江苏省南京市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题（原卷版）

这是一份江苏省南京市2023-2024学年高一下学期6月期末数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了 若复数满足，则的虚部为， 若，则的最大值为等内容，欢迎下载使用。
1. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D. 1
2. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
3. 设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（ ）
A. 若，，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
4. 如图，在等边中，，点P为边BC上的一动点，则的最小值为（ ）
A. 0B. C. D.
5. 已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部和琉璃塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则琉璃塔的高度约为（ ）
A. 78B. 74C. 64D. 52
7. 设是球表面上的四个点，平面，，，，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，是非零复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论中正确的是（ ）
A
B.
C
D. 若，则的最大值为
10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若，则一定有
B. 若是锐角三角形，则一定有成立
C. 若，则一定是直角三角形
D. 若，则一定是锐角三角形
11. 如图，已知菱形的边长为2，，将沿翻折为三棱锥，点为翻折过程中点的某一位置，则下列结论正确的是（ ）
A. 无论点在何位置，总有
B. 点存在两个位置，使得成立
C. 当平面平面时，异面直线与所成角的余弦值为
D. 当时，为上一点，则的最小值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 数据4，1，6，2，9，5，860百分位数为___________.
13. 一个封闭的正三棱柱容器的高为，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点，，，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为______.
14. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是___________.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 从全校学生的期末考试成绩（均为整数）中随机抽取一个样本，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，如图中从左到右各小组的小矩形的高之比为，最左边的一组频数是6.
（1）求样本容量；
（2）求这一组的频数及频率；
（3）估计这组样本数据的众数和中位数.
16. 已知，，与的夹角为.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）求的值；
（3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
17. 为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是.
（1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率；
（2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试概率.
18. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为nmile．为钝角，且．
（1）求小岛与小岛之间的距离；
（2）求四个小岛所形成的四边形的面积；
（3）记为，为，求值．
19. 如图，正三棱柱中，各棱长均相等，､､､分别为棱､､､的中点.
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）求二面角的余弦值.