2023-2024学年重庆市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市九年级（上）期中数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一次项系数是（ ）
A．3xB．﹣3xC．3D．﹣3
2．下列生活垃圾分类标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（2，﹣3）C．（2，3 ）D．（﹣2，3）
4．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，此时点B的对应点D恰好落在BC边上（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝30°（ ）
A．85°B．60°C．65°D．55°
6．中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步（ ）
A．x（x﹣12）＝864B．x（x﹣12）＝864×2
C．x（x+12）＝864D．x（x+12）＝864×2
7．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表：
下列说法中正确的是（ ）
A．函数图象开口向下
B．函数图象与x轴的交点坐标是（﹣3，0）、（﹣1，0）
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．顶点坐标是（1，﹣4）
8．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，则AC长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
9．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC′，若∠CC′D＝90°，C′D＝4（ ）
A．8B．10C．D．
10．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0），顶点位于第二象限，给出以下判断：（1）4a﹣2b+c＜0；（2）；（3）c＝3a﹣3b；（4）直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝﹣5，其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是： ．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝140° °．
13．近些年重庆市出台的“助农计划”增加了广大农户的收益，其中：农户甲2020年纯收入为20000元，经“助农计划”帮扶，则农户甲这两年（即2021年、2022年）纯收入的平均增长率为 ．
14．抛物线y＝ax2﹣6ax+c经过点A（2，0），则关于x的方程ax2﹣6ax+c＝0的解 ．
15．如图是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它是一条经过A、M、C三点的抛物线．其中A点离地面1.4米，M点是足球运动过程中的最高点，离守门员的水平距离为6米，点C是球落地时的第一点．那么足球第一次落地点C距守门员的水平距离为 米．
16．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB1C1的位置，连接BC1并延长交AB1于点D，则BD的长为 ．
17．关于x的二次函数与x轴有交点，且关于y的分式方程，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
18．如果一个四位自然数M各数位上的数字均不为0，将M的千位和个位上的数字对调，同时将M的百位和十位上的数字对调，称N为M的“对称数”，并规定F（M）＝，F（3312）＝＝141．则F（2176）＝ ；若s＝6500+20m+1（m为整数，1≤m≤4），t＝3200+10n+7（n为整数，1≤n≤9），且2m+n＞9，且s的“对称数”与t的“对称数”之和能被9整除，规定k＝F（s）（t），则k最大值为 ．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．用适当方法解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣5＝0；
（2）2（x﹣3）2＝3（x﹣3）．
20．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB2C2，并写出点B2，C2的坐标；
（3）若点P为x轴上一点，则PA1+PC2的最小值为 ．
21．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值．
22．某童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装每天可售出20件．为了迎接“六一”节，童装店决定采取适当的降价措施，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么每天就可多售出2件．
（1）如果童装店想每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？
（2）每件童装降价多少元时童装店每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（3，0），B（4，4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值．
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10（不含A、B），F是线段BC上从点B向点C运动的一个动点（不含B、C），点E、F同时开始运动，另一个立即停止运动．连接EF，DF．已知点E在其运动路径上的速度始终为每秒1个单位长度，设点E的运动时间为x秒，△BEF的面积为y1，△DFC的面积为y2．
（1）请求出y1和y2关于x的函数解析式，并说明x的取值范围；
（2）在图2中画出y1关于x的函数图象，并写出一条这一函数的性质： ；
（3）若，请结合函数图象直接写出x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
25．若直线y＝x﹣5与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A，点B，且与x轴交于点C（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为直线AB下方抛物线上一点，连接PA，PB，求四边形ACBP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线y′，Q是新抛物线y′与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD．将AD绕点A顺时针旋转120°，连接CE．
（1）如图1，若BD＝3，CD＝9；
（2）如图2，连接DE，交AC于点N，求证：EN＝DM；
（3）在（2）的条件下，若AB＝6，当AE最小时，请直接写出MD的长度．
参考答案
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目右侧正确答案所在的方框涂黑.
1．一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一次项系数是（ ）
A．3xB．﹣3xC．3D．﹣3
【分析】根据一元二次方程的一般形式找出一次项系数即可．
解：一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的的一次项系数为﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式（ax2+bx+c＝0，其中a、b、c为常数，a≠0）是解此题的关键．
2．下列生活垃圾分类标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、既不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（2，﹣3）C．（2，3 ）D．（﹣2，3）
【分析】根据二次函数的顶点式即可得到抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，﹣3）．
解：抛物线y＝﹣（x+2）2﹣7的顶点坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，顶点式为y＝a（x+）2+，对称轴为直线x＝﹣，顶点坐标为（﹣，）．
4．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，此时点B的对应点D恰好落在BC边上（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由旋转易得AB＝AD，∠BAD＝60°，则△ABD为等边三角形，进而得到BD＝AB＝6，再根据线段之间的和差关系即可求解．
解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AB＝6，
∴CD＝BC﹣BD＝10﹣6＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质，熟练张掌握旋转的性质是解题关键．
5．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝30°（ ）
A．85°B．60°C．65°D．55°
【分析】由AB是直径可得∠ACB＝90°，由∠ABC＝30°可知∠CAB＝60°，再根据圆周角定理可得∠BDC的度数，即可得出答案．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∴∠BDC＝∠CAB＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，由AB是直径求出∠ACB＝90°是解题的关键．
6．中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步（ ）
A．x（x﹣12）＝864B．x（x﹣12）＝864×2
C．x（x+12）＝864D．x（x+12）＝864×2
【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为（x+12），再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵矩形的宽为x（步），且宽比长少12（步），
∴矩形的长为（x+12）（步）．
依题意，得：x（x+12）＝864．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表：
下列说法中正确的是（ ）
A．函数图象开口向下
B．函数图象与x轴的交点坐标是（﹣3，0）、（﹣1，0）
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．顶点坐标是（1，﹣4）
【分析】依据题意，根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，进而可以得解．
解：由表格中的数据知，该抛物线的顶点坐标是（1，对称轴是直线x＝1，y的值随x的增大而减小，y的值随x的增大而增大，故选项A．选项D符合题意．
由表格中的数据知，点（﹣8，0），x＝﹣1或x＝2，0），0）．
故选：D．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．如图，AB是⊙O的直径，点D是弧AC的中点，延长DE交⊙O于点F，若AE＝2，则AC长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】根据垂径定理求出DE＝EF，＝，求出＝，求出AC＝DF，求出EF的长，再求出DF长，即可求出答案．
解：连接OF，如图：
∵DE⊥AB，AB过圆心O，
∴DE＝EF，＝，
∵D为弧AC的中点，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝DF，
∵⊙O的直径为10，
∴OF＝OA＝5，
∵AE＝2，
∴OE＝OA﹣AE＝2﹣2＝3，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF＝＝，
∴DE＝EF＝6，
∴AC＝DF＝DE+EF＝4+4＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理等知识点，解此题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，是中考常见题目．
9．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC′，若∠CC′D＝90°，C′D＝4（ ）
A．8B．10C．D．
【分析】过点B作BE⊥CC'于点E，证明△BCE≌△CDC'（AAS），由全等三角形的性质得出CE＝C'D，由旋转的性质及等腰三角形的性质求出CC'＝8，由勾股定理可得出答案．
解：过点B作BE⊥CC'于点E，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠BCE+∠C'CD＝90°，
∵∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠C'CD＝∠CBE，
又∵∠BEC＝∠CC'D，
∴△BCE≌△CDC'（AAS），
∴CE＝C'D＝4，
∵将边BC绕点B逆时针旋转至BC'，
∴BC＝BC'，
又∵BE⊥CC'，
∴CE＝C'E＝C'D＝4，
∴CC'＝5，
∴CD＝＝＝4，
∴正方形ABCD的边长为6．
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
10．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0），顶点位于第二象限，给出以下判断：（1）4a﹣2b+c＜0；（2）；（3）c＝3a﹣3b；（4）直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝﹣5，其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据二次函数的图象和性质一一判断即可．
解：∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，
∴（﹣6，0）和（0，
∴x＝﹣8时，y＞0，
∴4a﹣5b+c＞0，故①错误；
∵抛物线与x轴交于（﹣3，5），
∴x＝﹣4时，y＜0，
∴16a﹣6b+c＜0，
∵b＝2a，
∴16a﹣5a+c＜0，即8a+c＜6；
∵c＝﹣3a＝3a﹣8a，b＝2a，
∴c＝3a﹣4b，故③正确，
∵直线y＝2x+2与抛物线y＝ax7+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，
∴方程ax8+（b﹣2）x+c﹣2＝4的两个根分别为x1，x2，
∴x4+x2＝﹣，x4•x2＝，
∴x7+x2+x1x3＝﹣+＝﹣，故④正确，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是： （﹣3，2） ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
解：点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是（﹣5，
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝140° 70 °．
【分析】首先证明∠B＝∠CDM，利用圆周角定理求出∠B即可解决问题．
解：∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠CDM＝180°，
∴∠B＝∠CDM，
∵∠B＝∠AOC＝70°，
∴∠CDM＝70°，
故答案为70．
【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．近些年重庆市出台的“助农计划”增加了广大农户的收益，其中：农户甲2020年纯收入为20000元，经“助农计划”帮扶，则农户甲这两年（即2021年、2022年）纯收入的平均增长率为 40% ．
【分析】设农户甲这两年（即2021年、2022年）纯收入的平均增长率为x，利用农户甲2022年的纯收入＝农户甲2020年的纯收入×（1+农户甲这两年纯收入的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：设农户甲这两年（即2021年、2022年）纯收入的平均增长率为x，
根据题意得：20000（1+x）2＝39200，
解得：x6＝0.4＝40%，x7＝﹣2.4（不符合题意，舍去），
∴农户甲这两年（即2021年、2022年）纯收入的平均增长率为40%．
故答案为：40%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．抛物线y＝ax2﹣6ax+c经过点A（2，0），则关于x的方程ax2﹣6ax+c＝0的解 x1＝2，x2＝4 ．
【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据对称性和抛物线经过点A（2，0），找出抛物线与x轴的交点即可．
解：∵抛物线y＝ax2﹣6ax+c的对称轴为x＝﹣＝3，4），
∴抛物线还经过点（4，0），
∴关于x的一元二次方程ax5﹣6ax+c＝0的解为x8＝2，x2＝8．
故答案为：x1＝2，x5＝4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程．
15．如图是足球守门员在O处开出一记手抛高球后足球在空中运动到落地的过程，它是一条经过A、M、C三点的抛物线．其中A点离地面1.4米，M点是足球运动过程中的最高点，离守门员的水平距离为6米，点C是球落地时的第一点．那么足球第一次落地点C距守门员的水平距离为 14 米．
【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+3.2，将点A（0，1.4）代入求出a的值即可得解析式，求出y＝0时x的值即可得．
解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+2.2，
将点A（0，3.4）代入，
解得：a＝﹣0.05，
则抛物线的解析式为y＝﹣3.05（x﹣6）2+7.2；
当y＝0时，﹣2.05（x﹣6）2+5.2＝0，
解得：x2＝﹣2（舍），x2＝14，
所以足球第一次落地点C距守门员14米．
故答案为：14．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及将实际问题转化为二次函数问题的能力．
16．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB1C1的位置，连接BC1并延长交AB1于点D，则BD的长为 ．
【分析】如图，连接BB1．先证明BD是线段AB1的垂直平分线，根据BD＝计算即可．
解：如图，连接BB1．
．
∵AB＝AB1，∠BAB6＝60°，
∴△ABB1是等边三角形，
∴BB1＝AB，
∵AC7＝C1B1，
∴BC7垂直平分AB1，
∴AD＝AB1＝1，
∴BD＝＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
17．关于x的二次函数与x轴有交点，且关于y的分式方程，则所有满足条件的整数a的值之和是 ﹣3 ．
【分析】利用抛物线与x轴有交点得到Δ≥0，求得a的取值范围，解分式方程，利用方程的解为整数，求得所有满足条件的整数a的值，则结论可求．
解：∵关于x的二次函数与x轴有交点，
∴Δ＝72+4（a﹣8）×≥6．
得：a≥﹣3．
关于y的分式方程的解为y＝，
∵关于y的分式方程有可能产生增根2，
∴y≠2，
∴a≠﹣6．
∵关于y的分式方程的解为整数，
∴所有满足条件的整数a的值为：﹣3，﹣2，．
∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣5﹣2＝﹣5．
答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，分式方程的整数解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
18．如果一个四位自然数M各数位上的数字均不为0，将M的千位和个位上的数字对调，同时将M的百位和十位上的数字对调，称N为M的“对称数”，并规定F（M）＝，F（3312）＝＝141．则F（2176）＝ ﹣504 ；若s＝6500+20m+1（m为整数，1≤m≤4），t＝3200+10n+7（n为整数，1≤n≤9），且2m+n＞9，且s的“对称数”与t的“对称数”之和能被9整除，规定k＝F（s）（t），则k最大值为 1069 ．
【分析】根据代入求解F（2176）即可；首先表示出s和t的“对称数”，然后求出2m+n的取值范围，然后代入k＝F（s）﹣F（t）求解即可．
解：根据题意可得，；
∵s＝6500+20m+1（m为整数，8≤m≤4），
∴s的千位数字为6，百位数字为5，个位数字为1，
∴s的“对称数”为1000+200m+50+6＝200m+1056，
∵t＝3200+10n+5（n为整数，1≤n≤9），
∴t的千位数字为3，百位数字为2，个位数字为7，
∴t的“对称数”为7000+100n+20+7＝100n+7023，
∵1≤m≤4，8≤n≤9，
∴3≤3m+n≤17，
∵2m+n＞9，
∴6＜2m+n≤17，
∵m，n都是整数，
∴2m+n是整数，
∴6m+n＝10，11，13，15，17，
∴s'+t'＝200m+1056+100n+7023
＝200m+100n+8079
＝100（2m+n）+8079，
∵s的“对称数”与t的“对称数”之和能被9整除，
∴将4m+n＝10，11，13，15，17，
∴当2m+n＝12时，s的“对称数”与t的“对称数”之和能被9整除，
∴k＝F（s）﹣F（t）
＝
＝1029﹣20m+10n，
当m＝2，n＝8时．
故答案为：﹣504；1069．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，列代数式，本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式并熟练应用是解题的关键．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．用适当方法解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣5＝0；
（2）2（x﹣3）2＝3（x﹣3）．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
解：（1）x2﹣6x﹣5＝0，
x2﹣7x＝5，
x2﹣5x+9＝5+6，
（x﹣3）2＝14，
∴x﹣2＝或x﹣3＝﹣，
∴x1＝5+，x2＝3﹣；
（2）6（x﹣3）2＝3（x﹣3）．
2（x﹣8）2﹣3（x﹣8）＝0，
（x﹣3）（5x﹣6﹣3）＝8，
∴x﹣3＝0或8x﹣9＝0，
∴x2＝3，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方的方法是解题的关键．
20．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°得到的△AB2C2，并写出点B2，C2的坐标；
（3）若点P为x轴上一点，则PA1+PC2的最小值为 6 ．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（3）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'C，交x轴于点P，则PA+PC的最小值即为PA'+PC＝A'C，在由勾股定理可得答案．
解：（1）如图，△A1B1C4即为所求
（2）如图，AB2C2即为所求．
点B7（﹣2，﹣2），C4（﹣4，﹣4）．
（3）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'C，连接AP，
则PA5+PC2的最小值为PA'+PC2＝A'C6＝＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、轴对称的性质是解答本题的关键．
21．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝1﹣2k、x1•x2＝k2﹣1，将其代入x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝16+x1•x2中，解之即可得出k的值．
解：（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣7）x+k2﹣1＝7有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝（7k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝﹣6k+5≥0，
解得：k≤，
∴实数k的取值范围为k≤．
（2）∵关于x的方程x2+（2k﹣4）x+k2﹣1＝6有两个实数根x1，x2，
∴x7+x2＝1﹣7k，x1•x2＝k4﹣1．
∵x13+x22＝（x3+x2）2﹣6x1•x2＝16+x3•x2，
∴（1﹣2k）2﹣2×（k6﹣1）＝16+（k2﹣2），即k2﹣4k﹣12＝2，
解得：k＝﹣2或k＝6（不符合题意，舍去）．
∴实数k的值为﹣7．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出Δ＝﹣4k+5≥0；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22＝16+x1x2，找出关于k的一元二次方程．
22．某童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装每天可售出20件．为了迎接“六一”节，童装店决定采取适当的降价措施，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么每天就可多售出2件．
（1）如果童装店想每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？
（2）每件童装降价多少元时童装店每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
【分析】（1）设每件童装降价x元，利用童装平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种童装利润列出方程解答即可；
（2）设每件童装降价x元，可获利y元，利用上面的关系列出函数，利用配方法解决问题．
【解答】解（1）设每件童装降价x元，根据题意，
解得：x1＝10，x2＝20，
∵要使顾客得到较多的实惠，
∴取x＝20，
答：童装店应该降价20元．
（2）设每件童装降价x元，可获利y元，得y＝（100﹣60﹣x）（20+6x），
化简得：y＝﹣2x2+60x+800
∴y＝﹣8（x﹣15）2+1250
答：每件童装降价15元童装店可获得最大利润，最大利润是1250元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（3，0），B（4，4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值．
【分析】（1）把A点和B点坐标分别代入y＝ax2+bx得，然后解方程组即可；
（2）先确定直线OB的解析式为y＝x，则平移后的直线的解析式为y＝x﹣m，利用x2﹣3x＝x﹣m有两个相等的实数解得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＝0，然后解m的方程即可．
解：（1）把A（3，0），2）代入y＝ax2+bx得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x7﹣3x；
（2）设OB的解析式为y＝kx，
把B（4，3）代入得4k＝4，
∴直线OB的解析式为y＝x，
∴直线OB向下平移m个单位长度后得到的直线的解析式为y＝x﹣m，
∵直线y＝x﹣m与抛物线y＝x4﹣3x只有一个公共点D，
∴x2﹣8x＝x﹣m有两个相等的实数解，
整理得x2﹣4x+m＝5，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，
即m的值为7．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10（不含A、B），F是线段BC上从点B向点C运动的一个动点（不含B、C），点E、F同时开始运动，另一个立即停止运动．连接EF，DF．已知点E在其运动路径上的速度始终为每秒1个单位长度，设点E的运动时间为x秒，△BEF的面积为y1，△DFC的面积为y2．
（1）请求出y1和y2关于x的函数解析式，并说明x的取值范围；
（2）在图2中画出y1关于x的函数图象，并写出一条这一函数的性质： 当x＝3时，函数有最大值9（答案不唯一） ；
（3）若，请结合函数图象直接写出x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
【分析】（1）作DG⊥BC于G，可得四边形ABGD为矩形，DG＝AB＝6，由题意可知：AE＝x，则BE＝6﹣x，BF＝2x，CF＝10﹣2x，再根据y1＝BE•BF，y2＝CF•DG，可得函数解析式，由其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动，可得x的取值范围；
（2）利用描点法画出图形即可，由，根据最值或增减性可得函数性质；
（3）由，可得y1≥﹣2x+10，结合图象只需在图象中找到在y＝﹣2x+10上方部分对应的x的值即可．
解：（1）作DG⊥BC于G，
∵AD∥BC，∠ABC＝90°，则AB∥DG，
∴四边形ABGD为矩形，
∴DG＝AB＝6，
由题意可知：AE＝x，则BE＝6﹣x，CF＝10﹣3x，
∴△BEF的面积：y1＝BE•BF＝2+6x，
△DFC的面积：y2＝CF•DG＝，
∵当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动，
则点E运动时间最多为：6÷1＝5秒，点F运动时间最多为：10÷2＝5（秒），
∴，y2＝﹣6x+30，0＜x＜3；
（2）列表：
描点（5，5），8），2），8），5）（用空心圆圈），
画出y3关于x的函数图象如图所示：
，
由此可知：①当x＝3时，函数有最大值9；
②当7＜x＜3时，y1随x增大而增大，当2＜x＜5时，y1随x增大而减小；
故答案为：当x＝8时，函数有最大值9（答案不唯一）；
（3）∵，
∴，即y3﹣（﹣2x+10）≥0，即：y2≥﹣2x+10，
只需在图象中找到在y＝﹣2x+10上方部分对应的x的值即可，
由图可知两函数的交点横坐标约为4.5，其右侧部分，
∴当时，x的取值范围为1.5≤x＜2．
【点评】本题考查二次函数函数的图象与性质，涉及根据函数图象解不等式，解题的关键是掌握相关知识．
25．若直线y＝x﹣5与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A，点B，且与x轴交于点C（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为直线AB下方抛物线上一点，连接PA，PB，求四边形ACBP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线y′，Q是新抛物线y′与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）设四边形ACBP面积为S，则S＝S△ABC+S△ABP＝×CB×OA+OB×PH，即可求解；
（3）当BQ是对角线时，由中点坐标公式，列出等式即可求解；当BN、BM为对角线时，同理可解．
解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y＝a（x+6）（x﹣5）＝a（x2﹣3x﹣5），
则﹣5a＝﹣8，则a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x﹣5；
（2）过点P作PH∥y轴交AB于点H，
由点A、B的坐标得，
设点H（x，x﹣5），x2﹣4x﹣5），
则PH＝（x﹣2）﹣（x2﹣4x﹣6）＝﹣x2+5x，
设四边形ACBP面积为S，
则S＝S△ABC+S△ABP＝×CB×OA+5×5+2+5x）＝﹣x2+x+15＝﹣）2+≤，
故四边形ACBP面积的最大值为：，此时点P的坐标为：（，﹣）；
（3）原抛物线的对称轴为直线x＝6，则设点N（2，
平移后的抛物线表达式为：y＝（x﹣2）2﹣4（x﹣2）﹣5＝x2﹣8x+4，
由题意得，点Q（1，设M（m，m2﹣7m+7），
当BQ是对角线时，由中点坐标公式得：
5+6＝2+m，则m＝4，
即点M（2，﹣9）；
当BN、BM为对角线时
2+2＝m+1或5+m＝8+2，
解得：m＝6或﹣4，
故点M的坐标为：（6，﹣5）或（﹣4；
综上，点M的坐标为：（4，﹣5）或（﹣2．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD．将AD绕点A顺时针旋转120°，连接CE．
（1）如图1，若BD＝3，CD＝9；
（2）如图2，连接DE，交AC于点N，求证：EN＝DM；
（3）在（2）的条件下，若AB＝6，当AE最小时，请直接写出MD的长度．
【分析】（1）过点A作AH⊥BC于H，根据勾股定理得出AH，进而得出AD即可；
（2）过点E作EF＝EN交AC于点F，根据全等三角形的判定和性质得出BD＝CE，进而利用AAS证明△BMD≌△CFE，进而解答即可；
（3）由垂线段最短，当AD⊥BC时，AE最小，由勾股定理解答即可．
【解答】（1）解：过点A作AH⊥BC于H，
∵BD＝3，CD＝9，
∴BC＝BD+CD＝12，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴BH＝CH＝3，∠B＝∠ACB＝30°，
在Rt△ABH中，AB2＝BH2+AH6，
即（2AH）2＝42+AH2，
∴AH＝8，
∵DH＝BH﹣BD＝6﹣7＝3，
在Rt△ADH中，AD＝；
（2）证明：过点E作EF＝EN交AC于点F，
∴∠ENC＝∠EFA，
∴∠ANE＝∠EFC，
∵BM∥AC，AB＝AC，
∴∠MBD＝∠ACB＝∠ABC，∠M＝∠ANE＝∠EFC，
∵∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABC＝∠ACE＝∠MBD，
∴△BMD≌△CFE（AAS），
∴MD＝FE＝EN；
（3）解：由旋转可知，△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，
∵D在线段BC上，
由垂线段最短，当AD⊥BC时，这时AE最小，
∴∠AEC＝90°，
∵AB＝4，∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝8，
∴BD＝＝CE，
∵∠ADE＝∠AED＝30°，
∴∠CEN＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ACE＝∠ABD＝30°，
∴∠CNE＝90°，
∴EN＝CE＝，
由（2）可知，MD＝EN，
∴MD＝．
【点评】此题是几何变换综合题，考查全等三角形的判定和性质、勾股定理，关键是作辅助线构建全等三角形解答．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
x
1
2
2
4
5
y6
5
8
7
8
5