68-2024年山东省济宁市中考数学试卷

这是一份68-2024年山东省济宁市中考数学试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．3B．C．﹣3D．﹣
2．（3分）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（ ）
A．人B．才C．强D．国
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形的边长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
5．（3分）为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（ ）
A．班主任采用的是抽样调查
B．喜爱动画节目的同学最多
C．喜爱戏曲节目的同学有6名
D．“体育”对应扇形的圆心角为72°
6．（3分）如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为（ ）
A．1B．2C．D．
7．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
8．（3分）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A．2﹣6x+2＝﹣5B．6x﹣2﹣2＝﹣5C．2﹣6x﹣1＝5D．6x﹣2+1＝5
9．（3分）如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（ ）
A．42°B．41°20'C．41°D．40°20'
10．（3分）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（ ）
A．90B．91C．92D．93
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）我国自主研发的500m口径球面射电望远镜（FAST）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为250000m2．将数250000用科学记数法表示为 ．
12．（3分）已知a2﹣2b+1＝0，则的值是 ．
13．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形．
14．（3分）将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ．
15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F．
（2）以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G．
（3）以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H．
（4）画射线AH．
（5）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M．
（6）连接MC，MB．MB分别交AC，AD于点N，P．
根据以上信息，下面五个结论中正确的是 .（只填序号）
①BD＝CD；②∠ABM＝15°③∠APN＝∠ANP；④；⑤MC2＝MN•MB．
三、解答题：本大题共7小题，共55分。
16．（6分）先化简，再求值：x（y﹣4x）+（2x+y）（2x﹣y），其中x＝，y＝2．
17．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（3，4），C（1，4）．
（1）将△ABC向下平移2个单位长度得△A1B1C1．画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标；
（2）将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°得△A2B1C2．画出旋转后的图形，并求点C1运动到点C2所经过的路径长．
18．（8分）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表
【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题．
（1）请补全条形统计图；
（2）填空：m＝ ，n＝ ；
（3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；
（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．
19．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，AD＝AC．E是⊙O外一点，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB，连接BE．
（1）若AB＝8，求AE的长；
（2）求证：EB是⊙O的切线．
20．（8分）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求这段时间内y与x之间的函数解析式；
（2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
21．（9分）综合与实践
某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形ABCD中，AB＞AD且AB足够长）进行探究活动．
【动手操作】
如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，连接EF，把纸片展平．
第二步，把四边形AEFD折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为GH，再把纸片展平．
第三步，连接GF．
【探究发现】
根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．
甲同学的结论：四边形AEFD是正方形．
乙同学的结论
（1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由．
【继续探究】
在上面操作的基础上，丙同学继续操作．
如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在AB上的点M处，折痕为GP，连接PM，把纸片展平．
第五步，连接FM交GP于点N．
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：
FN•AM＝GN•AD．
（2）请证明这个结论．
22．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（﹣b，c）两点，其中a，b，c为常数，且ab＞0．
（1）求a，c的值；
（2）若该二次函数的最小值是﹣4，且它的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE．是否存在点P，使若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
2024年山东省济宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．3B．C．﹣3D．﹣
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．
【解答】解：|﹣3|＝3，
故选：A．
【点评】本题考查的是绝对值的性质，掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0是解题的关键．
2．（3分）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（ ）
A．人B．才C．强D．国
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“建”与“国”是对面，
故选：D．
【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，掌握正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”是正确解答的关键．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据每一选项依次计算判断即可得解．
【解答】选项A：和不是同类二次根式，不能合并，不合题意；
选项B：，正确，符合题意；
选项C：＝≠1，所以C错误，不合题意；
选项D：∵≥0，
∴＝5，故D错误，不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形的边长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】根据菱形对角线互相垂直得到△AOB是直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∵E是AB的中点，
∴OE＝AB，
∵OE＝3，
∴AB＝6，
即菱形的边长为6．
故选：A．
【点评】本题主要考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．（3分）为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（ ）
A．班主任采用的是抽样调查
B．喜爱动画节目的同学最多
C．喜爱戏曲节目的同学有6名
D．“体育”对应扇形的圆心角为72°
【分析】根据全面调查和抽样调查的定义以及扇形统计图中各个部分所表示的数量和所占的百分比解答即可．
【解答】解：班主任采用的是全面调查，故选项A说法错误，不符合题意；
喜爱娱乐节目的同学最多，故选项B说法错误，不符合题意；
喜爱戏曲节目的同学有：50×6%＝3（名），故选项C说法错误，不符合题意；
“体育”对应扇形的圆心角为：360°×20%＝72°，故选项D说法错误，不符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查扇形统计图以及全面调查和抽样调查，理解扇形统计图表示各个部分所占整体的百分比是正确判断的关键．
6．（3分）如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为（ ）
A．1B．2C．D．
【分析】根据正六边形的性质以及勾股定理进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OA，OB，过点O作OM⊥AB，垂足为点M，
∵六边形ABCDEF是正六边形，点O是它的中心，
∴∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是正三角形，
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM＝AB＝1，
在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝1，
∴OM＝＝，
即它的内切圆半径为，
故选：D．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确解答的关键．
7．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数性质解答即可．
【解答】解：在反比例函数y＝中k＜0，反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵C（3，y3）在第四象限，
∴y3＜0，
∵﹣2＜﹣1，
∴0＜y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是关键．
8．（3分）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A．2﹣6x+2＝﹣5B．6x﹣2﹣2＝﹣5C．2﹣6x﹣1＝5D．6x﹣2+1＝5
【分析】原方程两边同乘2（3x﹣1）去分母即可．
【解答】解：原方程两边同乘2（3x﹣1）得2（3x﹣1）﹣2＝5，
即6x﹣2﹣2＝5
故选：A．
【点评】本题考查解分式方程﹣去分母，找到正确的最简公分母是解题的关键．
9．（3分）如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（ ）
A．42°B．41°20'C．41°D．40°20'
【分析】根据圆内接四边形对角互补得出∠A+∠BCD＝180°，再根据三角形外角的性质得出∠CDF＝∠A+∠E，∠BCD＝∠F+∠CDF，由此得到2∠A+∠F+∠E＝180°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠CDF是△ADE的外角，
∴∠CDF＝∠A+∠E，
∵∠BCD是△CDF的外角，
∴∠BCD＝∠F+∠CDF，
∴∠BCD＝∠F+∠A+∠E，
∴∠A+∠F+∠A+∠E＝180°，
∴2∠A+∠F+∠E＝180°，
∵∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，
∴2∠A+54°41'+43°19'＝180°，
∴∠A＝41°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质及三角形外角的性质，度分秒的换算，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
10．（3分）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（ ）
A．90B．91C．92D．93
【分析】根据所给图形，依次求出图形中正方形的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第一幅图中正方形的个数为：1＝12；
第二幅图中正方形的个数为：5＝12+22；
第三幅图中正方形的个数为：14＝12+22+32；
第四幅图中正方形的个数为：30＝12+22+32+42；
…，
所以第n幅图中正方形的个数为：12+22+32+…+n2，
当n＝6时，
12+22+32+…+62＝91（个），
即第六幅图中正方形的个数为91个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现正方形个数变化的规律是解题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）我国自主研发的500m口径球面射电望远镜（FAST）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为250000m2．将数250000用科学记数法表示为 2.5×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值大于1与小数点移动的位数相同．
【解答】解：250000＝2.5×105，
故答案为：2.5×105．
【点评】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法书写规则是关键．
12．（3分）已知a2﹣2b+1＝0，则的值是 2 ．
【分析】先根据已知条件求出a2+1＝2b，然后根据偶次方的非负性判断b的取值范围，最后把a2+1＝2b代入所求分式进行化简即可．
【解答】解：∵a2﹣2b+1＝0，
∴a2+1＝2b，
∵a2≥0，
∴a2+1≥1，
∴b＞0，
∴
＝
＝2．
【点评】本题主要考查了分式的值，解题关键是熟练掌握利用整体代入法求值的方法．
13．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请补充一个条件 OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD ，使四边形ABCD是平行四边形．
【分析】①当OB＝OD时，则OA＝OC，OB＝OD，进而得四边形ABCD是平行四边形；②当AD∥BC时，则∠OAC＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC，进而可依据“AAS”判定△OAD和△OCB全等，则OD＝OB，由此可得四边形ABCD是平行四边形；③AB∥CD时，∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，进而可依据“AAS”判定△OAB和△OCD全等，则OB＝OD，由此可得四边形ABCD是平行四边形，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①当OB＝OD时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
②当AD∥BC时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下：
∵AD∥BC，
∴∠OAC＝∠OCB，∠ODA＝∠OBC，
在△OAD和△OCB中，
，
∴△OAD≌△OCB（AAS），
∴OD＝OB，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
③AB∥CD时，四边形ABCD是平行四边形，证明如下：
∵AD∥BC，
∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，
在△OAB和△OCD中，
，
∴△OAB≌△OCD（AAS），
∴OB＝OD，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
综上所述：补充条件是OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD．
故答案为：OB＝OD或AD∥BC或AB∥CD．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解决问题的关键．
14．（3分）将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 k≥3 ．
【分析】根据解析式的平移规律可得平移后得到的抛物线为y＝x2﹣6x+12﹣k，抛物线与x轴有公共点，可知Δ＝b2﹣4ac≥0，由此得到关于k的不等式，解不等式即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣6x+12向下平移k个单位长度得y＝x2﹣6x+12﹣k，
∵平移后得到的抛物线与x轴有公共点，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
∴（﹣6）2﹣4×1×（12﹣k）≥0，
解得k≥3，
故答案为：k≥3．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换．根据题意得到关于k的不等式是解题的关键．
15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F．
（2）以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G．
（3）以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H．
（4）画射线AH．
（5）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M．
（6）连接MC，MB．MB分别交AC，AD于点N，P．
根据以上信息，下面五个结论中正确的是 ①②⑤ .（只填序号）
①BD＝CD；②∠ABM＝15°③∠APN＝∠ANP；④；⑤MC2＝MN•MB．
【分析】根据等腰三角形的性质即可判断出①；过M作MK⊥BC于点K，证出四边形ADKM为矩形，即可通过边的比值关系求出∠MBK＝30°，即可求出∠ABM判断②；利用三角形外角和分别求出两个角的值进行
比较即可判断③；设AP＝x，则PD＝AD﹣x，用含x的式子分别表达出AM和AD的长度后即可判断④；判定出△BMC∽△CMN即可判断⑤．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴三角形ABC为等腰直角三角形，∠ABD＝∠ACD＝45°，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×90°＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴BD＝AD＝DC，故①正确；
根据题意作图可得：∠MAC＝∠ABD＝45°，BM＝BC，
过M作MK⊥BC于点K，则∠MKB＝90°，如图：
∵AD是△ABC的角平分线，由三线合一可得：AD⊥BC，即∠ADC＝90°，
∵∠DAM＝∠DAC+∠MAC＝45°+45°＝90°，
∴∠DAM＝∠MKB＝∠ADC＝90°，
∴四边形ADKM为矩形，
∴MK＝AD＝BC＝BM，
∴∠MBK＝30°，
∴∠ABM＝∠ABD﹣∠MBK＝45°﹣30°＝15°，故②正确；
∵∠APN＝∠ABM+∠BAD＝15°+45°＝60°，∠ANP＝∠MBK+∠DAC＝30°+45°＝75°，
∴∠APN≠∠ANP，故③错误；
设AP＝x，则PD＝AD﹣x，
∵AM∥BC，
∴∠AMB＝∠MBC＝30°，
∴tan∠AMB＝tan30°＝＝＝，即AM＝x，
tan∠MBC＝tan30°＝＝＝，即AD＝，
∴＝＝﹣1，故④错误；
∵∠BMC＝∠BCM＝＝＝75°，
∵∠MNC＝∠ANP＝75°，
∴∠MNC＝∠BCM，
又∵∠BMC＝∠CMN，
∴△BMC∽△CMN，
∴MC：MN＝MB：MC，
∴MC2＝MN•MB，故⑤正确；
综上所述，正确的有：①②⑤；
故答案为：①②⑤．
【点评】本题为尺规作图几何综合题，涉及到了等腰三角形的性质即判定，矩形的判定，含30度角的直角三角形的定义，锐角三角函数的比值关系，相似三角形的判定及性质等知识点，灵活运用角的等量代换是解题的关键．
三、解答题：本大题共7小题，共55分。
16．（6分）先化简，再求值：x（y﹣4x）+（2x+y）（2x﹣y），其中x＝，y＝2．
【分析】原式利用单项式乘多项式法则，平方差公式计算，去括号合并同类项得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝（xy﹣4x2）+（4x2﹣y2）
＝xy﹣4x2+4x2﹣y2
＝xy﹣y2，
当x＝，y＝2时，原式＝×2﹣22＝1﹣4＝﹣3．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
17．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（3，4），C（1，4）．
（1）将△ABC向下平移2个单位长度得△A1B1C1．画出平移后的图形，并直接写出点B1的坐标；
（2）将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°得△A2B1C2．画出旋转后的图形，并求点C1运动到点C2所经过的路径长．
【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）根据旋转的性质作图可得△A2B1C2；利用弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，点B1的坐标为（3，2）．
（2）如图，△A2B1C2即为所求．
点C1运动到点C2所经过的路径长为＝π．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、平移变换、轨迹，熟练掌握旋转的性质、平移的性质、弧长公式是解答本题的关键．
18．（8分）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．
八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表
【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题．
（1）请补全条形统计图；
（2）填空：m＝ 91 ，n＝ 92.5 ；
（3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；
（4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．
【分析】（1）找出八年级（3）班得90分和95分的人数，补全条形统计图即可；
（2）求出八年级（1）班学生得分的平均分和中位数即可；
（3）比较两个班的平均数，中位数，众数，以及方差，判断即可；
（4）
【解答】解：（1）补全条形统计图，如图所示：
（2）根据题意得：m＝×（85+95+100+90+90+80+85+90+80+100+80+85+95+90+95+95+95+95+100+95）＝91；
从小到大排列得：80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，95，95，95，95，95，95，95，100，100，100，
最中间的两个为90和95，n＝×（90+95）＝92.5；
故答案为：91，92.5；
（3）我认为八年级（1）班成绩更好一些，理由为：
平均数两个班相同，中位数和众数方面（1）班优于（3）班，方差方面（3）班优于（1）班，
综上所述，八年级（1）班成绩更好一些；
（4）八年级（1）班三位满分同学记作1，2，3，（3）班两位同学满分记作4，5，
列表如下：
所有等可能的情况有20种，其中所抽取的2名学生恰好在同一个班级的情况有（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（4，5），（5，4）共8种，
则P（所抽取的2名学生恰好在同一个班级）＝＝．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，条形统计图，中位数，众数，方差，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
19．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，AD＝AC．E是⊙O外一点，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB，连接BE．
（1）若AB＝8，求AE的长；
（2）求证：EB是⊙O的切线．
【分析】（1）利用ASA证得△ADE≌△ACB，即可得出AE＝AB＝8；
（2）连接BO并延长交⊙O于点F，先根据直径所对的圆周角是直角得出∠BAF＝90°，于是得出∠AFB+∠ABF＝90°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠AFB＝∠ACB，进而得出∠ACB+∠ABF＝90°，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理证得∠ACB＝∠ABE，于是问题得证．
【解答】（1）解：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD，
即∠EAD＝∠BAC，
又∵∠ADE＝∠ACB，AD＝AC，
∴△ADE≌△ACB（ASA），
∴AE＝AB，
∵AB＝8，
∴AE＝8；
（2）证明：如图，连接BO并延长交⊙O于点F，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFB+∠ABF＝90°，
∵∠AFB＝∠ACB，
∴∠ACB+∠ABF＝90°，
在△ADC中，AD＝AC，
∴∠ACB＝∠ADC，
∴2∠ACB+∠CAD＝180°，
由（1）知AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴2∠ABE+∠BAE＝180°，
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠ACB＝∠ABE，
∴∠ABE+∠ABF＝90°，
即∠OBE＝90°，
∵OB为半径，
∴EB是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理及推论，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
20．（8分）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求这段时间内y与x之间的函数解析式；
（2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）依据题意，设一次函数的解析式为y＝kx+b，又过（100，300），（120，200），可得方程组，计算即可得解；
（2）依据题意得，，故100≤x≤116，又商场获得的利润＝（x﹣80）（﹣5x+800）＝﹣5（x﹣120）2+8000，结合﹣5＜0，100≤x≤116，进而可以计算得解．
【解答】解：（1）由题意，设一次函数的解析式为y＝kx+b，
又过（100，300），（120，200），
∴．
∴．
∴所求函数解析式为y＝﹣5x+800．
（2）由题意得，，
∴100≤x≤116．
∵商场获得的利润＝（x﹣80）（﹣5x+800）
＝﹣5x2+1200x﹣64000
＝﹣5（x﹣120）2+8000，
又﹣5＜0，100≤x≤116，
∴当x＝116时，利润最大，最大值为7920．
答：当销售单价为116时，商场获得利润最大，最大利润是7920元．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用、二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
21．（9分）综合与实践
某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形ABCD中，AB＞AD且AB足够长）进行探究活动．
【动手操作】
如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，连接EF，把纸片展平．
第二步，把四边形AEFD折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为GH，再把纸片展平．
第三步，连接GF．
【探究发现】
根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论．
甲同学的结论：四边形AEFD是正方形．
乙同学的结论
（1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由．
【继续探究】
在上面操作的基础上，丙同学继续操作．
如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在AB上的点M处，折痕为GP，连接PM，把纸片展平．
第五步，连接FM交GP于点N．
根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：
FN•AM＝GN•AD．
（2）请证明这个结论．
【分析】（1）根据折叠可知甲同学的结论正确，通过构造直角三角形，设参数，将∠AFG所在的直角三角形边长表示出来，从而得出乙的结论也正确；
（2）现根据折叠证四边形FGMP是菱形，再证△GFN∽△PGQ得到FN•PQ＝GN•GQ，最后证出AM＝PQ，GQ＝AD，利用等线段转化即可得证．
【解答】（1）解：甲同学和乙同学的结论都正确，证明如下，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BAD＝90°，
∵折叠，
∴∠D＝∠AEF＝90°＝∠DAE，AD＝AE，
∴四边形AEFD是矩形，
∴四边形AEFD是正方形；
故甲同学的结论正确．
作GK⊥AE，
设AE＝2x，则AG＝EG＝x，
∵四边形AEFD是正方形，
∴∠EAF＝45°，
∴AF＝2x，AK＝KG＝AG＝x，
∴FK＝AF﹣AK＝x，
∴tan∠AFG＝＝；
故乙同学的说法也正确．
（2）证明：方法一：过G作GQ⊥PM交延长线于点Q，
∵折叠，
∴FP＝PM，FG＝GM，GH＝GQ，∠FPG＝∠MPG，PH＝PQ，
∵AB∥CD，
∴∠FPG＝∠PGM，
∴∠PGM＝∠MPG，
∴PM＝GM，
∴PF＝GM＝PM＝FG，
∴四边形FGMP是菱形，
∴∠FNG＝90°，
∵∠GQP＝90°＝∠FNG，∠FGN＝∠GPQ，
∴△GFN∽△PGQ，
∴＝，
∴FN•PQ＝GN•GQ，
∵AM＝AG+GM＝HF+FP＝PH，
∴AM＝PQ，
∵GQ＝GH＝AD，
∴FN•AM＝GN•AD．
方法二：连接DM，证△ADM∽△NFG也可．
【点评】本题主要考查折叠的性质、正方形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、菱形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
22．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（0，﹣3），（﹣b，c）两点，其中a，b，c为常数，且ab＞0．
（1）求a，c的值；
（2）若该二次函数的最小值是﹣4，且它的图象与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE．是否存在点P，使若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将已知两点代入到解析式进行计算分析即可得解；
（2）①将第一问求出的a、c代入配成顶点式即可得到含b的最小值，再根据题中条件建立方程即可求出b值，最后求二次函数与x轴交点，令y＝0即可得解；
②分两种情况讨论，点P在点A的左右两侧，再利用△PCE和△BCE都是以CE为底的三角形，求出PG的长度，从而得到PH解析式，联立求解即可．
【解答】解：（1）∵函数过（0，﹣3），（﹣b，c）
∴c＝﹣3，ab2﹣b2+c＝c，
∴（a﹣1）b2＝0，
∵ab＞0，
∴a≠0，b≠0，
∴a﹣1＝0，
∴a＝1．
（2）①由（1）知该函数的解析式为：y＝x2+bx﹣3＝（x+）2﹣，
∵a＝1＞0，
∴当x＝﹣时，函数最小值为y＝﹣，
∵二次函数最小值为﹣4，
∴﹣＝﹣4，
解得b＝±2，
∵ab＞0，
∴b＝2，
∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3，
令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴点A坐标（﹣3，0），点B坐标（1，0）．
②Ⅰ，当点P在点A右侧时，如图，过B作BF⊥AC于点F，过P作PG⊥AC于点G，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），B（1，0），
∴OA＝OC＝3，OB＝1，
∴AB＝OA+OB＝4，AC＝3，
∵S△ABC＝，
∴BF＝＝2，
∵△PCE和△BCE都是以CE为底的三角形，
∴＝＝，
∴PG＝，
过P作PH∥AC交y轴于点H，过C作CK⊥PH，则CK＝PG＝，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝45°，
∴∠CHK＝45°，
∴CH＝CK＝，
∴OH＝，
∴点H坐标（0，﹣），
∴直线PH解析式为y＝﹣x﹣，
联立方程组可得，
解得，，
∴P点坐标为（，）或（，）．
Ⅱ，当点P在点A左侧时，过P作PH∥AC交y轴于点H，
同第一种情况的方法可得H（0，﹣）
∴直线PH解析式为y＝﹣x﹣，
联立方程组得，
解得（舍），，
∴P点坐标为（，）．
综上，P点坐标为（，）或（，）或（，）．
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数最值问题、二次函数与x轴交点问题、二次函数与直线交点问题等内容，难度中等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/17 11:57:01；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.cm；学号：39221433分数
80
85
90
95
100
人数
3
3
a
b
3
统计量班级
平均数
中位数
众数
方差
八年级（1）班
m
n
95
41.5
八年级（3）班
91
90
p
26.5
分数
80
85
90
95
100
人数
3
3
a
b
3
统计量班级
平均数
中位数
众数
方差
八年级（1）班
m
n
95
41.5
八年级（3）班
91
90
p
26.5
1
2
3
4
5
1
﹣﹣﹣
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
2
（2，1）
﹣﹣﹣
（2，3）
（2，4）
（2，5）
3
（3，1）
（3，2）
﹣﹣﹣
（3，4）
（3，5）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
﹣﹣﹣
（4，5）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
﹣﹣﹣