69-2024年四川省资阳市中考数学试卷

这是一份69-2024年四川省资阳市中考数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）3的相反数为（ ）
A．﹣3B．C．D．3
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝aC．（a2）3＝a5D．a5÷a2＝a3
3．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．长方体B．棱锥C．圆锥D．球体
4．（4分）6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．5，4B．6，5C．6，7D．7，7
5．（4分）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，1）沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，0）B．（﹣2，2）C．（﹣3，1）D．（﹣1，1）
6．（4分）如图，AB∥CD，过点D作DE⊥AC于点E．若∠D＝50°，则∠A的度数为（ ）
A．130°B．140°C．150°D．160°
7．（4分）已知一个多边形的每个外角都等于60°，则该多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．（4分）若＜m＜，则整数m的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．（4分）第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+bx与y＝x2﹣bx的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B，C两点．给出下列结论：
①b＝2；
②PB＝PC；
③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形；
④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，B，C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为5+．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，则ab＝ ．
12．（4分）2024年政府工作报告提出，我国今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长5%左右，城镇新增就业1200万人以上……将数“1200万”用科学记数法表示为 ．
13．（4分）一个不透明的袋中装有6个白球和m个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则m＝ ．
14．（4分）小王前往距家2000米的公司参会，先以v0（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以v0（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有 分钟．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与交于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（4分）在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4．若△ABC是锐角三角形，则边AB长的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共8个小题、共86分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（9分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．
18．（10分）我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了 名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．
19．（10分）2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．
（1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价；
（2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？
20．（10分）如图，已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（m，4），B（4，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点C（t，t）在一次函数的图象上，直线CO与反比例函数的图象在第三象限内交于点D，求点D的坐标，并写出直线CD在图中的一个特征．
21．（11分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D在⊙O外，延长DC，AB相交于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点G，DG＝DC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，点F为线段OA的中点，CE＝8，求DF的长．
22．（11分）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向．
（1）求B，C两处的距离；
（2）该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan65°≈2.1，tan27°≈0.5）
23．（12分）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在边BC上．若∠BAD＝∠C，则AB2＝BD•BC，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D为边BC的中点，CA＝CD＝2，点E在AB上，连接AD，DE．若∠AED＝∠CAD，求BE的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB＝5，点E，F分别在边AD，CD上，∠ABC＝2∠EBF，延长AD，BF相交于点G．若BE＝4，DG＝6，求FG的长．
24．（13分）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且B（4，0），BC＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K．记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求S1﹣S2的最大值；
（3）如图2，连接AC，点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使∠QFE＝2∠OCA？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
2024年四川省资阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）3的相反数为（ ）
A．﹣3B．C．D．3
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：3的相反数是﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5B．a3﹣a2＝aC．（a2）3＝a5D．a5÷a2＝a3
【分析】选项A、B根据合并同类项法则判断即可；选项C根据幂的乘方运算法则判断即可；选项D根据同底数幂的除法法则判断即可．
【解答】解：A．a3与a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
B．a3与a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
C．（a2）3＝a6，故本选项不符合题意；
D．a5÷a2＝a3，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
3．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）
A．长方体B．棱锥C．圆锥D．球体
【分析】根据三视图的定义判断即可．
【解答】解：根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形状特征可得该几何体为长方体．
故选：A．
【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，关键是熟悉三视图的定义．
4．（4分）6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．5，4B．6，5C．6，7D．7，7
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【解答】解：这组数据的中位数为＝6，
所以这组数据的众数为7，
故选：C．
【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5．（4分）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，1）沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（ ）
A．（﹣2，0）B．（﹣2，2）C．（﹣3，1）D．（﹣1，1）
【分析】根据直角平面坐标系内点的平移规律求解．
【解答】解：将点（﹣2，1）沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（﹣2，2），
故答案为：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握直角平面坐标系内点的平移规律是解题的关键．
6．（4分）如图，AB∥CD，过点D作DE⊥AC于点E．若∠D＝50°，则∠A的度数为（ ）
A．130°B．140°C．150°D．160°
【分析】利用三角形内角和定理先得出∠C的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠A．
【解答】解：∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
在△CDE中，∠D＝50°，∠DEC＝90°，
∴∠C＝40°，
又∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝140°．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理、平行线的性质，熟记三角形的内角和等于180°以及平行线的性质是解题关键．
7．（4分）已知一个多边形的每个外角都等于60°，则该多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据多边形的外角和及多边形的每个外角都等于60°，即可求出这个多边形的边数．
【解答】解：∵任意多边形的外角和都是360°，
又∵这个多边形的每个外角都相等，且等于60°，
∴该多边形的边数是360°÷60°＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟知多边形的外角和是360°是解题的关键．
8．（4分）若＜m＜，则整数m的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数、的大小即可．
【解答】解：∵2＜＜3，3＜＜4，而＜m＜，
∴整数m的值为3，
故选：B．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．
9．（4分）第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】设EF＝x，则AH＝3x，根据全等三角形，正方形的性质可得AE＝4x，再根据勾股定理可得AB＝5x，即可求出sin∠ABE的值．
【解答】解：根据题意，设EF＝x，则AH＝3x，
∵△ABE≌△DAH，四边形EFGH为正方形，
∴AH＝BE＝3x，EF＝HE＝x，
∴AE＝4x，
∵∠AEB＝90°，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+bx与y＝x2﹣bx的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B，C两点．给出下列结论：
①b＝2；
②PB＝PC；
③以O，A，B，C为顶点的四边形可以为正方形；
④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q，B，C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为5+．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①二次函数与的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，P为线段OA的中点，得出P（2，0），两个函数的对称轴均为直线x＝2，，解得：b＝2，故①正确；②过点B作BD⊥x交x轴于点D，过点C作CE⊥x交x轴于点E，证明△CEP≌△BDP（ASA），得出PB＝PC，故②正确；③当点B、C分别在两个函数的顶点上时，BC⊥OA，点B、C的横坐标均为2，根据BC＝OA，BC⊥OA，得出此时以O，A，B，C为顶点的四边形为正方形，故③正确；④作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点Q，此时△BCQ周长的最小，最小值为BQ+CQ+BC＝B′Q+CQ+BC＝B′C+BC，，，得出△BCQ周长的最小值为，故④正确．
【解答】解：①∵二次函数与的图象均过点A（4，0）和坐标原点O，P为线段OA的中点，
∴P（2，0），两个函数的对称轴均为直线x＝2，
∴，解得：b＝2，故①正确；
②如图，过点B作BD⊥x交x轴于点D，过点C作CE⊥x交x轴于点E，
∴∠CEP＝∠BDP＝90°，
由函数的对称性可知PE＝DP，
在△CEP和△BDP中，
，
∴△CEP≌△BDP（ASA），
∴PB＝PC，故②正确；
③当点B、C分别在两个函数的顶点上时，BC⊥OA，点B、C的横坐标均为2，
由①可知两个函数的解析式分别为，，
∴B（2，2），C（2，﹣2），
∴BC＝2﹣（﹣2）＝4，
∵点A（4，0），
∴OA＝4，
∴BC＝OA，
由∵BC⊥OA，
∴此时以O，A，B，C为顶点的四边形为正方形，故③正确；
④作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点Q，此时△BCQ周长的最小，最小值为BQ+CQ+BC＝B′Q+CQ+BC＝B′C+BC，
∵点B的横坐标为1，
∴，点C的横坐标为3，
∴，，
∴，，
∴△BCQ周长的最小值为，故④正确；
故选：D．
【点评】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，则ab＝ 2 ．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，
∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，
∴a＝1，b＝2，
∴ab＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
12．（4分）2024年政府工作报告提出，我国今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长5%左右，城镇新增就业1200万人以上……将数“1200万”用科学记数法表示为 1.2×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1200万＝12000000＝1.2×107，
故答案为：1.2×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，表示时关键要确定a的值以及n的值．
13．（4分）一个不透明的袋中装有6个白球和m个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则m＝ 9 ．
【分析】应用简单随机事件的概率计算方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
，
解得m＝9，
经检验，m＝9是原方程的解．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了概率公式，熟练掌握简单随机事件的概率计算方法进行求解是解决本题的关键．
14．（4分）小王前往距家2000米的公司参会，先以v0（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以v0（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有 5 分钟．
【分析】根据图象求出v0，再求出小王全程以v0（米/分）的速度步行所需要的时间，进而得出答案．
【解答】解：v0＝800÷10＝80（米/分钟），
2000÷80＝25（分钟），
14+16﹣25＝5（分钟）．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，根据一次函数的图象得出信息是解题的关键．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，再以AB为直径作半圆，与交于点F，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】如图，连接AF、EF、由题意易知△AEF是等边三角形，根据S阴＝S半圆﹣S扇形AEF﹣S弓形AF计算即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AF、EF．
由题意易知△AEF是等边三角形，
S阴＝S半圆﹣S扇形AEF﹣S弓形AF
＝2π﹣﹣（﹣）
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形的面积的计算、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积，属于中考常考题型．
16．（4分）在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4．若△ABC是锐角三角形，则边AB长的取值范围是 2＜AB＜8 ．
【分析】根据垂线段最短可知当BC⊥AB时，AB最短，当BC⊥AC时，AB最长，进而确定AB的取值范围即可．
【解答】解：如图，当CB1⊥AB1时，此时AB最短，AB1＝AC＝2，
当B2C⊥AC时，此时AB最长，AB2＝2AC＝8，
所以边AB长的取值范围是2＜AB＜8，
故答案为：2＜AB＜8．
【点评】本题考查垂线段最短，理解垂线段最短是正确解答的关键．
三、解答题（本大题共8个小题、共86分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（9分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．
【分析】先根据异分母分式加减法的计算法则对括号里的算式进行化简，再将分式的除法运算转化为乘法，进行化简，可再将x＝3代入化简后的式子里计算求值即可．
【解答】解：（﹣1）÷
＝÷
＝•
＝，
当x＝3时，原式＝＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则，属于中考常考题型．
18．（10分）我国古诗词源远流长．某校以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族之魂”为主题，组织学生开展了古诗词知识竞赛活动．为了解学生对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
（1）本次共抽取了 400 名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
（2）若该校共有2000人参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数；
（3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加经典诵读活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率．
【分析】（1）由B等级的人数除以所占百分比得出本次共抽取的人数，即可解决问题；
（2）由该校共有人数乘以竞赛成绩为B等级的学生人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）80÷20%＝400（名），
∴D等级的人数为：400﹣120﹣160﹣80＝40（名），
补全条形统计图如下：
（2）2000×＝800（人），
答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为800人；
（3）画树状图如下：
，
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有1人被选中的结果有8种，
∴甲、乙两人中恰好有1人被选中的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（10分）2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．
（1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价；
（2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？
【分析】（1）根据题意，购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200，列出二元一次方程组，求解即可．
（2）设购买m件B种纪念品，（70﹣m）件A种纪念品，列出一元一次不等式即可．
【解答】解：（1）设出A，B两款纪念品的进货单价分别为x，y．
则，
解得，
答：A，B两款纪念品的进货单价分别为80元和60元．
（2）设购买m件B种纪念品，（70﹣m）件A种纪念品，
根据题意，得60m+80（70﹣m）≤5000，
解得m≥30，
答：至少应购买B款纪念品30个．
【点评】本题考查了一元一次不等式以及二元一次方程组的应用，解题关键在于理解题意，根据题意建立等量关系．
20．（10分）如图，已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（m，4），B（4，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若点C（t，t）在一次函数的图象上，直线CO与反比例函数的图象在第三象限内交于点D，求点D的坐标，并写出直线CD在图中的一个特征．
【分析】（1）先求出点AB的坐标，再待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据题意先求出直线CD解析式，再与反比例函数联立方程组求出点D坐标，根据两条直线解析式k值互为负倒数，可知两条直线互相垂直．
【解答】解：（1）∵A（m，4），B（4，n）两点在反比例函数y＝图象上，
∴m＝1，n＝1，
∴A（1，4），B（4，1），
∵A（1，4），B（4，1）在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，
，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+5；
（2）由题意可知，直线CD的解析式为y＝x，
联立方程组得，解得，，
∴点D（﹣2，﹣2），
直线CD与直线AB互相垂直．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
21．（11分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D在⊙O外，延长DC，AB相交于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点G，DG＝DC．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，点F为线段OA的中点，CE＝8，求DF的长．
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠DGC＝∠DCG，求得∠DCG＝∠AGF，得到∠A+∠AGF＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，求得∠DCO＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由（1）知，∠OCE＝90°，根据勾股定理得到OE＝＝10，求得OF＝OA＝3，得到EF＝13，根据切线三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵DG＝DC，
∴∠DGC＝∠DCG，
∵∠DGC＝∠AGF，
∴∠DCG＝∠AGF，
∵DF⊥AB，
∴∠AFG＝90°，
∴∠A+∠AGF＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠DCG+∠ACO＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，∠OCE＝90°，
∵OC＝6，CE＝8，
∴OE＝＝10，
∵OA＝6，点F为线段OA的中点，
∴OF＝OA＝3，
∴EF＝13，
∵∠DFE＝∠OCE＝90°，∠E＝∠E，
∴△OCE∽△DFE，
∴，
∴＝，
∴DF＝．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
22．（11分）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向．
（1）求B，C两处的距离；
（2）该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan65°≈2.1，tan27°≈0.5）
【分析】（1）由题意得，∠ACB＝∠ABC＝30°，根据等腰三角形 到现在得到AB＝AC＝海里，过A作AH⊥BC于H，解直角三角形即可得到结论；
（2）过D作DG⊥BC于G，解直角三角形得到DG＝10.5（海里），求得CG＝5海里，根据勾股定理得到BD＝＝（海里），于是得到渔政船的航行时间为÷18＝（小时）．
【解答】解：（1）由题意得，∠ACB＝∠ABC＝30°，
∴AB＝AC＝海里，
过A作AH⊥BC于H，
∴∠AHC＝∠AHB＝90°，CH＝BH，
∴CH＝BH＝AB＝×＝8（海里），
∴BC＝16海里，
答：B，C两处的距离为16海里；
（2）过D作DG⊥BC于G，
在Rt△BDG中，BG＝≈＝2DG，
在Rt△CDG中，CG＝≈，
∵BC＝BG﹣CG，
∴2DG﹣＝16，
∴DG＝10.5（海里），
∴CG＝5海里，
∴BG＝BC+CG＝21（海里），
∴BD＝＝（海里），
∴渔政船的航行时间为÷18＝（小时）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．（12分）（1）【观察发现】如图1，在△ABC中，点D在边BC上．若∠BAD＝∠C，则AB2＝BD•BC，请证明；
（2）【灵活运用】如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D为边BC的中点，CA＝CD＝2，点E在AB上，连接AD，DE．若∠AED＝∠CAD，求BE的长；
（3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB＝5，点E，F分别在边AD，CD上，∠ABC＝2∠EBF，延长AD，BF相交于点G．若BE＝4，DG＝6，求FG的长．
【分析】（1）证明△ABD∽△CBA，得到，得出AB2＝BD•BC；
（2）过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，证明△BED∽△BAD，得出，即，解得：；
（3）连接BD，证明△DFG∽△CFB，得出，即，解得：．
【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴，
∴AB2＝BD•BC；
（2）解：过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，
则∠AFC＝∠AGD＝90°，
∴DF∥DG，∠BAC＝60°，
∴，，
∵D为BC的中点，
∴，
∵DF∥DG，
∴△BDG∽△BCF，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵∠AED＝∠CAD，
∴∠AED＝∠CDA，
∴∠AED+∠BED＝∠ADC+∠ADB＝180°，
∴∠BED＝∠ADB，
∵∠DBE＝∠ABD，
∴△BED∽△BAD，
∴，即，
解得：；
（3）解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴，AD＝AB＝BC＝5，AD∥BC，
∵∠ABC＝2∠EBF，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠EBF，
∴∠EBF﹣∠DBF＝∠CBD﹣∠DBF，即∠DBE＝∠CBF，
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠G，
∴∠DBE＝∠G，
∵∠DEB＝∠BEG，
∴△BED∽△GEB，
∴，
∵DG＝6，
∴EG＝DE+6，
∴，
解得：DE＝2，负值舍去，
∴EG＝2+6＝8，
∴AE＝AD﹣DE＝3，
∵AE2+BE2＝32+42＝52＝AB2，
∴△ABE为直角三角形，∠AEB＝90°，
∴∠BEG＝180°﹣90°＝90°，
∴在Rt△BEG中根据勾股定理得：，
∴，
∵AD∥BC，
∴△DFG∽△CFB，
∴，
即，
解得：．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
24．（13分）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且B（4，0），BC＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K．记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求S1﹣S2的最大值；
（3）如图2，连接AC，点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使∠QFE＝2∠OCA？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据题意得出B（4，0），C（0，4），代入函数解析式得：，得出；
（2）设，则K（m，﹣m+4），D（m，0），则，，得出＝＝，故当时，S1﹣S2的最大值为；
（3）①取点E关于x轴的对称点E1，连接FE1交抛物线于点Q1，FE1的解析式为：，联立，解得：（舍去）或，得出；取E关于CF的对称点E2，连接EE2交CF于点G，连接FE2交抛物线于点Q2，E2F的解析式为：，联立，解得：（舍去）或，得出．
【解答】解：（1）∵B（4，0），
∴OB＝4，
∵∠BOC＝90°，，
∴，
∴C（0，4），
把B（4，0），C（0，4），代入函数解析式得：
，
解得：，
∴；
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴设直线BC的解析式为：y＝kx+4（k≠0），把B（4，0）代入，得：k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
设，则K（m，﹣m+4），D（m，0），
∴，DK＝﹣m+4，DB＝4﹣m，
∴，，
∴
＝
＝，
∴当时，S1﹣S2的最大值为；
（3）令，解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴A（﹣2，0），
∵C（0，4），点E为AC的中点，
∴E（﹣1，2），
∵FE⊥AC，，
∴AF＝CF，
∴∠AFE＝∠CFE，
设OF＝a，则CF＝AF＝a+2，
在Rt△COF中，由勾股定理，得：a2+42＝（a+2）2，
∴a＝3，
∴F（3，0），CF＝5，
∵FE⊥AC，∠AOC＝90°，
∴∠AFE＝∠OCA＝90°﹣∠CAF，
∴∠AFE＝∠OCA＝∠CFE，
①取点E关于x轴的对称点E1，连接FE1交抛物线于点Q1，则：∠Q1FE＝2∠EFA＝2∠OCA，E1（﹣1，﹣2），
设FE1的解析式为：y＝k1x+b，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：（舍去）或，
∴；
②取E关于CF的对称点E2，连接EE2交CF于点G，连接FE2交抛物线于点Q2，则：∠Q2FE＝2∠CFE＝2∠OCA，EG⊥CF，
∵CE＝，CF＝5，
∴，
∵，
∴，
∴EG＝2，
∴，
过点G作GH⊥x轴，则：，，
∴，
∴，
∵E（﹣1，2），
∴，，
∴，，
∴，设直线E2F的解析式为：y＝k2x+b1，则：，
解得：，
∴，
联立，
解得：（舍去）或，
∴；
综上：或．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
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