2022-2023学年北京市西城区铁路二中九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市西城区铁路二中九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）一元二次方程﹣3x2+2x﹣4＝0的一次项系数是（ ）
A．﹣3B．2C．3D．0
3．（2分）抛物线y＝2（x+7）2﹣5的顶点坐标是（ ）
A．（7，﹣5）B．（﹣7，﹣5）C．（7，5）D．（﹣7，5）
4．（2分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣2，﹣1）
5．（2分）如图，将正方形图案绕中心O逆时针旋转180°后，得到的图案是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣x+1＝0B．x（x﹣1）＝0C．x2+12x＝0D．x2+x＝1
7．（2分）抛物线y＝﹣x2+2和y＝﹣（x+2）2的对称轴分别是（ ）
A．y轴，直线x＝2B．直线x＝2，x＝﹣2
C．直线x＝﹣2，直线x＝2D．y轴，直线x＝﹣2
8．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
则当y＞5时，x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜4B．1＜x＜3C．x＜0或x＞4D．x＜0或x＞5
二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分.）
9．（2分）已知点A（2，a）和点B（b，1）关于原点对称，则ab＝ ．
10．（2分）将一元二次方程x2﹣10x+24＝0配方写成（x+n）2＝m的形式为 ．
11．（2分）请写出一个有最小值，并且对称轴为直线x＝1的二次函数的解析式 ．
12．（2分）二次函数y＝ax2（a＜0）的图象对称轴右侧上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＞y2，则x1﹣x2 0．（填“＞”“＜”或“＝”）
13．（2分）如图，△ABC中∠B＝50°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，使AD⊥BC，连接CE，则∠ACE＝ °．
14．（2分）某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，每个支干长出小分支的个数是 ．
15．（2分）如图，E为正方形ABCD内的一点，△AEB绕点B按顺时针旋转90°后成为△CFB，连接EF，若A、E、F三点在同一直线上，则∠AEB的度数为 ．
16．（2分）如图一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，直至得到C11，若点P（31，m）在第11段抛物线C11上，则m的值为 ．
三、解答题（共8道题，共68分.第17题12分；第18，19，20题，每题8分；第21，22题，每题6分；第23，24题，每题10分.）
17．（12分）解下列方程：
（1）用公式法解一元二次方程：x2﹣2x﹣2＝0；
（2）用适当的方法解方程（x+4）2＝5（x+4）．
18．（8分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）抛物线的顶点坐标是 ；
（2）在平面直角坐标系中，利用五点法画出该函数图象（列表）
（3）当x 时，y随x的增大而增大；
（4）当x满足 时，y＞0；
（5）当﹣3＜x＜0时，函数y的取值范围为 ；
（6）若x2+2x﹣3﹣m＝0有两个不相等的实数根，m的取值范围为 ．
19．（8分）如图在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．
（1）求证：AD＝DE；
（2）求∠DCE的度数．
20．（8分）已知关于x的方程x2﹣（m﹣3）x+m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围．
21．（6分）如图，关于x的二次函数y1＝ax2+4ax+3的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，设直线AC的表达式为y2＝kx+b．
（1）求二次函数y1的表达式；
（2）求直线AC的表达式；
（3）当y1﹣y2＞0时，直接写出x的取值范围．
22．（6分）中国在2022年北京冬奥会上向全世界展示了“胸怀大局，自信开放，迎难而上，追求卓越，共创未来”的北京冬奥精神．跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之一，如图是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台AB长1米（即AB＝1），平台AB距地面18米．以地面所在直线为x轴，过点B垂直于地面的直线为y轴，取1米为单位长度，建立平面直角坐标系，已知滑道对应的函数为（x≥1），运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落过程中的某位置（忽略空气阻力）．设运动员飞出时间为t秒，运动员与点A的竖直距离为h米，运动员与点A的水平距离为1米，经实验表明：h＝6r2，l＝vt．
（1）求滑道对应的函数表达式；
（2）当v＝5，t＝1时，通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上；
（3）在试跳中，运动员从A处飞出，运动员甲飞出的路径近似看做函数图象的一部分，着陆时水平距离为d1，运动员乙飞出的路径近似看做函数+图象的一部分，着陆时水平距离为d2，则d1 d2，（填“＞”“＝”或“＜”）．
23．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（2，0），B（﹣2，4），C（﹣4，0），直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M在直线AB上方的抛物线上运动，当△ABM的面积最大时，求点M的坐标；
（3）若点F为平面内的一点，且以点B，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合条件的点F的坐标．
24．（10分）（1）问题背景．
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD＝2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ．
（2）猜想论证．
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E在线段BC上、F在线段CD延长线上．若∠BAD＝2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．
（3）拓展应用．
如图3，在四边形ABCD中，∠BDC＝45°，连接BC、AD，AB：AC：BC＝3：4：5，AD＝4，且∠ABD+∠CBD＝180°．则△ACD的面积为 ．
四、附加题（共2道题，共10分.第1题2分，第2题8分.）
25．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列结论：
①a＜0 ②b＜0 ③c＞0 ④b2﹣4ac＞0
⑤b＝﹣2a⑥9a+3b+c＞0 ⑦3a+c＜0
正确的结论是 ．（填序号）
26．（8分）定义：若两个函数的图象关于某一点Q中心对称，则称这两个函数关于点Q互为“对称函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“对称函数”．
（1）函数y＝﹣x+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为 ，函数y＝（x﹣2）2﹣1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为 ；
（2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点Q（0，1）互为“对称函数”，若函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，求x的取值范围；
（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），与函数N关于点C互为“对称函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．
2022-2023学年北京市西城区铁路二中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8道小题，每题2分，共16分.）
1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（2分）一元二次方程﹣3x2+2x﹣4＝0的一次项系数是（ ）
A．﹣3B．2C．3D．0
【分析】一元二次方程的一般形式是y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
【解答】解：一元二次方程﹣3x2+2x﹣4＝0的一次项系数是2，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，①一元二次方程的一般形式是y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），②找项的系数时带着前面的符号．
3．（2分）抛物线y＝2（x+7）2﹣5的顶点坐标是（ ）
A．（7，﹣5）B．（﹣7，﹣5）C．（7，5）D．（﹣7，5）
【分析】由顶点式二次函数表达式y＝a（x﹣h）2+k可知：顶点坐标为（h，k），可得问题答案．
【解答】解：∵y＝（x+7）2﹣5，
∴顶点坐标是（﹣7，﹣5），
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟记顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标和开口方向是解题的关键．
4．（2分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可．
【解答】解：根据中心对称的性质，可知：点P（﹣1，﹣2）关于原点O中心对称的点的坐标为（1，2）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5．（2分）如图，将正方形图案绕中心O逆时针旋转180°后，得到的图案是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称的定义进行判定即可．
【解答】解：将正方形图案绕中心O逆时针旋转180°后，得到的图案是：
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形，旋转的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
6．（2分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2﹣x+1＝0B．x（x﹣1）＝0C．x2+12x＝0D．x2+x＝1
【分析】利用根的判别式和简单一元二次方程求解作答即可．
【解答】解：A选项，Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，故x2﹣x+1＝0没有实数根，符合题意；
B选项，x1＝0，x2＝1，不符合题意；
C选项，x1＝0，x2＝﹣12，不符合题意；
D选项，x1＝0，x2＝﹣1，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查根的判别式，能够快速求出一元二次方程的解是解答本题的关键．
7．（2分）抛物线y＝﹣x2+2和y＝﹣（x+2）2的对称轴分别是（ ）
A．y轴，直线x＝2B．直线x＝2，x＝﹣2
C．直线x＝﹣2，直线x＝2D．y轴，直线x＝﹣2
【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出对称轴．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2+2的对称轴为y轴，抛物线y＝﹣（x+2）2的对称轴为直线x＝﹣2，
故选：D．
【点评】此题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．利用解析式化为y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h得出是解题关键．
8．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
则当y＞5时，x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜4B．1＜x＜3C．x＜0或x＞4D．x＜0或x＞5
【分析】根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x＝3时与x＝1时的函数值相同，观察表格发现：当x＜2时，y随着x的增大而减小，当x＞2时，y随着x的增大而增大，即可得出当y＞5时，x的取值范围是x＜0或x＞4．
【解答】解：∵根据表格可知抛物线经过点（1，2），（3，2），
∴对称轴为x＝＝2，
设抛物线经过点（a，5），
则：＝2，解得：a＝4，
观察表格发现：当x＜2时，y随着x的增大而减小，当x＞2时，y随着x的增大而增大，
∴当y＞5时，x的取值范围是x＜0或x＞4，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分.）
9．（2分）已知点A（2，a）和点B（b，1）关于原点对称，则ab＝ 2 ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值进而得出答案．
【解答】解：∵点A（2，a）、点B（b，1）关于原点对称，
∴b＝﹣2，a＝﹣1，
则ab＝（﹣2）×（﹣1）＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
10．（2分）将一元二次方程x2﹣10x+24＝0配方写成（x+n）2＝m的形式为 （x﹣5）2＝1 ．
【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣10x+24＝0，
x2﹣10x＝﹣24，
x2﹣10x+25＝﹣24+25，
（x﹣5）2＝1，
故答案为：（x﹣5）2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
11．（2分）请写出一个有最小值，并且对称轴为直线x＝1的二次函数的解析式 y＝（x﹣1）2（答案不唯一） ．
【分析】有最小值，二次项系数为正，对称轴为直线x＝1，可根据顶点式写出满足条件的函数解析式．
【解答】解：依题意可知，抛物线解析式中二次项系数为正，已知对称轴为直线x＝1，
根据顶点式，得抛物线解析式为y＝（x﹣1）2（答案不唯一）．
故答案为：y＝（x﹣1）2（答案不唯一）．
【点评】主要考查了抛物线的对称轴、开口方向与抛物线顶点式的关系：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下．
12．（2分）二次函数y＝ax2（a＜0）的图象对称轴右侧上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＞y2，则x1﹣x2 ＜ 0．（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】根据题意可知图象开口向下，对称轴是y轴，对称轴右侧y随x的增大而减小；然后根据y1＞y2得出结果即可．
【解答】解：根据二次函数的性质可知：二次函数y＝ax2（a＜0）的图象开口向下，对称轴为：x＝0，
∴当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵二次函数y＝ax2（a＜0）的图象对称轴右侧上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），
∴当y1＞y2时，x1＜x2．
∴x1﹣x2＜0．
故答案为：＜．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象的性质是解决此题的关键．
13．（2分）如图，△ABC中∠B＝50°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，使AD⊥BC，连接CE，则∠ACE＝ 70 °．
【分析】由旋转的性质可得AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝40°，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：∵AD⊥BC，∠B＝50°，
∴∠DAB＝40°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE，
∴AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝40°，
∴∠ACE＝∠AEC＝70°，
故答案为：70．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
14．（2分）某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，每个支干长出小分支的个数是 15 ．
【分析】设每个支干长出小分支的个数是x，根据主干、支干、小分支的总数是241，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设每个支干长出小分支的个数是x，
依题意得：1+x+x2＝241，
整理得：x2+x﹣240＝0，
解得：x1＝15，x2＝﹣16（不符合题意，舍去），
∴每个支干长出小分支的个数是15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2分）如图，E为正方形ABCD内的一点，△AEB绕点B按顺时针旋转90°后成为△CFB，连接EF，若A、E、F三点在同一直线上，则∠AEB的度数为 135° ．
【分析】由旋转的性质知△BEF为等腰三角形，根据△AEB绕点B按顺时针旋转90°后成为△CFB，得旋转角∠EBF＝90°，即△BEF为等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于和他不相邻的内角和．即可求得．
【解答】解：由旋转可知，
BE＝BF，∠EBF＝90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠BEF＝45°，
∵A、E、F三点在同一直线上
∴∠AEB＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135°．
【点评】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质．灵活运用旋转的性质和等腰三角形的性质这些知识进行推理是解本题的关键．
16．（2分）如图一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，直至得到C11，若点P（31，m）在第11段抛物线C11上，则m的值为 2 ．
【分析】求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第偶数号抛物线都在x轴下方，然后求出到抛物线平移的距离，再根据向右平移以及沿x轴翻折，表示出抛物线C11的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解．
【解答】解：令y＝0，则﹣x（x﹣3）＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
∴A1（3，0），
由图可知，抛物线C11在x轴上方，
相当于抛物线C1向右平移3×10＝30个单位，再沿x轴翻折得到，
∴抛物线C11的解析式为y＝﹣（x﹣30）（x﹣30﹣3）＝﹣（x﹣33）（x﹣30），
∵P（31，m）在第11段抛物线C11上，
∴m＝﹣（31﹣33）（31﹣30）＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变化确定函数图象的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减．
三、解答题（共8道题，共68分.第17题12分；第18，19，20题，每题8分；第21，22题，每题6分；第23，24题，每题10分.）
17．（12分）解下列方程：
（1）用公式法解一元二次方程：x2﹣2x﹣2＝0；
（2）用适当的方法解方程（x+4）2＝5（x+4）．
【分析】（1）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
（2）先移项得到（x+4）2﹣5（x+4）＝0，再利用因式分解法把方程转化为x+4＝0或x+4﹣5＝0，然后解一次方程．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，
a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2，
Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，
x＝＝＝1±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）（x+4）2＝5（x+4），
（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
（x+4）（x+4﹣5）＝0，
x+4＝0或x+4﹣5＝0，
所以x1＝﹣4，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
18．（8分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）抛物线的顶点坐标是 （﹣1，﹣4） ；
（2）在平面直角坐标系中，利用五点法画出该函数图象（列表）
（3）当x x＞﹣1 时，y随x的增大而增大；
（4）当x满足 x＞1或x＜﹣3 时，y＞0；
（5）当﹣3＜x＜0时，函数y的取值范围为 ﹣4≤y＜0 ；
（6）若x2+2x﹣3﹣m＝0有两个不相等的实数根，m的取值范围为 m＞﹣4 ．
【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式即可求出顶点坐标；
（2）根据五点法列表，描点，连线做出函数图象；
（3）根据（2）中图象和函数的性质即可得出结论；
（4）根据（2）中图象和函数的性质即可得出结论；
（5）根据（2）中图象和函数的性质即可得出结论；
（6）根据判别式Δ＞0，求出m的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），
故答案为：（﹣1，﹣4）；
（2）列表：
描点，连线：
故答案为：﹣3，0；﹣2，﹣3；﹣1，﹣4；0，﹣3；1，0；
（3）由图象可知，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
故答案为：x＞﹣1；
（4）由图象可知，当x满足x＞1或x＜﹣3时，y＞0，
故答案为：x＞1或x＜﹣3；
（5）由图象可知，当﹣3＜x＜0时，函数y的取值范围为﹣4≤y＜0，
故答案为：﹣4≤y＜0；
（6）∵x2+2x﹣3﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣3﹣m）＝16+4m＞0，
解得m＞﹣4，
故答案为：m＞﹣4．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是对二次函数性质的应用．
19．（8分）如图在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．
（1）求证：AD＝DE；
（2）求∠DCE的度数．
【分析】（1）证明三角形ADE是等边三角形即可得出AD＝DE；
（2）由四边形的内角和为360°即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴三角形ADE是等边三角形，
∴AD＝DE；
（2）由（1）知∠AEC＝120°，∠DAE＝60°，
又∵∠ADC＝90°，
∴∠DCE＝360°﹣∠ADC﹣∠DAE﹣∠AEC＝360°﹣90°﹣120°﹣60°＝90°．
【点评】本题主要考查旋转的性质，关键是要牢记旋转前后的两个图形全等，牢记四边形的内角和为360°．
20．（8分）已知关于x的方程x2﹣（m﹣3）x+m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围．
【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝（m﹣5）2，利用非负数的性质得△≥0，然后根据判别式的意义判断根的情况；
（2）利用求根公式解方程得到x1＝m﹣4，x2＝1，再利用方程有一个根大于4且小于8得4＜m﹣4＜8，然后解不等式组即可．
【解答】（1）证明：Δ＝（m﹣3）2﹣4（m﹣4）
＝m2﹣10m+25
＝（m﹣5）2，
∵（m﹣5）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）x＝，得x1＝m﹣4，x2＝1，
∵方程有一个根大于4且小于8，
∴4＜m﹣4＜8，
∴8＜m＜12．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
21．（6分）如图，关于x的二次函数y1＝ax2+4ax+3的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，设直线AC的表达式为y2＝kx+b．
（1）求二次函数y1的表达式；
（2）求直线AC的表达式；
（3）当y1﹣y2＞0时，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）将A（﹣3，﹣0）代入y1＝ax2+4ax+3，解方程即可；
（2）首先得出点C的坐标，将点A、C坐标代入y2＝kx+b，解方程组即可；
（3）直接根据图象可得答案．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0）代入y1＝ax2+4ax+3得，
9a﹣12a+3＝0，
∴a＝1，
∴二次函数y1的表达式为y1＝x2+4x+3；
（2）在y1＝x2+4x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
将点A、C坐标代入y2＝kx+b得，
，
解得，
∴直线AC的表达式为y2＝x+3；
（3）当y1﹣y2＞0时，即y1＞y2，
有图象可知，x＜﹣3或x＞0．
【点评】本题主要考查了二次函数与不等式，待定系数法求函数解析式等知识，利用数形结合思想是解题的关键．
22．（6分）中国在2022年北京冬奥会上向全世界展示了“胸怀大局，自信开放，迎难而上，追求卓越，共创未来”的北京冬奥精神．跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之一，如图是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台AB长1米（即AB＝1），平台AB距地面18米．以地面所在直线为x轴，过点B垂直于地面的直线为y轴，取1米为单位长度，建立平面直角坐标系，已知滑道对应的函数为（x≥1），运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落过程中的某位置（忽略空气阻力）．设运动员飞出时间为t秒，运动员与点A的竖直距离为h米，运动员与点A的水平距离为1米，经实验表明：h＝6r2，l＝vt．
（1）求滑道对应的函数表达式；
（2）当v＝5，t＝1时，通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上；
（3）在试跳中，运动员从A处飞出，运动员甲飞出的路径近似看做函数图象的一部分，着陆时水平距离为d1，运动员乙飞出的路径近似看做函数+图象的一部分，着陆时水平距离为d2，则d1 ＜ d2，（填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】（1）把A（1，18）代入解析式求出c即可；
（2）先把v＝5，t＝1代入h＝6t2，l＝vt，再把x＝6代入（1）中解析式，比较即可；
（3）令和与滑道方程联立，求出x，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：A（1，18），
把A（1，18）代入解析式得：×12﹣4×1+c＝18，
解得：c＝21.8，
∴滑道对应的函数表达式为y＝x2﹣4x+21.8；
（2）当v＝5，t＝1时，h＝6t2＝6，l＝vt＝5，
当x＝6时，y＝×62﹣4×6+21.8＝5，
而18﹣h＝18﹣6＝12＞5，
∴运动员此时未落在滑道上；
（3）令＝x2﹣4x+21.8，
解得x＝1（舍去）或x＝10，
∴d1＝10，
令＝x2﹣4x+21.8，
解得x＝1（舍去）或x＝，
∴d2＝，
∵d1＝10，d2＝，
∴d1＜d2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据函数的性质进行解答．
23．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（2，0），B（﹣2，4），C（﹣4，0），直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M在直线AB上方的抛物线上运动，当△ABM的面积最大时，求点M的坐标；
（3）若点F为平面内的一点，且以点B，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合条件的点F的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点M作MG∥y轴交直线AB于点G，设M（m，﹣m2﹣m+4），则G（m，﹣m+2），可得S△ABM＝﹣m2+4，当m＝0时，△ABM的面积最大，此时M（0，4）；
（3）设F（x，y），求出E（﹣1，3），再根据平行四边形对角线的情况分三种情况讨论，利用中点坐标公式求F点坐标即可．
【解答】解：（1）将A（2，0），B（﹣2，4），（﹣4，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣x+4；
（2）过点M作MG∥y轴交直线AB于点G，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
设M（m，﹣m2﹣m+4），则G（m，﹣m+2），
∴MG＝﹣m2+2，
∴S△ABM＝×4×（﹣m2+2）＝﹣m2+4，
∴当m＝0时，△ABM的面积最大，
此时M（0，4）；
（3）设F（x，y），
∵y＝﹣x2﹣x+4＝﹣（x+1）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴E（﹣1，3），
①当BE为对角线时，，
解得，
∴F（1，7）；
②当BC为对角线时，，
解得，
∴F（﹣5，1）；
③当BF为对角线时，，
解得，
∴F（﹣3，﹣1）；
综上所述：F点的坐标为（1，7）或（﹣5，1）或（﹣3，﹣1）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
24．（10分）（1）问题背景．
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD＝2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 EF＝BE+DF ．
（2）猜想论证．
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E在线段BC上、F在线段CD延长线上．若∠BAD＝2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．
（3）拓展应用．
如图3，在四边形ABCD中，∠BDC＝45°，连接BC、AD，AB：AC：BC＝3：4：5，AD＝4，且∠ABD+∠CBD＝180°．则△ACD的面积为 ．
【分析】（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG（SAS），可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF（SAS），可得EF＝FG，即可解题；
（2）在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF．
（3）如图3中，如图3中，过点D作DH⊥AB交AB的延长线于H，DK⊥AC交AC的延长线于K，DJ⊥BC于J．证明四边形AHDK是正方形即可解决问题．
【解答】解：延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，
∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADF+∠ADG＝180°，
∴∠ADG＝∠B，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为：EF＝BE+DF．
（2）结论EF＝BE+FD不成立，结论：EF＝BE﹣FD．
理由如下：证明：如图2中，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．
∴∠BAD＝∠BAG+∠GAD＝∠DAF+∠GAD＝∠GAF．
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠GAF＝2∠EAF，
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS）．
∴EG＝EF
∵EG＝BE﹣BG
∴EF＝BE﹣FD．
（3）如图3中，如图3中，过点D作DH⊥AB交AB的延长线于H，DK⊥AC交AC的延长线于K，DJ⊥BC于J．
∵AB：AC：BC＝3：4：5，
∴可以假设AB＝3k，AC＝4k，BC＝5k，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵∠H＝∠K＝90°，
∴四边形AHDK是矩形，
∴∠HDK＝90°，
∵∠BDC＝45°，
∴∠BDH+∠CDK＝45°，
∵∠ABD+∠CBD＝180°，∠ABD+∠DBH＝180°，
∴∠DBH＝∠DBC，
∵∠H＝∠DJB＝90°，DB＝DB，
∴△BDH≌△BDJ（AAS），
∴DH＝DJ，∠BDH＝∠BDJ，BH＝BJ，
∵∠BDJ+∠CDJ＝45°，∠BHH+∠CDK＝∠BDJ+∠CDK＝45°，
∴∠CDJ＝∠CDK，
∵∠K＝∠DJC＝90°，CD＝CD，
∴△CDK≌△CDJ（AAS），
∴DJ＝DK，CJ＝CK，
∴DH＝DK，
∴四边形AHDK是正方形，
∴BH+CK＝BJ+CJ＝5k，
∴AH+AK＝12k，
∴AK＝KD＝6k，
∵AD＝4，
∴AK＝DK＝2＝6k，
∴k＝，
∴AC＝，
∴S△ACD＝•AC•DK＝•×2＝．
故答案为．
【点评】本题考查了四边形综合题，三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形．
四、附加题（共2道题，共10分.第1题2分，第2题8分.）
25．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列结论：
①a＜0 ②b＜0 ③c＞0 ④b2﹣4ac＞0
⑤b＝﹣2a⑥9a+3b+c＞0 ⑦3a+c＜0
正确的结论是 ②④⑤⑦ ．（填序号）
【分析】根据抛物线的开口方向判断①；根据对称轴的位置判断②；根据抛物线与y轴的交点位置判断③；根据抛物线与x轴的交点情况判断④；根据对称轴判断⑤；根据横坐标为3的抛物线上的点的纵坐标正负情况判断⑥；根据横坐标为﹣1的抛物线上的点的纵坐标取值范围判断⑦．
【解答】解：由于抛物线的开口向上，则＞0，故①错误；
由于抛物线的对称轴在y轴右边，则a、b异号，所以b＜0，故②正确；
由于抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，则c＜0，故③错误；
由于抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故④正确；
因为对称轴为x＝﹣，则b＝﹣2a，故⑤正确；
当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故⑥错误；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，则a+2a+c＜0，即3a+c＜0，故⑦正确；
故答案为：②④⑤⑦．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据抛物线与x轴交点情况确定b2﹣4ac与0的关系．
26．（8分）定义：若两个函数的图象关于某一点Q中心对称，则称这两个函数关于点Q互为“对称函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“对称函数”．
（1）函数y＝﹣x+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为 y＝x﹣1 ，函数y＝（x﹣2）2﹣1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为 y＝﹣（x﹣2）2﹣1 ；
（2）已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点Q（0，1）互为“对称函数”，若函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，求x的取值范围；
（3）已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），与函数N关于点C互为“对称函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）结合新定义利用待定系数法解答即可；
（2）利用数形结合的方法结合图象，利用新定义的规定解得即可；
（3）利用分类讨论的方法分三种情况解答：①当“对称函数”的顶点在AB上时，求得函数N的顶点坐标，利用对称性求得对称点的坐标，利用待定系数法即可求解；②当两个函数的交点在AB上时，利用两函数与x轴的交点坐标，求函数N的解析式，令y＝1，即可求得a值；③当“对称函数”经过点B时，将坐标代入函数N的解析式即可确定a的取值范围．
【解答】解：（1）∵两个函数是关于原点O的“对称函数”，
∴两个函数的点分别关于原点中心对称，
设函数y＝﹣x+1上的任一点为（x，y），则它的对称点为（﹣x，﹣y），
将（﹣x，﹣y）代入函数y＝﹣x+1得：
﹣y＝x+1，
∴y＝﹣x﹣1．
函数y＝x+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为y＝﹣x﹣1；
同理可得，函数y＝（x﹣2）2+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为y＝﹣（x+2）2﹣1，
故答案为：y＝﹣x﹣1；y＝﹣（x+2）2﹣1；
（2）函数G的解析式为y＝﹣（x+1）2+3，
如图，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，
∵“对称函数”的开口方向向下，
∴在对称轴的右侧y随自变量x的增大而减小，
函数y＝x2﹣2x在对称轴的左边y随自变量x的增大而减小，
∴函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小，自变量x的取值范围为﹣1＜x＜1；
（3）①当“对称函数”的顶点在AB上时，如图，
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1，
∵点C（2，0）为对称中心，
∴函数N的对称轴为直线x＝3，
∴函数N的顶点坐标为（3，1），
∵（3，1）关于点C（2，0）对称的点为（1，﹣1），
∴将（1，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：
a﹣2a﹣3a＝﹣1，
∴a＝；
②当两个函数的交点在AB上时，如图，
二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），
∵点C（2，0）为对称中心，
∴函数N与x轴的交点为（5，0）和（1，0），
∴函数N的解析式为y＝﹣ax2+6ax﹣5a，
当y＝1时，
，
解得：a＝；
③当“伴随函数”经过点B时，如图，
∵点B（4，1），
∴1＝﹣a×16+6a×4﹣5a，
解得：a＝．
综上，图形W与线段AB恰有2个公共点，a的取值范围为a＝或a＝或a＞．
【点评】本题主要考查了待定系数法，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，中心对称图形的性质，抛物线上点的坐标的特征，本题是新定义型题目，理解新定义并熟练应用以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
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