江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题（原卷版）

这是一份江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题（原卷版），共5页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，且，则的值为（ ）
A. 6B. 10C. 12D. 14
2. 已知向量，则下列向量中与成夹角的是（ ）
A. B. C. D.
3. 在函数，，，中，导函数值不可能取到1的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=1，＝（ ）
A. －1B. 0
C. 1D. 不确定
5. 当时，函数取得最大值，则（ ）
A B. C. D. 1
6. 如图，在平行六面体中，，，，则的长为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知是定义在R上的奇函数，的导函数为 ，若 恒成立，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设空间两个单位向量与向量的夹角都等于，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知，下列说法正确的是（ ）
A. 在x=1处的切线方程为B. 单调递减区间为
C. 的极小值为D. 方程2024有两个不同的解
11. 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的《高等数学》与《数学分析》教材中，对“初等函数”给出了明确的定义，即初等函数是指由常数及基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数．根据以上材料，关于初等函数的说法正确的是（ ）
A. 无极小值B. 有极小值1
C. 无极大值D. 有极大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，则______________.
13. 在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为______．
14. 若关于不等式在内有解，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，x=1时取得极小值10.
（1）求函数的解析式;
（2）求函数在区间上最值.
16. 如图，直三棱柱内接于圆柱，为圆柱底面的直径，，为中点，为中点.
（1）求直线BM与平面所成角的正弦值
（2）若求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
17. 已知函数.
（1）若为常数，求曲线y=f(x)在点处切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）判断与1.314的大小关系，并说明理由.
18. 如图所示，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，．
（1）取线段中点，连接，判断直线与平面是否平行并说明理由；
（2）求到平面的距离；
（3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19. 已知函数均为实数，为的导函数.
（1）当时，求函数的单调区间;
（2）当时，若函数与直线在上有两个不同的交点，求实数的取值范围.
（3）当时，已知，若存在，使得成立，求证:.