600＝﹣x2+100x．
∴x2﹣100x+2600＝0．
∴Δ＝（﹣100）2﹣4×2600
＝10000﹣10400
＝﹣400＜0．
∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到2600元．
【点评】本题主要一元二次方程的应用、一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
20．（8分）如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3m，∠CAB＝60°，停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°（点C，A，D在同一直线上，且直线CD与地面平行），图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．
（1）求AB的长；
（2）求物体上升的高度CE（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
【分析】（1）在Rt△ABC中，由∠CAB的度数求出∠ABC＝30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长即可；
（2）EC的长即为BD﹣BA的长，求出BD，在Rt△BCD中，利用锐角三角函数定义求出BD的长，由（1）得到AB的长，进而由BD﹣BA求出EC即可．
【解答】解：（1）如图2，在Rt△ABC中，AC＝3m，∠CAB＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝6m，
则AB的长为6m；
（2）在Rt△ABC中，AB＝6m，AC＝3m，
根据勾股定理得：BC＝＝＝3m，
在Rt△BCD中，∠CDB＝37°，sin37°≈0.60，≈1.73，
∴sin∠CDB＝，即≈0.60，
∴BD≈8.65m，
∴CE＝BD﹣BA＝8.65﹣6＝2.65≈2.7（m），
则物体上升的高度CE约为2.7m．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
21．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在上，，点E在BA的延长线上，∠CEA＝∠CAD．
（1）如图1，求证：CE是⊙O的切线；
（2）如图2，若∠CEA＝2∠DAB，OA＝8，求的长．
【分析】（1）连接OC，根据三角形外角的性质证得∠DAB＝∠ACE，根据同弧所对的圆周角相等得出∠ABC＝∠DAB，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB＝90°，即可得出∠ABC+∠OAC＝90°，再证∠OAC＝∠OCA，即可得出∠ACE+∠OCA＝90°，于是问题得证；
（2）连接OD，设∠DAB＝x，则∠CEA＝∠CAD＝2x，根据同弧所对的圆周角相等得出∠ABC＝∠DAB＝x，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB＝90°，即可得出x+2x+x＝90°，从而求出x的值，最后根据弧长公式即可得解．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵∠CAO是△ACE的一个外角，
∴∠CAO＝∠CEA+∠ACE，
即∠CAD+∠DAB＝∠CEA+∠ACE，
∵∠CEA＝∠CAD．
∴∠DAB＝∠ACE，
∵，
∴∠ABC＝∠DAB，
∴∠ABC＝∠ACE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠OAC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ABC+∠OCA＝90°，
∴∠ACE+∠OCA＝90°，
即∠OCE＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接OD，
设∠DAB＝x，
∵∠CEA＝2∠DAB，
∴∠CEA＝2x，
∵∠CEA＝∠CAD，
∴∠CAD＝2x，
∵，
∴∠ABC＝∠DAB＝x，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∴x+2x+x＝90°，
∴x＝22.5°，
即∠DAB＝22.5°，
∴∠BOD＝2∠DAB＝45°，
∵OA＝8，
∴的长为＝2π．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理及推论，弧长公式，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
22．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α（0°＜α＜45°）．将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E．
（1）如图1，求证：△ABC≌△CED．
（2）如图2，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F，连接DF，DF的延长线与CB的延长线相交于点P，猜想PC与PD的数量关系，并加以证明．
（3）如图3，在（2）的条件下，将△BFP沿AF折叠，在α变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接EF．
①求证：点F是PD的中点；
②若CD＝20，求△CEF的面积．
【分析】（1）可证得∠D+∠DCE＝90°，∠DCE+∠ACB＝90°，从而∠ACB＝∠D，进而证得△ABC≌△CED；
（2）可证得△ACF≌△DCF，从而∠A＝∠PDC，进而证得∠PDC＝∠DCE，从而得出PC＝PD；
（3）①由折叠得PF＝EF，∠P＝∠PEF，可证得∠PEF+∠DEF＝90°，∠P+∠PDE＝90°，从而∠PDE＝∠DEF，从而得出EF＝DF，进而得出PF＝DF；
②设CE＝a，BC＝DE＝b，从而BE＝BC﹣CE＝b﹣a，可证得△PBF∽△PED，
∴，从而得出PE＝2BE＝2（b﹣a），BF＝DE＝，从而S△CEF＝，在Rt△PED中，根据勾股定理得出∠PED＝90°，b2+[2（b﹣a）]2＝（2b﹣a）2，从而得出b＝3a，由∠DEC＝90°得出a2+b2＝202，从而得出a2+（3a）2＝400，进一步得出结果．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠D+∠DCE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠DEC，
∵线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，
∴∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠DCE+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠D，
∴△ABC≌△CED（AAS）；
（2）PC＝PD，理由如下：
∵CF是∠ACD的平分线，
∴∠ACF＝∠DCF，
由（1）知，
AC＝CD，△ABC≌△CED，
∴∠A＝∠DCE，
∵CF＝CF，
∴△ACF≌△DCF（SAS），
∴∠A＝∠PDC，
∴∠PDC＝∠DCE，
∴PC＝PD；
（3）①∵△BFP沿AF折叠，点P落在点E，
∴PF＝EF，∠P＝∠PEF，
∵DE⊥BC，
∴∠PED＝90°，
∴∠PEF+∠DEF＝90°，∠P+∠PDE＝90°，
∴∠PEF+∠PDE＝90°，
∴∠PDE＝∠DEF，
∴EF＝DF，
∴PF＝DF，
∴点F是PD的中点；
②解：设CE＝a，BC＝DE＝b，
∴BE＝BC﹣CE＝b﹣a，
由①知，
点F是PD的中点，
∴PF＝PD，
∵∠ABC＝∠PED＝90°，
∴BF∥DE，
∴△PBF∽△PED，
∴，
∴PE＝2BE＝2（b﹣a），BF＝DE＝b，
∴S△CEF＝＝，
∵∠PED＝90°，DE＝b，PE＝2（b﹣a），PD＝PC＝PE+CE＝2（b﹣a）+a＝2b﹣a，
∴b2+[2（b﹣a）]2＝（2b﹣a）2，
化简得，
3a2﹣4ab+b2＝0，
∴b＝a或b＝3a，
∵0°＜α＜45°，
∴a＝b舍去，
∴b＝3a，
∴S△CEF＝ab＝，
∵∠DEC＝90°，
∴a2+b2＝202，
∴a2+（3a）2＝400，
∴a2＝40，
∴S△CEF＝，
∴△CEF的面积是30．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
23．（13分）已知y1是自变量x的函数，当y2＝xy1时，称函数y2为函数y1的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A（m，n），称点B（m，mn）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1的“升幂函数”y2的图象上．
例如：函数y1＝2x，当时，则函数是函数y1＝2x的“升幂函数”．
在平面直角坐标系中，函数y1＝2x的图象上任意一点A（m，2m），点B（m，2m2）为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1＝2x的“升幂函数”的图象上．
（1）求函数的“升幂函数”y2的函数表达式．
（2）如图1，点A在函数的图象上，点A“关于y1的升幂点”B在点A上方，当AB＝2时，求点A的坐标．
（3）点A在函数y1＝﹣x+4的图象上，点A“关于y1的升幂点”为点B，设点A的横坐标为m．
①若点B与点A重合，求m的值；
②若点B在点A的上方，过点B作x轴的平行线，与函数y1的“升幂函数”y2的图象相交于点C，以AB，BC为邻边构造矩形ABCD，设矩形ABCD的周长为y，求y关于m的函数表达式；
③在②的条件下，当直线y＝t1与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为E，F，G，当直线y＝t2与函数y的图象的交点有2个时，从左到右依次记为M，N，若EF＝MN，请直接写出t2﹣t1的值．
【分析】（1）根据题意直接列出式子即可；
（2）根据条件得出y2＝3，再根据AB＝2建立方程即可；
（3）①将A、B坐标用含有m的式子表示出，再根据AB重合时，横纵坐标相等建立关于m的方程，进而求解即可；
②根据题意画出图形，再将线段用m表示出来，需要注意的是分类讨论；
③第一种情况：如果EF和MN平行且相等，那这两条平行线间得距离等于两个顶点之间的竖直高度，或者等于P、Q两点间的竖直高度，分别令m＝2和4得解，第二种情况：点M是抛物线y＝﹣2m2+6m的顶点，由M坐标推出N坐标，进而求出MN的长度，再通过MN＝EF得出F的坐标，即可求解．
【解答】（1），图象如图2所示．
（2）如图3，
∵，
设，B（m，3）．
因为点B在点A的上方，
当AB＝2时，
解得m＝3．
所以A（3，1）．
（3）①因为，
所以A（m，﹣m+4），B（m，﹣m2+4m）．
如果点B与点A重合，那么﹣m+4＝﹣m2+4m．
整理，得m2﹣5m+4＝0．
解得m＝1，或m＝4．
②由①可知，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣x2+4x有两个交点（1，3）和（4，0），
如图4所示，函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴是直线x＝2．
因为BC∥x轴，所以B、C两点关于直线x＝2对称．
如图4，当点B在点C右侧时，2＜m＜4，BC＝2（m﹣2）＝2m﹣4，
如图5，当点B在点C左侧时，1＜m＜2，BC＝2（2﹣m）＝4﹣2m，
由点B在点A的上方，得BA＝（﹣m2+4m）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+5m﹣4，
当2＜m＜4时，y＝2[（2m﹣4）+（﹣m2+5m﹣4）]＝﹣2m2+14m﹣16，
当1＜m＜2时，y＝2[（4﹣2m）+（﹣m2+5m﹣4）]＝﹣2m2+6m．
综上，y＝2m2+14m﹣16或＝﹣2m2+6m．
③情形一：如图7，如果EF和MN平行且相等，那这两条平行线间得距离等于两个顶点之间的竖直高度，或者等于P、Q两点间的竖直高度．
当m＝2时，y＝﹣2m2+6m＝4，所以P（2，4）．
当m＝4时，y＝﹣2m2+14m﹣16＝8，所以Q（4，8）．
所以t2﹣t1＝8﹣4＝4．
情形2，如图7（局部，变形处理），点M是抛物线y＝﹣2m2+6m的顶点．
由，得，
所以，
所以点F的横坐标，
于是可得，
所以．
综上，t2﹣t1＝4或3﹣2．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质、矩形的性质、二次函数与直线交点问题等，熟练掌握相关知识和正确理解题意是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/14 9:45:05；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.cm；学号：39221433大洲
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