2023-2024学年北京市朝阳区蒋府实验学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市朝阳区蒋府实验学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共32页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形中，为轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边对齐，则∠1的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
4．（3分）已知三条线段的长分别是5，5，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（ ）
A．11B．10C．9D．7
5．（3分）一个多边形的每个内角均为140°，则这个多边形是（ ）
A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形
6．（3分）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，△ABM≌△ACN，连接MN，在①AB＝AN，②∠BAM＝∠CMN，③∠ACN＝∠ANM中，所有正确的结论是（ ）
A．③B．①②C．②③D．①②③
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在AD，AB边上，将∠A沿EF折叠，使点A落在点G处，连接GE，GF．有下面四个结论：①AF＝GF；②直线EF是线段AG的垂直平分线；③∠B+∠C+∠D+∠G＝360°；④∠BFG＝∠DEG+2∠A．所有正确结论的序号为（ ）
A．①③B．①②③C．②③④D．①②③④
二、填空题（共24分，每题3分）
9．（3分）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为 ．
10．（3分）如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带 块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是 ．
11．（3分）等腰三角形的周长是13，一边长为6，它的底边长为 ．
12．（3分）如图是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则∠1的度数为 ．
13．（3分）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ADC，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，3），点B（﹣1，0），点D（2，3），点C在x轴上．若CD＝AB，则点C的坐标为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC于点D，若AB：AC＝2：3，△ABD的面积为2，则△ABC的面积为 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等边三角形，点A（0，6），点B，C在x轴上，Q是y轴上一点．
（1）∠CAO＝ °；
（2）点P从点A出发，先沿y轴到达点Q，再沿QB到达点B后停止运动，点P在y轴上运动的速度是它在直线QB上运动的速度的2倍，若点P按上述要求到达点B所用时间最短，则点Q的坐标为 ．
三、解答题（共52分，第17-24题，每题5分，第25-26题，每题6分）
17．（5分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点）．
（1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1；
（2）将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2；
（3）描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB．
18．（5分）下面是小明设计的“已知两边及夹角作三角形”的尺规作图过程．
已知：线段a，b及∠MON．
求作：△ABC，使得AB＝a，AC＝b，∠A＝∠MON．
作法：如图，
①以O为圆心，a长为半径作弧，交OM于点P；
②以O为圆心，b长为半径作弧，交ON于点Q；
③作射线AF；
④以A为圆心，OP长为半径作弧，交AF于点B；
⑤分别以A，B为圆心，OQ，PQ长为半径作弧，两弧交于直线AF上方的点C；
⑥连接AC，BC．
△ABC就是所求作的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵AB＝OP，AC＝OQ，BC＝ ，
∴△ABC≌ ．
∴∠A＝∠MON．（ ）（填推理的依据）
∵OP＝a，OQ＝b，
∴AB＝a，AC＝b．
∴△ABC就是所求作的三角形．
19．（5分）已知：如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AB∥DE，BC∥EF．求证：AF＝CD．
20．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E，如果BC＝4，求DE的长．
21．（5分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC的延长线交于点E，连接AE，如果∠B＝51°，∠BAC＝20°，求∠AEC的度数．
22．（5分）如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，AC与DB交于点E，点F在BC上，∠BEF＝∠CEF．求证：F为BC的中点．
23．（5分）“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB＝∠AOB．
我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．
已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC．
求证：∠APB＝∠AOB．
24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）如图1，若点A（0，3），C（1，0），求点B的坐标；
（2）如图2，若点A（﹣1，0），C（1，3），求点B的坐标．
25．（6分）已知△ABC是等边三角形，AD＝DE，∠ADE＝120°，F为EC的中点，连接DF，BF．
（1）如图1，点D在线段BA的延长线上．
①求证：DE∥BC；
②直接写出线段DF与BD之间的数量关系．
（2）如图2，点D在直线BA外，用等式表示线段DF与BD之间的数量关系，并证明．
26．（6分）综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：在平面直角坐标系xOy中，点（2，3）关于y轴的对称点的坐标为 ；
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，一般化思考并提出新的问题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（1，1），求点A（a，b）关于直线OP的对称点B的坐标（用含a，b的式子表示）；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，提出新的探究点，并进行了探究：如图2，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（1，2），直接写出点A（a，0）关于直线OP的对称点B的坐标（用含a的式子表示）．小博经过探究得出直线OP上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是1：2，点B的纵坐标为，请帮助小博完成问题．
2023-2024学年北京市朝阳区蒋府实验学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（3分）下列图形中，为轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项B、C、D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项A的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．
【解答】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，
纵观各图形，D选项符合高线的定义，
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．
3．（3分）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边对齐，则∠1的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】根据三角形的内角和求出∠2＝45°，再根据对顶角相等求出∠3＝∠2，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可．
【解答】解：∵∠2＝90°﹣45°＝45°（直角三角形两锐角互余），
∴∠3＝∠2＝45°，
∴∠1＝∠3+30°＝45°+30°＝75°．
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
4．（3分）已知三条线段的长分别是5，5，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（ ）
A．11B．10C．9D．7
【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．
【解答】解：∵三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，
∴5﹣5＜m＜5+5，
∴0＜m＜10，
∴整数m的最大值是9．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
5．（3分）一个多边形的每个内角均为140°，则这个多边形是（ ）
A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形
【分析】根据多边形的内角和公式，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．
【解答】解：设这个多边形为n边形，根据题意得
（n﹣2）×180°＝140°n，
解得n＝9，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，多边形的内角和公式是（n﹣2）×180°．
6．（3分）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，
根据题意得：x+x+2x+20＝180，
解得：x＝40，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，考查了方程思想，掌握等腰三角形两个底角相等是解题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，△ABM≌△ACN，连接MN，在①AB＝AN，②∠BAM＝∠CMN，③∠ACN＝∠ANM中，所有正确的结论是（ ）
A．③B．①②C．②③D．①②③
【分析】根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角性质判断求解即可．
【解答】解：∵△ABM≌△ACN，
∴AB＝AC，∠BAM＝∠CAN，∠B＝∠ACN，AM＝AN，
∴∠BAC＝∠MAN，
∴∠ANM＝∠AMN＝∠B＝∠ACB，
∴∠ACN＝∠ANM，
故①错误，不符合题意；③正确，符合题意；
∵∠AMC＝∠B+∠BAM＝∠AMN+∠CMN，
∴∠BAM＝∠CMN，
故②正确，符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在AD，AB边上，将∠A沿EF折叠，使点A落在点G处，连接GE，GF．有下面四个结论：①AF＝GF；②直线EF是线段AG的垂直平分线；③∠B+∠C+∠D+∠G＝360°；④∠BFG＝∠DEG+2∠A．所有正确结论的序号为（ ）
A．①③B．①②③C．②③④D．①②③④
【分析】由翻折不变性，可判断①正确；
由翻折不变性，可得AF＝GF，AE＝GE，可判断②正确；
由多边形内角和公式和翻折不变性，可判断③正确；
由三角形外角性质和翻折不变性，可判断④正确；
由此可作出选择．
【解答】解：∵GF是由AF翻折得到的，
∴AF＝GF，
故①正确；
∵GF是由AF翻折得到的，GE是由AE翻折得到的，
∴AF＝GF，AE＝GE，
∴点E，点F都在AG的垂直平分线上，
∴直线EF是线段AG的垂直平分线，
故②正确；
∵∠G是由∠A翻折得到的，
∴∠G＝∠A，
∵∠B+∠C+∠D+∠A＝360°，
∴∠B+∠C+∠D+∠G＝360°，
故③正确；
设AD与GF交于点H，
∵∠G是由∠A翻折得到的，
∴∠G＝∠A，
∵∠BFG＝∠FHA+∠A＝∠DEG+∠G+∠A，
∴∠BFG＝∠DEG+2∠A，
故④正确；
综上，正确的有：①②③④，
故选：D．
【点评】本题考查翻折变换，线段垂直平分线的判定，多边形内角和公式，三角形外角性质，掌握翻折不变性，以及相关性质是解题的关键．
二、填空题（共24分，每题3分）
9．（3分）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为 （2，5） ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案．
【解答】解：点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为：（2，5），
故答案为：（2，5）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10．（3分）如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带 ② 块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是 ASA ．
【分析】已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【解答】解：第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块不能配一块与原来完全一样的；
第②块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带②去．
故答案为：②，ASA．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
11．（3分）等腰三角形的周长是13，一边长为6，它的底边长为 1或6 ．
【分析】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长6为腰或者6底边时，根据三角形周长公式解答．
【解答】解：当腰为6时，底为13﹣5×2＝3，三边为6、6、1，能构成三角形；
当底为6时，腰为×（13﹣6）＝，三边为、、6，能构成三角形．
所以这个等腰三角形的底边长为1或6．
故答案为：1或6．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
12．（3分）如图是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则∠1的度数为 70°或60° ．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠2，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：由三角形内角和定理得，∠2＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵两个三角形全等，
∴∠1＝∠2＝70°或∠1＝60°，
故答案为：70°或60°．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解本题的关键．
13．（3分）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ADC，这个条件可以是 AB＝AD或BC＝CD或∠BAC＝∠DAC或∠ACB＝∠ACD（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【分析】由全等三角形的判定定理可求解．
【解答】解：若添加AB＝AD，且AC＝AC，由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；
若添加BC＝CD，且AC＝AC，由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；
若添加∠BAC＝∠DAC，且AC＝AC，由“AAS”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；
若添加∠BCA＝∠DCA，且AC＝AC，由“AAS”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；
故答案为：AB＝AD或BC＝CD或∠BAC＝∠DAC或∠ACB＝∠ACD（答案不唯一）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，3），点B（﹣1，0），点D（2，3），点C在x轴上．若CD＝AB，则点C的坐标为 （1，0）或（3，0） ．
【分析】根据轴对称的性质即可求解．
【解答】解：∵点A（﹣2，3），点B（﹣1，0），
∴点A关于直线x＝﹣2的对称点为E（3，0），
连接AE，则AB＝AE，
∵点A（﹣2，3），点D（2，3），
∴点A、D关于y轴对称，
∴点B、点E关于y轴的对称点为（1，0）和（3，0），
∴若点C为（1，0）或（3，0）时，AB＝CD，
∴若CD＝AB，则点C的坐标为（1，0）或（3，0）．
故答案为：（1，0）或（3，0）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线AP交BC于点D，若AB：AC＝2：3，△ABD的面积为2，则△ABC的面积为 5 ．
【分析】由作图可知，射线AP为∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，则DE＝DF，进而可得S△ABD：S△ACD＝2：3，则△ACD的面积为3，由△ABC的面积为S△ABD+S△ACD可得答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，
由作图可知，射线AP为∠BAC的平分线，
∴DE＝DF，
∵AB：AC＝2：3，，，
∴S△ABD：S△ACD＝2：3，
∵△ABD的面积为2，
∴△ACD的面积为3，
∴△ABC的面积为S△ABD+S△ACD＝2+3＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等边三角形，点A（0，6），点B，C在x轴上，Q是y轴上一点．
（1）∠CAO＝ 30 °；
（2）点P从点A出发，先沿y轴到达点Q，再沿QB到达点B后停止运动，点P在y轴上运动的速度是它在直线QB上运动的速度的2倍，若点P按上述要求到达点B所用时间最短，则点Q的坐标为 （0，2） ．
【分析】（1）由等边三角形的性质可求解；
（2）由直角三角形的性质可得QH＝AQ，则AQ+BQ＝QH+BQ，即当点Q，点B，点H三点共线时，AQ+BQ有最小值为BH的长，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC，
∴∠CAO＝∠BAO＝30°，
故答案为：30；
（2）如图，过点Q作QH⊥AC于H，
设点P在y轴的速度为x，则点P在BQ上的速度为x，
∴点P到达点B所用时间＝+＝（AQ+BQ），
∴当AQ+BQ有最小值时，点P到达点B所用时间最短，
∵∠OAC＝30°，
∴QH＝AQ，
∴AQ+BQ＝QH+BQ，
∴当点Q，点B，点H三点共线时，AQ+BQ有最小值为BH的长，
∴BH⊥AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABQ＝∠HBC＝30°，
∴BQ＝2QO，∠ABQ＝∠BAQ＝30°，
∴AQ＝BQ，
∴AQ＝2OQ，
∵点A（0，6），
∴AO＝6，
∴OQ＝2，
∴点Q（0，2），
故答案为：（0，2）；
【点评】本题考查了胡不归问题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点Q的位置是解题的关键．
三、解答题（共52分，第17-24题，每题5分，第25-26题，每题6分）
17．（5分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点）．
（1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1；
（2）将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2；
（3）描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB．
【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可；
（2）根据平移的性质画出图形即可；
（3）根据线段垂直平分线的作法画出图形即可．
【解答】解：（1）线段A1B1如图所示；
（2）线段A2B2如图所示；
（3）直线MN即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了线段垂直平分线的性质．
18．（5分）下面是小明设计的“已知两边及夹角作三角形”的尺规作图过程．
已知：线段a，b及∠MON．
求作：△ABC，使得AB＝a，AC＝b，∠A＝∠MON．
作法：如图，
①以O为圆心，a长为半径作弧，交OM于点P；
②以O为圆心，b长为半径作弧，交ON于点Q；
③作射线AF；
④以A为圆心，OP长为半径作弧，交AF于点B；
⑤分别以A，B为圆心，OQ，PQ长为半径作弧，两弧交于直线AF上方的点C；
⑥连接AC，BC．
△ABC就是所求作的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵AB＝OP，AC＝OQ，BC＝ PQ ，
∴△ABC≌ △OPQ ．
∴∠A＝∠MON．（ 全等三角形的对应角相等 ）（填推理的依据）
∵OP＝a，OQ＝b，
∴AB＝a，AC＝b．
∴△ABC就是所求作的三角形．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）利用作法得到AB＝OP，AC＝OQ，BC＝PQ，则根据“SSS”可判断△ABC≌△OPQ，所以∠A＝∠MON，从而可判断△ABC满足条件．
【解答】（1）解：如图，△ABC为所作；
（2）证明：∵AB＝OP，AC＝OQ，BC＝PQ，
∴△ABC≌△OPQ，
∴∠A＝∠MON．（全等三角形的对应角相等）
∵OP＝a，OQ＝b，
∴AB＝a，AC＝b．
∴△ABC就是所求作的三角形．
故答案为：PQ，△OPQ，全等三角形的对应角相等．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．
19．（5分）已知：如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AB∥DE，BC∥EF．求证：AF＝CD．
【分析】根据平行线的性质得出∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE，再根据AAS证明△ABC≌△DEF即可推出结论．
【解答】证明：∵AB∥DE，BC∥EF．
∴∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC＝DF，
∴AF＝DC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E，如果BC＝4，求DE的长．
【分析】根据三角形的内角和得到∠B＝60°，根据含30度角的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，AB＝2BC，
∵CD⊥AC，
∴∠A＝∠DCB＝30°，
∴AB＝2BC＝8，BD＝BC＝2，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6，
∵∠ACB＝90°，DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°
∴DE＝AD＝3．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
21．（5分）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC的延长线交于点E，连接AE，如果∠B＝51°，∠BAC＝20°，求∠AEC的度数．
【分析】根据三角形的外角性质求出∠ACE，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：∵∠B＝51°，∠BAC＝20°，
∴∠ACE＝∠B+∠BAC＝71°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠CAE＝∠ACE＝71°，
∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACE＝38°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
22．（5分）如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，AC与DB交于点E，点F在BC上，∠BEF＝∠CEF．求证：F为BC的中点．
【分析】利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DCB，根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠DBC，即可判定EB＝EC，根据等腰三角形三线合一的性质即可得解．
【解答】证明：∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABC和△DCB是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠ACB＝∠DBC，
∴EB＝EC，
∵∠BEF＝∠CEF，
∴EF是△BEC的中线，
∴F为BC的中点．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DCB是解题的关键．
23．（5分）“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB＝∠AOB．
我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．
已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC．
求证：∠APB＝∠AOB．
【分析】直接利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质得出答案．
【解答】证明：如图所示：
∵OC＝PC，
∴∠P＝∠1，
∵∠2＝∠P+∠1，
∴∠2＝2∠P，
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠3，
∴∠3＝2∠P，
∵∠AOB＝∠P+∠3，
∴∠AOB＝3∠P，
即∠APB＝∠AOB．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及应用设计与作图，正确运用等腰三角形的性质分析是解题关键．
24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC．
（1）如图1，若点A（0，3），C（1，0），求点B的坐标；
（2）如图2，若点A（﹣1，0），C（1，3），求点B的坐标．
【分析】（1）过点B作BD⊥x轴于点D，根据AAS证明△AOC≌△CDB即可推出结果；
（2）过点C作直线l∥x轴，过点A作AE⊥l于点E，过点B作BF⊥l于点F，根据AAS证明△AEC≌△CFB得出AE＝CF，CE＝BF即可推出结果．
【解答】解：（1）如图1，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCD＝90°，
又∵∠OAC+∠ACO＝90°，
∴∠OAC＝∠BCD，
在△AOC与△CDB中，
，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴BD＝OC，CD＝AO，
∵A（0，3），C（1，0），
∴CD＝AO＝3，BD＝OC＝1，
∴OD＝OC+CD＝4，
∴B（4，1）；
（2）如图2，过点C作直线l∥x轴，过点A作AE⊥l于点E，过点B作BF⊥l于点F，
∴∠AEC＝∠CFB＝90°，
∴∠ACE+∠EAC＝90°．
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠FCB＝90°，
∴∠EAC＝∠FCB．
在△AEC 和△CFB 中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF，CE＝BF．
∵点A（﹣1，0），C（1，3），
∴AE＝3，CE＝2，
∴EF＝CE+CF＝CE+AE＝5，
∴点B的坐标为 （4，1）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25．（6分）已知△ABC是等边三角形，AD＝DE，∠ADE＝120°，F为EC的中点，连接DF，BF．
（1）如图1，点D在线段BA的延长线上．
①求证：DE∥BC；
②直接写出线段DF与BD之间的数量关系．
（2）如图2，点D在直线BA外，用等式表示线段DF与BD之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）①由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，再证∠ADE+∠ABC＝180°，然后由平行线的判定即可得出结论；
②证△DEF≌△GCF（ASA），得DF＝GF，DE＝GC，则DG＝2DF，再证△BDG是等边三角形，得DG＝BD，即可得出结论；
（2）延长DF至G，使GF＝DF，连接CG、BG，证△DEF≌△GCF（SAS），得∠E＝∠GCF，DE＝GC，再证△DAB≌△GCB（SAS），得BD＝BG，∠ABD＝∠CBG，然后证△BDG是等边三角形，得DG＝BD，即可得出结论．
【解答】（1）①证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵∠ADE＝120°，
∴∠ADE+∠ABC＝120°+60°＝180°，
∴DE∥BC；
②解：DF＝BD，理由如下：
由①可知，DE∥BC，
∴∠E＝∠GCF，
∵F为EC的中点，
∴EF＝CF，
在△DEF和△GCF中，
，
∴△DEF≌△GCF（ASA），
∴DF＝GF，DE＝GC，
∴DG＝2DF，
∵AD＝DE，
∴AD＝GC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝CB，
∴AB+AD＝CB+GC，
即BD＝BG，
∴△BDG是等边三角形，
∴DG＝BD，
∴2DF＝BD，
∴DF＝BD；
（2）解：DF＝BD，证明如下：
如图2，延长DF至G，使GF＝DF，连接CG、BG，
则DG＝2DF，
在△DEF和△GCF中，
，
∴△DEF≌△GCF（SAS），
∴∠E＝∠GCF，DE＝GC，
∵AD＝DE，
∴AD＝GC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠DAB＝360°﹣∠DAC﹣∠BAC＝360°﹣∠DAC﹣60°＝300°﹣∠DAC，
∵∠ADE＝120°，∠ADE+∠E+∠ACE+∠DAC＝360°，
∴∠E+∠ACE＝240°﹣∠DAC，
∴∠GCF+∠ACE＝240°﹣∠DAC，
∴∠GCB＝∠GCF+∠ACE+∠ACB＝240°﹣∠DAC+60°＝300°﹣∠DAC，
∴∠DAB＝∠GCB，
在△DAB和△GCB中，
，
∴△DAB≌△GCB（SAS），
∴BD＝BG，∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABD+∠ABG＝∠CBG+∠ABG＝∠ABC＝60°，
∴△BDG是等边三角形，
∴DG＝BD，
∴2DF＝BD，
∴DF＝BD．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
26．（6分）综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：在平面直角坐标系xOy中，点（2，3）关于y轴的对称点的坐标为 （﹣2，3） ；
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，一般化思考并提出新的问题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（1，1），求点A（a，b）关于直线OP的对称点B的坐标（用含a，b的式子表示）；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，提出新的探究点，并进行了探究：如图2，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（1，2），直接写出点A（a，0）关于直线OP的对称点B的坐标（用含a的式子表示）．小博经过探究得出直线OP上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是1：2，点B的纵坐标为，请帮助小博完成问题．
【分析】（1）由关于y轴对称的点的特征求出对称点的坐标；
（2）过点A作AQ∥x轴，交直线OP于点Q，连接BQ，通过证明△ACQ≌△BCQ，求出BP的长度，从而得到点B的坐标；
（3）过点B作BD∥x轴，交直线OP于点D，证明△BDE≌△AOE，通过直线OP上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是1：2求出点D的坐标，进而得到点B的坐标．
【解答】解：（1）由关于y轴对称的点的特征可知，点（2，3）关于y轴对称点的坐标为（﹣2，3）；
（2）过点A作AQ∥x轴，交直线OP于点Q，连接BQ，
∵点A，点B关于直线OP对称，
∴∠ACQ＝∠BCQ＝90°，AC＝BC，
在△ACQ和△BCQ中，
，
∴△ACQ≌△BCQ（SAS），
∴∠BQC＝∠AQC，BQ＝AQ，
∵点P的坐标为（1，1），
∴∠QOx＝45°，
∵AQ∥x轴，∴∠BQC＝∠AQC＝∠QOx＝45°，
∴∠BQA＝90°，
∵点A坐标为（a，b），
∴点Q（b，b），
∴BQ＝AQ＝a﹣b，
∵BQ⊥AQ，AQ∥x轴，
∴BQ⊥x轴，
∵Q（b，b），BQ＝a﹣b，
∴点B的坐标为（b，a）；
（3）过点B作BD//x轴，交直线OP于点D，
∵点A，点B关于直线OP对称，
∴BE＝AE，∠AEO＝∠BEO＝∠BED＝90°，
∵BD//x轴，
∴∠DBE＝∠OAE，
在△BDE和△AOE中，
，
∴△BDE≌△AOE（ASA），
∴BD＝OA＝a，
∵BD//x轴，点B纵坐标为，
∴点D纵坐标为，
∵直线OP上任意一点的横坐标与纵坐标的比都是1：2，
∴点D横坐标为，
∵BD＝a，
∴点B横坐标为，
得点B的坐标为．
【点评】本题考查了关于y轴对称的点的特征，平面直角坐标系中的点的坐标，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，解题关键在于构造全等三角形，求出相应线段的长度从而得到点的坐标．
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