高中数学人教A版 (2019)必修第一册2.2 基本不等式示范课ppt课件

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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修第一册2.2 基本不等式示范课ppt课件，共13页。

强化专题1　基本不等式的应用技巧【方法技巧】应用基本不等式“四”勿忘 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①勿忘“正”：“正”是指使用基本不等式的前提条件是各项均为正实数. = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②勿忘“定”：“定”是指用基本不等式时，和或积为定值. = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③勿忘“等”：“等”是利用基本不等式求最值时，应注意等号是否可以取到，即等号成立的条件. = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④勿忘“同”：“同”是指多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同.在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常数的代换、代换换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用．【题型目录】一、配凑法求最值二、常数代换法求最值三、展开后求最值四、换元法求最值五、消元法求最值六、二次与二次（或一次）的商式的最值七、运用基本不等式后解一元二次不等式最值八、利用两次基本不等式求值九、平方后使用基本不等式【例题详解】一、或配凑法求最值1．已知函数y＝x－4＋eq \f(9,x＋1)(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b等于(　　)A．－3 B．2 C．3 D．8【答案】C【详解】y＝x－4＋eq \f(9,x＋1)＝(x＋1)＋eq \f(9,x＋1)－5，因为x>－1，所以x＋1>0，所以y≥2eq \r(x＋1·\f(9,x＋1))－5＝2×3－5＝1，当且仅当x＋1＝eq \f(9,x＋1)，即x＝2时，等号成立，即a＝2，b＝1，所以a＋b＝3.2．若，则函数的最小值为（）A．4 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为；故选：C3．已知x>2，求x＋eq \f(4,x－2)的最小值．【详解】∵x>2，∴x－2>0，∴x＋eq \f(4,x－2)＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2≥2 eq \r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6，当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)，即x＝4时，等号成立.∴x＋eq \f(4,x－2)的最小值为6.4．已知x<3，求eq \f(4,x－3)＋x的最大值．【详解】∵x<3，∴x－3<0.∴f(x)＝eq \f(4,x－3)＋x＝eq \f(4,x－3)＋x－3＋3＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3－x)＋3－x))＋3≤－2 eq \r(\f(4,3－x)·3－x)＋3＝－1，当且仅当eq \f(4,3－x)＝3－x，即x＝1时取等号.∴f(x)的最大值为－1.5．求函数f(x)＝2x(5－3x)，x∈(0，eq \f(5,3))的最大值.【详解】f(x)＝2x(5－3x)＝eq \f(2,3)×3x(5－3x)≤eq \f(2,3)(eq \f(3x＋5－3x,2))2＝eq \f(25,6)，当且仅当3x＝5－3x，即x＝eq \f(5,6)时，等号成立.故f(x)的最大值为eq \f(25,6).二、常数代换法求最值1．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值是(　　)A．eq \f(7,2) B．4 C．eq \f(9,2) D．5【答案】C【详解】∵a＋b＝2，∴eq \f(a＋b,2)＝1.∴eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝(eq \f(1,a)＋eq \f(4,b))(eq \f(a＋b,2))＝eq \f(5,2)＋(eq \f(2a,b)＋eq \f(b,2a))≥eq \f(5,2)＋2 eq \r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＝eq \f(9,2) (当且仅当eq \f(2a,b)＝eq \f(b,2a)，即b＝2a＝eq \f(4,3)时，“＝”成立)，故y＝eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值为eq \f(9,2).2．已知，且，则的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】转化后由基本不等式“1”的妙用求解【详解】因为，，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立.所以的最小值为2.故选：A3．若，都是正数，且，则的最小值为（）A．4 B．8 C． D．【答案】A【分析】将代入，利用基本不等式直接求解即可得出结论．【详解】若，都是正数，且，当且仅当时等号成立，故选：A.4．已知正实数满足，则的最小值为___________.【答案】8【分析】根据结合基本不等式即可得解.【详解】解：因为，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为8.故答案为：8.5．已知，求的最小值．【答案】【分析】因为，所以，利用构造思想，用基本不等式可得出答案.【详解】因为，所以，，当且仅当 “”时取等号，即且，即时取等号.所以的最小值为：.三、展开后求最值1．若xy是正数，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x)))2的最小值是(　　)A．3 B．eq \f(7,2) C．4 D．eq \f(9,2)【答案】C【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2y)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2x)))2＝x2＋eq \f(x,y)＋eq \f(1,4y2)＋y2＋eq \f(y,x)＋eq \f(1,4x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4x2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2＋\f(1,4y2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(y,x)))≥1＋1＋2＝4.当且仅当x＝y＝eq \f(\r(2),2)或x＝y＝－eq \f(\r(2),2)时取等号.2．若a，b是正数，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))的最小值为(　　)A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【详解】∵a，b是正数，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4a,b)))＝1＋eq \f(4a,b)＋eq \f(b,a)＋4＝5＋eq \f(4a,b)＋eq \f(b,a)≥5＋2eq \r(\f(4a,b)·\f(b,a))＝5＋4＝9，当且仅当b＝2a时取“＝”．四、换元法求最值1．函数y＝eq \f(\r(x＋2),2x＋5)的最大值是________.【答案】eq \f(\r(2),4)【详解】设t＝eq \r(x＋2)，从而x＝t2－2(t≥0)，则y＝eq \f(t,2t2＋1).当t＝0时，y＝0；当t>0时，y＝eq \f(1,2t＋\f(1,t))≤eq \f(1,2 \r(2t·\f(1,t)))＝eq \f(\r(2),4).当且仅当2t＝eq \f(1,t)，即t＝eq \f(\r(2),2)时等号成立.即当x＝－eq \f(3,2)时，ymax＝eq \f(\r(2),4).2．已知正数满足，则的最大值是___________.【答案】【分析】设，表达出，结合基本不等式求解最值，再根据二次不等式求解即可.【详解】设，则，所以，当且仅当时取等号.所以，解得，即的最大值，当且仅当，即，时取等号.故答案为：3．已知实数，满足，则的最小值为__________．【答案】【分析】通过换元，设，，再根据题干中这个条件，即可得到，然后利用均值不等式即可得到答案.【详解】设，，，可得，则.当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.4．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)为500，b>0，∴a－1>0，即a>1，∴b＝eq \f(a＋3,a－1)，∴ab＝a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋3,a－1)))＝eq \f(a2＋3a,a－1)＝eq \f(a－12＋5a－1＋4,a－1)＝(a－1)＋eq \f(4,a－1)＋5.∵a>1，∴a－1＋eq \f(4,a－1)≥2eq \r(a－1·\f(4,a－1))＝4，当且仅当a－1＝eq \f(4,a－1)，即a＝3时，取等号，此时b＝3，∴ab≥9.∴ab的最小值为9.3．若实数x，y满足xy＋3x＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(03.则eq \f(3,x)＋eq \f(1,y－3)＝y＋3＋eq \f(1,y－3)＝y－3＋eq \f(1,y－3)＋6≥2eq \r(y－3·\f(1,y－3))＋6＝8，当且仅当y＝4，x＝eq \f(3,7)时取等号．六、二次与二次（或一次）的商式的最值1．若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用基本不等式求得的最大值，再根据恒成立，即可求解，得到答案.【详解】由题意，对任意，则有，当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为，又由对任意时，恒成立，所以，即的取值范围为.故选：A.2．当x>3时，求函数y＝eq \f(2x2,x－3)的值域为__________．【详解】∵x>3，∴x－3>0.∴y＝eq \f(2x2,x－3)＝eq \f(2x－32＋12x－3＋18,x－3)＝2(x－3)＋eq \f(18,x－3)＋12≥2 eq \r(2x－3·\f(18,x－3))＋12＝24.当且仅当2(x－3)＝eq \f(18,x－3)，即x＝6时，上式等号成立，∴函数y＝eq \f(2x2,x－3)的值域为[24，＋∞).3．当时，的最大值为 __________．【答案】【分析】分子分母除以之后出现定值，然后可以用基本不等式求最值.【详解】当时，，当且仅当x，即x＝2时等号成立.即的最大值为．故答案为：．七、运用基本不等式后解一元二次不等式最值1．若实数满足：，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据基本不等式可求的最小值.【详解】因为，所以，由基本不等式可得，故，解得或（舍），即当且仅当时等号成立，故的最小值为1，故选：A.2．若，则的最小值是___________.【答案】2【分析】根据，结合已知解不等式即可得出答案.【详解】解：因为，所以，则，所以，解得或（舍去），当且仅当，即时，取等号，所以的最小值是2.故答案为：2.3．已知，，若，则的最大值为_________【答案】【分析】利用基本不等式，代入方程中，即可求解.【详解】正数，满足，，即，解得，故，当且仅当时取等号．的最大值为，故答案为：44．已知正数满足，试求、的范围.【答案】的取值范围是；的取值范围是.【分析】利用均值不等式化归为其它不等式，解不等式即可求解.【详解】由，则可化为：，即解得（舍）或，当且仅当时取“=”号，故的取值范围是.又解得（舍）或，当且仅当时取“=”号，故的取值范围是八、利用两次基本不等式求值1．若，则的最小值为____________．【答案】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.2．已知a，b∈R，且，则的最小值是 _____．【答案】2【分析】两次利用基本不等式即可得出结论.【详解】∵，∴ ，当且仅当a＝1＝b时取等号，其最小值是2，故答案为：2．3．若，，则的最小值是（）A．16 B．18 C．20 D．22【答案】C【分析】化简，再根据基本不等式求最小值即可【详解】因为，，所以(当且仅当时，等号成立)，所以的最小值是20.故选：C九、平方后使用基本不等式1．若x>0，y>0，且2x2＋eq \f(y2,3)＝8，则xeq \r(6＋2y2)的最大值为________．【答案】eq \f(9,2)eq \r(3)【详解】(xeq \r(6＋2y2))2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(y2,3)))≤3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x2＋1＋\f(y2,3),2)))2＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))2.当且仅当2x2＝1＋eq \f(y2,3)，即x＝eq \f(3,2)，y＝eq \f(\r(42),2)时，等号成立．故xeq \r(6＋2y2)的最大值为eq \f(9,2)eq \r(3).2．已知正数x，y满足，则的最小值为________．【答案】12【分析】将式子适当变形结合二次函数的性质即可求解.【详解】由题意，，，，将代入，原式，当时，取到最小值12．故答案为：12．