2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学分校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学分校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2023年9月23日，第十九届亚洲运动会在浙江省杭州市隆重举行．下面选取的图标是按轴对称图形设计的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列计算式子正确的是（ ）
A．（a3）3＝a9B．（2a）3＝6a3
C．（﹣a3）2＝﹣a6D．（﹣a2）3＝a6
3．（3分）在△ABC中，D是BC上一点，一定能使得△ABD与△ACD面积相等的一个条件是（ ）
A．AB＝ACB．AD平分∠BAC
C．AD⊥BCD．BD＝CD
4．（3分）已知am＝2，则a2m+a3m＝（ ）
A．10B．12C．13D．32
5．（3分）如图，△ABC≌△DBE，D点在AC边上，若∠A＝70°，则∠CDE的度数为（ ）
A．40°B．35°C．70°D．45°
6．（3分）如图，△ABC，BE⊥AC边的延长线于E点，CD⊥AB边于D，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AC×BE＝AB×CDB．∠ACD＝∠ABC+∠CBE
C．∠ACB﹣∠BCE＝90°D．AD+DB＞AC+CE
7．（3分）如果等腰三角形有一个角等于另一个角的2倍，则下列判断正确的是（ ）
A．腰是底的2倍B．底是腰的2倍
C．顶角是90°D．底角是45°或72°
8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，D，E分别是线段BC、AC上的一点，根据下列条件之一，不能确定△ADE是等腰三角形的是（ ）
A．∠1＝2∠2B．∠1+∠2＝72°
C．∠1+2∠2＝90°D．2∠1＝∠2+72°
二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若4m•23＝85，则m＝ ．
10．（3分）比较大小：22023×72023 32023×52023.（填“＞”、“＜”或“＝”）
11．（3分）已知点A（2，3）、B（0，1）、C（3，1）．写出点A关于直线BC的对称点的坐标 ．
12．（3分）正多边形的每一个内角比相邻的外角大90°，则这个多边形的边数是 ．
13．（3分）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，欲证△ABC≌△DEF，已知AB∥DE，AC＝DF，还需要添加条件 .（填写一个条件即可）
14．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E，交AB于F，则CE+ED+DF+FB＝ ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，已知AC＝4cm，AB＝5cm，则S△ACD：S△ABD＝ ．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为 （用含α的代数式表示）．
三、解答题（第17-24题共8题各5分.第25-26题共2题各6分，共52分）
17．（5分）计算：（﹣ab2）3+ab2•（ab）2•（﹣2b）2．
18．（5分）计算：a（4a﹣b）﹣（2a+b）（2a﹣b）．
19．（5分）先化简，再求值：x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1），其中x＝．
20．（5分）已知|a﹣2|+（b+）2＝0，求a2022b2023的值．
21．（5分）已知：如图，E是BC上一点，AB＝EC，AB∥CD，BC＝CD．求证：AC＝ED．
22．（5分）已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，OP＝25，点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N．
（1）补全图．
（2）写出∠COD＝ °．∠MPN＝ °，△PMN的周长为 ．
23．（5分）数学课上，黄老师出了这样一道题：如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，已知CD＝AB+BD，
求证：∠B＝2∠C．
小徐的思路是：在CD上截取DE＝BD，连接AE．
请你根据小徐的思路，补全图形并完成以下推理（数学依据只需注明①②）．
∵AD⊥BC，DE＝DB
∴AB＝AE，（依据①： ）
∴∠B＝∠AED，（依据②： ）
继续证明如下：
24．（5分）已知：如图，线段AB∥直线l．（设AB到直线l的距离为d，满足AB＞d）
求作：点P．使得点P在直线l上，且点P、点A、点B构成的三角形为等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写出作法）．
解：（1）满足条件的点共有 个；
（2）在图中用尺规作图作出满足条件的点P；（保留作图痕迹，不必写出作法，不同的点从左到右用下标以示区别，如：P1，P2，…）
（3）其中，使得△PAB的周长最小的点是 ．
25．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＜60°，D点是BC边中点，连接AD，在△ABC的外部，以AC为边作等边三角形ACE，连接BE，交AD于F，交AC于G．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠EBC的度数；
（3）用等式表示FA，FD，FE这三条线段之间的数量关系，并证明．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，经过点T（t，0）作垂直于x轴的直线l，点A（t﹣2，2）与点B关于直线l对称．
（1）点C是直线l上一点，连接AB，AC，BC得到△ABC．
①当t＝3时，点B的坐标为 ；
②当t＝1且直线AC经过原点O时，点C的坐标为 ；
③若△ABC上所有点到y轴的距离都不小于1，则t的取值范围是 ．
（2）在AB下方以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，直线m过点（0，b）且与x轴平行，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足PK＝1，直接写出b的取值范围．
2023-2024学年北京市朝阳区陈经纶中学分校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有8小题，各题均附有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，每小题3分，共24分）
1．（3分）2023年9月23日，第十九届亚洲运动会在浙江省杭州市隆重举行．下面选取的图标是按轴对称图形设计的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列计算式子正确的是（ ）
A．（a3）3＝a9B．（2a）3＝6a3
C．（﹣a3）2＝﹣a6D．（﹣a2）3＝a6
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（a3）3＝a9，故A符合题意；
B、（2a）3＝8a3，故B不符合题意；
C、（﹣a3）2＝a6，故C不符合题意；
D、（﹣a2）3＝﹣a6，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．（3分）在△ABC中，D是BC上一点，一定能使得△ABD与△ACD面积相等的一个条件是（ ）
A．AB＝ACB．AD平分∠BAC
C．AD⊥BCD．BD＝CD
【分析】由三角形中线的性质可得出答案．
【解答】解：若BD＝CD，则△ABD与△ACD面积相等．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
4．（3分）已知am＝2，则a2m+a3m＝（ ）
A．10B．12C．13D．32
【分析】利用幂的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：当am＝2时，
a2m+a3m
＝（am）2+（am）3
＝22+23
＝4+8
＝12．
故选：B．
【点评】本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（3分）如图，△ABC≌△DBE，D点在AC边上，若∠A＝70°，则∠CDE的度数为（ ）
A．40°B．35°C．70°D．45°
【分析】根据全等三角形的性质得出AB＝DB，∠BDE＝∠A＝70°，根据等腰三角形的性质得出∠ADB＝∠A＝70°，即可求解．
【解答】解：∵△ABC≌△DBE，
∴AB＝DB，∠BDE＝∠A＝70°，
∴∠ADB＝∠A＝70°，
∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠BDE＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
6．（3分）如图，△ABC，BE⊥AC边的延长线于E点，CD⊥AB边于D，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AC×BE＝AB×CDB．∠ACD＝∠ABC+∠CBE
C．∠ACB﹣∠BCE＝90°D．AD+DB＞AC+CE
【分析】由题意易证△ACD∽△ABE，根据相似三角形的性质即可判断A，B，由外角的性质可判断C，由三角形三边的关系可判断D．
【解答】解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABE，
∴，∠ACD＝∠ABE，
∴AC×BE＝AB×CD，故A正确；
∴∠ACD＝∠ABE＝∠ABC+∠CBE，故B正确；
∵∠ACB＝∠CBE+∠E＝90°+∠CBE，
∴∠ACB﹣∠CBE＝90°，
∵∠BCE≠∠CBE，故C错误；
∵AD+DB＝AB＞AC+BC，BC＞CE，
∴AB＞AC+CE，即AD+DB＝AB＞AC+CE，故D正确；
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形三边的关系，熟练掌握以上知识是解题关键．
7．（3分）如果等腰三角形有一个角等于另一个角的2倍，则下列判断正确的是（ ）
A．腰是底的2倍B．底是腰的2倍
C．顶角是90°D．底角是45°或72°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分两种情况解答即可．
【解答】解：设等腰三角形的底角为2x，2x，顶角为x，可得：2x+2x+x＝180°，
解得：x＝36，
底角为72°；
设等腰三角形的底角为x，x，顶角为2x，可得：2x+x+x＝180°，
解得：x＝45，
底角为45°，顶角为90°，
故选：D．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质分两种情况解答．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，D，E分别是线段BC、AC上的一点，根据下列条件之一，不能确定△ADE是等腰三角形的是（ ）
A．∠1＝2∠2B．∠1+∠2＝72°
C．∠1+2∠2＝90°D．2∠1＝∠2+72°
【分析】首先求出∠BAC＝108°，则∠DAE＝108°﹣∠1，再求出∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2，分别根据四个选项中的条件求出∠DAE，∠AED，∠ADE的大小，然后再进行比较即可得出答案．
【解答】解：∵∠B＝∠C＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝108°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠1＝108°﹣∠1，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED＝∠C+∠2＝36°+∠2，
∴∠ADC＝∠B+∠1＝36°+∠1，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠2＝36°+∠1﹣∠2，
对于选项A，当∠1＝2∠2时，
∴∠DAE＝108°﹣∠1＝180°﹣2∠2
∠AED＝36°+∠2，
∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+2∠2﹣∠2＝36°+∠2，
∴∠AED＝∠ADE，
故选项A能确定△△ADE是等腰三角形；
对于选项B，当∠1+∠2＝72°时，
则∠1＝72°﹣∠2，
∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（72°﹣∠2）＝36°+∠2，
∠AED＝36°+∠2，
∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+72°﹣∠2﹣∠2＝108°﹣2∠2，
∴∠DAE＝∠AED，
故选项B能确定△△ADE是等腰三角形；
对于选项C，当∠1+2∠2＝90°时，
则∠1＝90°﹣2∠2，
∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（90°﹣2∠2）＝18°+2∠2，
∠AED＝36°+∠2，
∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+90°﹣2∠2﹣∠2＝126°﹣3∠2，
∴∠DAE≠∠AED≠∠ADE，
故选项C不能确定△△ADE是等腰三角形；
对于选项D，当2∠1＝∠2+72°时，
则∠1＝∠2+36°，
∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（∠2+36°）＝72°﹣∠2，
∠AED＝36°+∠2，
∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+（∠2+36°）﹣∠2＝72°﹣∠2，
∴∠DAE＝∠ADE，
故选项D能确定△ADE是等腰三角形．
综上所述：选项C不能确定△△ADE是等腰三角形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，熟练掌握等腰三角形的判定，灵活运用三角形的内角和定理，三角形的外角定理进行角度计算是解决问题的关键．
二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若4m•23＝85，则m＝ 6 ．
【分析】根据幂的乘方运算法则可得4m＝22m，再根据同底数幂的乘法法则求解即可．
【解答】解：因为4m•23＝22m•23＝22m+3＝215，
所以2m+3＝15，
解得m＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
10．（3分）比较大小：22023×72023 ＜ 32023×52023.（填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】利用及的乘方将两数变形后比较大小即可．
【解答】解：22023×72023＝（2×7）2023＝142023，32023×52023＝（3×5）2023＝152023，
∵14＜15，
∴142023＜152023，
即22023×72023＜32023×52023，
故答案为：＜．
【点评】本题考查积的乘方法则，将两数进行正确的变形是解题的关键．
11．（3分）已知点A（2，3）、B（0，1）、C（3，1）．写出点A关于直线BC的对称点的坐标 （2，﹣1） ．
【分析】由轴对称的性质，可点A关于直线BC的对称点的坐标．
【解答】解：∵B（0，1）、C（3，1），
∴BC∥x轴，直线BC为y＝1，
∴点A（2，3）关于直线BC的对称点的坐标（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，熟知轴对称的性质是解决本题的关键．
12．（3分）正多边形的每一个内角比相邻的外角大90°，则这个多边形的边数是 8 ．
【分析】根据正多边形的内角与外角的性质列式计算可求解．
【解答】解：设正多边形的边数为n，
由题意得，
解得n＝8，
故答案为8．
【点评】本题主要考查正多边形的内角与外角，掌握多边形内角与外角的性质是解题的关键．
13．（3分）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，欲证△ABC≌△DEF，已知AB∥DE，AC＝DF，还需要添加条件 ∠A＝∠D（答案不唯一） .（填写一个条件即可）
【分析】由AB∥DE，得到∠B＝∠E，由AAS即可得到答案．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
在△ABC≌和△DEF中，
，
∴△ABC≌和△DEF（AAS）．
∴还需要添加条件∠A＝∠D（答案不唯一）．
故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
14．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，D为BC上一动点，EF垂直平分AD分别交AC于E，交AB于F，则CE+ED+DF+FB＝ 6 ．
【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质可得AB＝4，再利用线段垂直平分线的性质可得EA＝ED，FA＝FD，然后利用等量代换以及线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∵EF垂直平分AD，
∴EA＝ED，FA＝FD，
∴CE+ED+DF+FB＝CE+AE+AF+BF
＝AC+AB
＝2+4
＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，已知AC＝4cm，AB＝5cm，则S△ACD：S△ABD＝ 4：5 ．
【分析】过D作DE⊥AB于E，由角平分线的性质得DE＝DC，再由三角形面积公式得即可得出结论．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠CAB的平分线，∠C＝90°，
∴DE＝DC，
∵S△ACD＝AC•DC，S2△ABD＝AB•DE，
∴S△ACD：S△ABD＝AC：AB＝4：5．
故答案为：4：5．
【点评】本题考查了三角形面积公式以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和三角形面积公式是解题的关键．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，则∠ACB的度数为 90°﹣α （用含α的代数式表示）．
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣∠BAD．
【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝α，
又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，
∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣α，
∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α，
∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣α，
故答案为90°﹣α．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB'E，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
三、解答题（第17-24题共8题各5分.第25-26题共2题各6分，共52分）
17．（5分）计算：（﹣ab2）3+ab2•（ab）2•（﹣2b）2．
【分析】先算积的乘方，再按照单项式乘单项式的计算方法计算．
【解答】解：原式＝﹣a3b6+ab2•a2b2•4b2
＝﹣a3b6+4a3b6
＝3a3b6．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，能熟记整式的运算法则是解此题的关键，注意运算顺序．
18．（5分）计算：a（4a﹣b）﹣（2a+b）（2a﹣b）．
【分析】利用单项式乘多项式，平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：a（4a﹣b）﹣（2a+b）（2a﹣b）
＝4a2﹣ab﹣（4a2﹣b2）
＝4a2﹣ab﹣4a2+b2
＝b2﹣ab．
【点评】本题考查了整式的混合运算，单项式乘多项式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．（5分）先化简，再求值：x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1），其中x＝．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当x＝时，
原式＝x3﹣x2﹣x3﹣x2+x
＝﹣2x2+x
＝﹣+
＝0
【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
20．（5分）已知|a﹣2|+（b+）2＝0，求a2022b2023的值．
【分析】先根据非负数的性质得出a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵|a﹣2|+（b+）2＝0，
∴a﹣2＝0或b+＝0，
解得a＝2或b＝﹣，
则a2022b2023＝22022×（﹣）2023
＝（﹣×2）2022×（﹣）
＝（﹣1）2022×（﹣）
＝1×（﹣）
＝﹣．
【点评】本题主要考查非负数的性质，解题的关键是掌握绝对值和偶次幂的非负性．
21．（5分）已知：如图，E是BC上一点，AB＝EC，AB∥CD，BC＝CD．求证：AC＝ED．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠ECD，然后利用“边角边”证明△ABC和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCE．
在△ABC和△ECD中，
，
∴△ABC≌△ECD（SAS）．
∴AC＝ED．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，平行线的性质，比较简单，求出∠B＝∠ECD是证明三角形全等的关键．
22．（5分）已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，OP＝25，点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N．
（1）补全图．
（2）写出∠COD＝ 60 °．∠MPN＝ 120 °，△PMN的周长为 25 ．
【分析】（1）依据点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N，进行作图；
（2）连接OC，OD，OP，依据轴对称的性质即可得到∠COD＝2∠AOB，△PMN的周长等于CD的长．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图，连接OC，OD，OP，
∵点C和点P关于OA对称，点P关于OB的对称点是D，
∴∠AOC＝∠AOP，∠BOD＝∠BOP，
∴∠COD＝2∠AOB，
又∵∠AOB＝30°，
∴∠COD＝60°，
∵OA＝OP＝OD＝25，
∴△OCD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OP＝25，∠OCD＝∠ODC＝60°，
∵∠OCM＝∠OPM＝60°，∠ODC＝∠OPN＝60°，
∴∠MPN＝120°，
∵AO垂直平分CP，BO垂直平分PD，
∴PM＝CM，PN＝DN，
∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN＝CD＝25．
故答案为：60；120；15．
【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图以及等边三角形的判定与性质，掌握轴对称的性质是解决问题的关键．如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
23．（5分）数学课上，黄老师出了这样一道题：如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，已知CD＝AB+BD，
求证：∠B＝2∠C．
小徐的思路是：在CD上截取DE＝BD，连接AE．
请你根据小徐的思路，补全图形并完成以下推理（数学依据只需注明①②）．
∵AD⊥BC，DE＝DB
∴AB＝AE，（依据①： 线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ）
∴∠B＝∠AED，（依据②： 等边对等角 ）
继续证明如下：
【分析】根据等腰三角形的判定定理和三角形的外角定理进行证明．
【解答】证明：如图：∵AD⊥BC，DE＝DB，
∴AB＝AE，（线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠B＝∠AED，（等边对等角），
∵CD＝AB+BD＝AE+DE＝CE+DE，
∴AE＝CE，
∴∠C＝∠CAE，
∴∠B＝∠CAE＝∠C+∠CAE＝2∠C．
故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，等边对等角．
【点评】本题考查了基本作图，掌握三角形的外交定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
24．（5分）已知：如图，线段AB∥直线l．（设AB到直线l的距离为d，满足AB＞d）
求作：点P．使得点P在直线l上，且点P、点A、点B构成的三角形为等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写出作法）．
解：（1）满足条件的点共有 5 个；
（2）在图中用尺规作图作出满足条件的点P；（保留作图痕迹，不必写出作法，不同的点从左到右用下标以示区别，如：P1，P2，…）
（3）其中，使得△PAB的周长最小的点是 点P3 ．
【分析】（1）（2）以点A为圆心，AB为半径画弧交直线l于P1点和P4点，再以点B为圆心，AB为半径画弧交直线l于P2点和P5点，然后作AB的垂直平分线交直线l于点P3；
（3）5个等腰三角形中△P3AB的周长最小．
【解答】解：（1）满足条件的点共有5个；
故答案为：5；
（2）如图，点P1、P2、P3、P4、P5为所作；
（3）使得△PAB的周长最小的点是点P3．
故答案为：点P3．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．
25．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＜60°，D点是BC边中点，连接AD，在△ABC的外部，以AC为边作等边三角形ACE，连接BE，交AD于F，交AC于G．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠EBC的度数；
（3）用等式表示FA，FD，FE这三条线段之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）依题意补全图形即可；
（2）证△ABF≌△ACF（SSS），得∠ABF＝∠ACF，再证∠CFG＝∠EAC＝60°，然后由三角形的外角性质即可得出结论；
（3）延长AD至点P，使DP＝DA，连接CP，由等腰三角形的性质得AD⊥BC，再由线段垂直平分线的性质得AC＝PC，则∠P＝∠CAF，然后证△EFC≌△PFC（SAS），得FE＝FP，即可解决问题．
【解答】解：（1）依题意补全图形如图1，
（2）如图2，连接CF，
∵AB＝AC，D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD所在直线是BC的垂直平分线，
∴FB＝FC，
∴∠EBC＝∠FCB，
∵△AEC是等边三角形，
∴∠EAC＝∠ACE＝∠AEC＝60°，AC＝AE．
∵AB＝AC，
∴AB＝AE，
∴∠ABF＝∠AEF，
在△ABF和△ACF中，
，
∴△ABF≌△ACF（SSS），
∴∠ABF＝∠ACF，
∴∠AEF＝∠ACF，
∵∠AGF＝∠CFG+∠ACF＝∠EAC+∠AEF，
∴∠CFG＝∠EAC＝60°，
又∵∠EBC+∠FCB＝∠CFG＝60°，
∴∠EBC＝∠FCB＝30°，
即∠EBC的度数为30°；
（3）FE＝2FD+FA，证明如下：
如图3，延长AD至点P，使DP＝DA，连接CP，
∵AB＝AC，D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵DP＝DA，
∴AC＝PC，
∴∠P＝∠CAF，
由（2）可知：∠AEF＝∠ACF，
∴∠FCD＝∠EBC＝30°，∠EFC＝∠EAC＝60°，BF＝CF，
∴∠BFC＝120°，
∵AB＝AC，D点是BC边中点，
∴∠BFD＝∠CFD＝∠BFC＝60°，
∴∠AFG＝∠BFD＝60°，
∴∠AFG＝∠ACE＝60°，
∵∠CGF＝∠AFG+∠CAF＝∠ACE+∠CEF，
∴∠CAF＝∠CEF，
∴∠P＝∠CEF，
在△EFC和△PFC中，
，
∴△EFC≌△PFC（SAS），
∴FE＝FP，
∵FP＝FD+PD＝FD+AD，AD＝FD+FA，
∴FE＝2FD+FA．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，经过点T（t，0）作垂直于x轴的直线l，点A（t﹣2，2）与点B关于直线l对称．
（1）点C是直线l上一点，连接AB，AC，BC得到△ABC．
①当t＝3时，点B的坐标为 （5，2） ；
②当t＝1且直线AC经过原点O时，点C的坐标为 （1，﹣2） ；
③若△ABC上所有点到y轴的距离都不小于1，则t的取值范围是 t≥3或t≤﹣3 ．
（2）在AB下方以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，直线m过点（0，b）且与x轴平行，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足PK＝1，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）①根据A，B关于直线x＝3对称解决问题即可．
②求出直线OA与直线x＝1的交点C的坐标即可判断．
③由题意A（t﹣2，2），B（t+2，2），根据△ABC上所有点到y轴的距离都不小于1，构建不等式即可解决问题．
（2）由题意AB＝t+2﹣（t﹣2）＝4，由△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，推出点D到AB的距离为1，分两种情形分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图1中，
由题意A（1，2），A，B关于直线x＝3对称，
∴B（5，2）．
故答案为：（5，2）．
②如图2中，
由题意A（﹣1，2），直线l：x＝1，
∵直线AC的解析式为y＝﹣2x，
∴C（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）．
③由题意A（t﹣2，2），B（t+2，2），
∵△ABC上所有点到y轴的距离都不小于1，
∴t﹣2≥1或t+2≤﹣1，
解得t≥3或t≤﹣3．
故答案为：t≥3或t≤﹣3．
（2）如图3中，
∵A（t﹣2，2），B（t+2，2），
∴AB＝t+2﹣（t﹣2）＝4，
∵△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴点D到AB的距离为2，
∴当点D在AB下方时，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足PK＝1，则﹣1≤b≤3．
综上所述，﹣1≤b≤3．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，轴对称，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数根据不等式解决问题，属于中考压轴题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/11 13:43:07；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111