2023-2024学年山东省济南市长清区八年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年山东省济南市长清区八年级（上）期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）25的算术平方根是（ ）
A．5B．±5C．±D．
2．（4分）下列是无理数的是（ ）
A．B．πC．D．0.16
3．（4分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（4分）下列式子正确的是（ ）
A．B．（﹣3）2＝﹣32C．D．
5．（4分）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，3）B．（3，2）C．（0，3）D．（1，3）
6．（4分）点A（1，y1）、B（2，y2）都在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，则y1、y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不确定
7．（4分）已知AB∥x轴，AB＝3，点A的坐标为（﹣1，3），则点B的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（﹣4，3）
C．（﹣1，6）或（﹣1，0）D．（﹣4，3）或（2，3）
8．（4分）一次函数y＝kx+b中，y随x的增大而减小，且kb＜0，则该函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
9．（4分）如图所示，A（2，0），AB＝3，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．（3，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（﹣3，0）
10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如图中的P，Q两点即为“等距点”．若点A的坐标为（﹣3，1），点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为（ ）
A．（3，9）B．（﹣3，3）C．（﹣9，﹣3）D．（﹣9，3）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）
11．（4分）的立方根是 ．
12．（4分）若点P（m+1，m﹣1）在y轴上，则m的值为 ．
13．（4分）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，则 ．（选填“＞”，“＜”，“＝”）．
14．（4分）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s（km）和时间t（h）的关系，则出发 h后两人相遇．
15．（4分）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是x轴上的一个动点，将△ABC沿BC所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为 ．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（10，0），点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段PA为边在PA的右上方作等边△APQ，连接QB，在点P运动的过程中，线段QB长度的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共86分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（6分）计算：
（1）；
（2）．
19．（6分）计算：．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，﹣2）、B（2，﹣4）、C（4，﹣1）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点的坐标：A1（ ），B1（ ），C1（ ）；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PC最小，标出点P的位置（不写画法，保留作图痕迹）．
21．（8分）如图，已知直线y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4），B（3，2），且与x轴交于点C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出方程kx+b＝0的解为 ；
（3）求△AOB的面积．
22．（8分）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足+|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动．
（1）点B的坐标为 ；当点P移动4秒时，写出点P的坐标 ．
（2）若点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿着C→B→A→O→C的线路移动，点Q与点P同时出发，几秒后点Q与点P第一次相遇？
23．（10分）河南信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式：
设该公司此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶叶的总费用为y1元，按方式二购买茶叶的总费用为y2元．
（1）请直接写出y1，y2关于x的函数解析式；
（2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量；
（3）若该公司此次购买茶叶的总预算为6500元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？
24．（10分）小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）①化简＝ ；
②当时，求3a2﹣6a﹣1的值．
（2）化简．
25．（12分）【复习旧知】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
数轴上表示4和1的两点之间的距离是3；而|4﹣1|＝3；表示﹣3和2两点之间的距离是5；而|﹣3﹣2|＝5；表示﹣4和﹣7两点之间的距离是3；而|﹣4﹣（﹣7）|＝3．
一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离公式为|m﹣n|．
（1）数轴上表示数﹣4的点与表示﹣1的点之间的距离为 ．
【探索新知】
如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度，显然是化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．
下面：以求DE为例来说明如何解决．
从坐标系中发现：D（﹣7，5），E（4，﹣3）．所以DF＝|5﹣（﹣3）|＝8，EF＝|4﹣（﹣7）|＝11，所以由勾股定理可得：．
（2）在图②中：设A（x1，y1），B（x2，y2），试用x1，y1，x2，y2表示：AC＝ ，BC＝ ，AB＝ ．
得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”．
【学以致用】请用此公式解决如下题目：
（3）已知A（﹣2，3）、B（4，﹣5），试求A、B两点间的距离．
（4）已知一个三角形各顶点坐标为A（﹣1，1）、B（﹣3，3）、C（2，4），请判定此三角形的形状，并说明理由．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝kx+b（k≠0）相交于点A（a，3），直线l2与y轴交于点B（0，﹣5）．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB，使点O与点C重合，AC与x轴交于点D．求证：AC∥OB；
（3）在直线BC下方是否存在点P，使△BCP为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年山东省济南市长清区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）
1．（4分）25的算术平方根是（ ）
A．5B．±5C．±D．
【分析】根据算术平方根的定义即可解决问题．
【解答】解：∵52＝25，
∴25的算术平方根是5，
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
2．（4分）下列是无理数的是（ ）
A．B．πC．D．0.16
【分析】根据无理数的定义进行解答即可．
【解答】解：π是无理数；
＝3，＝2，0.16是有理数．
故选：B．
【点评】本题考查的是无理数，立方根及算术平方根，熟知无理数的定义是解题的关键．
3．（4分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【解答】解：点P（2，﹣3）在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
4．（4分）下列式子正确的是（ ）
A．B．（﹣3）2＝﹣32C．D．
【分析】根据二次根式的乘法，减法，算术平方根，有理数的乘方法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、＝7，故A不符合题意；
B、∵（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，
∴（﹣3）2≠﹣32，
故B不符合题意；
C、2﹣＝，故C不符合题意；
D、×＝，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．（4分）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为（4，3），（﹣2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，3）B．（3，2）C．（0，3）D．（1，3）
【分析】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可得出原点的位置，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：棋子“炮”的点的坐标为：（1，3）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
6．（4分）点A（1，y1）、B（2，y2）都在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，则y1、y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不确定
【分析】利用待定系数法把A、B两点坐标代入一次函数y＝﹣2x+3可算出y1、y2的值，再比较大小即可．
【解答】解：∵点A（1，y1）、B（2，y2）都在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，
∴y1＝﹣2×1+3＝1，y2＝﹣2×2+3＝﹣1，
∴y1＞y2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能使解析式左右相等．
7．（4分）已知AB∥x轴，AB＝3，点A的坐标为（﹣1，3），则点B的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（﹣4，3）
C．（﹣1，6）或（﹣1，0）D．（﹣4，3）或（2，3）
【分析】根据点A的坐标和AB＝3，求出点B的横坐标，再根据纵坐标不变，作出选择．
【解答】解：点B在点A的右边时，横坐标为：﹣1+3＝2，则点B的坐标为：（2，3）；
点B在点A的左边时，横坐标为：﹣1﹣3＝﹣4，则点B的坐标为：（﹣4，3）；
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，关键分两种情况求出点的坐标．
8．（4分）一次函数y＝kx+b中，y随x的增大而减小，且kb＜0，则该函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据y随x的增大而减小可得k＜0，然后根据kb＜0，判断b的符号，则函数图象即可判断．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小，
∴k＜0，
又∵kb＜0，
∴b＞0，
∴函数图象经过一、二、四象限．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
9．（4分）如图所示，A（2，0），AB＝3，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．（3，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（﹣3，0）
【分析】根据点A坐标就可以求出线段OA的长，又因为AB＝3，所以求出CO长即可解答．
【解答】解：∵A（2，0），AB＝3，
∴OA＝2，AC＝AB＝3，
∴OC＝AC﹣OA＝3﹣2＝，
∵点C在x轴的负半轴上，
∴点C的坐标为（﹣，0）．
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形性质的应用，解题关键是熟练掌握正负半轴表示的点的坐标的性质．
10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如图中的P，Q两点即为“等距点”．若点A的坐标为（﹣3，1），点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为（ ）
A．（3，9）B．（﹣3，3）C．（﹣9，﹣3）D．（﹣9，3）
【分析】先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据”等距点“概念进行解答即可．
【解答】解：∵点A的坐标为（﹣3，1），到x、y轴的距离中的最大值等于3，
∴点B坐标中到x、y轴的距离中，至少有一个为3的点，
如果m＝3时，点B坐标为（3，9）；
如果m＝﹣3时，点B坐标为（﹣3，3）；
如果m+6＝3时，点B坐标为（﹣3，3）；
如果m+6＝﹣3时，点B坐标为（﹣9，﹣3），
这些点中与A符合“等距点”的是：（﹣3，3），
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，关键找到所有B点的坐标，再加以判断．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）
11．（4分）的立方根是 ﹣ ．
【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
【解答】解：∵（﹣）3＝﹣，
∴﹣的立方根根是：﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
12．（4分）若点P（m+1，m﹣1）在y轴上，则m的值为 ﹣1． ．
【分析】根据y轴上的点横坐标为0可得m+1＝0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵点P（m+1，m﹣1）在y轴上，
∴m+1＝0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键．
13．（4分）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，则 ＞ ．（选填“＞”，“＜”，“＝”）．
【分析】先估算的大小，进一步判断的大小，从而得出比较结果．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
14．（4分）学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示，l1和l2分别表示两人到小亮家的距离s（km）和时间t（h）的关系，则出发 0.35 h后两人相遇．
【分析】用待定系数法求出l1和l2的函数解析式，再令S1＝S2解方程即可．
【解答】解：设l1的函数解析式为y1＝kx+b，
则，
解得，
∴l1的函数解析式为S1＝5t+3.5；
设l2的函数解析式为S2＝mt，
则0.4m＝6，
解得m＝15，
∴l2的函数解析式为S2＝15t；
令S1＝S2，即5t+3.5＝15t，
解得t＝0.35，
∴出发0.35小时后两人相遇．
故答案为：0.35．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
15．（4分）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C是x轴上的一个动点，将△ABC沿BC所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，则点C的坐标为 （﹣，0） ．
【分析】先求出A，B两点的坐标，故可得出AB的长，再由轴对称的性质得出BD＝AB，故可得出D点坐标，进而可得出结论．
【解答】解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，
∴A（﹣4，0），B（0，﹣3），
∴AB＝＝5，
∵将△ABC沿BC所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，
∴BD＝AB＝5，
∴D（0，2）．
∵将△ABC沿BC所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，
∴点C在线段AD的垂直平分线上，
∴AC＝CD，
设AC＝CD＝x，则OC＝4﹣x，OD＝2，
∴OD2+OC2＝CD2，即22+（4﹣x）2＝x2，解得x＝，
∴OC＝4﹣＝，
∴C（﹣，0）．
故答案为：（﹣，0）．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及轴对称的性质，根据题意得出A、B两点的坐标是解题的关键．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（2，0），B（10，0），点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段PA为边在PA的右上方作等边△APQ，连接QB，在点P运动的过程中，线段QB长度的最小值为 6 ．
【分析】如图，将△ABQ绕点A逆时针旋转60°到△ACP，连接BC，可证△ABC是等边三角形，可求点C坐标，由此确定当PC⊥y轴时，PC最小．
【解答】解：如图，将△ABQ绕点A逆时针旋转60°到△ACP，连接BC，
∴△ABQ≌△ACP，
∴AB＝AC，BQ＝PC，∠PAQ＝∠BAC，
∵△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵A（2，0），B（10，0），
∴AB＝10﹣2＝8，
∴C（6，4），即点C是定点，
∴当PC最小时，BQ最小，
∴当PC⊥y轴时，PC最小，最小值是6，
∴线段QB长度的最小值为6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了确定最小值问题，此类题有难度，正确理解题意是关键，运用旋转的性质作旋转三角形是本题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共86分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用二次根式的除法法则进行计算，即可解答；
（2）利用二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝﹣1；
（2）
＝
＝
＝
＝3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
＝2﹣2+2
＝2；
（2）
＝5﹣2+1+5﹣4
＝7﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．（6分）计算：．
【分析】先计算二次根式、零次幂、负整数指数幂和绝对值，再计算加减．
【解答】解：
＝2+2﹣+2+1
＝2﹣+5．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，﹣2）、B（2，﹣4）、C（4，﹣1）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点的坐标：A1（ 0，﹣2 ），B1（ ﹣2，﹣4 ），C1（ ﹣4，﹣1 ）；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PC最小，标出点P的位置（不写画法，保留作图痕迹）．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由图可得出答案．
（3）取点A关于x轴的对称点A'，连接A'C，交x轴于点P，则点P即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由图可得，A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）．
故答案为：0，﹣2；﹣2，﹣4；﹣4，﹣1．
（3）取点A关于x轴的对称点A'，连接A'C，交x轴于点P，连接AP，
此时PA+PC最小，
则点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
21．（8分）如图，已知直线y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4），B（3，2），且与x轴交于点C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出方程kx+b＝0的解为 x＝2 ；
（3）求△AOB的面积．
【分析】（1）把点A（0，﹣4），B（3，2）代入直线y＝kx+b，得到关于k，b的方程组，解方程组，求出k，b即可；
（2）先求出点C的坐标，然后根据一次函数与一元一次方程的关系，求出方程的解即可；
（3）先根据点O和点A的坐标，求出OA，然后根据点B的坐标，利用三角形的面积公式，求出答案即可．
【解答】解：（1）把点A（0，﹣4），B（3，2）代入直线y＝kx+b得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝2x﹣4；
（2）∵点C在x轴上，
∴点C的纵坐标y＝0，
把y＝0代入y＝2x﹣4得：
2x﹣4＝0，
2x＝4，
x＝2，
∴点C坐标为：（2，0），
∴方程kx+b＝0的解为：x＝2，
故答案为：x＝2；
（3）∵O（0，0），A（0，﹣4），
∴OA＝|﹣4﹣0|＝4，
∵B（3，2），
∴
＝
＝6．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系和利用待定系数法求一次函数的解析式．
22．（8分）如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足+|b﹣6|＝0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动．
（1）点B的坐标为 （4，6） ；当点P移动4秒时，写出点P的坐标 （4，4） ．
（2）若点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿着C→B→A→O→C的线路移动，点Q与点P同时出发，几秒后点Q与点P第一次相遇？
【分析】（1）利用非负数的性质可以求得a、b的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标；根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动，可以得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标；
（2）由题意可以得方程，解答方程即可．
【解答】解：（1）∵a、b满足+|b﹣6|＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，
解得a＝4，b＝6，
∴点B的坐标是（4，6）；
∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→A→B→C→O的线路移动，
∴点P的路程：2×4＝8，
∵OA＝4，OC＝6，
∴当点P移动4秒时，在线段AB上，AP＝8﹣4＝4，
即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是（4，4）；
故答案为：（4，6）；（4，4）；
（2）设t秒后点Q与点P第一次相遇，根据题意得：
2t+t＝14，
解得t＝，
答：s后点Q与点P第一次相遇．
【点评】本题考查矩形的性质，坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
23．（10分）河南信阳毛尖是中国十大名茶之一，因其成品紧密如尖故名毛尖．某公司采购员到信阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式：
设该公司此次购买茶叶xkg，按方式一购买茶叶的总费用为y1元，按方式二购买茶叶的总费用为y2元．
（1）请直接写出y1，y2关于x的函数解析式；
（2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，求该公司此次购买茶叶的质量；
（3）若该公司此次购买茶叶的总预算为6500元，则按哪种方式购买可以获得更多的茶叶？
【分析】（1）根据方式一、方式二的总费用的组成列式即可；
（2）根据方式一、方式二的费用相等列出方程，解方程即可；
（3）根据方式一、方式二的费用＝6500，解方程求出x进行比较即可．
【解答】解：（1）根据题意得：y1＝500+1600x，y2＝200+1800x，
∴y1关于x的函数解析式为y1＝500+1600x，y2关于x的函数解析式为y2＝200+1800x；
（2）根据题意得：500+1600x＝200+1800x，
解得x＝1.5，
答：该公司此次购买茶叶的质量为1.5kg；
（3）按照第一种方式购买茶叶：500+1600x＝6500，
解得x＝；
按照第二种方式购买茶叶：200+1800x＝6500，
解得x＝．
∵，
∴按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶．
【点评】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两种方式的费用表达式是解题的关键．
24．（10分）小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）①化简＝ +1 ；
②当时，求3a2﹣6a﹣1的值．
（2）化简．
【分析】（1）先将a分母有理化得出a＝+1，再代入4a2﹣8a+1＝4（a﹣1）2﹣3计算可得；
（2）将各式分母有理化，再计算加法即可得．
【解答】解：（1）①a＝＝＝+1；
②3a2﹣6a+1＝3（a2﹣2a+1﹣1）+1
＝3（a﹣1）2﹣2
＝3（+1﹣1）2﹣2
＝3×2﹣3
＝3，
故答案为：3；
（2）原式＝+++…+
＝+++…+
＝
＝5．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法．
25．（12分）【复习旧知】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
数轴上表示4和1的两点之间的距离是3；而|4﹣1|＝3；表示﹣3和2两点之间的距离是5；而|﹣3﹣2|＝5；表示﹣4和﹣7两点之间的距离是3；而|﹣4﹣（﹣7）|＝3．
一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离公式为|m﹣n|．
（1）数轴上表示数﹣4的点与表示﹣1的点之间的距离为 3 ．
【探索新知】
如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度，显然是化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．
下面：以求DE为例来说明如何解决．
从坐标系中发现：D（﹣7，5），E（4，﹣3）．所以DF＝|5﹣（﹣3）|＝8，EF＝|4﹣（﹣7）|＝11，所以由勾股定理可得：．
（2）在图②中：设A（x1，y1），B（x2，y2），试用x1，y1，x2，y2表示：AC＝ y1﹣y2 ，BC＝ x1﹣x2 ，AB＝ ．
得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”．
【学以致用】请用此公式解决如下题目：
（3）已知A（﹣2，3）、B（4，﹣5），试求A、B两点间的距离．
（4）已知一个三角形各顶点坐标为A（﹣1，1）、B（﹣3，3）、C（2，4），请判定此三角形的形状，并说明理由．
【分析】（1）由﹣1﹣（﹣4）计算即可求出数轴上表示数﹣4的点与表示﹣1的点之间的距离为3；
（2）结合坐标系及各点坐标即可得出各线段的长度．
（3）利用平面直角坐标系中两点间距离公式解答即可；
（4）利用平面直角坐标系中两点间距离公式分别求得三边的长度，进一步判断即可．
【解答】解：（1）数轴上表示数﹣5的点与表示﹣2的点之间的距离＝﹣1﹣（﹣4）＝3；
故答案为：3；
（2）结合图形可得：AC＝y1﹣y2，BC＝x1﹣x2，AB＝．
故答案为：y1﹣y2；x1﹣x2；；
（3）∵A（﹣2，3）、B（4，﹣5），
∴AB＝＝10，
∴A、B两点间的距离为10；
（4）此三角形为直角三角形，理由如下：
∵A（﹣1，1）、B（﹣3，3）、C（2，4），
∴AB＝＝2，
AC＝＝3，
BC＝＝，
∵AB2＝（2）2＝8，AC2＝（3）2＝18，BC2＝（）2＝26，AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理及两点间的距离公式，看似难度较大，其实不然，注意仔细审题，领悟题意是解题的关键．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x与直线l2：y＝kx+b（k≠0）相交于点A（a，3），直线l2与y轴交于点B（0，﹣5）．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB，使点O与点C重合，AC与x轴交于点D．求证：AC∥OB；
（3）在直线BC下方是否存在点P，使△BCP为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解方程得到A（4，3），待定系数法即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到OA＝＝5，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，根据折叠的性质得到∠OAB＝∠CAB，于是得到结论；
（3）过C作CM⊥OB于M，求得CM＝OD＝4，得到C（4，﹣2），过P1作P1N⊥y轴于N，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝x与直线l2：y＝kx+b相交于点A（a，3），
∴A（4，3），
∵直线交l2交y轴于点B（0，﹣5），
∴y＝kx﹣5，
把A（4，3）代入得，3＝4k﹣5，
∴k＝2，
∴直线l2的解析式为y＝2x﹣5；
（2）∵OA＝＝5，
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵将△OAB沿直线l2翻折得到△CAB，
∴∠OAB＝∠CAB，
∴∠OBA＝∠CAB，
∴AC∥OB；
（3）存在．理由如下：
如图，过C作CM⊥OB于M，
则CM＝OD＝4，
∵BC＝OB＝5，
∴BM＝3，
∴OM＝2，
∴C（4，﹣2），
过P1作P1N⊥y轴于N，
∵△BCP是等腰直角三角形，
∴∠CBP1＝90°，
∴∠MCB＝∠NBP1，
∵BC＝BP1，
∴△BCM≌△P1BN（AAS），
∴BN＝CM＝4，
∴P1（3，﹣9）；
同理可得，P2（7，﹣6），P3（，﹣）．
【点评】本题考查了一次函数的综合题，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的求得P点的坐标是解题的关键．会员卡费用（元/张）
茶叶价格（元/kg）
方式一：金卡会员
500
1600
方式二：银卡会员
200
1800
会员卡费用（元/张）
茶叶价格（元/kg）
方式一：金卡会员
500
1600
方式二：银卡会员
200
1800