中职数学高教版（2021·十四五）基础模块 上册4.6 正弦函数的图像和性质公开课教学设计

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4.6 正弦函数的图像和性质
选用教材
高等教育出版社《数学》
（基础模块上册）
授课
时长
3 课时
授课
类型
新授课
教学提示
本课将通过简谐振动形成的曲线，感知正弦曲线的特性，进而学习周期函数的有关知识，以及正弦函数的图像和性质；学习借助代数运算与几何直观，认识正弦函数的图像与性质，以及运用“五点法”画出正
弦函数在一个周期上的简图．
教学目标
知道描点法画正弦函数在［0,2π］上的图像的步骤，能找出正弦函 数在［0，2π］上的图像中关键的五个点，并利用“五点法”作正弦函数相关的函数的图像，逐步提升数形结合的数学思想，逐步提升直观想象等核心素养；能通过正弦曲线分析正弦函数的性质，并利用这些性质解决正弦函数的相关问题，知道从哪些角度分析函数的性质，学会利用函数
图像分析函数性质的一般方法，逐步提升逻辑推理等核心素养．
教学
重点
五点作图法作正弦函数的图像，正弦函数的性质的应用．
教学
难点
五点作图法和正弦函数的性质的理解．
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
情境导入
4.6.1 正弦函数的图像
简谐运动是最基本也是最简单的机械振动．
单摆是常见的简谐振动之一，以时间为横轴，摆球离开平衡位置的位移为纵轴，作出摆球偏离平衡位置的位移随时间变化的关系图， 你发现什么规律了么？
提问
启发
引导
思考
作答
交流
用生活中的现象创设情境的引发学生思考
激发求知欲
简谐运动形成的曲线是一条波浪起伏、周
讲解
倾听
数形结合
而复始的曲线，我们可以用正弦函数来刻画它.
说明问题
由三角函数的单位圆定义可知, 在第一象限内, sinx 随 x 的增大而增大;
在第二象限内, sinx 随 x
结合图像引导
观察图像思考
帮助学生动态理解函数的特
征
的增大而减小; 在第三象限内, sinx 随 x 的增
大而减小; 在第四象限内, sinx 随 x 的增大而
增大.
根据单位圆的圆周运动特点, 单位圆上任
说明函数
意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置,
的周期不
这说明自变量每增加或者减少 2π, 正弦函数
说明
理解
唯一从而
值将重复出现. 这一现象可以用公式
说明引入
sin(x+2kπ) = sinx，k∈Z
最小正周
探索
新知
来表示.
期的必要
一般地，对于函数 y＝f(x)，如果存在一个
讲解
理解
性
非零常数 T，使得当 x 取定义域内任意一个值
时，都有
数形结合
f(x+T) ＝f(x)，
说明问题
则称函数 y＝f(x)为周期函数．非零常数 T 为 y
解释
思考
渗透树形
＝f(x)的一个周期．
说明
理解
结合思想
因此正弦函数 y = sinx，x∈R 是一个周期
方法逐步
函数，2π，4π，6π，…及-2π，-4π，-6π，…都
提升直观
是它的周期，即常数 2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它
想象核心
的周期．如果周期函数 y＝f(x)的所有周期中存
素养
在一个最小的正数 T0，那么这个最小的正数
T0 就称为 y＝f(x)的最小正周期．
显然，2π 为正弦函数的最小正周期.
说明
思考
利用正弦函数的周期性质可以简化正弦函
数的图像与性质的研究过程．
下面用描点法作出正弦函数 y = sinx 在
[0,2π]上的图像． (1)列表
把区间[0,2π] 分成 12 等份, 分别求出
y=sinx 在各分点及区间端点的正弦函数值.
指导
操作
强调“五点法”是重要的作图方法和学生必备
基本技能
(2) 描点作图．
根据表中 x，y 的数值在平面直角坐标系内描点(x, y) ，再用平滑曲线顺次连接各点， 就得到正弦函数 y＝sinx 在 [0,2π]上的图像.
引导
分析
观察函数 y＝sinx 在[0,2π]上的图像发现，
在确定图像的形状时，起关键作用的点有以下
五个，描出这五个点后，正弦函数的图像就基
本确定了.
因此，在精确度要求不高时，常常先找出
这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起
来，就得到[0,2π]上正弦函数的图像简图了，这
种作图方法称为五点法．
因为正弦函数的周期是 2π，所以正弦函数值每隔 2π 重复出现一次．于是，我们只要将函数 y＝sinx 在 [0,2π]上的图像沿 x 轴向左或向右平移 2kπ(k∈Z)，就可得到正弦函数 y＝
sinx，x∈R 的图像.
引
正弦函数的图像也称为正弦曲线，它是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
例1 利用五点法作出函数 y＝1+sinx 在 [0,2π]
提问
思考
借助实际
上的图像．
例子加深
解(1)列表.
对“五点
导
分析
法”作图
的理解
例题辨析
(2)描点作图.
讲解
解决
根据表中 x, y 的数值在平面直角坐标系内
描点(x,y), 再用平滑曲线顺次连接各点, 就得
到函数 y＝1+sinx 在 [0,2π]上的图像.
强调
交流
练习 4.6.1
1．设函数 y=f (x)，x∈R 的周期为 2，且
f(1)＝1，则 f (3)= ．
2 . 利用五点法作出下列函数在[0,2π]上的图像：
(1) y＝sinx−1； (2) y＝−sinx．
3. 利用五点法作出正弦函数 y＝sinx 在
  3 上的图像.
，
 22 
提问
思考
通过练习
及时掌握
学生情况
巩固
练习
巡视
动手
查漏补缺
求解
指导
交流
情境导入
4.6.2 正弦函数的性质
利用研究函数的经验，可否从正弦函数的
提问
观察
从原有知识出发，
定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性等方面来研究正弦函数的性质呢？
启发
思考
数形结合思考问题
观察正弦曲线，得到关于正弦函数 y＝
sinx，x∈R 的结论:
定义域.正弦函数的定义域是实数集 R.
值域. 正弦曲线分布在两条直线 y=-1 和 y=1 之间，即对任意的 x,都有| sinx |≤1 成立．由此可知,正弦函数的值域是[-1, 1],并且,
当 x    2k (k∈Z)时,y 取最大值，ymax=1；当
2
x  2k (k∈Z)时，y 取最小值，ymid=-1．

2
周期性.正弦函数是周期为2π 的周期函数．
奇偶性.由图像关于原点对称和诱导公式 sin(−x)=−sinx 可知，正弦函数是奇函数．
单调性.
由图像可知，正弦函数 y＝sinx 在区间
      
 2 , 2  上单调递增，在区间 2 , 2  上单调递
减．
因此，由正弦函数的周期性可知，正弦函
数 y＝sinx 在每一个闭区间  +2k,  +2k
 22
(k∈Z)上都是增函数，函数值从-1 增大到 1；
在每一个闭区间   +2k,  +2k (k∈Z) 上
 22
讲解
理解
通 过 讨
说明
论，学生
由曲线形
状看出函
引导
观察
数的性质
学生
图像
从函
得到
加深对知
数性
结论
识的理解
质几
发展直观
方面
想象和数
考虑
学抽象核
新知
问题
心素养
探索
说明
启发
结合
图像
启发
引导
说明
都是减函数，函数值从 1 减小到-1．
例 2 求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最大值、最小值时自变量 x 的集合.
(1) y  2 sin x, x  R ；(2) y=1-2sinx，x∈R．
3
解 由正弦函数的性质知， 1 ≤sin x ≤1 ，所以
 2 ≤ 2 sin x ≤ 2 ，
333
即 2 ≤ y ≤ 2 ．
33
故函数的最大值为 2 ，最小值为 2 ．
33
使函数 y  2 sin x, x  R 取得最大值的 x 的
3
集合，就是使函数 y=sinx，x∈R 取得最大值的
x 的集合
{x | x    2k, k  Z} ；
2
使函数 y  2 sin x, x  R 取得最小值的 x 的
3
集合，就是使函数 y=sinx，x∈R 取得最小值的
x 的集合
{x | x  2k, k  Z}．
 
2
(2) 由正弦函数的性质知，-1≤sinx≤1，所
以
-2≤-2sinx≤2，-1≤1-2sinx≤3，
即-1≤y≤3．故函数的最大值为 3，最小值为
-1．
使函数 y=1-2sinx，x∈R 取得最大值的 x 的集合，就是使函数 y=sinx，x∈R 取得最小值的 x 的集合
{x | x  2k, k  Z}；
 
2
提问
思考
数形结合
解决问题
结合具体
引导
解决
问题巩固
函数的性
质
讲解
交流
提问
思考
例题
辨析
引导
解决
讲解
交流
提问
思考
引导
解决
使函数 y=1-2sinx，x∈R 取得最小值的 x 的集合，就是使函数 y=sinx，x∈R 取得最大值的 x 的集合
{x | x    2k, k  Z} ．
2
例 3 不求值，比较下列各组数值的大小：
(1) sin  与sin 2 ；(2) sin 5 与sin 7 ．
7788
解 根据正弦函数的图像和性质可知：
因为0       ，正弦函数 y=sinx 在区
772
间0   上是增函数，所以sin   sin  ；
，
2 77
因为       ，正弦函数 y=sinx 在区
288
间    上是减函数，所以sin   sin  ．
 288
例 4 求函数 y  sin x 的定义域．
解 要使函数 y  sin x 有意义，必须使
sin x≥0 ．
由正弦函数正弦函数 y=sinx 在[0,2π]上的图像可知，
在[0,2π]内，符合题意的x 满足0≤x≤π．由函数的周期性得：
2kπ≤x≤π+2kπ(k∈Z)，
故函数的定义域为{x|2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z}．
温馨提示
讲解
交流
帮助学生
加强对正
弦函数单
调性的理
解
提问
思考
引导
解决
讲解
交流
帮助学生
加强对正
弦函数的
图像和周
期性的理
解
数形结合
分析问题
更加清晰
提问
思考
明了
强调思维
的严谨性
引导
解决
体会知识
的简单应
讲解
交流
用
对含三角函数的函数式求定义域时，除了考虑函数式有意义之外，还要注意三角函数的周期性．
探究与发现
若某地一天 6~14 时的气温变化曲线近似满足函数
y  10 sin   x  3   20，x [6,14] ，
 84 

求这一天 6~14 时的最大温差.
补充
体会
说明
领悟
提问
思考
引导
回答
练习 4.6.2
下列各等式能否成立？为什么？
(1) 2sinx=3；(2) sin2 x  1 ．
4
求下列函数的值域：
(1) y  1 sin x ；(2) y=2sinx-1 ．
2
求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最大值、最小值时自变量 x 的集合．
(1)y=sin3x(2) y  2 sin  x   .
2 

函数 y=a+2sinx 的最小值是 5，求 a 的值．
不求值，比较下列各对正弦值的大小：
(1) sin(-65°)与 sin(-70°)；
(2) sin  与sin  ；
87
(3) sin     与sin     ；
 18  10 

提问
思考
通过练习
及时掌握
巡视
动手
学生情况
求解
查漏补缺
指导
交流
巩固
练习
(4) sin  与sin  ．
44
归纳总结
引导
总结
反思
交流
培养学生总结学习过程能力
1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；
说明
记录
继续探究
布置
2.查漏补缺：根据个人情况对课题学习复习与
延伸学习
作业
回顾;
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.