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中职数学高教版（2021·十四五）基础模块 上册第四章 三角函数4.1 角的概念的推广精品教案
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这是一份中职数学高教版（2021·十四五）基础模块 上册第四章 三角函数4.1 角的概念的推广精品教案，共8页。
授课题目
4.1 角的概念的推广
选用教材
高等教育出版社《数学》
（基础模块上册）
授课
时长
2 课时
授课
类型
新授课
教学提示
本课通过熟悉的情境，感知推广角的必要性，从运动的角度定义角， 并引进正角、负角和零角，从而将角的概念推广到任意角，进而学习终边相同的角、象限角以及界限角等；在学习推广角的意义和任意角所在的象限的基础上进而识别终边相同的角，学习用集合语言表示终边相同
的角．
教学目标
会结合熟悉的实例描述角的相关概念，能举例说明正角、负角、零角、象限角、终边相同的角等，能根据图像判断角是正角、负角还是零角，并能根据给出的角的度数和角的始边确定角的终边的位置，并判断角是第几象限的角，逐步提升数学抽象和直观想象等核心素养；知道象限角的概念，并能用集合语言表示出来，逐步提升数学抽象等核心素养； 能写出与角 α 终边相同角的集合，并能找出给定范围内与已知角终边相
同的角，提升直观想象和数学运算等核心素养．
教学重点
角的概念推广的必要性；终边相同的角组成的集合；角所在象限的
判断．
教学难点
终边相同的角的理解和表示；角所在象限的判断；各象限的角的表
示．
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
引入
在义务教育阶段我们学习过，角是有公共端点的两条射线构成的图形.
角是平面内由一条射线绕着端点从一个位
置旋转到另一个位置所形成的图形.
讲解介绍提问
回忆思考作答
借助原有知识为新知学习做好铺垫
已经学习过的角包括锐角、直角、钝角、平角 、周角等，它们都在 0°~ 360°范围内.
情境导入
任意角
公园里的摩天轮，选定一个机械臂的起始位置作为始边，如果机械臂从这个起始位置旋转一周，就说它转过了 360°，那么当它转过一周半或者转过两周时，它转过了多少度呢？
摩天轮的机械臂从起始位置,旋转了一周， 则说它转过了 360°，旋转一周半,则说它转过了540°，旋转了两周，则说它转过了 720°.
如果时钟快 2h，应该如何校准？校准过程中分针相对起始位置转过了多少度？如果时钟慢了 2h 呢？
如果时钟快了 2h，则需要将分针相对于起始位置逆时针旋转 720°，如果时钟慢了 2h，则
需要将分针相对于起始位置顺时针旋转 720°.
提问
启发
引导
思考
作答
交流
用学生熟悉的情境引发学生思考
激发求知欲调动积极性
探索新知
规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角称为正角，如下图(1)所示；按顺时针方向旋转形成的角称为负角，如图(2)所示．
如果一条射线没有做任何旋转,也认为形成
讲解
作图
说明
理解
观察
思考
数形结合说明问题帮助学生理解动态定义角的方
了一个角,这个角称为零角.
分针按逆时针方向旋转 2 周形成的角，记作 720°，如下图(1)所示；分针按顺时针方向旋转 2 周形成的角，记作
-720°，如下图(2)所示.
例
理解
式提升直观想象核心素养
显然，这两个角是不一样的.
这样，我们不仅能表示 0°~360°范围内的角，也能表示 0°~360°范围之外的角．也就是把角的概念推广到了任意角．
讲解
观察
通常使用角的顶点或顶点与始边、终边上
的字母来表示角.例如,下图中的角,可以记作“∠
AOB”或“∠O”.
说明
思考
也经常使用小写的希腊字母 α,β, γ,…来表示角,记作“角 α”.在不引起混淆的情况下,可以简记成“α”.
例如，α=420°， β= −135°.
加深认
举例
识
探究与发现
设角 α 与角 β 是两个任意角，如何理解角-α 、角 α + β 和角 α-β ？
提问引导
理解
通过观察思考
思考
参与概
为了方便,通常在平面直角坐标系中讨论
角. 将角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,此时角的终边在第几象限,就称这个角为第几象限角．
如图，α=420°，所以角 α 是第一象限角，
β=−135°，所以角 β 是第三象限角．
如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何一个象限，称为界限角．如，0°，90°， 180°，360°，−90°角都是界限角．
讲解
交流
念形成
感受知
思考
识发现
举例
的乐趣
观察
说明
思考
例 1 在平面直角坐标系中，叙述下列各角的形
提问
思考
让学生
成过程，并指出它们是第几象限角. (1) 490° ；
直观感
(2)−650° ．
受角的
解将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x
引导
分析
动态形
轴的非负半轴重合.
成过程，
(1) 490°角是射线绕着原点逆时针旋转 490°形成
感悟“总
的, 终边落在第二象限, 所以 490°为第二象限
讲解
解决
有一个
例题辨析
角;
(2) −650°角是射线绕着原点顺时针旋转 650°形
周角内
的角与
成的, 终边落在第一象限, 所以−650°为第一象
强调
交流
已知角
限角.
终边相
同”
落实知识实际
(1)(2)
应用
例 2 求时钟从 8 点到 9 点 15 分, 如图所示, 分针和时针旋转所成的角.
解 时钟 8 点到 9 点 15 分, 分针顺时针旋转450° , 因此, 分针旋转形成的角为−450°；而时针顺时针旋转了 37.5° , 因此， 时针旋转形成
的角为−37.5°.
提问
提示
举例
思考交流
解决问题
练习 4.1.1
填空题：
(1) −15°是第 象限角；
(2) 795°是第 象限角；
(3) 163°是第 象限角； (4) −458°是第 象限角．
判断题(正确的打“√”，错误的打“×”)： (1)第四象限角一定是负角；()
(2) 第二象限角一定是正角；() (3)小于 90°的角一定是锐角；() (4)第一象限角一定是锐角；() (5)钝角一定是第二象限角；() (6)第二象限角一定是钝角．() 3．在平面直角坐标系中, 分别作出下列各
角, 并指出它们是第几象限角：
(1) 460° ；
(2) 945°；
(3) −200° ；
(4) −700° ．
提问
思考
通过练
习及时
掌握学
生的知
识掌握
情况，查
漏补缺
巡视
动手
巩固练习
求解
指导
交流
4.1.2 终边相同的角
如图, 30°, −330°, 390°角之间有什么关系呢？
引发学
情境
提问
思考
生主动
导入
观察思
考发现
启发
引导
作答
交流
规律， 激发求知欲调动学习积极性
不难发现, 在平面直角坐标系中,这三个角
的终边相同, 并且都可以表示成 30°与 k 个(k∈
Z) 360°的和.如：
30° = 30°＋0×360°；
−330° = 30°＋ (−1)×360°；
390° = 30°＋1× 360°．
从上述角的形成过程可以看出，与 30°终边相同的角有无数多个，它们与 30°角均相差 360° 的整数倍.
因此与 30°终边相同的所有角可以表示为
β= 30°+k360°，k∈Z．
一般地,与角 α 终边相同的所有角构成的集
合为
S={β|β=α+ k360°, k∈Z}，
即，所有与角 α 终边相同的角都可以表示成角 α 与 360°的整数倍的和.
讲解
理解
发现规
律并学
习用集
说明
记忆
合语言
新知探索
表示
启发
体会
例 3 写出与−950°角终边相同的所有角构成的集合,并找出 0°~360°范围内与其终边相同的角. 解 与−950°角终边相同的所有角构成的集合为
S={β|β＝−950°+ k 360°,k∈Z }.
当 k=3 时，
β＝−950°+3 360° = 130°,
故在 0°~360°范围内, 与−950°角终边相同的角
提问
思考
由特殊
到一般
分析问
例题辨析
引导
解决
题并得
到结论
多角度
讲解
交流
思考问
题
是 130°角．
温馨提示
因为−950°与 130°终边相同，集合
S={β|β＝−950°+k360°，k∈Z}
也可写成
S={β|β＝130°+k360°，kZ}．
例4 写出终边在射线y=x(x≥0)上的角组成的集合.
解 在 0°~360°范围, 终边在射线 y=x(x≥0)上的角为 45°角, 因此终边在射线 y=x(x≥0)上的角组成的集合为
S={β|β=450°+kꞏ360°, k∈Z}.
例 5 写出终边在 y 轴上的角组成的集合.
解在 0°~360°范围, 终边在 y 轴上的角有 90°
角和 270°角.
所有与 90°角和 270°角终边相同的角组成的集合分别为
S1={β|β=90°+ kꞏ360°, k∈Z} 和S2={β|β=270°+ kꞏ360°, k∈Z}.所以, S=S1∪S2
={β|β=90°+ kꞏ360°, k∈Z}∪{β|β=270° +
kꞏ360°, k∈Z}
={β|β=90°+2kꞏ180°,k∈Z}∪
补充
思考
数形结
说明
理解
合找到
已知角
的特性
提问
思考
后应用
知识解
决问题
引导
解决
进一步
巩固终
边相同
讲解
交流
的角、界
限角等
概念加
深深度
提升数
提问
思考
学运算
核心素
养
引导
解决
适时巩
固
讲解
交流
{β|β=90°+(2k+1) ꞏ180°, k∈Z}
= {β|β=90°+nꞏ180°, n∈Z}．
探究与发现
若角 α 是第一象限角，试写出角 α 的集合.
补充提问
思考交流
练习 4.1.2
1.已知角 α 是第一象限角，则角−α 的终边在第 象限.
2 .与 1560°角终边相同的角的集合中，最小的 正 角 是 .
写出与下列角终边相同的所有角组成的集合，并在 0°～360°范围内找出与其终边相同的角.
(1) 420°； (2) −510°； (3) −73°； (4) 855°.
写出终边在 x 轴上的角组成的集合.
提问
思考
通过练
习及时
巡视
动手
掌握学
巩固练习
求解
生情况
查漏补
缺
指导
交流
引导
回忆
培养学
归纳
生总结
总结
提问
反思
学习过
程能力
1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；
说明
记录
继续探
布置作业
2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回
顾;
究
延伸学
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
习
授课题目
4.1 角的概念的推广
选用教材
高等教育出版社《数学》
（基础模块上册）
授课
时长
2 课时
授课
类型
新授课
教学提示
本课通过熟悉的情境，感知推广角的必要性，从运动的角度定义角， 并引进正角、负角和零角，从而将角的概念推广到任意角，进而学习终边相同的角、象限角以及界限角等；在学习推广角的意义和任意角所在的象限的基础上进而识别终边相同的角，学习用集合语言表示终边相同
的角．
教学目标
会结合熟悉的实例描述角的相关概念，能举例说明正角、负角、零角、象限角、终边相同的角等，能根据图像判断角是正角、负角还是零角，并能根据给出的角的度数和角的始边确定角的终边的位置，并判断角是第几象限的角，逐步提升数学抽象和直观想象等核心素养；知道象限角的概念，并能用集合语言表示出来，逐步提升数学抽象等核心素养； 能写出与角 α 终边相同角的集合，并能找出给定范围内与已知角终边相
同的角，提升直观想象和数学运算等核心素养．
教学重点
角的概念推广的必要性；终边相同的角组成的集合；角所在象限的
判断．
教学难点
终边相同的角的理解和表示；角所在象限的判断；各象限的角的表
示．
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
引入
在义务教育阶段我们学习过，角是有公共端点的两条射线构成的图形.
角是平面内由一条射线绕着端点从一个位
置旋转到另一个位置所形成的图形.
讲解介绍提问
回忆思考作答
借助原有知识为新知学习做好铺垫
已经学习过的角包括锐角、直角、钝角、平角 、周角等，它们都在 0°~ 360°范围内.
情境导入
任意角
公园里的摩天轮，选定一个机械臂的起始位置作为始边，如果机械臂从这个起始位置旋转一周，就说它转过了 360°，那么当它转过一周半或者转过两周时，它转过了多少度呢？
摩天轮的机械臂从起始位置,旋转了一周， 则说它转过了 360°，旋转一周半,则说它转过了540°，旋转了两周，则说它转过了 720°.
如果时钟快 2h，应该如何校准？校准过程中分针相对起始位置转过了多少度？如果时钟慢了 2h 呢？
如果时钟快了 2h，则需要将分针相对于起始位置逆时针旋转 720°，如果时钟慢了 2h，则
需要将分针相对于起始位置顺时针旋转 720°.
提问
启发
引导
思考
作答
交流
用学生熟悉的情境引发学生思考
激发求知欲调动积极性
探索新知
规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角称为正角，如下图(1)所示；按顺时针方向旋转形成的角称为负角，如图(2)所示．
如果一条射线没有做任何旋转,也认为形成
讲解
作图
说明
理解
观察
思考
数形结合说明问题帮助学生理解动态定义角的方
了一个角,这个角称为零角.
分针按逆时针方向旋转 2 周形成的角，记作 720°，如下图(1)所示；分针按顺时针方向旋转 2 周形成的角，记作
-720°，如下图(2)所示.
例
理解
式提升直观想象核心素养
显然，这两个角是不一样的.
这样，我们不仅能表示 0°~360°范围内的角，也能表示 0°~360°范围之外的角．也就是把角的概念推广到了任意角．
讲解
观察
通常使用角的顶点或顶点与始边、终边上
的字母来表示角.例如,下图中的角,可以记作“∠
AOB”或“∠O”.
说明
思考
也经常使用小写的希腊字母 α,β, γ,…来表示角,记作“角 α”.在不引起混淆的情况下,可以简记成“α”.
例如，α=420°， β= −135°.
加深认
举例
识
探究与发现
设角 α 与角 β 是两个任意角，如何理解角-α 、角 α + β 和角 α-β ？
提问引导
理解
通过观察思考
思考
参与概
为了方便,通常在平面直角坐标系中讨论
角. 将角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,此时角的终边在第几象限,就称这个角为第几象限角．
如图，α=420°，所以角 α 是第一象限角，
β=−135°，所以角 β 是第三象限角．
如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何一个象限，称为界限角．如，0°，90°， 180°，360°，−90°角都是界限角．
讲解
交流
念形成
感受知
思考
识发现
举例
的乐趣
观察
说明
思考
例 1 在平面直角坐标系中，叙述下列各角的形
提问
思考
让学生
成过程，并指出它们是第几象限角. (1) 490° ；
直观感
(2)−650° ．
受角的
解将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x
引导
分析
动态形
轴的非负半轴重合.
成过程，
(1) 490°角是射线绕着原点逆时针旋转 490°形成
感悟“总
的, 终边落在第二象限, 所以 490°为第二象限
讲解
解决
有一个
例题辨析
角;
(2) −650°角是射线绕着原点顺时针旋转 650°形
周角内
的角与
成的, 终边落在第一象限, 所以−650°为第一象
强调
交流
已知角
限角.
终边相
同”
落实知识实际
(1)(2)
应用
例 2 求时钟从 8 点到 9 点 15 分, 如图所示, 分针和时针旋转所成的角.
解 时钟 8 点到 9 点 15 分, 分针顺时针旋转450° , 因此, 分针旋转形成的角为−450°；而时针顺时针旋转了 37.5° , 因此， 时针旋转形成
的角为−37.5°.
提问
提示
举例
思考交流
解决问题
练习 4.1.1
填空题：
(1) −15°是第 象限角；
(2) 795°是第 象限角；
(3) 163°是第 象限角； (4) −458°是第 象限角．
判断题(正确的打“√”，错误的打“×”)： (1)第四象限角一定是负角；()
(2) 第二象限角一定是正角；() (3)小于 90°的角一定是锐角；() (4)第一象限角一定是锐角；() (5)钝角一定是第二象限角；() (6)第二象限角一定是钝角．() 3．在平面直角坐标系中, 分别作出下列各
角, 并指出它们是第几象限角：
(1) 460° ；
(2) 945°；
(3) −200° ；
(4) −700° ．
提问
思考
通过练
习及时
掌握学
生的知
识掌握
情况，查
漏补缺
巡视
动手
巩固练习
求解
指导
交流
4.1.2 终边相同的角
如图, 30°, −330°, 390°角之间有什么关系呢？
引发学
情境
提问
思考
生主动
导入
观察思
考发现
启发
引导
作答
交流
规律， 激发求知欲调动学习积极性
不难发现, 在平面直角坐标系中,这三个角
的终边相同, 并且都可以表示成 30°与 k 个(k∈
Z) 360°的和.如：
30° = 30°＋0×360°；
−330° = 30°＋ (−1)×360°；
390° = 30°＋1× 360°．
从上述角的形成过程可以看出，与 30°终边相同的角有无数多个，它们与 30°角均相差 360° 的整数倍.
因此与 30°终边相同的所有角可以表示为
β= 30°+k360°，k∈Z．
一般地,与角 α 终边相同的所有角构成的集
合为
S={β|β=α+ k360°, k∈Z}，
即，所有与角 α 终边相同的角都可以表示成角 α 与 360°的整数倍的和.
讲解
理解
发现规
律并学
习用集
说明
记忆
合语言
新知探索
表示
启发
体会
例 3 写出与−950°角终边相同的所有角构成的集合,并找出 0°~360°范围内与其终边相同的角. 解 与−950°角终边相同的所有角构成的集合为
S={β|β＝−950°+ k 360°,k∈Z }.
当 k=3 时，
β＝−950°+3 360° = 130°,
故在 0°~360°范围内, 与−950°角终边相同的角
提问
思考
由特殊
到一般
分析问
例题辨析
引导
解决
题并得
到结论
多角度
讲解
交流
思考问
题
是 130°角．
温馨提示
因为−950°与 130°终边相同，集合
S={β|β＝−950°+k360°，k∈Z}
也可写成
S={β|β＝130°+k360°，kZ}．
例4 写出终边在射线y=x(x≥0)上的角组成的集合.
解 在 0°~360°范围, 终边在射线 y=x(x≥0)上的角为 45°角, 因此终边在射线 y=x(x≥0)上的角组成的集合为
S={β|β=450°+kꞏ360°, k∈Z}.
例 5 写出终边在 y 轴上的角组成的集合.
解在 0°~360°范围, 终边在 y 轴上的角有 90°
角和 270°角.
所有与 90°角和 270°角终边相同的角组成的集合分别为
S1={β|β=90°+ kꞏ360°, k∈Z} 和S2={β|β=270°+ kꞏ360°, k∈Z}.所以, S=S1∪S2
={β|β=90°+ kꞏ360°, k∈Z}∪{β|β=270° +
kꞏ360°, k∈Z}
={β|β=90°+2kꞏ180°,k∈Z}∪
补充
思考
数形结
说明
理解
合找到
已知角
的特性
提问
思考
后应用
知识解
决问题
引导
解决
进一步
巩固终
边相同
讲解
交流
的角、界
限角等
概念加
深深度
提升数
提问
思考
学运算
核心素
养
引导
解决
适时巩
固
讲解
交流
{β|β=90°+(2k+1) ꞏ180°, k∈Z}
= {β|β=90°+nꞏ180°, n∈Z}．
探究与发现
若角 α 是第一象限角，试写出角 α 的集合.
补充提问
思考交流
练习 4.1.2
1.已知角 α 是第一象限角，则角−α 的终边在第 象限.
2 .与 1560°角终边相同的角的集合中，最小的 正 角 是 .
写出与下列角终边相同的所有角组成的集合，并在 0°～360°范围内找出与其终边相同的角.
(1) 420°； (2) −510°； (3) −73°； (4) 855°.
写出终边在 x 轴上的角组成的集合.
提问
思考
通过练
习及时
巡视
动手
掌握学
巩固练习
求解
生情况
查漏补
缺
指导
交流
引导
回忆
培养学
归纳
生总结
总结
提问
反思
学习过
程能力
1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；
说明
记录
继续探
布置作业
2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与回
顾;
究
延伸学
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
习
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