四川省百师联盟2024届高三冲刺卷（二）全国卷文科数学试题（解析版）

这是一份四川省百师联盟2024届高三冲刺卷（二）全国卷文科数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了 已知函数为奇函数，则， 世界三大数学猜想分别为， 若，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，. 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解出分式不等式得到集合，再根据交集定义即可.
【详解】，
又因为，
所以，
故选：D.
2. 过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.
【详解】设抛物线的标准方程为，
将点点代入，得，解得，
所以抛物线的标准方程是.
故选：B
3. 在中，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点所在位置，结合平面向量的线性运算，即可求得结果.
【详解】因为，所以为线段上靠近的三等分点，如下图所示：

故．
故选：C．
4. 已知函数为奇函数，则（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】由奇函数的定义可得，结合对数的运算性质计算即可求解.
【详解】因为为R上的奇函数，所以，
即，
整理得，解得.
故选：C
5. 已知，是两条不同直线，，，是三个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. ，，，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间线线、线面、面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可.
【详解】A：若，则与可能相交，可能平行，故A错误；
B：若，则与可能相交，可能平行，故B错误；
C：若，由线面垂直的性质知，故C正确；
D：若，则与可能相交，可能平行，故D错误.
故选：C
6. 某几何体的三视图如图所示，其中每个网格是由边长为1的小正方形组成，则该几何体的侧面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三视图，还原实物图，再根据直观图，利用几何关系，得出各个侧面均为直角三角形，即可求出结果.
【详解】由三视图知，该几何体为四棱锥，其直观图如图所示，其底面是边长为的正方形，侧棱底面，
因为底面，所以，
因为平面平面，所以平面，
因为平面，所以，同理可得，且，
则该几何体的侧面积为，

故选：C．
7. 世界三大数学猜想分别为：“费马猜想”“四色猜想”“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”. 如今，哥德巴赫猜想仍未解决. 目前最好的成果“”由我国数学家陈景润在1966年取得，即任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数（素数）之和. 若将22拆成两个正整数的和，在拆成的所有和式中任取一个和式，加数全部为素数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用列举法，结合古典概型的概率公式计算即可求解.
【详解】将22拆成两个正整数的和有：
1和21、2和20、3和19、4和18、5和17、6和16、
7和15、8和14、9和13、10和12、11和11，共11种拆法，
其中加数全为素数的有3和19、5和17、11和11，共3种，
所以所求的概率为.
故选：D
8. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数恒等变换化简已知可得，再利用诱导公式和二倍角公式求值.
【详解】根据题意，
，
而
.
故选：D
9. 若两条直线，与圆的四个交点能构成矩形，则（ ）
A. B. 1C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意转化为圆心到两直线的距离相等且，再利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由题意，直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，
则可知圆心到两直线的距离相等且，
由圆，配方得，
则，解得.则其圆心为，
圆心到的距离为，
圆心到：的距离为，
所以，整理得到，
由，所以．
故选：D．
10. 某市教育主管部门为了解高三年级学生学业达成情况，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的学业达成情况按照从高到低都分布在五个层次内，分男､女生统计得到以下样本分布统计图，则下列叙述正确的是（ ）
A. 样本中层次的女生比相应层次的男生人数多
B. 估计样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小
C. 层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等
D. 样本中层次的学生数和层次的学生数一样多
【答案】B
【解析】
【分析】频率分布直方图，得女生学业达成在各层次的频率，对选项中的频率频数问题进行判断.
【详解】对于AC，设女生学业达成频率分布直方图中的组距为，
由，得，
所以女生学业达成频率分布直方图中层次频率为，层次频率为，
层次频率为，层次频率为，层次频率为，
因为男､女生样本数未知，所以层次中男､女生人数不能比较，即A选项错误；
同理，层次女生在女生样本数中频率与层次男生在男生样本数中频率相等，都是，
但因男､女生人数未知，所以在整个样本中频率不一定相等，即C选项错误；
对于D，设女生人数为，男生人数为，但因男､女生人数可能不相等，
则层次的学生数为，
层次的学生数为，
因为不确定，所以与可能不相等，即D选项错误；
对于B，女生两个层次的频率之和为，
所以女生的样本学业达成的中位数为B，C层次的分界点，
男生两个层次的频率之和为，显然中位数落在C层次内，
所以样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小，B选项正确．
故选：B．
11. 在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且，若，，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理和三角恒等变换的化简计算可得，结合余弦定理计算即可求解.
【详解】，
由正弦定理得，
又，所以，
即，
得，即，
又，所以，而，
由余弦定理得.
故选：A
12. 2023年6月22日，由中国帮助印尼修建雅万高铁测试成功，高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小．如果用声强（单位：）表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级（单位：）与声强的函数关系式为，其中为基准声强级，为常数，当声强时，声强级．下表为不同列车声源在距离处的声强级：
设在离内燃列车､电力列车､高速列车处测得的实际声强分别为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据声强、声强级之间的关系确定基准声强级，即可判断A；计算可得大小关系，即可判断B，D；计算可得大小关系，即可判断.
【详解】对于：因为声强时，声强级，
所以，解得，故错误；
对于B：因为，
所以，即，故B正确；
对于C：，
所以，即，故C不正确；
对于D，，
所以，即，故D不正确．
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为______.
【答案】12##0.5
【解析】
【分析】根据复数的运算法则可得，进而，结合复数的有关概念即可求解.
【详解】，
所以，
则的虚部为.
故答案为：
14. 已知函数的图象在点处的切线方程是，若，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】首先通过切线方程将，算出，再求出，将代入计算即可.
【详解】将代入切线方程，得，故 ，
由切线方程斜率可知，，，
故答案为: .
15. 已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的有______.
①函数的图象关于直线对称；
②函数的对称中心是；
③函数在区间上单调递增；
④函数的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到.
【答案】
【解析】
【分析】根据二倍角公式、辅助角公式和求得，进而，利用正弦函数的图象与性质，结合命题依次判断即可.
【详解】,
又的最小正周期为，所以，由解得.
所以.
：，
所以是图象的一条对称轴，故正确；
：，
所以是图象的一个对称中心，故错误；
：由，得，
所以图象在上先增后减，故错误；
：图象向右平移个单位长度，
得，故正确.
故答案为：
16. 已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为，. 点A在双曲线上，点在轴上，，，则双曲线的渐近线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】记，分别用m表示出，在中由勾股定理可得，在中由三角函数定义可得，再在中利用余弦定理列齐次式，然后可得渐近线方程.
【详解】因为，所以三点共线，
又，所以为直角三角形，
记，则，
由双曲线定义和对称性可得，
则有，即，
解得或（舍去）.
记，则，
在中，由余弦定理得，
整理得，得
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：60分.
17. 已知正项数列满足，等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，得到，由等比数列的定义及通项公式，可求得，再根据条件，建立数列的首项与公差的方程，求得，即可求出；
（2）分组求和，转化成公式法求和及裂项求和，即可求出结果.
【小问1详解】
由，得．
由，可得，又，所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，得到，所以，
设等差数列的首项为，公差为，则，解得，
所以．
【小问2详解】
由（1）可得，
所以
．
18. 芯片作为集成电路的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工业的重要因素. 根据市场调研与统计，某公司自2018年起的五年时间里在芯片技术上的研发投入（单位：亿元）与收益（单位：亿元）的数据统计如下：
（1）根据表格中的数据，在给出的坐标系中画出散点图，并判断与是否线性相关；
（2）若与线性相关，求出关于的回归方程，并预测2023年底该公司的收益.
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；
参考数据：，，，，.
【答案】（1）答案见解析
（2）亿元
【解析】
【分析】（1）画出散点图，观察与具有线性相关性；
（2）由最小二乘法求解即可，代入回归方程，进行预测.
【小问1详解】
根据散点图，可判定与具有线性相关性；
【小问2详解】
由题图中数据得，
所以，
，
所以y关于x的回归直线方程为，
当时，（亿元），
2023年底该公司的收益的预测值为亿元．
19. 如图，在直角梯形中，，，，，，分别是，上的点，且，现将四边形沿向上折起成直二面角，设.
（1）若，在边上是否存在点，满足，使得平面？若存在，求出；若不存在，说明理由.
（2）当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离.
【答案】（1）存在点，满足使得平面.理由见详解
（2）3
【解析】
【分析】（1）如图，当时，由题意可得且，进而，结合线面平行的判定定理即可证明；
（2）根据面面垂直的性质可得平面，利用三棱锥的体积公式可得三棱锥，由二次函数的性质求出的最大值，此时，根据余弦定理和三角形面积公式求出，结合等体积法计算即可求解.
【小问1详解】
存在，使得平面，此时.
证明如下：
当时，过作，与交于，连接，
则，又，得，因为，
所以且，所以四边形为平行四边形，
得，又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
由题意知，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
由，得，
所以三棱锥的体积为，
当时，三棱锥的体积取得最大值，最大值为3.
此时，
由平面，平面，得，
又，所以，
在中，由余弦定理得，
所以，得，
设点到平面的距离为，由，
得，解得，
即点到平面的距离为.
20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，离心率为，短轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，，与不重合，直线与的斜率之积为. 证明：直线过定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据短轴和离心率定义得到方程组，求出，得到椭圆方程；
（2）方法一：设的方程，代入，得到两根之和，两根之积，根据斜率之积得到方程，求出或，检验后得到符合要求，并求出所过定点；
方法二：设直线的方程为，椭圆方程变形得到，联立得到，若是上的点，则斜率为，得到，故，求出，求出定点坐标.
【小问1详解】
，解得，
椭圆的方程为.
【小问2详解】
方法一：设直线的方程为，代入得
，
设，
得，

则，
，
即，解得或.
当时，此时，直线过定点，
而与不重合，不合题意.
当时，此时，
此时直线过定点，满足要求.
方法二：由题意，直线不经过点，
设直线的方程为①.
由方程得.
②.
由①②得，
.
若是上的点，则斜率为，
，
的斜率，即，解得.
的方程为，即，故过定点.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法联立椭圆方程，从而得到韦达定理式，再计算斜率之积的表达式，将韦达定理式代入得到或，分别验证即可.
21. 已知函数，.
（1）求的极值；
（2）证明：.
【答案】（1）极大值为，无极小值.
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求出的单调性，再根据单调性求得极值；
（2）构造，求出其单调性进而求得最小值为，证明即可．
【小问1详解】
，，
当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以当时，取得极大值，无极小值.
【小问2详解】
解：令，
则，
令，
则在上恒成立，
所以在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，
即，
所以时，，，单调递减，
时，，，单调递增，
，
令，
则在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
所以．
【点睛】难点点睛：本题的易错点为必须说明无极小值；难点是（2）中结合零点存在定理估计，进而证得，这里的我们称之为“隐零点”；如果的范围不合适，可以借助二分法去缩小的范围，直至证得．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系中，直线的方程为：，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）①若直线上的动点与定点满足，求以为参数的直线的参数方程；
②求曲线直角坐标方程；
（2）设直线与曲线的交点为，求弦长的值．
【答案】（1）① （为参数）；②；
（2）8.
【解析】
【分析】（1）①根据直线过点及其倾斜角，直接写出参数方程即可；②由，结合曲线的极坐标方程，即可求得直角坐标方程；
（2）联立直线的参数方程和曲线的直角坐标方程，得到的一元二次方程，利用韦达定理和参数的几何意义，即可求得弦长.
【小问1详解】
①直线过点，倾斜角为，则其以为参数的参数方程为（为参数）．
②曲线的极坐标方程为，有，
由得曲线的直角坐标方程为．
【小问2详解】
将（为参数）代入曲线的方程，得，
即，由于，
故可设是方程的两个不同的实根，故两点对应的参数分别为，
所以，．
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令，将其转化为分段函数，再分类讨论解不等式即可；
（2）利用绝对值不等式的性质求的最小值，从而可得实数的取值范围.
【小问1详解】
令．
当时，即，，
当时，，解得，此时；
当时，不成立，此时无解；
当时，，解得，此时．
综上，的解集为．
【小问2详解】
，即，
，当且仅当时等号成立，
，即．
解得．
的取值范围是．
声源
与声源的距离（单位：）
声强级范围
内燃列车
20
电力列车
20
高速列车
20
年份
2018
2019
2020
2021
2022
投入
1
2
3
4
5
收益
23.1
37.0
62.1
111.6
150.8