2023-2024学年山东省济南市平阴县九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年山东省济南市平阴县九年级（上）期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）方程x2﹣2022x﹣2023＝0中的一次项系数是（ ）
A．2022xB．﹣2022xC．2022D．﹣2022
2．（4分）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）x2﹣10x﹣1＝0，变形正确的是（ ）
A．（x﹣5）2＝26B．（x+5）2＝26C．（x﹣5）2＝24D．（x+5）2＝24
4．（4分）若＝，则ab＝（ ）
A．6B．C．1D．
5．（4分）已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝）．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（ ）
A．cmB．2（﹣1）cmC．4（﹣1）cmD．6（﹣1）cm
7．（4分）若点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y3＜y1B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y2＜y3
8．（4分）如图，下列不能判定△ABD与△ACB相似的是（ ）
A．B．C．∠ABD＝∠ACBD．∠ADB＝∠ABC
9．（4分）反比例函数y＝﹣和一次函数y＝kx﹣k在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
10．（4分）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S＝N+，其中N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A（0，30），B（20，10），O（0，0），则△ABO内部的格点个数是（ ）
A．266B．270C．271D．285
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.8左右，则袋子中红球的个数最有可能是 个．
12．（4分）已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为a，b，若ab+2a+2b＝1，则实数k＝ ．
13．（4分）如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，并且AD：BD＝2：1，那么S△ADE和S△ABC的比为 ．
14．（4分）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是 m．
15．（4分）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则n的值＝ ．
16．（4分）一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为 ．
三、解答题（共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）（x+3）（x﹣3）＝3（x+3）．
18．（6分）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣3，1），C（﹣1，3），请按下列要求画图：以点A为位似中心，在网格中画出△ABC的位似图形△AB1C1，使△AB1C1与△ABC的相似比为2：1；并写出点B1的坐标．
20．（8分）如图，一次函数y＝mx+n的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，a）．
（1）求点B的坐标；
（2）用m的代数式表示n；
（3）当△OAB的面积为9时，求一次函数y＝mx+n的表达式．
21．（8分）首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）．
根据以上信息回答：
（1）这次被调查身高的志愿者有 人，表中的m＝ ，扇形统计图中α的度数是 ；
（2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．
22．（8分）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为120m2，求鸡场的长AB和宽BC；
（2）该扶贫单位想要建一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△EGB．
（2）若AB＝6，求CG的长．
24．（10分）一次函数y＝﹣x+m与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，2）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）过动点T（t，0）作x轴的垂线l，l与一次函数y＝﹣x+m和反比例函数y＝的图象分别交于M，N两点，当M在N的上方时，请直接写出t的取值范围．
25．（12分）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．
例题：求多项式x2﹣4x+5的最小值．
解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，
因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1．
当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1．因此（x﹣2）2+1有最小值，最小值为1，即x2﹣4x+5的最小值为1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：
（1）【理解探究】
已知代数式A＝x2+10x+20，则A的最小值为 ；
（2）【类比应用】
张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米、（2a+5）米，乙菜地的两边长分别是5a米、（a+5）米，试比较这两块菜地的面积S甲和S乙的大小，并说明理由；
（3）【拓展升华】
如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝10cm，点M、N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以1cm/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2cm/s的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t，则当t的值为多少时，△MCN的面积最大，最大值为多少？
26．（12分）【问题呈现】
△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．
【问题探究】
（1）如图1，当m＝1时，直接写出AD，BE的位置关系： ．
（2）如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当m＝，AB＝4，DE＝4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长．
2023-2024学年山东省济南市平阴县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）方程x2﹣2022x﹣2023＝0中的一次项系数是（ ）
A．2022xB．﹣2022xC．2022D．﹣2022
【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），一次项系数为b．据此即可求解．
【解答】解：由题意得：一次项系数为﹣2022，
故选：D．
【点评】本题考查对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的认识．注意系数要带上前面的符号．
2．（4分）如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【解答】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的内部是一个圆．
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键．
3．（4分）x2﹣10x﹣1＝0，变形正确的是（ ）
A．（x﹣5）2＝26B．（x+5）2＝26C．（x﹣5）2＝24D．（x+5）2＝24
【分析】先将常数项1移到方程右边，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，最后将方程左边写成完全平方式即可．
【解答】解：x2﹣10x﹣1＝0，
x2﹣10x＝+1，
x2﹣10x+25＝+1+25，
（x﹣5）2＝26．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程及完全平方公式，解此题的关键是能正确配方，即加上一次项系数一半的平方，难度适中．
4．（4分）若＝，则ab＝（ ）
A．6B．C．1D．
【分析】直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴ab＝6．
故选：A．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．
5．（4分）已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝）．下列反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意得到电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝），于是得到结论．
【解答】解：∵电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系（I＝），R、I均大于0，
∴反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是D选项，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．
6．（4分）若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（ ）
A．cmB．2（﹣1）cmC．4（﹣1）cmD．6（﹣1）cm
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
【解答】解：根据黄金分割点的概念得：AC＝AB＝4（﹣1）cm．
故选：C．
【点评】考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值．
7．（4分）若点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y3＜y1B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y2＜y3
【分析】将x＝﹣2，x＝2，x＝3分别代入反比例函数解析式求出对应的y，然后比较大小．
【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝1，当x＝2时，y2＝﹣1，当x＝3时，y3＝﹣，
∴y1＞y3＞y2．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，本题除了将x的值代入解析式求y之外，还可以利用反比例函数的增减性进行比较．
8．（4分）如图，下列不能判定△ABD与△ACB相似的是（ ）
A．B．C．∠ABD＝∠ACBD．∠ADB＝∠ABC
【分析】本题中已知∠A是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可做出判断．
【解答】解：由图可得：∠A＝∠A，
∴当或∠ABD＝∠ACB或∠ADB＝∠ABC时，△ACD与△ABC相似，
∵A选项中角A不是成比例的两边的夹角，
∴＝不能判定△ABD与△ACB相似．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形判定定理是解决问题的关键．
9．（4分）反比例函数y＝﹣和一次函数y＝kx﹣k在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．
【解答】解：当k＜0时，﹣k＞0，反比例函数y＝﹣的图象在一，三象限，一次函数y＝kx﹣k的图象过一、二、四象限，选项B符合；
当k＞0时，﹣k＜0，反比例函数y＝﹣的图象在二、四象限，一次函数y＝kx﹣k的图象过一、三、四象限，无符合选项．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，正确掌握它们的性质才能灵活解题．
10．（4分）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S＝N+，其中N，L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A（0，30），B（20，10），O（0，0），则△ABO内部的格点个数是（ ）
A．266B．270C．271D．285
【分析】根据公式，先计算出S和L的值，即可求出N的值．
【解答】解：由A（0，30）可知边OA上有31个格点（含点O，A），
∵直线OB的解析式为y＝x，
∴当x为小于或等于20的正偶数时y也为整数，即OB边上有10个格点（不含端点O，含端点B）；
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+30，
∴当0＜x＜20且x为整数时，y均为整数，故边AB上有19个格点（不含端点），
∴L＝31+19+10＝60，
∵△ABO的面积为S＝×30×20＝300，
∴300＝N+×60﹣1，
∴N＝271．
故选：C．
【点评】本题考查新定义的理解，也考查了学生分析、解决问题的能力，注意区分多边形内部格点数和边界格点数是解本题的关键．
二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）在不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.8左右，则袋子中红球的个数最有可能是 16 个．
【分析】根据频数＝频率×总个数即可．
【解答】解：红球个数为：0.8×20＝16（个），
故答案为：16．
【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，明确频数＝频率×总个数是解题的关键．
12．（4分）已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为a，b，若ab+2a+2b＝1，则实数k＝ ﹣5 ．
【分析】把两根之和与两根之积代入已知条件中，求得k的值，再根据根的判别式求得k的取值范围．最后综合情况，求得k的值．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为a，b，
∴a+b＝3，ab＝k，
∵ab+2a+2b＝1，
∴k+2×3＝1，
解得k＝﹣5，
又∵方程有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k≤，
综合以上可知实数k＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】此题考查一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
13．（4分）如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，并且AD：BD＝2：1，那么S△ADE和S△ABC的比为 4：9 ．
【分析】由DE∥BC，可得△ADE﹣△ABC，然后由相似三角形 的面积比等于相似比的平方，求得S△ADE和S△ABC的比．[
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE﹣△ABC，，
∵AD：BD＝2：1，
∴AD：AB＝2：3，
∴S△ADE和S△ABC＝4：9，
即S△ADE和S△ABC的比为：，
故答案为：4：9．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
14．（4分）如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是 5 m．
【分析】设小路的宽是xm，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，根据花圃的面积是3600m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设小路的宽是xm，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形，
根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600，
整理得：x2﹣75x+350＝0，
解得：x1＝5，x2＝70（不符合题意，舍去），
∴小路的宽是5m．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（4分）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则n的值＝ ﹣3 ．
【分析】如图，点B在函数y＝上，证明△AOC≌△OBD，根据k的几何意义即可求解．
【解答】解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，点B在函数y＝上，如图：
∵四边形是正方形，
∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴S△AOC＝S△OBD＝＝|n|，
∵点A在第二象限，
∴n＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查正方形的性质，反比例函数的k的几何意义，熟练掌握以上性质的解题关键．
16．（4分）一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为 3或 ．
【分析】依据沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，分两种情况讨论：∠DEB＝90°或∠BDE＝90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到CD的长．
【解答】解：分两种情况：
①若∠DEB＝90°，则∠AED＝90°＝∠C，CD＝ED，
连接AD，则Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝6，BE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，则BD＝8﹣x，
∵Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴CD＝3；
②若∠BDE＝90°，则∠CDE＝∠DEF＝∠C＝90°，CD＝DE，
∴四边形CDEF是正方形，
∴∠AFE＝∠EDB＝90°，∠AEF＝∠B，
∴△AEF∽△EBD，
∴＝，
设CD＝x，则EF＝CF＝x，AF＝6﹣x，BD＝8﹣x，
∴＝，
解得x＝，
∴CD＝，
综上所述，CD的长为3或，
故答案为：3或．
【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
三、解答题（共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0；
（2）（x+3）（x﹣3）＝3（x+3）．
【分析】（1）用配方法求解即可；
（2）移项后用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4 即 （x﹣2）2＝5，
则 ，
∴，；
（2）∵（x+3）（x﹣3）＝3（x+3），
∴（x+3）（x﹣3）﹣3（x+3）＝0，
∴（x+3）（x﹣3﹣3）＝0，
则x+3＝0 或x﹣6＝0，
解得 x1＝﹣3，x2＝6．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法，配方法，公式法，直接开平方法．
18．（6分）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．
【分析】利用相似三角形的判定可得结论．
【解答】证明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠DCE＝∠ACB，
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3），B（﹣3，1），C（﹣1，3），请按下列要求画图：以点A为位似中心，在网格中画出△ABC的位似图形△AB1C1，使△AB1C1与△ABC的相似比为2：1；并写出点B1的坐标．
【分析】根据位似的性质作图，即可得出答案．
【解答】解：如图，△AB1C1即为所求.
点B1（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
20．（8分）如图，一次函数y＝mx+n的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，a）．
（1）求点B的坐标；
（2）用m的代数式表示n；
（3）当△OAB的面积为9时，求一次函数y＝mx+n的表达式．
【分析】（1）由反比例函数的解析式即可求得的B的坐标；
（2）把B（3，2）代入y＝mx+n即可求得用m的代数式表示n的式子；
（3）利用三角形面积求得n的值，进一步求得m的值．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点B（3，a），
∴a＝＝2，
∴点B的坐标为（3，2）；
（2）∵一次函数y＝mx+n的图象过点B，
∴2＝3m+n，
∴n＝2﹣3m；
（3）∵△OAB的面积为9，
∴，
∴n＝﹣6，
∴A（0，﹣6），
∴﹣6＝2﹣3m，
∴m＝，
∴一次函数的表达式是y＝x﹣6．
【点评】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知函数图象上点的坐标特征满足解析式是解题的关键．
21．（8分）首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：cm）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）．
根据以上信息回答：
（1）这次被调查身高的志愿者有 20 人，表中的m＝ 6 ，扇形统计图中α的度数是 54° ；
（2）若E组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．
【分析】（1）由A、B、D、E四组的人数除以所占百分比得出这次被调查身高的志愿者人数，即可解决问题；
（2）画树状图，求得有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）这次被调查身高的志愿者有：（3+2+5+4）÷（1﹣30%）＝20（人），
∴m＝20×30%＝6，
扇形统计图中α的度数是：360°×＝54°，
故答案为：20，6，54°；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽中两名女志愿者的结果有2种，
∴P（刚好抽中两名女志愿者）＝＝．
【点评】本题考查了树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图等知识，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为120m2，求鸡场的长AB和宽BC；
（2）该扶贫单位想要建一个130m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
【分析】（1）设BC＝xm，则可表示出长AB，由面积关系即可列出方程，解方程即可．
（2）设BC＝xm，则可表示出长AB，由面积关系即可列出方程，根据方程是否有解或方程的解是否符合题意，即可作出判断．
【解答】解：（1）设BC＝xm，则AB＝（39﹣3x）m，
由题意得：x（39﹣3x）＝120，
整理得：x2﹣13x+40＝0，
解得：x1＝5，x2＝8，
当x＝5时，39﹣3x＝24＞15，不符合题意；当x＝8时，39﹣3x＝15，符合题意；
答：鸡场的长AB和宽BC分别为15m与8m．
（2）设BC＝xm，则AB＝（39﹣3x）m，
由题意得：x（39﹣3x）＝130，
整理得：3x2﹣39x+130＝0，
Δ＝（﹣39）2﹣4×3×130＝1521﹣1560＜0，
方程无实数解；
所以想法不能实现．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△EGB．
（2）若AB＝6，求CG的长．
【分析】（1）由正方形的性质与已知得出∠A＝∠BEG，证出∠ABE＝∠G，即可得出结论；
（2）由AB＝AD＝6，E为AD的中点，得出AE＝DE＝3，由勾股定理得出BE＝＝3，由△ABE∽△EGB，得出，求得BG＝15，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°，
∴∠A＝∠BEG，
∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°，
∴∠ABE＝∠G，
∴△ABE∽△EGB；
（2）解：∵AB＝AD＝6，E为AD的中点，
∴AE＝DE＝3．
在Rt△ABE中，BE＝＝＝3，
由（1）知，△ABE∽△EGB，
∴，
即：，
∴BG＝15，
∴CG＝BG﹣BC＝15﹣6＝9．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定得出比例式是解题的关键．
24．（10分）一次函数y＝﹣x+m与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，2）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）过动点T（t，0）作x轴的垂线l，l与一次函数y＝﹣x+m和反比例函数y＝的图象分别交于M，N两点，当M在N的上方时，请直接写出t的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）解析式联立，解方程组求得点B的坐标，利用S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC求得即可；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+m与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，2），
∴2＝﹣1+m，2＝，
∴m＝3，k＝2，
∴一次函数表达式为y＝﹣x+3，反比例函数的表达式为y＝；
（2）由，解得或，
∴B（2，1），
设一次函数y＝﹣x+3与x轴的交点为C，则C（3，0），
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝﹣＝；
（3）观察图象，当M在N的上方时，t的取值范围是t＜0或1＜t＜2．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
25．（12分）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，然后由（x+m）2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．
例题：求多项式x2﹣4x+5的最小值．
解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，
因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1．
当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1．因此（x﹣2）2+1有最小值，最小值为1，即x2﹣4x+5的最小值为1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：
（1）【理解探究】
已知代数式A＝x2+10x+20，则A的最小值为 ﹣5 ；
（2）【类比应用】
张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米、（2a+5）米，乙菜地的两边长分别是5a米、（a+5）米，试比较这两块菜地的面积S甲和S乙的大小，并说明理由；
（3）【拓展升华】
如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝10cm，点M、N分别是线段AC和BC上的动点，点M从A点出发以1cm/s的速度向C点运动；同时点N从C点出发以2cm/s的速度向B点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t，则当t的值为多少时，△MCN的面积最大，最大值为多少？
【分析】（1）根据阅读材料提供的方法解答即可；
（2）先列出甲乙两块菜地的面积的代数式，然后作差比较即可；
（3）先用t表示出CM、CN，然后表示出△MCN的面积，然后用配方法求得面积的最大值即可．
【解答】解：（1）A＝x2+10x+20＝（x+5）2﹣5，
∵（x+5）2≥0，
∴（x+5）2﹣5≥﹣5，
∴当x＝﹣5时，（x+5）2﹣5＝﹣5，因此（x+5）2﹣5有最小值，最小值为﹣5，
∴A的最小值为﹣5，
故答案为：﹣5；
（2）S甲＞S乙，理由如下：
∵，，
∴，
∵（a﹣3）2≥0，
∴（a﹣3）2+1＞0，
∴S甲＞S乙；
（3）由题意得：AM＝t，CN＝2t，
∴MC＝5﹣t，
∴S△MCN＝×2t•（5﹣t）＝﹣t2+5t＝﹣（t2﹣5t+）+＝﹣（t﹣）2+，
∴当 时，△MCN的面积最大，且最大面积为cm2．
【点评】本题主要考查了配方法求最值、非负数的性质等知识点，根据阅读材料、理解配方法是解答本题的关键．
26．（12分）【问题呈现】
△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．
【问题探究】
（1）如图1，当m＝1时，直接写出AD，BE的位置关系： AD⊥BE ．
（2）如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
（3）当m＝，AB＝4，DE＝4时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长．
【分析】（1）由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠DAC＝∠CBE，由余角的性质可证AD⊥BE；
（2）通过证明△DCA∽△ECB，可得∠DAC＝∠CBE，由余角的性质可证AD⊥BE；
（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可得BE＝AD，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）如图1，延长BE交AC于点H，交AD于N，
当m＝1时，DC＝CE，CB＝CA，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠DAC＝∠CBE，
∵∠CAB+∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠CAB+∠ABE+∠DAC＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴AD⊥BE，
故答案为：AD⊥BE；
（2）（1）中的结论成立，理由如下：
如图2，延长BE交AC于点H，交AD于N，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
又∵，
∴△DCA∽△ECB，
∴∠DAC＝∠CBE，
∵∠CAB+∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠CAB+∠ABE+∠DAC＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴AD⊥BE，
（3）如图3，当点E在线段AD上时，连接BE，
∵△DCA∽△ECB，
∴＝m＝，
∴BE＝AD＝（4+AE），
∵AD⊥BE，
∴AB2＝AE2+BE2，
∴112＝AE2+3（4+AE）2，
∴AE＝2或AE＝﹣8（舍去），
∴BE＝6，
当点D在线段AE上时，连接BE，
∵△DCA∽△ECB，
∴＝m＝，
∴BE＝AD＝（AE﹣4），
∵AD⊥BE，
∴AB2＝AE2+BE2，
∴112＝AE2+3（AE﹣4）2，
∴AE＝8或AE＝﹣2（舍去），
∴BE＝4，
综上所述：BE＝6或4．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．组别
身高分组
人数
A
155≤x＜160
3
B
160≤x＜165
2
C
165≤x＜170
m
D
170≤x＜175
5
E
175≤x＜180
4
组别
身高分组
人数
A
155≤x＜160
3
B
160≤x＜165
2
C
165≤x＜170
m
D
170≤x＜175
5
E
175≤x＜180
4