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高教版（2021·十四五）基础模块 上册3.3 函数的性质获奖教学设计及反思
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这是一份高教版（2021·十四五）基础模块 上册3.3 函数的性质获奖教学设计及反思，共18页。
3.3 函数的性质
选用教材
高等教育出版社《数学》
（基础模块上册）
授课
时长
4 课时
授课
类型
新授课
教学提示
本课将通过实例和学生熟悉的函数图像，帮助学生理解函数的单调性和奇偶性，引导学生正确地使用符号语言刻画函数的单调性和奇偶性，并通过几种常见函数：一次函数、反比例函数、二次函数整体系统
地研究函数的性质．
教学目标
结合函数图像，能用数学语言表达函数单调性、奇偶性的定义，能通过图像法和定义法判断函数的单调性和奇偶性，逐步提高直观想象和数学抽象等核心素养；能利用函数的单调性判断同一单调区间内两个函数值的大小，知道函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系，能从函数单调性、奇偶性等角度，重新认识一次函数、反比例函数和一元二次函数，初步学会在具体函数中怎样研究对函数的一般性质的方法，逐步提
高数学抽象、逻辑推理等核心素养．
教学
重点
函数的单调性和奇偶性及几种常见函数的性质
教学
难点
定义法判断函数单调性和奇偶性
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
情境导入
函数是描述客观事物运动变化规律的数学模型．了解了函数的变化规律，也就基本把握了相应事物的变化规律，因此这一节我们一起来研究函数的性质．
3.3.1 函数的单调性
请大家观察下图，这是某市某天气温?（℃） 是时间?(时)的函数图像，记这个函数为? =
?(?)．
观察图像，当自变量?变化时，函数?(?)怎样变化? 如何用数学的语言来表示这个变化？
说明
引导学生观察分析
观察
通过实例让学生观察函数图像的变化趋势， 在教师的引导下学会用数学
语言描
由图可知：时间从 4ℎ到 14ℎ曲线呈上升趋势，说明气温随时间的增加而逐渐升高，也就是
说当? ∈ [4，14] 时，函数? = ?(?)的值随自变量 x 的增大而增大．时间从 14ℎ到 24ℎ曲线呈下降趋势，说明气温随时间的增加而逐渐降低，也
就是说当? ∈ [14，24] 时，函数? = ?(?)的值随自变量 x 的增大而减小．
由图可知：在给定区间[4，14]上，对于图像
上的任意两点?1(?1, ?1)，?2(?2, ?2)，当?1 € ?2
时，都有
?1 € ?2，即，f(x1)＜f(x2)．
在给定区间[14，24]上，对于图像上的任意两点?3(?3, ?3)，?4(?4, ?4)，当?3 € ?4时，都有
?3 Σ ?4，即
f(x3)＞f(x4)．
述函数
看图
值随着
思考
自变量
的变化
而变化
启发
分析
的规律，
引出单
调性，培
体会
养学生
直观想
象、逻辑
推理和
数学抽
象等核
引导
领悟
心素养
总结
从上述例子可抽象出如下定义：
设函数? = ?(?)的定义域为 D，区间? ⊆ ?．
（1）如果对于区间?上的任意两点?1，?2， 当?1 € ?2时，都有
?(?1) € ?(?2)，
那么称函数? = ?(?)在区间?上是增函数，区间
I 称为函数? = ?(?)的增区间．如图（1）所示．
归纳
师生共
同归纳
说明
函数的
探索
新知
理解
单调性
总结
的定义，
仔细
学会定
分析
性描述
（2）如果对于区间?上的任意两点?1，?2， 当?1 € ?2时，都有
?(?1) Σ ?(?2)，
那么称函数? = ?(?)在区间?上是减函数，区间
?称为函数? = ?(?)的减区间．如图（2）所示．
如果函数? = ?(?)在区间?上是增函数或减函数，那么称函数? = ?(?)在区间?上具有单调性，区间?称为单调区间．增区间也称为单调增区间，减区间也称为单调减区间．
讲解
和定量
关键
刻画函
词语
数的单
调性，培
引导
养学生
学生
数学抽
观察
象等核
图像
记忆
心素养
领会
说明
观察
例 1 根据函数在 R 上的图像，如图所示，写出其单调区间：
解（1）由图（1）所示函数图像可知，函数? =
?(?)的定义域为 R，增区间为(—∞， 0]，减区
间为[0， + ∞)．
（2）由函数图像（2）可知，函数? = ?(?)的定义域为 (—∞， 0) ∪ （0, +∞) ，增区间为
(—∞， 0)和（0, +∞)．
提问
观察
通过例
题帮助
学生理
解函数
思考
的单调
强调
性，并学
会利用
例题
辨析
分析
求解
图像法
和定义
法判断
函数的
单调性，
在解决
问题时
强调学
探究与发现
函数 f x 1 的减区间能写成(—∞， 0) ∪
x
（0, +∞)吗？
例 2 讨论函数?(?) = 2? + 1在(—∞， + ∞）上的单调性．
解 任取?1, ?2 ∈ (—∞， + ∞）且?1 € ?2，因为
?(?1) — ?(?2) = (2?1 + 1)－(2?2 + 1)
=2?1 — 2?2
= 2(?1－?2)，
由?1 — ?2 € 0，所以?(?1) — ?(?2) € 0,即
?(?1) € ?(?2)．
所以函数?(?) = 2? + 7在(—∞， + ∞）上是增函数．
例 3 证明函数?(?) = 1 + 1在区间(—∞， 0)上
s
是减函数．
证明 任取?1, ?2 ∈ (—∞， 0)且?1 € ?2．因为
?(? ) — ?(? ) =1 + 1) —1 + 1)
12((
?1?2
= 1 — 1 = s2–s1，
s1s2s1s2
由?2 — ?1 Σ 0, ?1?2 Σ 0，所以?(?1) — ?(?2) Σ 0，即
f(x1) Σ f(x2) ．
所以函数?(?) = 1 + 1在区间(-∞， 0) 上是减
s
函数．
生注意
提问
观察
给定区
质疑
思考
间
引导
分析
提问
观察
思考
分析
讲解
求解
提问
观察
思考
分析
求解
讲解
练习 3.3.1
提问
思考
通过练
1．填空题（填“增”或“减”）：
习及时
（1）函数? = ? + 1在（－，+）上是
掌握学
函数；
生的知
（2）函数? = －2?在（－，+）上是
识掌握
函数；
情况，查
（3）函数? = 2在（－，0）上是
s
巡视
动手
求解
漏补缺
函数；
（4）函数? = — 5在（0，+）上是
s
函数；
2．已知函数? = ?(?)，? ∈ [—2,4]，如图所
巩固
示，试写出函数的单调区间，并说明在每一单调
练习
区间上函数的单调性．
指导
交流
3． 若函数 ?(?) = ?? + 2? — 5在 R 上是
减函数，求?的取值范围．
4．证明：
（1）函数?(?) = —? — 2在(—∞, +∞)上是
减函数．
（2）函数?(?) = 2?2 + 1在(—∞, 0)上是减
函数．
情境导入
3.3.2 函数的奇偶性
大千世界，美无处不在．下图展示了生活中的对称之美．
说明
观察
通过实例让学
生观察
其实，我们的数学中也存在着对称美，函数图像的对称就是其中一种．义务教育阶段，我们
已经知道函数?(?) = ?2 的图像和?(?) = 1的图
s
像：
函数?(?) = ?2 的图像是关于?轴对称的轴对称图形，函数?(?) = 1的图像是关于原点对称
s
的中心对称图形．
观察这两种对称的函数图像，自变量互为相反数时，它们对应的函数值有什么关系？
关于函数?(?) = ?2的图像分析：
从函数值的角度看，对于函数?(?) = ?2， 有：
?(—1) = 1 = ?(1)，
?(—2) = 4 = ?(2)，
?(—3) = 9 = ?(3)，
……
对于函数?(?) = ?2，自变量互为相反数时， 对应的函数值相等．即对于定义域 R 上的任意一个?，都有
?(—?) = ?2 = ?(?)．
关于函数?(?) = 1的图像分析：
s
函数图
引导
思考
像的对
学生
称情况，
观察
归纳
在教师
分析
总结
的引导
下学会
用数学
语言描
思考
述函数
归纳
值的特
总结
征规律，
分析
引出奇
偶性么，
从具
培养学
体的
生逻辑
函数
推理和
启发
体会
数学抽
学生
象等核
观察
领悟
心素养
函数
值的
特点
思考
引导
从具
分析
体的
函数
对于函数?(?) = 1有：
启发
s
?(—1) = —1 = —?(1)，
学生
?(—2) = — 1 = —?(2)，
观察
体会
2
函数
?(—3) = — 1 = —?(3)，
3
值的
领悟
……
特点
事实上，对于函数?(?) = 1，自变量互为相
s
反数时，对应的函数值也互为相反数．即对于定
引导
义域(—∞, 0) ∪ (0, +∞)上的任意一个?，都有
?(—?) = — 1 = —?(?)．
s
关于函数?(?) = ?2的图像分析引出
设函数? = ?(?)的定义域为数集?，若对于任意的? ∈ ?，都有—? ∈ ?，且
?(—?) = ?(?)，
则称? = ?(?)是偶函数．偶函数的图像关于?轴对称．
关于函数?(?) = 1的图像分析引出 s
设函数? = ?(?)的定义域为数集?，若对于任意的? ∈ ?，都有—? ∈ ?，且
?(—?) = —?(?)，
则称? = ?(?)是奇函数．奇函数的图像关于原点中心对称．
如果一个函数是奇函数或偶函数，就说这个函数具有奇偶性，其定义域一定关于原点中心对称．
探究与发现
有没有某个函数，它既是奇函数又是偶函数？如果有，请举例说明．
师生共
归纳
理解
同归纳
总结
函数的
记忆
奇偶性
的定义，
归纳
理解
学会定
总结
性描述
和定量
记忆
刻画函
探索
新知
数的奇
说明
偶性，培
养学生
数学抽
引导
象和逻
学生
辑推理
思考
等核心
素养
思考
讨论
例 4 讨论下列函数的奇偶性：
提问
观察
通过例
（1）?(?) = ?3；（2）?(?) = ?2 + ?4；
题帮助
（3）?(?) = ?+ 1；（4）?(?) = √?．
学生理
解（1）?(?) = ?3的定义域为 R，对于任意的? ∈
解函数
?，都有—? ∈ ?，且
思考
的奇偶
?(—?) = (—?)3 = —?3 = —?(?)，
强调
性，并学
所以?(?) = ?3是奇函数．
会利用
（2）?(?) = ?2 + ?4的定义域为 R，对于任
定义法
意的? ∈ ?，都有—? ∈ ?，且
求解
判断函
?(—?) = (—?)2 + (—?)4 = ?2 + ?4 = ?(?)，
数的奇
所以?(?) = ?2 + ?4是偶函数．
分析
偶性，以
（3）?(?) = ?+ 1的定义域为 R，对于任意
及利用
的? ∈ ?，，都有—? ∈ ?，且
图像的
例题辨析
?(—?) = —? + 1 G —?(?)，
?(—?) = —? + 1 G ?(?)，
讲解
对称性
完成整
所以?(?) = ?+ 1既不是奇函数也不是偶函
个函数
数．
的描画，
（4）?(?) = √?的定义域为0，+ ，对于
培养学
生直观
1 ∈ 0，+ ，而— 10，+ ，所以函数?(?) =
形象、逻
√?既不是奇函数也不是偶函数．
辑推理
例 5（1）图（1）给出了偶函数? = ?(?)在[0, +∞)
等核心
上的函数图像，试将? = ?(?)的图像补充完整，
提问
观察
素养
并指出函数的单调区间．
（2）图（2）给出了奇函数? = ?(?)在0, +∞)
上的函数图像，试将? = ?(?)的图像补充完整，
并指出函数的单调区间．
解（1）由于函数? = ?(?)是偶函数，所以它的图像关于?轴对称，因此它的图像如图所
示．函数? = ?(?)的减区间为(—∞, 0]，增区间为[0, +∞)．
（2）由于函数? = ?(?)是奇函数，所以它的图像关于原点中心对称，因此它的图像如图所示．
函数? = ?(?)的增区间为(—∞, +∞)．
温馨提示
利用函数图像可以判断函数的奇偶性，根据函数的奇偶性也可以研究函数图像．
如在研究函数时，如果我们知道它是奇函数或偶函数，就可以先研究它在非负区间上的性质，然后利用对称性便可得到它在非正区间
上的性质，从而减少工作量．
引导
分析
思考
讲解
求解
理解
领悟
说明
练习 3.3.2
1．填空题：
（1）点?(2,3)关于?轴对称的点为 ， 关于?轴对称的点为 ，关于坐标原点对称的点为 ；
提问
思考
通过练
习及时
巩固
练习
掌握学
生的知
识掌握
（ 2 ） 点 ?(?, ?) 关 于 ? 轴 对 称 的 点
情况，查
为 ，关于?轴对称的点为 ，
动手
漏补缺
关于坐标原点对称的点为 ．
巡视
求解
2．讨论下列函数的奇偶性：
（1）?(?) = ?+ 1；（2）?(?) = |?|；
s
（3）?(?) = 1 — 2?；（4）?(?) = ?2 + 1．
3．已知偶函数? = ?(?)和奇函数? = ?(?)
的定义域均为[－4，4]，下图为它们在[0，4]上
的图像．
（1）求?(—2)与?(—2)；
指导
交流
（2）将函数? = ?(?)和? = ?(?)在定义域内的
图像补充完整．
3.3.3 几种常见的函数
回顾义务教育阶段学过的一次函数、反比例函数与二次函数，它们的定义域、值域、单调性、奇偶性等各是怎样的呢？如何用数学的语言表达？
引导
思考
利用新
回顾
授知识
情境
导入
分析
来再次
认识已
学函数
1．一次函数
? = ?? + ?(? G 0)是一次函数，其图像为直线，如图所示．
由一次函数? = ?? + ?(? G 0)的解析式和图像不难发现，其定义域和值域均为 R，
并有如下性质：
（1）当? Σ 0时，在 R 上是增函数，如图（1）
师生共
同归纳
启发
一次函
探索
新知
学生
数的性
质，对函
数性质
进行再
所示；当? € 0时，在 R 上是减函数，如图（2） 所示．
（2）当? = 0时，如图（3）（4）所示.一次函数
? = ??(? G 0)是奇函数，其图像关于原点中心对称．
归纳总结
分析
认识、再提高，培养学生直观形
象、逻辑
记忆
推理等核心素养
例 6 设函数? = (3? + 4)? + ?在 R 上是减函
提问
观察
通过例
数，求?的取值范围．
题帮助
例题
解 由函数? = (3? + 4)? + ?在 R 上是减函数，
强调
思考
学生理
辨析
可得3? + 4? € 0，即? € — 4，所以?的取值范
3
解一次
围(— 4 , +∞)
3
分析
求解
函数的
性质
2．反比例函数
? = k (? G 0)是反比例函数，其图像如图所
s
示．
由反比例函数? = k (? G 0)的解析式和图
s
像可知：其定义域和值域均为（ — ∞，0） ∪
（0， + ∞），并有如下性质：
（1）当? Σ 0时，函数图像在第一、三象限，在(—∞，0)和(0， + ∞)上都是减函数；
当? € 0时，函数图像在第二、四象限，在
师生共
同归纳
启发
反比例
学生
函数的
性质，对
函数性
质进行
探索
再认识、
新知
分析
再提高，
培养学
归纳
生直观
总结
形象、逻
记忆
辑推理
等核心
素养
(—∞，0)和(0， + ∞)上都是增函数．
（2）函数是奇函数，图像关于原点中心对称．
例题辨析
例 7设反比例函数? = k (? G 0)的图像经过
s
点(—3, —2)，问函数图像是否一定经过点(3,2)?
解 因为反比例函数? = k (? G 0)是奇函数，它
s
的图像关于原点?对称．而点(—3, —2)关于原点
?对称的点是(3,2)，所以函数图像一定经过点(3,2)．
例 8一次函数? = (2? + 1)? + ?在 R 上是增
函数，其图像与反比例函数? = n2的图像交于
s
点（1，4），求这个一次函数与反比例函数． 解 由一次函数? = (2? + 1)? + ?在 R 上是增
函数，可得2? + 1 Σ 0，所以? Σ — 1；
2
因为两个函数的图像交于点（1，4），将
该点坐标代入反比例函数，得4 = n2，
1
所以，m=±2．由于? Σ — 1，所以? = —2不合
2
题意，舍去，故? = 2．
一次函数为? = 5? + ?，将点（1，4）代入得， 4 = 5 × 1 + ?，即? = —1．
所以这个一次函数为? = 5? — 1，反比例
函数为? = 4．
s
提问
强调
分析
提问
强调
分析
讲解
观察
思考
求解
观察
思考
求解
通过例题帮助学生理解正比例函数的性质
探索新知
3．二次函数
? = ??2 + ?? + ?(? G 0)是二次函数，其图
像是抛物线，顶点坐标为(— b , 4ac–b2)，对称轴
2a4a
方程为? = — b ．
2a
一般地，当? Σ 0时，二次函数? = ??2 +
启发学生
师生共同归纳二次函数的性质，对函
数性质
?? + ?的图像是一条开口向上的抛物线，定义域
为 R，值域为[4ac–b2 , +∞)．并有如下性质：
4a
（ 1 ）在 (—∞, — b ] 上是减函数，在
2a
[— b , +∞) 是增函数；
2a
（2）当? = 0时为偶函数．
当? € 0时，二次函数? = ??2 + ?? + ?的图像是一条开口向下的抛物线，定义域为 R，值
域为(—∞, 4ac–b2]．并有如下性质：
4a
（ 1 ）在 (—∞, — b ] 上是增函数，在
2a
[— b , +∞)是减函数；
2a
（2）当? = 0时为偶函数．
温馨提示
对二次函数进行总结，见表：
进行再
认识、再
分析
提高，培
养学生
归纳
直观形
总结
象、逻辑
记忆
推理等
核心素
养
说明
总结
思考
归纳
记忆
总结
领悟
例 9作出二次函数? = ?2 — 2? — 3的图像，并
提问
观察
通过例
讨论其单调性．
题帮助
例题
解 由? = ?2 — 2? — 3知：a＝1，b＝－2，c＝－
学生理
辨析
3，所以
解二次
− b ＝− −2 ＝1，
思考
函数的
2a2×1
性质，并
4ac－b24×1×(－3)－(－2)2
4a＝4×1＝－4，
从而顶点坐标为（1，－4），对称轴方程为 x＝
1．
（1）列表
（2）描点连线
图像过点（−1，0），（0，−3），（1，−4），
（2，−3），（3，0），光滑曲线依次连接以上各点，画出函数? = ?2 — 2? — 3的图像，如图所示．
由图知，二次函数? = ?2 — 2? — 3的图像是开口向上的抛物线，定义域为 R，值域为[−4，
＋）．函数在（−，1]上是减函数，函数在[1，
＋）上是增函数．
探究与发现
已知函数 f x x2 ax 1在, 2 上是
减函数，在2，+ 上是增函数，请求出a 的值．
复习描
求解
点法作
图，利用
图像总
结函数
性质
强调
分析
利用
引导
描点
学生
发作
数形
图
结合
提问
观察
强调
思考
分析
求解
巩固练习
练习 3.3.3
1．填空题：
（1） 一次函数? = —3? + 5的定义域是
练习及时掌握
学生的
，值域是 ，是
函数(减或增)，它的图像与坐标轴的交点坐标为 ．
（2）当 时，一次函数?(?) =
?? + ?是奇函数．
（3）若反比例函数? = k在（－，0）上
s
是增函数，则?的取值范围为 ．
（4）二次函数?(?) = 2?2 — 5的定义域为
，值域为 ；在
上是增函数，在 上是减函数；为 函数（奇偶性）；它的图像与 x 轴的交点为 ，与 y 轴的交点为 ．
（5）二次函数?(?) = —?2 — ? + 2的定义域 为 ， 值 域为 ；在 上是增函数，在 上是减函数；是
函数（奇偶性）；它的图像与 x 轴的交点为 ，与 y 轴的交点为
．
2． 设反比例函数?(?) = k (? G 0)，?(?)
s
是定义域在 R 上的偶函数，且?(2) = ?(2) = 2．比较?(—2)与?(—2)的大小．
3． 设点?(1, ?)在函数? = 2?的图像上，
求点?关于?轴对称点的坐标．
4． 设函数?(?) = ?2 + ?? — 2是 R 上的偶函数，求实数?．
5． 设函数?(?) = —? + ? — 2是 R 上的奇
函数，求实数?.
知识掌
握情况，
查漏补
动手
缺
巡视
求解
指导
交流
培养学
引导
反思
生总结
归纳
总结
交流
学习过
总结
程能力
1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；
巩固提
布置
2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习回
高，查漏
作业
顾；
说明
记录
补缺
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容．
3.3 函数的性质
选用教材
高等教育出版社《数学》
（基础模块上册）
授课
时长
4 课时
授课
类型
新授课
教学提示
本课将通过实例和学生熟悉的函数图像，帮助学生理解函数的单调性和奇偶性，引导学生正确地使用符号语言刻画函数的单调性和奇偶性，并通过几种常见函数：一次函数、反比例函数、二次函数整体系统
地研究函数的性质．
教学目标
结合函数图像，能用数学语言表达函数单调性、奇偶性的定义，能通过图像法和定义法判断函数的单调性和奇偶性，逐步提高直观想象和数学抽象等核心素养；能利用函数的单调性判断同一单调区间内两个函数值的大小，知道函数奇偶性与函数图像对称性之间的关系，能从函数单调性、奇偶性等角度，重新认识一次函数、反比例函数和一元二次函数，初步学会在具体函数中怎样研究对函数的一般性质的方法，逐步提
高数学抽象、逻辑推理等核心素养．
教学
重点
函数的单调性和奇偶性及几种常见函数的性质
教学
难点
定义法判断函数单调性和奇偶性
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
情境导入
函数是描述客观事物运动变化规律的数学模型．了解了函数的变化规律，也就基本把握了相应事物的变化规律，因此这一节我们一起来研究函数的性质．
3.3.1 函数的单调性
请大家观察下图，这是某市某天气温?（℃） 是时间?(时)的函数图像，记这个函数为? =
?(?)．
观察图像，当自变量?变化时，函数?(?)怎样变化? 如何用数学的语言来表示这个变化？
说明
引导学生观察分析
观察
通过实例让学生观察函数图像的变化趋势， 在教师的引导下学会用数学
语言描
由图可知：时间从 4ℎ到 14ℎ曲线呈上升趋势，说明气温随时间的增加而逐渐升高，也就是
说当? ∈ [4，14] 时，函数? = ?(?)的值随自变量 x 的增大而增大．时间从 14ℎ到 24ℎ曲线呈下降趋势，说明气温随时间的增加而逐渐降低，也
就是说当? ∈ [14，24] 时，函数? = ?(?)的值随自变量 x 的增大而减小．
由图可知：在给定区间[4，14]上，对于图像
上的任意两点?1(?1, ?1)，?2(?2, ?2)，当?1 € ?2
时，都有
?1 € ?2，即，f(x1)＜f(x2)．
在给定区间[14，24]上，对于图像上的任意两点?3(?3, ?3)，?4(?4, ?4)，当?3 € ?4时，都有
?3 Σ ?4，即
f(x3)＞f(x4)．
述函数
看图
值随着
思考
自变量
的变化
而变化
启发
分析
的规律，
引出单
调性，培
体会
养学生
直观想
象、逻辑
推理和
数学抽
象等核
引导
领悟
心素养
总结
从上述例子可抽象出如下定义：
设函数? = ?(?)的定义域为 D，区间? ⊆ ?．
（1）如果对于区间?上的任意两点?1，?2， 当?1 € ?2时，都有
?(?1) € ?(?2)，
那么称函数? = ?(?)在区间?上是增函数，区间
I 称为函数? = ?(?)的增区间．如图（1）所示．
归纳
师生共
同归纳
说明
函数的
探索
新知
理解
单调性
总结
的定义，
仔细
学会定
分析
性描述
（2）如果对于区间?上的任意两点?1，?2， 当?1 € ?2时，都有
?(?1) Σ ?(?2)，
那么称函数? = ?(?)在区间?上是减函数，区间
?称为函数? = ?(?)的减区间．如图（2）所示．
如果函数? = ?(?)在区间?上是增函数或减函数，那么称函数? = ?(?)在区间?上具有单调性，区间?称为单调区间．增区间也称为单调增区间，减区间也称为单调减区间．
讲解
和定量
关键
刻画函
词语
数的单
调性，培
引导
养学生
学生
数学抽
观察
象等核
图像
记忆
心素养
领会
说明
观察
例 1 根据函数在 R 上的图像，如图所示，写出其单调区间：
解（1）由图（1）所示函数图像可知，函数? =
?(?)的定义域为 R，增区间为(—∞， 0]，减区
间为[0， + ∞)．
（2）由函数图像（2）可知，函数? = ?(?)的定义域为 (—∞， 0) ∪ （0, +∞) ，增区间为
(—∞， 0)和（0, +∞)．
提问
观察
通过例
题帮助
学生理
解函数
思考
的单调
强调
性，并学
会利用
例题
辨析
分析
求解
图像法
和定义
法判断
函数的
单调性，
在解决
问题时
强调学
探究与发现
函数 f x 1 的减区间能写成(—∞， 0) ∪
x
（0, +∞)吗？
例 2 讨论函数?(?) = 2? + 1在(—∞， + ∞）上的单调性．
解 任取?1, ?2 ∈ (—∞， + ∞）且?1 € ?2，因为
?(?1) — ?(?2) = (2?1 + 1)－(2?2 + 1)
=2?1 — 2?2
= 2(?1－?2)，
由?1 — ?2 € 0，所以?(?1) — ?(?2) € 0,即
?(?1) € ?(?2)．
所以函数?(?) = 2? + 7在(—∞， + ∞）上是增函数．
例 3 证明函数?(?) = 1 + 1在区间(—∞， 0)上
s
是减函数．
证明 任取?1, ?2 ∈ (—∞， 0)且?1 € ?2．因为
?(? ) — ?(? ) =1 + 1) —1 + 1)
12((
?1?2
= 1 — 1 = s2–s1，
s1s2s1s2
由?2 — ?1 Σ 0, ?1?2 Σ 0，所以?(?1) — ?(?2) Σ 0，即
f(x1) Σ f(x2) ．
所以函数?(?) = 1 + 1在区间(-∞， 0) 上是减
s
函数．
生注意
提问
观察
给定区
质疑
思考
间
引导
分析
提问
观察
思考
分析
讲解
求解
提问
观察
思考
分析
求解
讲解
练习 3.3.1
提问
思考
通过练
1．填空题（填“增”或“减”）：
习及时
（1）函数? = ? + 1在（－，+）上是
掌握学
函数；
生的知
（2）函数? = －2?在（－，+）上是
识掌握
函数；
情况，查
（3）函数? = 2在（－，0）上是
s
巡视
动手
求解
漏补缺
函数；
（4）函数? = — 5在（0，+）上是
s
函数；
2．已知函数? = ?(?)，? ∈ [—2,4]，如图所
巩固
示，试写出函数的单调区间，并说明在每一单调
练习
区间上函数的单调性．
指导
交流
3． 若函数 ?(?) = ?? + 2? — 5在 R 上是
减函数，求?的取值范围．
4．证明：
（1）函数?(?) = —? — 2在(—∞, +∞)上是
减函数．
（2）函数?(?) = 2?2 + 1在(—∞, 0)上是减
函数．
情境导入
3.3.2 函数的奇偶性
大千世界，美无处不在．下图展示了生活中的对称之美．
说明
观察
通过实例让学
生观察
其实，我们的数学中也存在着对称美，函数图像的对称就是其中一种．义务教育阶段，我们
已经知道函数?(?) = ?2 的图像和?(?) = 1的图
s
像：
函数?(?) = ?2 的图像是关于?轴对称的轴对称图形，函数?(?) = 1的图像是关于原点对称
s
的中心对称图形．
观察这两种对称的函数图像，自变量互为相反数时，它们对应的函数值有什么关系？
关于函数?(?) = ?2的图像分析：
从函数值的角度看，对于函数?(?) = ?2， 有：
?(—1) = 1 = ?(1)，
?(—2) = 4 = ?(2)，
?(—3) = 9 = ?(3)，
……
对于函数?(?) = ?2，自变量互为相反数时， 对应的函数值相等．即对于定义域 R 上的任意一个?，都有
?(—?) = ?2 = ?(?)．
关于函数?(?) = 1的图像分析：
s
函数图
引导
思考
像的对
学生
称情况，
观察
归纳
在教师
分析
总结
的引导
下学会
用数学
语言描
思考
述函数
归纳
值的特
总结
征规律，
分析
引出奇
偶性么，
从具
培养学
体的
生逻辑
函数
推理和
启发
体会
数学抽
学生
象等核
观察
领悟
心素养
函数
值的
特点
思考
引导
从具
分析
体的
函数
对于函数?(?) = 1有：
启发
s
?(—1) = —1 = —?(1)，
学生
?(—2) = — 1 = —?(2)，
观察
体会
2
函数
?(—3) = — 1 = —?(3)，
3
值的
领悟
……
特点
事实上，对于函数?(?) = 1，自变量互为相
s
反数时，对应的函数值也互为相反数．即对于定
引导
义域(—∞, 0) ∪ (0, +∞)上的任意一个?，都有
?(—?) = — 1 = —?(?)．
s
关于函数?(?) = ?2的图像分析引出
设函数? = ?(?)的定义域为数集?，若对于任意的? ∈ ?，都有—? ∈ ?，且
?(—?) = ?(?)，
则称? = ?(?)是偶函数．偶函数的图像关于?轴对称．
关于函数?(?) = 1的图像分析引出 s
设函数? = ?(?)的定义域为数集?，若对于任意的? ∈ ?，都有—? ∈ ?，且
?(—?) = —?(?)，
则称? = ?(?)是奇函数．奇函数的图像关于原点中心对称．
如果一个函数是奇函数或偶函数，就说这个函数具有奇偶性，其定义域一定关于原点中心对称．
探究与发现
有没有某个函数，它既是奇函数又是偶函数？如果有，请举例说明．
师生共
归纳
理解
同归纳
总结
函数的
记忆
奇偶性
的定义，
归纳
理解
学会定
总结
性描述
和定量
记忆
刻画函
探索
新知
数的奇
说明
偶性，培
养学生
数学抽
引导
象和逻
学生
辑推理
思考
等核心
素养
思考
讨论
例 4 讨论下列函数的奇偶性：
提问
观察
通过例
（1）?(?) = ?3；（2）?(?) = ?2 + ?4；
题帮助
（3）?(?) = ?+ 1；（4）?(?) = √?．
学生理
解（1）?(?) = ?3的定义域为 R，对于任意的? ∈
解函数
?，都有—? ∈ ?，且
思考
的奇偶
?(—?) = (—?)3 = —?3 = —?(?)，
强调
性，并学
所以?(?) = ?3是奇函数．
会利用
（2）?(?) = ?2 + ?4的定义域为 R，对于任
定义法
意的? ∈ ?，都有—? ∈ ?，且
求解
判断函
?(—?) = (—?)2 + (—?)4 = ?2 + ?4 = ?(?)，
数的奇
所以?(?) = ?2 + ?4是偶函数．
分析
偶性，以
（3）?(?) = ?+ 1的定义域为 R，对于任意
及利用
的? ∈ ?，，都有—? ∈ ?，且
图像的
例题辨析
?(—?) = —? + 1 G —?(?)，
?(—?) = —? + 1 G ?(?)，
讲解
对称性
完成整
所以?(?) = ?+ 1既不是奇函数也不是偶函
个函数
数．
的描画，
（4）?(?) = √?的定义域为0，+ ，对于
培养学
生直观
1 ∈ 0，+ ，而— 10，+ ，所以函数?(?) =
形象、逻
√?既不是奇函数也不是偶函数．
辑推理
例 5（1）图（1）给出了偶函数? = ?(?)在[0, +∞)
等核心
上的函数图像，试将? = ?(?)的图像补充完整，
提问
观察
素养
并指出函数的单调区间．
（2）图（2）给出了奇函数? = ?(?)在0, +∞)
上的函数图像，试将? = ?(?)的图像补充完整，
并指出函数的单调区间．
解（1）由于函数? = ?(?)是偶函数，所以它的图像关于?轴对称，因此它的图像如图所
示．函数? = ?(?)的减区间为(—∞, 0]，增区间为[0, +∞)．
（2）由于函数? = ?(?)是奇函数，所以它的图像关于原点中心对称，因此它的图像如图所示．
函数? = ?(?)的增区间为(—∞, +∞)．
温馨提示
利用函数图像可以判断函数的奇偶性，根据函数的奇偶性也可以研究函数图像．
如在研究函数时，如果我们知道它是奇函数或偶函数，就可以先研究它在非负区间上的性质，然后利用对称性便可得到它在非正区间
上的性质，从而减少工作量．
引导
分析
思考
讲解
求解
理解
领悟
说明
练习 3.3.2
1．填空题：
（1）点?(2,3)关于?轴对称的点为 ， 关于?轴对称的点为 ，关于坐标原点对称的点为 ；
提问
思考
通过练
习及时
巩固
练习
掌握学
生的知
识掌握
（ 2 ） 点 ?(?, ?) 关 于 ? 轴 对 称 的 点
情况，查
为 ，关于?轴对称的点为 ，
动手
漏补缺
关于坐标原点对称的点为 ．
巡视
求解
2．讨论下列函数的奇偶性：
（1）?(?) = ?+ 1；（2）?(?) = |?|；
s
（3）?(?) = 1 — 2?；（4）?(?) = ?2 + 1．
3．已知偶函数? = ?(?)和奇函数? = ?(?)
的定义域均为[－4，4]，下图为它们在[0，4]上
的图像．
（1）求?(—2)与?(—2)；
指导
交流
（2）将函数? = ?(?)和? = ?(?)在定义域内的
图像补充完整．
3.3.3 几种常见的函数
回顾义务教育阶段学过的一次函数、反比例函数与二次函数，它们的定义域、值域、单调性、奇偶性等各是怎样的呢？如何用数学的语言表达？
引导
思考
利用新
回顾
授知识
情境
导入
分析
来再次
认识已
学函数
1．一次函数
? = ?? + ?(? G 0)是一次函数，其图像为直线，如图所示．
由一次函数? = ?? + ?(? G 0)的解析式和图像不难发现，其定义域和值域均为 R，
并有如下性质：
（1）当? Σ 0时，在 R 上是增函数，如图（1）
师生共
同归纳
启发
一次函
探索
新知
学生
数的性
质，对函
数性质
进行再
所示；当? € 0时，在 R 上是减函数，如图（2） 所示．
（2）当? = 0时，如图（3）（4）所示.一次函数
? = ??(? G 0)是奇函数，其图像关于原点中心对称．
归纳总结
分析
认识、再提高，培养学生直观形
象、逻辑
记忆
推理等核心素养
例 6 设函数? = (3? + 4)? + ?在 R 上是减函
提问
观察
通过例
数，求?的取值范围．
题帮助
例题
解 由函数? = (3? + 4)? + ?在 R 上是减函数，
强调
思考
学生理
辨析
可得3? + 4? € 0，即? € — 4，所以?的取值范
3
解一次
围(— 4 , +∞)
3
分析
求解
函数的
性质
2．反比例函数
? = k (? G 0)是反比例函数，其图像如图所
s
示．
由反比例函数? = k (? G 0)的解析式和图
s
像可知：其定义域和值域均为（ — ∞，0） ∪
（0， + ∞），并有如下性质：
（1）当? Σ 0时，函数图像在第一、三象限，在(—∞，0)和(0， + ∞)上都是减函数；
当? € 0时，函数图像在第二、四象限，在
师生共
同归纳
启发
反比例
学生
函数的
性质，对
函数性
质进行
探索
再认识、
新知
分析
再提高，
培养学
归纳
生直观
总结
形象、逻
记忆
辑推理
等核心
素养
(—∞，0)和(0， + ∞)上都是增函数．
（2）函数是奇函数，图像关于原点中心对称．
例题辨析
例 7设反比例函数? = k (? G 0)的图像经过
s
点(—3, —2)，问函数图像是否一定经过点(3,2)?
解 因为反比例函数? = k (? G 0)是奇函数，它
s
的图像关于原点?对称．而点(—3, —2)关于原点
?对称的点是(3,2)，所以函数图像一定经过点(3,2)．
例 8一次函数? = (2? + 1)? + ?在 R 上是增
函数，其图像与反比例函数? = n2的图像交于
s
点（1，4），求这个一次函数与反比例函数． 解 由一次函数? = (2? + 1)? + ?在 R 上是增
函数，可得2? + 1 Σ 0，所以? Σ — 1；
2
因为两个函数的图像交于点（1，4），将
该点坐标代入反比例函数，得4 = n2，
1
所以，m=±2．由于? Σ — 1，所以? = —2不合
2
题意，舍去，故? = 2．
一次函数为? = 5? + ?，将点（1，4）代入得， 4 = 5 × 1 + ?，即? = —1．
所以这个一次函数为? = 5? — 1，反比例
函数为? = 4．
s
提问
强调
分析
提问
强调
分析
讲解
观察
思考
求解
观察
思考
求解
通过例题帮助学生理解正比例函数的性质
探索新知
3．二次函数
? = ??2 + ?? + ?(? G 0)是二次函数，其图
像是抛物线，顶点坐标为(— b , 4ac–b2)，对称轴
2a4a
方程为? = — b ．
2a
一般地，当? Σ 0时，二次函数? = ??2 +
启发学生
师生共同归纳二次函数的性质，对函
数性质
?? + ?的图像是一条开口向上的抛物线，定义域
为 R，值域为[4ac–b2 , +∞)．并有如下性质：
4a
（ 1 ）在 (—∞, — b ] 上是减函数，在
2a
[— b , +∞) 是增函数；
2a
（2）当? = 0时为偶函数．
当? € 0时，二次函数? = ??2 + ?? + ?的图像是一条开口向下的抛物线，定义域为 R，值
域为(—∞, 4ac–b2]．并有如下性质：
4a
（ 1 ）在 (—∞, — b ] 上是增函数，在
2a
[— b , +∞)是减函数；
2a
（2）当? = 0时为偶函数．
温馨提示
对二次函数进行总结，见表：
进行再
认识、再
分析
提高，培
养学生
归纳
直观形
总结
象、逻辑
记忆
推理等
核心素
养
说明
总结
思考
归纳
记忆
总结
领悟
例 9作出二次函数? = ?2 — 2? — 3的图像，并
提问
观察
通过例
讨论其单调性．
题帮助
例题
解 由? = ?2 — 2? — 3知：a＝1，b＝－2，c＝－
学生理
辨析
3，所以
解二次
− b ＝− −2 ＝1，
思考
函数的
2a2×1
性质，并
4ac－b24×1×(－3)－(－2)2
4a＝4×1＝－4，
从而顶点坐标为（1，－4），对称轴方程为 x＝
1．
（1）列表
（2）描点连线
图像过点（−1，0），（0，−3），（1，−4），
（2，−3），（3，0），光滑曲线依次连接以上各点，画出函数? = ?2 — 2? — 3的图像，如图所示．
由图知，二次函数? = ?2 — 2? — 3的图像是开口向上的抛物线，定义域为 R，值域为[−4，
＋）．函数在（−，1]上是减函数，函数在[1，
＋）上是增函数．
探究与发现
已知函数 f x x2 ax 1在, 2 上是
减函数，在2，+ 上是增函数，请求出a 的值．
复习描
求解
点法作
图，利用
图像总
结函数
性质
强调
分析
利用
引导
描点
学生
发作
数形
图
结合
提问
观察
强调
思考
分析
求解
巩固练习
练习 3.3.3
1．填空题：
（1） 一次函数? = —3? + 5的定义域是
练习及时掌握
学生的
，值域是 ，是
函数(减或增)，它的图像与坐标轴的交点坐标为 ．
（2）当 时，一次函数?(?) =
?? + ?是奇函数．
（3）若反比例函数? = k在（－，0）上
s
是增函数，则?的取值范围为 ．
（4）二次函数?(?) = 2?2 — 5的定义域为
，值域为 ；在
上是增函数，在 上是减函数；为 函数（奇偶性）；它的图像与 x 轴的交点为 ，与 y 轴的交点为 ．
（5）二次函数?(?) = —?2 — ? + 2的定义域 为 ， 值 域为 ；在 上是增函数，在 上是减函数；是
函数（奇偶性）；它的图像与 x 轴的交点为 ，与 y 轴的交点为
．
2． 设反比例函数?(?) = k (? G 0)，?(?)
s
是定义域在 R 上的偶函数，且?(2) = ?(2) = 2．比较?(—2)与?(—2)的大小．
3． 设点?(1, ?)在函数? = 2?的图像上，
求点?关于?轴对称点的坐标．
4． 设函数?(?) = ?2 + ?? — 2是 R 上的偶函数，求实数?．
5． 设函数?(?) = —? + ? — 2是 R 上的奇
函数，求实数?.
知识掌
握情况，
查漏补
动手
缺
巡视
求解
指导
交流
培养学
引导
反思
生总结
归纳
总结
交流
学习过
总结
程能力
1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；
巩固提
布置
2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习回
高，查漏
作业
顾；
说明
记录
补缺
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容．
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