2023-2024学年北京市朝阳区和平街一中八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市朝阳区和平街一中八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共34页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）下列长度的三条线段（单位：cm），能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2，4B．3，4，5C．4，6，8D．5，7，11
3．（2分）若一个多边形的内角和等于外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．8B．6C．5D．4
4．（2分）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（ ）
A．75°B．60°C．105°D．120°
5．（2分）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（ ）
A．40°B．30°C．35°D．25°
6．（2分）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）如图，已知∠MON及其边上一点A．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C，再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．错误的结论是（ ）
A．S△AOC＝S△ABCB．∠OCB＝90°
C．∠MON＝30°D．OC＝2BC
8．（2分）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
二、填空题（共8个小题，每题2分，共16分）
9．（2分）已知点P（﹣2，1），那么点P关于x轴对称的点Q的坐标是 ．
10．（2分）已知等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于9，则它的周长为 ．
11．（2分）如图，线段AB与CD相交于点O，且OA＝OD，连接AC，BD，要说明△AOC≌△DOB，还需添加的一个条件是 ．（只需填一个条件即可）
12．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E．若AC＝3，BC＝4，则△ABD的周长是 ．
13．（2分）如图所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于D点，BE⊥CE于E点．AD＝5，DE＝3，则BE＝ ．
14．（2分）数学课上，同学们兴致勃勃地尝试着利用不同画图工具画一个角的平分线．小明用直尺画角平分线的方法如下：
（1）用直尺的一边贴在∠AOB的OA边上，沿着直尺的另一条边画直线m；
（2）再用直尺的一边贴在∠AOB的OB边上，沿着直尺的另一条边画直线n，直线m与直线n交于点D；
（3）作射线OD．射线OD是∠AOB的平分线．
请回答：小明的画图依据是 ．
15．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AC、AB于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，射线AP交BC于点D，若CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积为 ．
16．（2分）如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于D，则下面结论：①PE＝2AE；②D为PQ的中点；③CQ＝2AE；④CQ+2CD＝2；其中正确的结论有： ．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17．（5分）数学课上，王老师布置如下任务：
如图，△ABC中，BC＞AB＞AC，在BC边上取一点P，使∠APC＝2∠ABC．
小路的作法如下：
①作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；
②连接AP．
请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
∵PQ是AB的垂直平分线
∴AP＝ ，（依据： ）；
∴∠ABC＝ ，（依据： ）．
∴∠APC＝2∠ABC．
18．（5分）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．
（1）证明：△ADE≌△CFE；
（2）若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB．
19．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CE⊥AB于点E．求证：∠CAD＝∠BCE．
20．（5分）下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
21．（5分）规定，在平面直角坐标系中，将一个图形先关于y轴对称，再向下平移2个单位记为1次“R变换”．
（1）画出△ABC经过1次“R变换”后的图形△A1B1C1；
（2）点A1坐标为 ，点B1坐标为 ，点C1坐标为 ；
（3）若△ABC边上有一点P（a，b），经过3次“R变换”后为P3，则P3的坐标为 ．
22．（5分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°．求∠DAC的度数．
23．（6分）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，且AD＝BE．求证：AE＝CD．
24．（6分）如图，已知△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE＝DF．试说明AB＝AC的理由．
25．（6分）证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．
26．（6分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
27．（7分）如图，过等边△ABC的顶点B在∠ABC内部作射线BP，∠ABP＝α（0°＜α＜60°且α≠30°），点A关于射线BP的对称点为点D，直线CD交BP于点E，连接BD，AE．
（1）依据题意，补全图形；
（2）在α（0°＜α＜60°且α≠30°）变化的过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请求出∠AEB的大小；
（3）连接AD交BP于点F，用等式表示线段AE，BF，CE之间的数量关系，并给予证明．
28．（7分）如图1，E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，D是边BC所在直线上一点，且D与C不重合，若EC＝ED．则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点，点E称为反称中心．
在平面直角坐标系xOy中，
（1）已知等边三角形AOC的顶点C的坐标为（2，0），点A在第一象限内，反称中心E在直线AO上，反称点D在直线OC上．
①如图2，若E为边AO的中点，在图中作出点C关于等边三角形AOC的反称点D，并直接写出点D的坐标： ；
②若AE＝2，求点C关于等边三角形AOC的反称点D的坐标；
（2）若等边三角形ABC的顶点为B（n，0），C（n+2，0），反称中心E在直线AB上，反称点D在直线BC上，且3≤AE＜4．请直接写出点C关于等边三角形ABC的反称点D的横坐标t的取值范围： （用含n的代数式表示）
2023-2024学年北京市朝阳区和平街一中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8个小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1．（2分）下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（2分）下列长度的三条线段（单位：cm），能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2，4B．3，4，5C．4，6，8D．5，7，11
【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【解答】解：A．∵12+22＝1+4＝5，42＝16，
∴12+22≠42，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵32+42＝9+16＝25，52＝25，
∴32+42＝52，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵42+62＝16+36＝52，82＝64，
∴42+62≠82，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵52+72＝25+49＝74，112＝121，
∴52+72≠112，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于最长边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
3．（2分）若一个多边形的内角和等于外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．8B．6C．5D．4
【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，依题意，得：
（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得n＝6．
故选：B．
【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程求边数．
4．（2分）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（ ）
A．75°B．60°C．105°D．120°
【分析】根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟记三角形内角和等于180°是解题的关键．
5．（2分）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（ ）
A．40°B．30°C．35°D．25°
【分析】根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠DAE，进一步可得∠BAD＝∠EAC，再根据三角形内角和定理可得∠BAD的度数，即可确定∠EAC的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，
∴∠BAD＝180°﹣80°﹣30°﹣35°＝35°，
∴∠EAC＝35°，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
6．（2分）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用高线的概念得出答案．
【解答】解：在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是B，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键．
7．（2分）如图，已知∠MON及其边上一点A．以点A为圆心，AO长为半径画弧，分别交OM，ON于点B和C，再以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点B．错误的结论是（ ）
A．S△AOC＝S△ABCB．∠OCB＝90°
C．∠MON＝30°D．OC＝2BC
【分析】由题意可知OA＝AC＝AB＝BC，△ABC是等边三角形，△OAC是等腰三角形，即可判断选项．
【解答】解：由题意可知OA＝AC＝AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝60°，
∴∠MON＝∠OCA＝30°，
∴∠OCB＝30°+60°＝90°．
∴S△AOC＝S△ABC，
∴A，B，C，正确．
故选：D．
【点评】本题考查三角形的性质；熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．
8．（2分）如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】以AB为腰，画出图形，即可找出点C的个数．
【解答】解：当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作圆，可找出格点点C的个数有6个；
故使△ABC是以AB为腰的等腰三角形的格点C有6个．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．
二、填空题（共8个小题，每题2分，共16分）
9．（2分）已知点P（﹣2，1），那么点P关于x轴对称的点Q的坐标是 （﹣2，﹣1） ．
【分析】坐标平面内两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，点P关于x轴对称，可得出点Q的值．
【解答】解：根据坐标平面内两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数的特点，
得出点P关于x轴对称的点Q的坐标为（﹣2，﹣1），
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查了坐标平面内两个点关于x轴对称的特点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，难度适中．
10．（2分）已知等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于9，则它的周长为 21或24 ．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当腰为6时，6+6＜9，所以能构成三角形，周长是：6+6+9＝21；
当腰为9时，9+9＞6，所以能构成三角形，周长是：9+9+6＝24．
故它的周长为21或24．
【点评】本题考查等腰三角形的性质以及三角形三边关系．注意分类讨论思想的应用是解此题的关键．
11．（2分）如图，线段AB与CD相交于点O，且OA＝OD，连接AC，BD，要说明△AOC≌△DOB，还需添加的一个条件是 OC＝OB或AB＝CD或∠A＝∠D或∠B＝∠C ．（只需填一个条件即可）
【分析】已知条件中OA＝OD，且∠AOC＝∠DOB为对顶角相等，则还需添加这一对角的另一对对应边相等或另一组对应角相等即可．
【解答】解：∵OA＝OD，且∠AOC＝∠DOB，
∴添加OC＝OB或AB＝CD时，依据SAS即可判定△AOC≌△DOB；
添加∠A＝∠D或∠B＝∠C，依据ASA或AAS即可判定△AOC≌△DOB；
故答案为：OC＝OB或AB＝CD或∠A＝∠D或∠B＝∠C．（答案不唯一）
【点评】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
12．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E．若AC＝3，BC＝4，则△ABD的周长是 7 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DC，然后利用三角形的周长公式以及等量代换可得△ABD的周长＝AB+BC，进行计算即可解答．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵AB＝AC＝3，BC＝4，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD
＝AB+BD+CD
＝AB+BC
＝3+4
＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
13．（2分）如图所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于D点，BE⊥CE于E点．AD＝5，DE＝3，则BE＝ 2 ．
【分析】由AD⊥CE于D点，BE⊥CE于E点，得∠ADC＝∠E＝90°，则∠ACD＝∠CBE＝90°﹣∠BCE，而AC＝CB，即可证明△ACD≌△CBE，则AD＝CE＝5，所以CD＝BE＝CE﹣DE＝2，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AD⊥CE于D点，BE⊥CE于E点，
∴∠ADC＝∠E＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE＝90°﹣∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE＝5，
∴CD＝BE＝CE﹣DE＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ACD≌△CBE是解题的关键．
14．（2分）数学课上，同学们兴致勃勃地尝试着利用不同画图工具画一个角的平分线．小明用直尺画角平分线的方法如下：
（1）用直尺的一边贴在∠AOB的OA边上，沿着直尺的另一条边画直线m；
（2）再用直尺的一边贴在∠AOB的OB边上，沿着直尺的另一条边画直线n，直线m与直线n交于点D；
（3）作射线OD．射线OD是∠AOB的平分线．
请回答：小明的画图依据是 在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上 ．
【分析】利用画法可点D到OA和OB的距离相等（尺的宽度相等），然后根据角平分线的性质定理判断四边形OCDE为菱形，然后根据菱形的性质可判定OD为∠AOB的平分线．
【解答】解：由画法可知，点D到OA和OB的距离相等，
所以OD平分∠AOB．
故答案为在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上．
【点评】本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．解决本题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质．
15．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AC、AB于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，射线AP交BC于点D，若CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积为 6 ．
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝2，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
由基本作图可知，AP平分∠CAB，
∵AP平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝2，
∴△ABD的面积＝，
故答案为：6．
【点评】本题考查基本作图、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
16．（2分）如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于D，则下面结论：①PE＝2AE；②D为PQ的中点；③CQ＝2AE；④CQ+2CD＝2；其中正确的结论有： ②③④ ．
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出EF＝AE，证△PFD≌△QCD，推出FD＝CD，进而逐一判断即可．
【解答】解：如图，过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∴AP＝2AE，
∴PE＝AE，故①错误；
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ，
∴CQ＝AF＝2AE，故③正确；
在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，PD＝QD，
∴D为PQ的中点，故②正确；
∵AE＝EF，
∴EF+FD＝AE+CD，
∴CQ+2CD＝AF+CF＝AC＝2，故④正确，
∴正确的结论有：②③④．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17．（5分）数学课上，王老师布置如下任务：
如图，△ABC中，BC＞AB＞AC，在BC边上取一点P，使∠APC＝2∠ABC．
小路的作法如下：
①作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；
②连接AP．
请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
∵PQ是AB的垂直平分线
∴AP＝ BP ，（依据： 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ）；
∴∠ABC＝ ∠BAP ，（依据： 等边对等角 ）．
∴∠APC＝2∠ABC．
【分析】作AB的垂直平分线交BC于P点，根据线段垂直平分线的性质得到AP＝BP，再根据等腰三角形的性质得∠ABC＝∠BAP，然后根据三角形外角性质得到∠APC＝2∠ABC．
【解答】解：如图，点P为所作；
理由如下：
∵PQ是AB的垂直平分线
∴AP＝BP，（依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；
∴∠ABC＝∠BAP，（依据：等边对等角）．
∴∠APC＝2∠ABC．
故答案为BP，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；∠BAP，等边对等角．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
18．（5分）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F．
（1）证明：△ADE≌△CFE；
（2）若∠B＝∠ACB，CE＝5，CF＝7，求DB．
【分析】（1）根据AAS或ASA证明△ADE≌△CFE即可；
（2）利用全等三角形的性质求出AD，AB即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵E是边AC的中点，
∴AE＝CE．
又∵CF∥AB，
∴∠A＝∠ACF，∠ADF＝∠F，
在△ADE与△CFE中，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
（2）解：∵△ADE≌△CFE，CF＝7，
∴CF＝AD＝7，
又∵∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵E是边AC的中点，CE＝5，
∴AC＝2CE＝10．
∴AB＝10，
∴DB＝AB﹣AD＝10﹣7＝3．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CE⊥AB于点E．求证：∠CAD＝∠BCE．
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠ACB，根据等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合得到AD⊥BC，再根据直角三角形的两个锐角互余和等角的余角相等即可求解．
【解答】证明：∵AB＝AC，BD＝CD（已知），
∴∠B＝∠ACB（等边对等角），AD⊥BC（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）．
又∵CE⊥AB（已知），
∴∠CAD+∠ACB＝90°，∠BCE+∠B＝90°（直角三角形的两个锐角互余）．
∴∠CAD＝∠BCE（等角的余角相等）．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题的关键．
20．（5分）下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
【分析】若选择方法一：先根据直角三角形的两个锐角互余求出∠B＝60°，再利用平角定义求出∠ACD＝90°，从而可得∠ACD＝∠ACB＝90°，然后利用SAS证明△BCA≌△DCA，从而可得AD＝AB，进而可得△ABD是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得AB＝BD，即可解答；
若选择方法二：先根据直角三角形的两个锐角互余求出∠B＝60°，从而可得△BCD是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得BC＝BD＝DC，∠BCD＝60°，从而可得∠DCA＝∠A＝30°，进而可得DC＝DA，最后利用等量代换可得BC＝BD＝DA＝AB，即可解答．
【解答】解：若选择方法一：
如图：延长BC到点D，使得CD＝BC，连接AD，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝60°，∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠ACB＝90°，
∵AC＝AC，
∴△BCA≌△DCA（SAS），
∴AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，
∵BC＝CD＝BD，
∴BC＝AB；
若选择方法二：
如图，在线段AB上取一点D，使得BD＝BC，连接CD，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC＝BD＝DC，∠BCD＝60°，
∴∠DCA＝∠ACB﹣∠BCD＝30°，
∴∠DCA＝∠A＝30°，
∴DC＝DA，
∴BC＝BD＝DA＝AB，
即BC＝AB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（5分）规定，在平面直角坐标系中，将一个图形先关于y轴对称，再向下平移2个单位记为1次“R变换”．
（1）画出△ABC经过1次“R变换”后的图形△A1B1C1；
（2）点A1坐标为 （﹣4，3） ，点B1坐标为 （﹣1，0） ，点C1坐标为 （﹣6，0） ；
（3）若△ABC边上有一点P（a，b），经过3次“R变换”后为P3，则P3的坐标为 （﹣a，b﹣6） ．
【分析】（1）利用轴对称，平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）根据点的位置写出坐标即可．
（3）探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1；
（2）点A1坐标（﹣4，3）点B1坐标（﹣1，0），点C1坐标（﹣6，0）．
故答案为：（﹣4，3），（﹣1，0），（﹣6，0）．
（3）若△ABC边上有一点P（a，b），经过3次“R变换”后的的为P3，则P3的坐标为（﹣a，b﹣6）．
故答案为：（﹣a，b﹣6）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是周围轴对称变换的性质，学会利用分割法求三角形面积．
22．（5分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°．求∠DAC的度数．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC＝2∠ABE，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后根据∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD计算即可得解．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2×25°＝50°，
∵AD是BC边上的高，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
23．（6分）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，且AD＝BE．求证：AE＝CD．
【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，进而利用SAS证明△ABE与△CAD全等解答即可．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠ABE＝∠CAD＝180°﹣60°＝120°，
在△ABE与△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴AE＝CD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
24．（6分）如图，已知△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE＝DF．试说明AB＝AC的理由．
【分析】欲证AB＝AC，可证∠B＝∠C，只需证Rt△DBE≌Rt△DCF即可，由已知可根据HL证得Rt△DBE≌Rt△DCF．
【解答】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△DBE与△DCF是直角三角形．
∵在Rt△DBE与Rt△DCF中，，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
25．（6分）证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．
【分析】求出BM＝EN，根据SSS证△ABM≌△DEN，推出∠B＝∠E，根据SAS证△ABC≌△DEF即可．
【解答】
已知：△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AM是△ABC的中线，DN是△DEF的中线，AM＝DN，
求证：△ABC≌△DEF．
证明：∵BC＝EF，AM是△ABC的中线，DN是△DEF的中线，
∴BM＝EN，
在△ABM和△DEN中，
∵，
∴△ABM≌△DEN（SSS），
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的中线，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
26．（6分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【分析】（1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；
（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝∠OCD＝60°，
∴∠BCO＝∠ACD，
在△BOC与△ADC中，
∵，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
而∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（2）∵设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b，∠BAO＝c，∠CAO＝d，
则a+b＝60°，b+c＝180°﹣110°＝70°，c+d＝60°，
∴b﹣d＝10°，
∴（60°﹣a）﹣d＝10°，
∴a+d＝50°，
即∠DAO＝50°，
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∴190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，
∴110°+80°+60°+α＝360°
∴α＝110°；
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，
110°+50°+60°+α＝360°，
∴α＝140°．
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．
27．（7分）如图，过等边△ABC的顶点B在∠ABC内部作射线BP，∠ABP＝α（0°＜α＜60°且α≠30°），点A关于射线BP的对称点为点D，直线CD交BP于点E，连接BD，AE．
（1）依据题意，补全图形；
（2）在α（0°＜α＜60°且α≠30°）变化的过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请求出∠AEB的大小；
（3）连接AD交BP于点F，用等式表示线段AE，BF，CE之间的数量关系，并给予证明．
【分析】（1）根据题意补全图形，即可得出结论；
（2）先判断出∠ABP＝∠DBP＝α，BD＝BA，在判断出AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，进而得出BD＝BC，∠CBD＝60°+2α，∠BDC＝∠BCD＝60°+α，即可得出结论；
（3）先判断出△AME是等边三角形，得出AE＝AM＝EM，∠EAM＝60°，在判断出∠BAM＝∠CAE，进而判断出△ABM≌△ACE（SAS），得出BM＝CE，再判断出∠AFE＝90°，得出∠EAF＝30°，∴EF＝AE，即可得出结论．
【解答】解：（1）补全图形如图1所示，
（2）∠AEB不发生变化，∠AEB＝60°；
∵点A关于射线CP的对称点为点D，
∴∠ABP＝∠DBP＝α，BD＝BA，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴BD＝BC，∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣2α，
∴∠BDC＝∠BCD＝60°+α，
∵∠BDC＝∠BEC+∠DBE＝∠BEC+α＝60°+α，
∴∠BEC＝60°，
∴∠AEB＝∠BEC＝60°，
∴∠AEB不发生变化，∠AEB＝60°；
（3）如图2，线段AE，BF，CE之间的数量关系为：BF＝CE+AE；
证明：如图2，在BE上取一点M，使EM＝AE，连接AM，
∵AEB＝60°，
∴△AME是等边三角形，
∴AE＝AM＝EM，∠EAM＝60°，
∵∠BAM+∠CAM＝∠CAM+∠CAE＝60°，
∴∠BAM＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△ABM≌△ACE（SAS），
∴BM＝CE，
∵点A关于射线CP的对称点为点D，
∴AE＝DE＝EM，∠AFE＝90°，
∵∠AEB＝60°，
∴∠EAF＝30°，
∴EF＝AE，
∵BF＝BE﹣EF＝CE+AE＝CE+AE，
即BF＝CE+AE．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
28．（7分）如图1，E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，D是边BC所在直线上一点，且D与C不重合，若EC＝ED．则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点，点E称为反称中心．
在平面直角坐标系xOy中，
（1）已知等边三角形AOC的顶点C的坐标为（2，0），点A在第一象限内，反称中心E在直线AO上，反称点D在直线OC上．
①如图2，若E为边AO的中点，在图中作出点C关于等边三角形AOC的反称点D，并直接写出点D的坐标： （﹣1，0） ；
②若AE＝2，求点C关于等边三角形AOC的反称点D的坐标；
（2）若等边三角形ABC的顶点为B（n，0），C（n+2，0），反称中心E在直线AB上，反称点D在直线BC上，且3≤AE＜4．请直接写出点C关于等边三角形ABC的反称点D的横坐标t的取值范围： n﹣4＜t≤n﹣3或n+3≤t＜n+4 （用含n的代数式表示）
【分析】（1）①过点E作EF⊥OC，垂足为F，根据等边三角形的性质可得DF＝FC＝，OF＝，即可求OD＝1，即可求点D坐标；
②分点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上两种情况讨论，根据反称点定义可求点D的坐标；
（2）分点E在点E在AB的延长线上或在BA的延长线上，根据含30°角直角三角形的性质，可求CF＝DF的值，即可求点D的横坐标t的取值范围．
【解答】解：（1）①如图2，过点E作EF⊥OC，垂足为F，
∵EC＝ED，EF⊥OC，
∴DF＝FC，
∵点C的坐标为（2，0），
∴AO＝CO＝2，
∵点E是AO的中点，
∴OE＝1，
∵∠AOC＝60°，EF⊥OC，
∴∠OEF＝30°，
∴OE＝2OF＝1，
∴OF＝，
∵OC＝2，
∴CF＝＝DF，
∴DO＝1
∴点D坐标（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0）；
②∵等边三角形AOC的两个顶点为O（0，0），C（2，0），
∴OC＝2．
∴AO＝OC＝2．
∵E是等边三角形AOC的边AO所在直线上一点，且AE＝2，
∴点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上，
如图3，若点E与坐标原点O重合，
∵EC＝ED，EC＝2，
∴ED＝2．
∵D是边OC所在直线上一点，且D与C不重合，
∴D点坐标为（﹣2，0）
如图4，若点E在边OA的延长线上，且AE＝2，
∵AC＝AE＝2，
∴∠E＝∠ACE．
∵△AOC为等边三角形，
∴∠OAC＝∠ACO＝60°．
∴∠E＝∠ACE＝30°．
∴∠OCE＝90°．
∵EC＝ED，
∴点D与点C重合．
这与题目条件中的D与C不重合矛盾，故这种情况不合题意，舍去，
综上所述：D（﹣2，0）；
（2）∵B（n，0），C（n+2，0），
∴BC＝2，
∴AB＝AC＝2，
∵3≤AE＜4，
∴点E在AB的延长线上或在BA的延长线上，
如图点E在AB的延长线上，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BD，
∵BE＝AE﹣AB，
∴1≤BE＜2，
∵EF⊥BF，∠EBF＝∠ABC＝60°，
∴BF＝BE，
∵DE＝CE，
∴DF＝CF＝BF+BC，
∴BD＝DF+BF＝2BF+BC＝BE+BC，
∴3≤BD＜4，
∵点B坐标为（n，0），
∴n﹣4＜t≤n﹣3，
如图点E在BA的延长线上，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BD，
同理可求：点D的横坐标t的取值范围：n+3≤t＜n+4，
综上所述：点D的横坐标t的取值范围：n﹣4＜t≤n﹣3或n+3≤t＜n+4．
故答案为：n﹣4＜t≤n﹣3或n+3≤t＜n+4．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，特殊角直角三角形的性质，阅读理解题意是本题的关键，是中考压轴题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/11 13:46:44；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
求证：BC＝AB．
方法一
证明：如图，延长BC到点D，使得CD＝BC，连接AD．
方法二
证明：如图，在线段AB上取一点D，使得BD＝BC，连接CD．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
求证：BC＝AB．
方法一
证明：如图，延长BC到点D，使得CD＝BC，连接AD．
方法二
证明：如图，在线段AB上取一点D，使得BD＝BC，连接CD．