2023-2024学年山东省泰安市肥城市八年级（上）期中数学试卷（五四学制）

这是一份2023-2024学年山东省泰安市肥城市八年级（上）期中数学试卷（五四学制），共20页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列代数式变形中，属于因式分解的是（ ）
A．m（m﹣2）＝m2﹣2m
B．2m+4＝2（m+2）
C．
D．
2．（3分）下列各式：x2+5x，，，，其中分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（3分）小娅在对数据26，30，30，43，5*，57进行统计分析时，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果不受影响的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．方差D．众数
4．（3分）下列各式不是2x3﹣3x2﹣3x+2因式的是（ ）
A．x﹣1B．x+1C．2x﹣1D．x﹣2
5．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛．那么应选（ ）去．
A．甲B．乙C．丙D．丁
6．（3分）如果，那么m2﹣n2等于（ ）
A．4B．C．0D．﹣4
7．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）将分式的x、y均扩大2倍，则分式的值（ ）
A．不变B．扩大4倍C．缩小4倍D．不能确定
9．（3分）如图是某市连续20天的平均气温折线统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．平均数是9，众数是9.5
B．中位数是9，平均数是10
C．中位数是9.4，众数是9
D．中位数是9.5，众数是10
10．（3分）某文具店购进A，B两种款式的书包，其中A种书包的单价比B种书包的单价低10%．已知店主购进A种书包用了810元，购进B种书包用了600元，且所购进的A种书包的数量比B种书包多20个．设文具店购进B种款式的书包x个，则所列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．＝×（x+20）
二、填空题（本大题共5小题，只要求填写结果）
11．（3分）已知一组数据：3，3，x，5，5的平均数是4，则这组数据的方差是 ．
12．（3分）若分式的值为0，则x的值为 ．
13．（3分）若关于x的二次三项式x2+（m+1）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为 ．
14．（3分）超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 分．
15．（3分）已知：，，，，⋯，，那么y2023的值为 .（用含x的代数式表示）
三、解答题（本大题共6个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程）
16．请将下列式子进行因式分解：
（1）n3（m﹣2）+n（2﹣m）；
（2）（a2+4）2﹣16a2．
17．解方程
（1）；
（2）．
18．先化简，再求值：÷（a﹣1﹣），并从﹣1，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值．
19．阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：ax+ay+bx+by
解：原式＝（ax+ay）+（bx+by）
＝a（x+y）+b（x+y）
＝（a+b）（x+y）
例2：“三一分组”：2xy+x2﹣1+y2
解：原式＝x2+2xy+y2﹣1
＝（x+y）2﹣1
＝（x+y+1）（x+y﹣1）
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
（1）分解因式：①x2﹣xy+5x﹣5y；
②m2﹣n2﹣6m+9；
（2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，试判断△ABC的形状．
20．濮阳市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲乙两所学校参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分，80分，90分，100分，并根据统计数据绘制了如图不完整的统计图表：
乙校成绩统计表
（1）请你将图②中条形统计图补充完整；
（2）图①中，90分所在扇形的圆心角是 °；图3中80分有 人．
（3）分别求甲、乙两校成绩的平均分；
（4）经计算知S甲2＝135，S乙2＝175，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出合理评价．
21．某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本．
（1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？
（2）由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？
22．阅读下面的解题过程：
已知：，求的值．
解：由知x≠0．所以．即．
所以．
故的值为．
（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知，求的值．
（2）已知，，．求的值．
23．附加题（供有兴趣的同学选择使用）
我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如，，，，…．请用观察到的规律解方程．该方程的解是多少？
2023-2024学年山东省泰安市肥城市八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确
1．（3分）下列代数式变形中，属于因式分解的是（ ）
A．m（m﹣2）＝m2﹣2m
B．2m+4＝2（m+2）
C．
D．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【解答】解：A．m（m﹣2）＝m2﹣2m，是整式的乘法，故A不符合题意；
B．2m+4＝2（m+2），把一个多项式化为几个整式的积的形式，故B符合题意；
C．，故C不符合题意；
D．，等式的左边和右边都含有分式，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
2．（3分）下列各式：x2+5x，，，，其中分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】形如（A，B均为整式，且B中含有字母，B≠0）的代数式即为分式，据此进行判断即可．
【解答】解：是分式，共1个，
故选：A．
【点评】本题考查分式，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．（3分）小娅在对数据26，30，30，43，5*，57进行统计分析时，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果不受影响的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．方差D．众数
【分析】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断即可．
【解答】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为36与43的平均数，与被涂污数字无关．
故选：B．
【点评】本题考查了方差：方差描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和标准差的概念．
4．（3分）下列各式不是2x3﹣3x2﹣3x+2因式的是（ ）
A．x﹣1B．x+1C．2x﹣1D．x﹣2
【分析】首先进行分组分解因式，再提取公因式（2x﹣1），再分解因式即可．
【解答】解：∵2x3﹣3x2﹣3x+2
＝2x3﹣x2﹣2x2﹣3x+2
＝（2x3﹣x2）﹣（2x2+3x﹣2）
＝x2（2x﹣1）﹣（x+2）（2x﹣1）
＝（2x﹣1）（x2﹣x﹣2）
＝（2x﹣1）（x+1）（x﹣2）．
∴不是2x3﹣3x2﹣3x+2因式的是x﹣1．
故选：A．
【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛．那么应选（ ）去．
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】先找到四人中平均数大的，即成绩好的；再从平均成绩好的人中选择方差小，即成绩稳定的，从而得出答案．
【解答】解：∵＝＞＝，
∴四位同学中乙、丙的平均成绩较好，
又＜，
∴乙的成绩比丙的成绩更加稳定，
综上，乙的成绩好且稳定，
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6．（3分）如果，那么m2﹣n2等于（ ）
A．4B．C．0D．﹣4
【分析】根据题意求出m+n与m﹣n，将原式利用平方差公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：∵，
∴m+n＝，m﹣n＝，
则原式＝（m+n）（m﹣n）＝•（）＝﹣4．
故选：D．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】先把分式的分子和分母分解因式，再根据分式的基本性质进行计算，最后得出选项即可．
【解答】解：A．＝＝，故本选项符合题意；
B．≠，故本选项不符合题意；
C．＝＝x+y，故本选项不符合题意；
D．＝＝﹣，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行计算是解此题的关键．
8．（3分）将分式的x、y均扩大2倍，则分式的值（ ）
A．不变B．扩大4倍C．缩小4倍D．不能确定
【分析】利用分式的基本性质进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：＝，
∴将分式的x、y均扩大2倍，则分式的值不能确定，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
9．（3分）如图是某市连续20天的平均气温折线统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．平均数是9，众数是9.5
B．中位数是9，平均数是10
C．中位数是9.4，众数是9
D．中位数是9.5，众数是10
【分析】根据样众数、中位数及加权平均数的定义分别求解即可．
【解答】解：平均数为：＝9.4（°C），
众数是10°C，
中位数是＝9.5（°C），
故选：D．
【点评】本题主要考查众数、中位数、加权平均数，解题的关键是掌握众数、中位数及加权平均数的定义．
10．（3分）某文具店购进A，B两种款式的书包，其中A种书包的单价比B种书包的单价低10%．已知店主购进A种书包用了810元，购进B种书包用了600元，且所购进的A种书包的数量比B种书包多20个．设文具店购进B种款式的书包x个，则所列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．＝×（x+20）
【分析】根据购进两种款式书包数量间的关系可得出文具店购进A种款式的书包（x+20）个，利用单价＝总价÷数量，结合A种书包的单价比B种书包的单价低10%，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵文具店购进B种款式的书包x个，且购进的A种书包的数量比B种书包多20个，
∴文具店购进A种款式的书包（x+20）个．
依题意得：＝（1﹣10%）．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，只要求填写结果）
11．（3分）已知一组数据：3，3，x，5，5的平均数是4，则这组数据的方差是 ．
【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再依据方差的公式计算可得．
【解答】解：根据题意得：
3+3+x+5+5＝4×5，
解得：x＝4，
则这组数据的方差为×[2（3﹣4）2+（4﹣4）2+2（5﹣4）2]＝，
故答案为：．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
12．（3分）若分式的值为0，则x的值为 1 ．
【分析】根据分式的值为0的条件：分子等于0，分母不等于0即可得出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴|x﹣2|﹣1＝0且x2﹣6x+9≠0，
解得：x＝3或1且x≠3，
∴x＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件：分子等于0，分母不等于0是解题的关键．
13．（3分）若关于x的二次三项式x2+（m+1）x+9能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为 5或﹣7 ．
【分析】根据完全平方公式，第一个数为x，第二个数为3，中间应加上或减去这两个数积的两倍．
【解答】解：依题意，得
（m+1）x＝±2×3x，
解得：m＝5或﹣7．
故答案为：5或﹣7．
【点评】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．
14．（3分）超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：
将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是 77.4 分．
【分析】根据该应聘者的总成绩＝创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达×所占的比值即可求得．
【解答】解：根据题意，该应聘者的总成绩是：70×+80×+92×＝77.4（分），
故答案为：77.4．
【点评】此题考查了加权平均数，解题的关键是熟记加权平均数的计算方法．
15．（3分）已知：，，，，⋯，，那么y2023的值为 .（用含x的代数式表示）
【分析】用x依次表示出y1，y2，y3，…，根据发现的规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为，
所以；
；
；
…，
由此可见，这列代数式按循环出现．
又因为2023÷3＝674余1，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查代数式变化的规律，能根据所给条件得出这列代数式按循环出现是解题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程）
16．请将下列式子进行因式分解：
（1）n3（m﹣2）+n（2﹣m）；
（2）（a2+4）2﹣16a2．
【分析】（1）将原式提公因式后利用平方差公式因式分解即可；
（2）利用平方差公式及完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝n3（m﹣2）﹣n（m﹣2）
＝n（m﹣2）（n2﹣1）
＝n（m﹣2）（n+1）（n﹣1）；
（2）原式＝（a2+4+4a）（a2+4﹣4a）
＝（a+2）2（a﹣2）2．
【点评】本题考查提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
17．解方程
（1）；
（2）．
【分析】（1）移项，通分，去分母，再移项，合并同类项，系数化为1，带根检验，即可求解分式方程；
（2）方程左边通分，右边的分母按照平方差公式因式分解，再通分，使左右两边的分母相同，这时只要分子相等即可求解，带根检验，即可求解．
【解答】解：（1）解：，
去分母得：11x﹣22＝﹣3（x﹣2），
去括号，移项得：11x+3x＝6+22，
合并同类项得：14x＝28，
系数化为1得：x＝2，
检验：当x＝2时，原方程无意义，
∴原方程无解．
（2）解：，
去分母得：x﹣2＝4，
移项合并同类项得：x＝6，
检验：当x＝6时，原分式方程有意义，
∴原分式方程的解是x＝6．
【点评】本题主要考查解分式方程的方法，掌握乘法公式，分式的通分，约分化简是解题的关键．
18．先化简，再求值：÷（a﹣1﹣），并从﹣1，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的a的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
∵a≠﹣1且a≠0且a≠2，
∴a＝1，
则原式＝＝﹣1．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
19．阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：ax+ay+bx+by
解：原式＝（ax+ay）+（bx+by）
＝a（x+y）+b（x+y）
＝（a+b）（x+y）
例2：“三一分组”：2xy+x2﹣1+y2
解：原式＝x2+2xy+y2﹣1
＝（x+y）2﹣1
＝（x+y+1）（x+y﹣1）
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
（1）分解因式：①x2﹣xy+5x﹣5y；
②m2﹣n2﹣6m+9；
（2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，试判断△ABC的形状．
【分析】（1）①前两项和后两项分别提取公因式，再提取公因式即可；
②将第一、三、四项组成一个完全平方公式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）根据平方差公式和提取公因式分解因式，再提取公因式（a﹣b），得到（a﹣b）（a+b+c）＝0，根据a、b、c是△ABC的三边，a+b+c≠0，得到a﹣b＝0，从而a＝b，△ABC的形状是等腰三角形．
【解答】解：（1）①原式＝x（x﹣y）+5（x﹣y）
＝（x﹣y）（x+5）；
②原式＝（m﹣3）2﹣n2
＝（m+n﹣3）（m﹣n﹣3）；
（2）∵a2﹣b2+ac﹣bc＝0，
∴（a+b）（a﹣b）+c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a+b+c）＝0，
∵a、b、c是△ABC的三边，a+b+c≠0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC的形状是等腰三角形．
【点评】本题考查了因式分解的应用，阅读型，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a2±2ab+b2＝（a±b）2是解题的关键．
20．濮阳市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲乙两所学校参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分，80分，90分，100分，并根据统计数据绘制了如图不完整的统计图表：
乙校成绩统计表
（1）请你将图②中条形统计图补充完整；
（2）图①中，90分所在扇形的圆心角是 108 °；图3中80分有 4 人．
（3）分别求甲、乙两校成绩的平均分；
（4）经计算知S甲2＝135，S乙2＝175，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出合理评价．
【分析】（1）甲校得“90分”的有6人，占调查人数的30%，可求出调查人数，再用总人数减其它分数段的人数，求出得100分的人数，从而补全统计图；
（2）用360°乘以得90分的人数所占的百分比求出90分所在扇形的圆心角，用总人数减去乙校其它分数段的人数求出得80分的人数；
（3）根据平均数的计算公式求出甲校和乙校的平均成绩；
（4）从方差的大小，得出数据的离散程度．
【解答】解：（1）甲校参赛的总人数是：6÷30%＝20（人），
100分的人数有：20﹣6﹣3﹣6＝5（人），补全统计图如下：
（2）90分所在扇形的圆心角是：360°×30%＝108°，
图3中80分有：20﹣7﹣1﹣8＝4（人），
故答案为：108°，4；
（3）甲校的平均成绩是：（70×6+80×3+90×6+100×5）＝85（分），
乙校的平均成绩是：（70×7+80×4+90×1+100×8）＝85（分）．
（4）∵S甲2＝135＜S乙2＝175，
∴甲校的成绩离散程度较小，比较稳定．
【点评】此题考查中位数、平均数的意义，条形统计图、扇形统计图的意义，理解各个概念的内涵和外延是正确解答的前提．
21．某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本．
（1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？
（2）由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？
【分析】（1）设打折前售价为x元，则打折后售价为0.9x元，表示出打折前购买的数量及打折后购买的数量，再由打折后购买的数量比打折前多10本，可得出方程，解出即可；
（2）设购买笔记本y件，则购买笔袋（90﹣y）件，根据购买总金额不低于360元，且不超过365元，可得出不等式组，解出即可．
【解答】解：（1）设打折前售价为x元，则打折后售价为0.9x元，
由题意得，+10＝，
解得：x＝4，
经检验得：x＝4是原方程的根，
答：打折前每本笔记本的售价为4元．
（2）设购买笔记本y件，则购买笔袋（90﹣y）件，
由题意得，360≤4×0.9×y+6×0.9×（90﹣y）≤365，
解得：67≤y≤70，
∵y为正整数，
∴y可取68，69，70，
故有三种购买方案：
方案一：购买笔记本68本，购买笔袋22个；
方案二：购买笔记本69本，购买笔袋21个；
方案三：购买笔记本70本，购买笔袋20个．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解答此类应用类题目，一定要先仔细审题，有时需要读上几遍，找到解题需要的等量关系或不等关系．
22．阅读下面的解题过程：
已知：，求的值．
解：由知x≠0．所以．即．
所以．
故的值为．
（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知，求的值．
（2）已知，，．求的值．
【分析】（1）根据材料提示的“倒数法”将变形为，由此即可求解；
（2）将，，利用“倒数法”变形为，，，将利用“倒数法”变形为，由此即可求解．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，即，
∵的倒数为，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，，
∴，，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
【点评】本题主要考查运用“倒数法”求分式的值，掌握分式的加减乘除混合运算是解题的关键．
23．附加题（供有兴趣的同学选择使用）
我们把分子是1的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如，，，，…．请用观察到的规律解方程．该方程的解是多少？
【分析】根据题意将原方程变形后解分式方程即可．
【解答】解：原方程化为2（﹣+﹣+…+﹣）＝，
则2（﹣）＝，
即＝，
去分母得：2x+20＝7x，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是分式方程的解，
故原方程的解为x＝4．
【点评】本题考查解分式方程，将原方程变形整理得＝是解题的关键．甲
乙
丙
丁
平均分
85
90
90
85
方差
50
42
50
42
测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩（分数）
70
80
92
分数（分）
人数（人）
70
7
80
90
1
100
8
甲
乙
丙
丁
平均分
85
90
90
85
方差
50
42
50
42
测试项目
创新能力
综合知识
语言表达
测试成绩（分数）
70
80
92
分数（分）
人数（人）
70
7
80
90
1
100
8