2022-2023学年北京市西城外国语学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市西城外国语学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）
2．（2分）下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
5．（2分）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x+1）2＝﹣2B．（x+1）2＝2C．（x+1）2＝﹣4D．（x+1）2＝4
6．（2分）方程x2﹣3x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根
C．没有实数根D．无法判断
7．（2分）生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（ ）
A．2.5（1+x）＝3.2B．2.5（1+2x）＝3.2
C．2.5（1+x）2＝3.2D．2.5（1﹣x）2＝3.2
8．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．③④D．①④
二、填空题（本题共16分，每小题2分．）
9．（2分）写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是 ．
10．（2分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣7）关于原点对称的点的坐标为 ．
11．（2分）已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根，则k＝ ．
12．（2分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2）在抛物线．y＝2x2上，则y1，y2的大小关系为：y1 y2．（选填“＞”“＜或“＝”）
13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是将△DCE绕某个点旋转而得到，则这个点的坐标是 ．
14．（2分）二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是
15．（2分）商店销售一种进价为20元/个的帽子，经调查发现，该种帽子每天的销售量w（个）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种帽子每天的利润为y（元），则y与x之间的函数关系式为 ；当销售单价定为 元时，每天的利润最大．
16．（2分）如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长为 ，线段AB的长为 ．
三、解答题（本题共68分）
17．解方程：2x2﹣9x+10＝0．
18．已知x2+2x﹣3＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．
19．已知：二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，解决下列问题：
（1）关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为 ；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的范围．
20．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：∠AEB＝∠ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝110°，求∠BED的度数．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣4，1），C（﹣3，3），△ABC关于原点O对称的图形是△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1；
（2）BC与B1C1的位置关系是 ；
（3）若点P（a，b）是△ABC一边上的任意一点，则点P经过上述变换后的对应点P1的坐标可表示为 ．
22．对于抛物线．
（1）它与x轴交点的坐标为 ，与y轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．
（3）当0＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
23．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．
25．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．
（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；
（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
（3）若铅球投掷距离（铅球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于10m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+2（a＜0）与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值是3，求当0≤x≤3时，y的最小值；
（3）抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，直接写出t的取值的范围．
27．点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰Rt△ADC，连接BD，在△ABD外侧，以BD为斜边作等腰Rt△BED，连接EC．
（1）如图1，当∠DBA＝30°时，求证：AC＝BD；
（2）如图2，当0°＜∠DBA＜45°时，判断线段EC与EB的数量关系，并说明理由．
28．在平面直角坐标系xOy中，旋转角α满足0°≤α≤180°，对图形M与图形N给出如下定义：将图形M绕原点逆时针旋转α得到图形M'．P为图形M'上任意一点，Q为图形N上的任意一点，称PQ长度的最小值为图形M与图形N的“转后距”．已知点A（1，），点B（4，0），点C（2，0）．
（1）当α＝90°时，记线段OA为图形M．
①画出图形M'；
②若点C为图形N，则“转后距”为 ；
③若线段AC为图形N，求“转后距”；
（2）已知点P（t，0），点Q（t﹣，﹣），记线段AB为图形M，线段PQ为图形N，对任意旋转角α，“转后距”大于1，直接写出t的取值范围．
2022-2023学年北京市西城外国语学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．（2分）抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）
【分析】直接由抛物线解析式可求得答案．
【解答】解：∵y＝3（x﹣2）2+1，
∴抛物线顶点坐标为（2，1），
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
2．（2分）下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．（2分）将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“上加下减”的规律进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝向下平移1个单位长度，得到的抛物线是：y＝x2﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
4．（2分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解．
【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B的度数是解题的关键．
5．（2分）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x+1）2＝﹣2B．（x+1）2＝2C．（x+1）2＝﹣4D．（x+1）2＝4
【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程移项得：x2+2x＝3，
配方得：x2+2x+1＝4，即（x+1）2＝4．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．（2分）方程x2﹣3x+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根B．有两个不相等实数根
C．没有实数根D．无法判断
【分析】把a＝1，b＝﹣3，c＝1代入Δ＝b2﹣4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．
7．（2分）生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（ ）
A．2.5（1+x）＝3.2B．2.5（1+2x）＝3.2
C．2.5（1+x）2＝3.2D．2.5（1﹣x）2＝3.2
【分析】利用2019年全国生活垃圾无害化处理能力＝2017年全国生活垃圾无害化处理能力×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：2.5（1+x）2＝3.2．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．③④D．①④
【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点（5，0）可判断②，由抛物线对称轴为直线x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，从而判断③，
点C对称点横坐标为4﹣t可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，①正确．
∵抛物线顶点为A（2，m），
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
∵抛物线过点（5，0），
∴由对称性可得抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，②错误，
∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴5a+c＝0，
∴c＝﹣5a
∵（2，m）为抛物线顶点，
∴4a+2b+c＝m，
∴4a﹣8a﹣5a＝m，即9a+m＝0，③正确，
∵点C（t，n）在抛物线上，
∴点C关于对称轴对称点（4﹣t，n）在抛物线上，
∴4﹣t为ax2+bx+c＝n的一个根，④错误．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题（本题共16分，每小题2分．）
9．（2分）写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是 y＝x2 ．
【分析】根据二次函数有最小值，即可得出a＞0，据此写出一个二次函数即可．
【解答】解：∵二次函数有最小值，
∴a＞0，
∴这个二次函数的解析式可以是y＝x2，
故答案为y＝x2．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．
10．（2分）在平面直角坐标系中，点（3，﹣7）关于原点对称的点的坐标为 （﹣3，7） ．
【分析】关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，据此可得答案．
【解答】解：点（3，﹣7）关于原点对称的点的坐标为（﹣3，7），
故答案为：（﹣3，7）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
11．（2分）已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根，则k＝ ﹣2 ．
【分析】把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，然后解关于k的方程．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，解得k＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．（2分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2）在抛物线．y＝2x2上，则y1，y2的大小关系为：y1 ＜ y2．（选填“＞”“＜或“＝”）
【分析】将点A，B坐标代入解析式求解．
【解答】解：将A（﹣1，y1），B（2，y2）代入y＝2x2得y1＝2，y2＝8，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是将△DCE绕某个点旋转而得到，则这个点的坐标是 （2，2） ．
【分析】根据旋转中心到对应点距离相等，可知旋转中心是OC、BE的垂直平分线的交点．
【解答】解：如图，旋转中心是OC、BE的垂直平分线的交点，
∴旋转中心的坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）．
【点评】本题主要考查了图形的旋转，明确旋转中心到对应点距离相等是解题的关键．
14．（2分）二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是 ﹣3＜x＜0
【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，﹣3＜x＜0时二次函数图象在一次函数图象上方，
所以，满足ax2+bx+c＞mx+n的x的取值范围是﹣3＜x＜0．
故答案为：﹣3＜x＜0
【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，数形结合准确识图是解题的关键．
15．（2分）商店销售一种进价为20元/个的帽子，经调查发现，该种帽子每天的销售量w（个）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种帽子每天的利润为y（元），则y与x之间的函数关系式为 y＝﹣2x2+120x﹣1600（20≤x≤40） ；当销售单价定为 30 元时，每天的利润最大．
【分析】用每个帽子的利润乘以销售量得到每天的利润；利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．
【解答】解：y＝w（x﹣20）
＝（﹣2x+80）（x﹣20）
＝﹣2x2+120x﹣1600
＝﹣2（x﹣30）2+200．
∵20≤x≤40，a＝﹣2＜0，
∴当x＝30时，y最大值＝200．
故答案为：y＝﹣2x2+120x﹣1600（20≤x≤40；30．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，涉及二次函数的性质等，得出y与x之间的关系是解题关键．
16．（2分）如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长为 ，线段AB的长为 2 ．
【分析】从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，进而求解．
【解答】解：从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，
当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，
即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，如下图：
过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ACH中，AC＝，CH＝DH＝CD＝3，则AH＝＝＝2，
在Rt△ABH中，AB＝＝＝2，
故答案为：，2．
【点评】本题考查的是动点问题的函数图象，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
三、解答题（本题共68分）
17．解方程：2x2﹣9x+10＝0．
【分析】方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：这里a＝2，b＝﹣9，c＝10，
∵Δ＝（﹣9）2﹣4×2×10＝1＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．
18．已知x2+2x﹣3＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．
【分析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x＝3代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：x（x+2）+（x+1）2
＝x2+2x+x2+2x+1
＝2x2+4x+1，
∵x2+2x﹣3＝0，
∴x2+2x＝3，
∴当x2+2x＝3时，原式＝2（x2+2x）+1
＝2×3+1
＝6+1
＝7．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．已知：二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，解决下列问题：
（1）关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为 x1＝3，x2＝﹣1 ；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）若直线y＝k与抛物线没有交点，直接写出k的范围．
【分析】（1）直接观察图象，抛物线与x轴交于﹣1，3两点，所以方程的解为x1＝3，x2＝﹣1．
（2）设出抛物线的顶点坐标形式，代入坐标（3，0），即可求得抛物线的解析式．
（3）若直线y＝k与抛物线没有交点，则k＞函数的最大值即可．
【解答】解：（1）观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x＝﹣1和x＝3两点，
∴方程的解为x1＝﹣1，x2＝3，
故答案为：x1＝3，x2＝﹣1；
（2）设抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+k，
∵抛物线与x轴交于点（3，0），
∴﹣（3﹣1）2+k＝0，
解得：k＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，
即：抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（3）若直线y＝k与抛物线没有交点，则k＝4，函数的值最大，
即k＞4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，难度不大．
20．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．
（1）求证：∠AEB＝∠ADC；
（2）连接DE，若∠ADC＝110°，求∠BED的度数．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠BAC＝60°，AB＝AC，根据旋转的性质得出∠DAE＝60°，AE＝AD．求出∠EAB＝∠DAC，证△EAB≌△DAC即可；
（2）求出∠AEB＝105°，求出∠AED，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD．
∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB＝∠DAC．
在△EAB和△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠AEB＝∠ADC；
（2）解：如图，连接DE，
∵∠DAE＝60°，AE＝AD，
∴△EAD为等边三角形，
∴∠AED＝60°，
又∵∠AEB＝∠ADC＝110°，
∴∠BED＝110°﹣60°＝50°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质和等边三角形的性质等知识点，能灵活运用性质定理进行推理是解此题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣4，1），C（﹣3，3），△ABC关于原点O对称的图形是△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1；
（2）BC与B1C1的位置关系是 平行 ；
（3）若点P（a，b）是△ABC一边上的任意一点，则点P经过上述变换后的对应点P1的坐标可表示为 （﹣a，﹣b） ．
【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）根据中心对称的性质得到OB＝OB1，OC＝OC1，则四边形BCB1C1为平行四边形，则BC∥B1C1；
（3）利用关于原点对称的点的坐标特征求解．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）BC与B1C1的位置关系是平行；
故答案为：平行；
（3）点P经过上述变换后的对应点P1的坐标可表示为（﹣a，﹣b）．
故答案为：（﹣a，﹣b）．
【点评】本题考查了作题﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
22．对于抛物线．
（1）它与x轴交点的坐标为 （﹣1，0），（3，0） ，与y轴交点的坐标为 （0，﹣） ，顶点坐标为 （1，﹣2） ；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．
（3）当0＜x＜4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
【分析】（1）将y＝0代入函数解析式可得抛物线与x轴交点坐标，将x＝0代入函数解析式可得抛物线与y轴交点坐标，将二次函数解析式化为顶点式可得抛物线顶点坐标．
（2）通过列表，描点，连线作出抛物线图象．
（3）将x＝4代入解析式求函数值，根据图象即可求得．
【解答】解：（1）将y＝0代入得x2﹣x﹣＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
将x＝0代入得y＝﹣，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣），
∵＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣2），
故答案为：（﹣1，0），（3，0）；（0，﹣）；（1，﹣2）．
（2）∵抛物线顶点坐标为（1，﹣2），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∵抛物线经过（0，﹣），
∴抛物线经过（2，﹣），
列表如下：
图象如下：
（3）将x＝4代入得y＝8﹣4﹣＝，
∴当0＜x＜4时，﹣2≤y＜．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
23．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据垂径定理得到＝，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；
（2）连接OB，根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，根据三角形 的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵OD⊥BC，
∴＝，
∴AB＝AC；
（2）解：连接OB，
∵OD⊥BC，BC＝8，
∴BD＝DC＝BC＝×8＝4，
在Rt△ODB中，OD＝＝＝3，
∴AD＝5+3＝8，
∴S△ABC＝×8×8＝32．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键．
24．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．
【分析】（1）计算根的判别式得到Δ＝（k+1）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）解方程得到x1＝2，x2＝k+3，则k+3＜﹣1，然后解不等式即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+5）2﹣4（6+2k）
＝k2+2k+1
＝（k+1）2≥0，
∴此方程总有两个实数根；
（2）∵x＝，
∴x1＝2，x2＝k+3，
∵此方程恰有一个根小于﹣1，
∴k+3＜﹣1，
解得k＜﹣4，
即k的取值范围为k＜﹣4．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
25．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从y轴上的A点出手，运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示．
（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；
（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
（3）若铅球投掷距离（铅球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于10m，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
【分析】（1）根据题意画出图象即可；
（2）设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3，由抛物线过点A得到16a+3＝2．求得，于是得到结论；
（3）根据题意解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示．
（2）解：依题意，抛物线的顶点B的坐标为（4，3），点A的坐标为（0，2）．
设该抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3，
由抛物线过点A，有16a+3＝2．
解得，
∴该抛物线的表达式为；
（3）解：令y＝0，得．
解得，（C在x轴正半轴，故舍去）．
∴点C的坐标为（，0）．
∴．
由，可得．
∴小明此次试投的成绩达到优秀．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+2（a＜0）与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值是3，求当0≤x≤3时，y的最小值；
（3）抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，直接写出t的取值的范围．
【分析】（1）令x＝0可得A的坐标，用配方法把解析式化为顶点式即可得抛物线对称轴；
（2）0≤x≤3时，y的最大值是3，可知抛物线开口向下，且对称轴x＝1，故最大值是顶点纵坐标，可求出a及抛物线解析式，又抛物线开口向小时，离对称轴越远，函数值越小，可知x＝3时函数取最小值，即可得到答案；
（3）根据题意列出不等式，解不等式即可得到答案．
【解答】解：（1）令x＝0得y＝2，
∴A（0，2），
∵y＝ax2﹣2ax+2＝a（x﹣1）2+2﹣a，
∴二次函数图象的对称轴是直线x＝1；
（2）由a＜0可知抛物线开口向下，
∵对称轴是直线x＝1，当0≤x≤3时，y的最大值是3，
∴最大值在顶点处取得，
∴2﹣a＝3，解得a＝﹣1，
∴二次函数表达式为y＝﹣x2+2x+2，
∵抛物线开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，
∴当x＝3时，y有最小值，y＝﹣32+2×3+2＝﹣1；
（3）∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，y1≠y2，
∴P（x1，y1），Q（x2，y2）不关于对称轴x＝1对称，
∴x1+x2≠2恒成立，即x1+x2＞2成立或x1+x2＜2成立，
∴t+（t+2）≥2或（t+1）+（t+3）≤2，
解得t≥0或t≤﹣1．
∴t的取值的范围t≥0或t≤﹣1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键是根据二次函数性质列不等式．
27．点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰Rt△ADC，连接BD，在△ABD外侧，以BD为斜边作等腰Rt△BED，连接EC．
（1）如图1，当∠DBA＝30°时，求证：AC＝BD；
（2）如图2，当0°＜∠DBA＜45°时，判断线段EC与EB的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）过D作DF⊥AC于F，由含30°交的直角三角形的性质得BD＝2DF，再由直角三角形斜边上的中线性质得AC＝2DF，即可得出结论；
（2）过D作DG⊥BD交BE的延长线于G，连接CG，证∠ADB＝∠CDG，再证△ADB≌△CDG（SAS），得∠DAB＝∠DCG＝45°，则∠BCG＝90°，然后由等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：过D作DF⊥AC于F，如图1所示：
则∠DFC＝90°，
∵∠DBA＝30°，
∴BD＝2DF，
∵△ADC是以AC为斜边的等腰直角三角形，DF⊥AC，
∴AC＝2DF，
∴AC＝BD；
（2）解：EC＝EB，理由如下：
过D作DG⊥BD交BE的延长线于G，连接CG，如图2所示：
则∠BDG＝90°＝∠ADC，
∴∠ADC+∠BDC＝∠BDG+∠BDC，
即∠ADB＝∠CDG，
∵△BED是以BD为斜边的等腰直角三角形，
∴∠BED＝90°，∠DBE＝45°，
∴∠DGB＝90°﹣∠DBE＝45°＝∠DBE，
∴BD＝GD，
在△ADB和△CDG中，
，
∴△ADB≌△CDG（SAS），
∴∠DAB＝∠DCG＝45°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，
∴∠BCG＝90°，
∵∠BED＝90°，
∴DE⊥BG，
∵BD＝GD，
∴EG＝EB，
∵∠BCG＝90°，
∴EC＝BG＝EB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明△ADB≌△CDG是解题的关键．
28．在平面直角坐标系xOy中，旋转角α满足0°≤α≤180°，对图形M与图形N给出如下定义：将图形M绕原点逆时针旋转α得到图形M'．P为图形M'上任意一点，Q为图形N上的任意一点，称PQ长度的最小值为图形M与图形N的“转后距”．已知点A（1，），点B（4，0），点C（2，0）．
（1）当α＝90°时，记线段OA为图形M．
①画出图形M'；
②若点C为图形N，则“转后距”为 2 ；
③若线段AC为图形N，求“转后距”；
（2）已知点P（t，0），点Q（t﹣，﹣），记线段AB为图形M，线段PQ为图形N，对任意旋转角α，“转后距”大于1，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）①根据要求画出图形即可．
②线段OC的长即为所求．
③如图2中，连接AC，过点A作AE⊥OC于E，过点O作OD⊥AC于D．求出线段OD的长即可．
（2）观察图象可知，只要线段PQ上的任意一点到阴影部分图形上的任意一点的距离大于1时，即可满足条件．
【解答】解：（1）①如图，线段OA′，即为图形M′．
②观察图象可知，点C为图形N，则“转后距”为线段OC的长＝2，
故答案为：2；
③如图2中，连接AC，过点A作AE⊥OC于E，过点O作OD⊥AC于D．
∵A（1，），C（2，0），
∴AE＝，OC＝2，CE＝1，
在Rt△ACE中，AC＝＝＝2，
∵S△AOC＝•OC•AE＝•AC•OD，
∴OD＝＝＝，
∴“转后距”为；
（2）如图3中，由题意记线段AB为图形M，线段PQ为图形N，对任意旋转角α，“转后距”大于1，
观察图象可知，只要线段PQ上的任意一点到阴影部分图形上的任意一点的距离大于1时，即可满足条件，
即满足条件的t的取值范围为：t＜﹣5或0＜t＜2或t＞5．
【点评】本题是三角形综合题，考查了旋转变换的性质、坐标与图形性质、勾股定理、新定义“转后距”以及三角形面积等知识，本题综合性强，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是画出图形，利用图象法解决问题．
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