2022-2023学年北京市西城外国语学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市西城外国语学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共27页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题，画图题，选做题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下面有4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6B．a2•a3＝a6C．（2a）3＝2a3D．a10÷a2＝a5
3．（2分）图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．45°B．62°C．73°D．135°
4．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．2a+3b＝5ab
C．2（2a﹣b）＝4a﹣bD．（a+b）2＝a2+b2
5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣5）B．（3，﹣5）C．（3，5）D．（5，﹣3）
6．（2分）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最少要带第（ ）块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃．
A．①B．②C．③D．①②③
7．（2分）下列命题中正确的有（ ）个
①三个内角对应相等的两个三角形全等；
②三条边对应相等的两个三角形全等；
③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等；
④等底等高的两个三角形全等．
A．1B．2C．3D．4
8．（2分）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB，△PBC，△PDC，△PAD均为等腰三角形，则满足条件的点P有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．1个
二、填空题（每小题2分，共16分）
9．（2分）计算（﹣3a2b）3的结果是 ．
10．（2分）若（a﹣1）0有意义，则实数a的取值范围是 ．
11．（2分）若等腰三角形的一个外角为140°，则它的顶角的度数为 ．
12．（2分）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分AOB．其理由是 .（填定理）
13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB∥CD，过点B作BE⊥AC于E，BD⊥CD于D，CD＝8，BD＝3，△ABE的周长为 ．
14．（2分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 块．
15．（2分）已知a＝8131，b＝2742，c＝961，则a，b，c的大小关系是 .（用“＜”连接）
16．（2分）设a，b是实数，定义*的一种运算如下：a*b＝（a+b）2，则下列结论：
①a*b＝0，则a＝﹣b；②a*b＝b*a；③a*（b+c）＝a*b+a*c；④a*b＝（﹣a）*（﹣b），正确的有 ．
三、解答题（第17题8分，第18题20分，共28分）
17．（8分）计算：
（1）29÷27﹣（3﹣π）0﹣|﹣4|；
（2）（8m3﹣6m2+2m）÷2m．
18．（20分）计算：
（1）（﹣4x2）（3x+1）；
（2）（3n﹣2）（n+5）；
（3）（x﹣2）2﹣（x+3）（x+1）；
（4）（2x+y+z）（2x﹣y﹣z）．
四、画图题（算19题4分，第20题8分，共12分）
19．（4分）尺规作图：已知∠α，∠β，
求作∠ABC，使得∠ABC＝∠α﹣∠β．（不写作法，但要保留作图痕迹）
20．（8分）对于所有直角三角形，我们都可以将其分割为两个等腰三角形；
例如：如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，作直角边AB的垂直平分线DE，分别交BC与AB于D，E两点，连接AD，则AD将△ABC分割成两个等腰三角形△ADC，△ADB．
（1）请在以下证明过程中填入适当理由．
证明：∵DE垂直平分AC
∴AD＝DB（ ）
∴∠1＝∠2（ ）
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°
∴∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°
∴∠3＝∠4
∴CD＝DA（ ）
∴△ADC、△ADB是等腰三角形
（2）根据上述方法，将下面三角形分割成4个等腰三角形；（尺规作图，保留作图痕迹）
（3）将下面的不等边三角形分割成5个等腰三角形；（不要求尺规，准确作图并用相同的记号标出相等的线段）
五、解答题（第21题6分，第22，23题每题7分，第24题8分，共28分）
21．（6分）已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED．求证：AC＝CD．
22．（7分）已知：如图，点B，C，E在同一条直线上，CD平分∠ACE，∠DBM＝∠DAN，DM⊥BE于M，DN⊥AC于N．
（1）求证：△BDM≌△ADN；
（2）若AC＝7，BC＝3，求CM的长．
23．（7分）已知：如图，D是△ABC的边BA延长线上一点，且AD＝AB，E是边AC上一点，且DE＝BC．求证：∠DEA＝∠C．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点且∠ADC＝60°，CE⊥AD于点E，点A关于CE的对称点为点F，CF交AB于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠AGC的度数；
（3）写出BD与DF之间的数量关系，并证明．
六、选做题（本题共10分，第25题4分，第26题6分，计入总分但总分不超过100分）
25．（4分）阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，
整理得t2﹣1＝80，t2＝81，
∴t＝±9，
∵2m2+n2≥0，
∴2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；
（2）在（1）的条件下，若xy＝1，求（x+y）2和x﹣y的值．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l1，l2，给出如下定义：将图形G先沿直线l1翻折得到图形G1，再将图形G1沿直线l2翻折得到图形G2，则称图形G2是图形G的[l1，l2]伴随图形．
例如：点P（2，1）的[x轴，y轴]伴随图形是点P'（﹣2，﹣1）．
（1）点Q（﹣3，﹣2）的[x轴，y轴]伴随图形点Q'的坐标为 ；
（2）已知A（t，1），B（t﹣3，1），C（t，3），直线m经过点（1，1）．
①当t＝﹣1，且直线m与y轴平行时，点A的[x轴，m]伴随图形点A'的坐标为 ；
②当直线m经过原点时，若△ABC的[x轴，m]伴随图形上只存在两个与x轴的距离为0.5的点，直接写出t的取值范围．
2022-2023学年北京市西城外国语学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题2分，共16分）
1．（2分）下面有4个汽车标志图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故错误；
B、是轴对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，故错误；
D、不是轴对称图形，故正确．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6B．a2•a3＝a6C．（2a）3＝2a3D．a10÷a2＝a5
【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方解决此题．
【解答】解：A．根据幂的乘方，得（a2）3＝a6，故A符合题意．
B．根据同底数幂的乘法，得a2•a3＝a5，故B不符合题意．
C．根据积的乘方，得（2a）3＝8a3，故C不符合题意．
D．根据同底数幂的除法，得a10÷a2＝a8，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方是解决本题的关键．
3．（2分）图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．45°B．62°C．73°D．135°
【分析】根据全等三角形的性质得出即可．
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴边长为a的对角是对应角，
∴∠1＝73°，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
4．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．2a+3b＝5ab
C．2（2a﹣b）＝4a﹣bD．（a+b）2＝a2+b2
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝a2﹣b2，符合题意；
B、原式不能合并，不符合题意；
C、原式＝4a﹣2b，不符合题意；
D、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了平方差公式，合并同类项，去括号与添括号，以及完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣3，5）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣5）B．（3，﹣5）C．（3，5）D．（5，﹣3）
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：点P（﹣3，5）关于y轴对称的点的坐标是：（3，5）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．
6．（2分）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最少要带第（ ）块去玻璃店就可以买到完全一样的玻璃．
A．①B．②C．③D．①②③
【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．
【解答】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，
只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要根据已知条件进行选择运用．
7．（2分）下列命题中正确的有（ ）个
①三个内角对应相等的两个三角形全等；
②三条边对应相等的两个三角形全等；
③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等；
④等底等高的两个三角形全等．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据三角形全等的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL．可得出正确结论．
【解答】解：①三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，错误；
②三条边对应相等的两个三角形全等，正确；
③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等，正确；
④等底等高的两个三角形不一定全等，错误；
故选：B．
【点评】主要考查全等三角形的判定定理判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS、HL．做题时要按判定全等的方法逐个验证．
8．（2分）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB，△PBC，△PDC，△PAD均为等腰三角形，则满足条件的点P有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．1个
【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部
在l上作点P，使PA＝AB，PD＝DC，同理，在l上作点P，使PC＝DC，AB＝PB；三是如图，在长方形外l上作点P，使AB＝BP，DC＝PC，
同理，在长方形外l上作点P，使AP＝AB，PD＝DC．
【解答】解：如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，
如图，在l上作点P，使PA＝AB，同理，在l上作点P，使PC＝DC，
如图，在长方形外l上作点P，使AB＝BP，同理，在长方形外l上作点P，使PD＝DC，
综上所述，符合条件的点P有5个．
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形判定的理解和掌握，此题难度较大，需要利用分类讨论的思想分析解答．
二、填空题（每小题2分，共16分）
9．（2分）计算（﹣3a2b）3的结果是 ﹣27a6b3 ．
【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘，求解即可．
【解答】解：（﹣3a2b）3，
＝（﹣3）3×（a2）3×b3，
＝﹣27×a6×b3，
＝﹣27a6b3．
【点评】本题主要考查积的乘方的性质，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．
10．（2分）若（a﹣1）0有意义，则实数a的取值范围是 a≠1 ．
【分析】直接利用零指数幂的定义得出答案．
【解答】解：若（a﹣1）0有意义，则a﹣1≠0，
解得：a≠1．
故答案为：a≠1．
【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的定义是解题关键．
11．（2分）若等腰三角形的一个外角为140°，则它的顶角的度数为 40°或100° ．
【分析】本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，由于等腰三角形外角的位置不确定，因此本题要分情况进行讨论．
【解答】解：本题可分两种情况：
①如图，当∠DCA＝140°时，∠ACB＝40°，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝40°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝100°；
②如图，当∠EAC＝140°时，∠BAC＝40°，
因此等腰三角形的顶角度数为40°或100°．
故填40°或100°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理、三角形外角的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
12．（2分）用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分AOB．其理由是 HL .（填定理）
【分析】利用作法得到OM＝ON，∠PMO＝∠PNO＝90°，加上OP为公共边，然后根据直角三角形的判定方法可判断Rt△POM≌Rt△PON，从而得到∠POM＝∠PON．
【解答】解：由作法得OM＝ON，∠PMO＝∠PNO＝90°，
∵OP＝OP，
∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），
∴∠POM＝∠PON，
即OP平分AOB．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质．
13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB∥CD，过点B作BE⊥AC于E，BD⊥CD于D，CD＝8，BD＝3，△ABE的周长为 11 ．
【分析】根据角平分线的性质得出BE＝BD，再由HL证明Rt△BEC≌Rt△BDC得出CE＝CD即可推出结果．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴∠ACB＝∠BCD，
又∵BD⊥CD，BE⊥CE，
∴BE＝BD，
又∵BC＝BC，
∴Rt△BEC≌Rt△BDC（HL），
∴CE＝CD，
∵△ABE的周长＝AE+BE+AB，AB＝AC，
即△ABE的周长＝CA+AE+BE＝CE+BE＝CD+BD＝8+3＝11，
故答案为：11．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握勾股定理以及角平分线的性质是解题的关键．
14．（2分）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．
（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 a2+b2 ；
（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 4 块．
【分析】（1）由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，即可求解；
（2）利用完全平方公式可求解．
【解答】解：（1）由图可知：一块甲种纸片的面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，
∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为a2+b2，
故答案为：a2+b2；
（2）设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，（x≥0）
∴a2+4b2+xab是一个完全平方式，
∴x为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键．
15．（2分）已知a＝8131，b＝2742，c＝961，则a，b，c的大小关系是 c＜a＜b .（用“＜”连接）
【分析】利用幂的乘方的法则把各数的底数转为相等，再比较指数的大小即可．
【解答】解：a＝8131＝（34）31＝3124，
b＝2742＝（33）42＝3126，
c＝961＝（32）61＝3122，
∴3122＜3124＜3126，
即c＜a＜b．
故答案为：c＜a＜b．
【点评】本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
16．（2分）设a，b是实数，定义*的一种运算如下：a*b＝（a+b）2，则下列结论：
①a*b＝0，则a＝﹣b；②a*b＝b*a；③a*（b+c）＝a*b+a*c；④a*b＝（﹣a）*（﹣b），正确的有 ①②④ ．
【分析】根据新定义运算法则即可求出答案．
【解答】解：①a*b＝（a+b）2＝0，
∴a+b＝0，故①符合题意．
②a*b＝（a+b）2＝b*a，故②符合题意．
③a*（b+c）＝（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
a*b+a*c＝（a+b）2+（a+c）2＝a2+2ab+b2+a2+2ac+c2，
a*（b+c）≠a*b+a*c，故③不符合题意．
④a*b＝（a+b）2＝（﹣a﹣b）2＝（﹣a）*（﹣b），故④符合题意．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及完全平方公式，本题属于基础题型．
三、解答题（第17题8分，第18题20分，共28分）
17．（8分）计算：
（1）29÷27﹣（3﹣π）0﹣|﹣4|；
（2）（8m3﹣6m2+2m）÷2m．
【分析】（1）根据同底数幂的除法，实数的零次幂和绝对值的性质先化简，再加减即可解答本题；
（2）根据多项式除以单项式的法则计算可以解答本题．
【解答】解：（1）29÷27﹣（3﹣π）0﹣|﹣4|
＝4﹣1﹣（4﹣）
＝4﹣1﹣4+
＝﹣1+；
（2）（8m3﹣6m2+2m）÷2m＝4m2﹣3m+1．
【点评】本题考查实数的混合运算和整式的除法，解答本题的关键是明确实数混合运算的运算法则和运算顺序．
18．（20分）计算：
（1）（﹣4x2）（3x+1）；
（2）（3n﹣2）（n+5）；
（3）（x﹣2）2﹣（x+3）（x+1）；
（4）（2x+y+z）（2x﹣y﹣z）．
【分析】（1）根据单项式乘多项式的法则即可求出答案．
（2）根据多项式乘多项式法则即可求出答案．
（3）根据完全平方公式以及整式的加减运算法则即可求出答案．
（4）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝（﹣4x2）•3x﹣（﹣4x2）
＝﹣12x3﹣4x2．
（2）原式＝3n2+15n﹣2n﹣10
＝3n2+13n﹣10．
（3）原式＝x2﹣4x+4﹣（x2+4x+3）
＝x2﹣4x+4﹣x2﹣4x﹣3
＝﹣8x+1．
（4）原式＝[2x+（y+z）][2x﹣（y+z）]
＝4x2﹣（y+z）2
＝4x2﹣（y2+2yz+z2）
＝4x2﹣y2﹣2yz﹣z2．
【点评】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
四、画图题（算19题4分，第20题8分，共12分）
19．（4分）尺规作图：已知∠α，∠β，
求作∠ABC，使得∠ABC＝∠α﹣∠β．（不写作法，但要保留作图痕迹）
【分析】根据基本作图，先作∠ABD＝∠α，再在∠ABD内部作∠DBC＝∠β，则∠ABC满足条件．
【解答】解：如图，∠ABC为所作．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
20．（8分）对于所有直角三角形，我们都可以将其分割为两个等腰三角形；
例如：如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，作直角边AB的垂直平分线DE，分别交BC与AB于D，E两点，连接AD，则AD将△ABC分割成两个等腰三角形△ADC，△ADB．
（1）请在以下证明过程中填入适当理由．
证明：∵DE垂直平分AC
∴AD＝DB（ 线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等 ）
∴∠1＝∠2（ 等边对等角 ）
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°
∴∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°
∴∠3＝∠4
∴CD＝DA（ 等角对等边 ）
∴△ADC、△ADB是等腰三角形
（2）根据上述方法，将下面三角形分割成4个等腰三角形；（尺规作图，保留作图痕迹）
（3）将下面的不等边三角形分割成5个等腰三角形；（不要求尺规，准确作图并用相同的记号标出相等的线段）
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质，等角的余角相等，等腰三角形的判定和性质解决问题即可；
（2）先分割成两个直角三角形，再利用直角三角形斜中线的性质解决问题；
（3）先分割成两个等腰三角形，再将其中一个等腰三角形分割成两个直角三角形，再利用斜边中线分割成4个等腰三角形即可．
【解答】（1）证明：∵DE垂直平分AC
∴AD＝DB（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）
∴∠1＝∠2（等边对等角）
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°
∴∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°
∴∠3＝∠4
∴CD＝DA（等角对等边）
∴△ADC、△ADB是等腰三角形．
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，等边对等角，等角对等边；
（2）图形如图所示：
（3）图形如图所示：
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
五、解答题（第21题6分，第22，23题每题7分，第24题8分，共28分）
21．（6分）已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB＝CE，BC＝ED．求证：AC＝CD．
【分析】根据AB∥ED推出∠B＝∠E，再利用SAS判定△ABC≌△CED从而得出AC＝CD．
【解答】证明：∵AB∥ED，
∴∠B＝∠E．
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（SAS）．
∴AC＝CD．
【点评】本题是一道很简单的全等证明，纵观近几年北京市中考数学试卷，每一年都有一道比较简单的几何证明题：只需证一次全等，无需添加辅助线，且全等的条件都很明显．
22．（7分）已知：如图，点B，C，E在同一条直线上，CD平分∠ACE，∠DBM＝∠DAN，DM⊥BE于M，DN⊥AC于N．
（1）求证：△BDM≌△ADN；
（2）若AC＝7，BC＝3，求CM的长．
【分析】（1）由角平分线的性质可得DM＝DN，再由AAS即可证得△BDM≌△ADN；
（2）由HL证Rt△DCN≌Rt△DCM，得CM＝CN，再由△BDM≌△ADN得BM＝AN，则AC＝AN+CN＝BM+CM＝BC+CM+CM＝BC+2CM，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACE，DM⊥BE，DN⊥AC，
∴DM＝DN，∠DMB＝∠DNA＝90°，
在△BDM和△ADN中，
，
∴△BDM≌△ADN（AAS）；
（2）解：在Rt△DCN和Rt△DCM中，
，
∴Rt△DCN≌Rt△DCM（HL），
∴CM＝CN，
∵△BDM≌△ADN，
∴BM＝AN，
∵AC＝AN+CN＝BM+CM＝BC+CM+CM＝7，
∴3+2CM＝7，
∴CM＝2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（7分）已知：如图，D是△ABC的边BA延长线上一点，且AD＝AB，E是边AC上一点，且DE＝BC．求证：∠DEA＝∠C．
【分析】过点D作BC的平行线交CA的延长线于点F，根据全等三角形的判定和性质证明即可．
【解答】证明：过点D作BC的平行线交CA的延长线于点F，
∴∠C＝∠F．
∵点A是BD的中点，
∴AD＝AB．
在△ADF和△ABC中，
∴△ADF≌△ABC（AAS）
∴DF＝BC，
∵DE＝BC，
∴DE＝DF．
∴∠F＝∠DEA．
又∵∠C＝∠F，
∴∠C＝∠DEA．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识，根据全等三角形的判定和性质证明是解题关键．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点且∠ADC＝60°，CE⊥AD于点E，点A关于CE的对称点为点F，CF交AB于点G．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠AGC的度数；
（3）写出BD与DF之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）依照题意画出图形即可求；
（2）由轴对称的性质和外角的性质可求解；
（3）由“AAS”可证△CPF≌△ADB，可证BD＝PF＝DF．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵点A关于点E的对称点为点F，CE⊥AD，
∴AC＝CF，∠ACE＝∠ECF，
∴∠AGC＝∠B+∠BCG＝∠B+∠ACB﹣∠ACF＝2∠B﹣2∠ECF，
∵∠ECF＝90°﹣∠EFC，∠EFC＝60°+∠BCG，
∴∠AGC＝2∠B﹣180°+120°+2∠BCG，
∴∠AGC＝60°；
（3）BD＝DF，理由如下：
如图，在CD上截取DP＝DF，连接FP，
∵∠ADC＝60°，
∴△PDF为等边三角形，
∴∠DPF＝60°，DP＝DF＝FP，
∴∠FPC＝120°，
∴∠ADB＝∠FPC，
又∵AC＝CF，AB＝AC，
∴AB＝CF，
∵∠BAD＝∠BCG，
∴△CPF≌△ADB（AAS），
∴BD＝PF，
∴BD＝PF＝DF．
【点评】本题是三角形综合题，考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
六、选做题（本题共10分，第25题4分，第26题6分，计入总分但总分不超过100分）
25．（4分）阅读下列材料：
已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．
解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，
整理得t2﹣1＝80，t2＝81，
∴t＝±9，
∵2m2+n2≥0，
∴2m2+n2＝9．
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；
（2）在（1）的条件下，若xy＝1，求（x+y）2和x﹣y的值．
【分析】（1）设2x2+2y2＝t，解一元二次方程得到t＝±6，根据2x2+2y2≥0，得到2x2+2y2＝6，进而求出x2+y2＝3；
（2）根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：（1）设2x2+2y2＝t，
则原方程变形为（t+3）（t﹣3）＝27，
整理得：整理得t2﹣9＝27，
∴t2＝36，
解得t＝±6，
∵2x2+2y2≥0，
∴2x2+2y2＝6，
∴x2+y2＝3；
（2）∵x2+y2＝3，xy＝1，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝3+2＝5，
（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝3﹣2＝1，
∴x﹣y＝±1．
【点评】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握换元法是解题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l1，l2，给出如下定义：将图形G先沿直线l1翻折得到图形G1，再将图形G1沿直线l2翻折得到图形G2，则称图形G2是图形G的[l1，l2]伴随图形．
例如：点P（2，1）的[x轴，y轴]伴随图形是点P'（﹣2，﹣1）．
（1）点Q（﹣3，﹣2）的[x轴，y轴]伴随图形点Q'的坐标为 （3，2） ；
（2）已知A（t，1），B（t﹣3，1），C（t，3），直线m经过点（1，1）．
①当t＝﹣1，且直线m与y轴平行时，点A的[x轴，m]伴随图形点A'的坐标为 （3，﹣1） ；
②当直线m经过原点时，若△ABC的[x轴，m]伴随图形上只存在两个与x轴的距离为0.5的点，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）根据伴随图形的定义即可得出结论；
（2）①t＝﹣1时，A点坐标为（﹣1，1），直线m为x＝1，先求出A点关于x轴对称点的坐标，再求出关于直线x＝1对称点的坐标即；
②由题意得，直线m为y＝x，A、B、C三点的[x轴，m]伴随图形点坐标依次表示为：（﹣1，t）、（﹣1，t﹣3）、（﹣3，t），由题意可得|t|＜0.5或|t﹣3|＜0.5，解出t的取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意知（﹣3．﹣2）沿x轴翻折得点坐标为（﹣3，2）；
（﹣3，2）沿y轴翻折得点坐标为（3，2），
∴点Q（﹣3，﹣2）的[x轴，y轴]伴随图形点Q'的坐标为（3，2）．
故答案为：（3，2）；
（2）①当t＝﹣1时，A点坐标为（﹣1，1），
∴（﹣1，1）沿x轴翻折得点坐标为（﹣1，﹣1），
∵直线m经过点（1，1），且直线m与y轴平行，
∴直线m为x＝1，
∴（﹣1，﹣1）沿x＝1轴翻折得点坐标为（﹣1，1），
∵直线n经过点（﹣1，﹣1），且直线n与x轴平行，
∴直线n为y＝﹣1，
∴（﹣1，1）沿直线y＝﹣1翻折得点坐标为（3，﹣1），
∴点A的[x轴，m]伴随图形点A'的坐标为（3，﹣1），
故答案为：（3，﹣1）；
②∵直线m经过原点，且经过点（1，1），
∴直线m为y＝x，
A、B、C三点沿x轴翻折点坐标依次表示为：（t，﹣1）、（t﹣3，﹣1）、（t，﹣3），
A、B、C三点沿直线m翻折点坐标依次表示为：（﹣1，t）、（﹣1，t﹣3）、（﹣3，t），
由题意可知：|t|＜0.5或|t﹣3|＜0.5，
解得：﹣0.5＜t＜0.5或2.5＜t＜3.5，
∴：﹣0.5＜t＜0.5或2.5＜t＜3.5，
【点评】本题考查了直角坐标系中的点对称，几何图形翻折．解题的关键在于正确地将翻折后的点坐标表示出来．
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