2023-2024学年北京市海淀区育英学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市海淀区育英学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．1：2：3：4B．1：2：2：1C．1：1：2：2D．2：1：2：1
3．（3分）关于的叙述正确的是（ ）
A．在数轴上不存在表示的点
B．
C．
D．与最接近的整数是4
4．（3分）如图，已知点A的坐标为（1，2），则线段OA的长为（ ）
A．B．C．D．3
5．（3分）下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BCB．AB＝CD，AD∥BC
C．AB∥CD，AB＝CDD．∠A＝∠C，∠B＝∠D
6．（3分）估计的值应该在（ ）
A．0到1之间B．1到2之间C．2到3之间D．3到4之间
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（ ）
A．4B．4.4C．4.8D．5
8．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝4，∠D＝120°，AC平分∠DAB，P是对角线AC上的一个动点，点Q是AB边上的一个动点，则PB+PQ的最小值是（ ）
A．4B．C．D．3
二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．（2分）命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是 ．
11．（2分）如图，在湖的两侧有A，B两个观湖亭，为测定它们之间的距离．小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点D和BC中点E之间的距离为50米，则A，B之间的距离应为 米．
12．（2分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交CD和AB于点E、F，且AB＝7，BC＝4，∠DAB＝60°，那么图中阴影部分的面积为 ．
13．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为 ．
14．（2分）已知+|a﹣2|＝0，则＝ ．
15．（2分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ．
16．（2分）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，设AB＝4，则图中阴影部分面积为 ．
三、解答题：（本大题共10小题，第17题8分，第18-21题每小题8分，第22-25题每小题8分，
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（5分）已知x＝+1，y＝﹣1，求+的值．
19．（5分）如图，在▱ABCD中，M，N是AD，BC上的两点且DM＝BN，连接CM，AN．请写出线段CM和AN的关系，并证明．
20．（5分）已知，如图点M为∠BAC的边上的一个定点，点N为∠BAC内部的一个定点，连接MN，在∠BAC的内部求作一点P，使得∠APN＝∠AMN．下面是小兵设计的一种尺规作图过程．
①连接AN；
②作线段AN的垂直平分线m，交AN与点O；
③连接MO，并延长MO至P，使得PO＝MO；
则点P即为所求．
根据小兵设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规补全图形．（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：连接AP、PN，
∵直线m为线段AN的垂直平分线，
∴AO＝NO，
又∵PO＝MO，
∴四边形AMNP为平行四边形 （填推理依据），
∴∠APN＝∠AMN （填推理依据）．
21．（5分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点△ABC，使AB＝，AC＝，BC＝，请标出顶点位置，并判断△ABC形状为 三角形．
22．（6分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，已知CD＝6，AD＝10．请判断线段AD和BD的大小，并说明理由．
23．（6分）如图，在▱ABCD 中，F是CD的中点，延长AB到点E．使BE＝AB，连接BF、CE．
（1）求证：BF∥EC；
（2）若AB＝6，AD＝4，∠A＝60°．求CE的长．
24．（6分）小明在解方程 时采用了下面的方法：
（）（）＝（）2﹣（）2＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16
∵
∴
将这①②两式相加可得解得x＝﹣1．
经检验x＝﹣1是原方程的解．
请你学习小明的方法，解下列方程：
（1）方程的解是 （直接写出答案）；
（2）解方程．
25．（6分）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小．我们可以把a和b分别平方．
∵a2＝12，b2＝18，
则a2＜b2，
∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
（1）比较，的大小．
（2）猜想之间的大小，并证明．
（3）化简＝ （直接写出答案）．
26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，给定线段MN和图形F，给出如下定义：
平移线段MN至M'N'，使得线段M'N'上的所有点均在图形F上或其内部，则称该变换为线段MN到图形F的平移重合变换，线段MM'的长度称为该次平移重合变换的平移距离，其中，所有平移重合变换的平移距离中的最大值称为线段MN到图形F的最大平移距离，最小值称为线段MN到图形F的最小平移距离．
如图1，点A（1，0），P（﹣1，），Q（5，）
（1）①在图1中作出线段OA到线段PQ的平移重合变换（任作一条平移后的线段O'A'）；
②线段OA到线段PQ的最小平移距离是 ，最大平移距离是 ．
（2）如图2，作等边△PQR（点R在线段PQ的上方），
①求线段OA到等边△PQR最大平移距离．
②点B是坐标平面内一点，线段OB的长度为1，线段OB到等边△PQR的最小平移距离的最大值为 ，最大平移距离的最小值为 ．
2023-2024学年北京市海淀区育英学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分。共24分）
1．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、，是最简二次根式，符合题意；
B、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、＝|b|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
2．（3分）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．1：2：3：4B．1：2：2：1C．1：1：2：2D．2：1：2：1
【分析】根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，根据以上结论即可选出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，
即∠A和∠C的度数相等，∠B和∠D的度数相等，且∠B+∠C＝∠A+∠D，
故选：D．
【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
3．（3分）关于的叙述正确的是（ ）
A．在数轴上不存在表示的点
B．
C．
D．与最接近的整数是4
【分析】直接利用的性质，分别分析得出答案．
【解答】解：A、在数轴上存在表示的点，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、与最接近的整数是，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了无理数的估算，正确掌握实数的性质是解题的关键．
4．（3分）如图，已知点A的坐标为（1，2），则线段OA的长为（ ）
A．B．C．D．3
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解答】解：OA＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
5．（3分）下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD∥BCB．AB＝CD，AD∥BC
C．AB∥CD，AB＝CDD．∠A＝∠C，∠B＝∠D
【分析】根据平行四边形的判定（①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）判断即可．
【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项不符合题意；
B、根据AB＝CD，AD∥BC可能得出四边形是等腰梯形，不一定推出四边形ABCD是平行四边形，错误，故本选项符合题意；
C、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项不符合题意；
D、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定的应用，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
6．（3分）估计的值应该在（ ）
A．0到1之间B．1到2之间C．2到3之间D．3到4之间
【分析】先利用乘法分配律，进行计算，然后再估算出的值，即可解答．
【解答】解：
＝3×﹣×
＝3﹣3，
∵25＜27＜36，
∴5＜＜6，
∴5＜3＜6，
∴2＜3﹣3＜3，
∴估计的值应该在2到3之间，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则AC边上的高BD的长为（ ）
A．4B．4.4C．4.8D．5
【分析】过A作AE⊥BC于点E，根据勾股定理计算出底边上的高AE的长，然后计算三角形的面积，再以AC为底，利用三角形的面积计算出AC边上的高BD即可．
【解答】解：过A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AE⊥BC，
∴EB＝EC＝CB＝3，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝4，
∴△ABC的面积为•BC•AE＝×6×4＝12，
∴•AC•BD＝12，
5×BD＝12，
解得BD＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形底边上的高和中线重合．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝4，∠D＝120°，AC平分∠DAB，P是对角线AC上的一个动点，点Q是AB边上的一个动点，则PB+PQ的最小值是（ ）
A．4B．C．D．3
【分析】找出B点关于AC的对称点D，连接DQ交AC于P，则DQ就是PB+PE的最小值，求出即可．
【解答】解：在▱ABCD中，AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠ACD，
∴AD＝DC，
∴▱ABCD是菱形，
连接DQ交AC于P，连接DB，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD＝PB，
∴PQ+PB＝PQ+PD＝DQ，
即DE就是PB+PQ的最小值，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∵AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
当DQ⊥AB时，DQ的值最小，此时AQ＝BQ，
在Rt△ADE中，DQ＝＝2．
∴PB+PE的最小值为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥3 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣3≥0，再求出答案即可．
【解答】解：要使二次根式有意义，必须x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记二次根式有意义的条件（式子中a≥0）是解此题的关键．
10．（2分）命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ．
【分析】把一个命题的题设和结论互换就可得到它的逆命题．
【解答】解：“平行四边形对角线互相平分”的条件是：四边形是平行四边形，结论是：四边形的对角线互相平分．
所以逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
11．（2分）如图，在湖的两侧有A，B两个观湖亭，为测定它们之间的距离．小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点D和BC中点E之间的距离为50米，则A，B之间的距离应为 100 米．
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：∵点D、E分别为AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE＝100（米），
故答案为：100．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
12．（2分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交CD和AB于点E、F，且AB＝7，BC＝4，∠DAB＝60°，那么图中阴影部分的面积为 7 ．
【分析】由平行四边形的性质可知阴影部分面积为平行四边形面积的一半，进而可求出结果．
【解答】解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
∴S△DEO＝S△BOF，
∴阴影部分面积等于△ACD的面积，即为▱ABCD面积的一半，
过点B作BP⊥CD于点P，
∵CD＝AB＝7，∠DAB＝60°，
∴CP＝3.5，BP＝，
∴S平行四边形ABCD＝CD•BP＝，
∴阴影部分面积为7，
故答案为：7．
【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质是解题关键．
13．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为 3﹣4或3+4 ．
【分析】当点P在CA延长线上时，当点P在AC延长线上时，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝3，
当点P在CA延长线上时，∵BP＝6，BC＝6，
∴CP＝＝＝3，
∴AP＝CP﹣AC＝3﹣4；
当点P在AC延长线上时，∵BP′＝6，BC＝3，
∴CP′＝3，
∴AC+CP′＝4+3，
综上所述，线段AP的长为3﹣4或3+4；
故答案为：3﹣4或3+4．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14．（2分）已知+|a﹣2|＝0，则＝ +2 ．
【分析】根据非负数的性质以及二次根式的性质可得b+1＝0，a﹣2＝0，则b＝﹣1，a＝2，将原式化简为+，代入计算即可．
【解答】解：＝+，
∵+|a﹣2|＝0，
∴b+1＝0，a﹣2＝0，
∴b＝﹣1，a＝2，
∴+＝+2．
故答案为：+2．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、非负数的性质：绝对值、二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
15．（2分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 4 ．
【分析】结合数轴得出：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，进而化简二次根式得出答案．
【解答】解：由数轴可得：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，
故a﹣b＜0，a+2＞0，b﹣2＜0，
则
＝b﹣a+a+2+2﹣b
＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
16．（2分）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，设AB＝4，则图中阴影部分面积为 16+8 ．
【分析】设小直角三角形的较长边长为a，较小直角边长为b，根据题意求出b的值，再根据图形表示出阴影部分的面积即可求解．
【解答】解：设小直角三角形的较长边长为a，较小直角边长为b，
则a﹣b＝4，
∵直角三角形的一个锐角为30°，
∴a＝b，
∴b＝2+2，
由图②可知，阴影部分的面积＝[]×4
＝2b2
＝2（2+2）2
＝16+8，
故答案为：16+8．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键．
三、解答题：（本大题共10小题，第17题8分，第18-21题每小题8分，第22-25题每小题8分，
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先利用二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝4+2﹣2+2
＝6；
（2）原式＝2+3+2﹣
＝2+3+2﹣
＝4+2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
18．（5分）已知x＝+1，y＝﹣1，求+的值．
【分析】根据x＝+1，y＝﹣1，可以得到xy和x+y的值，然后将所求式子变形，再将xy和x+y的值代入计算即可．
【解答】解：∵x＝+1，y＝﹣1，
∴xy＝1，x+y＝2，
∴+
＝
＝
＝
＝
＝6．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19．（5分）如图，在▱ABCD中，M，N是AD，BC上的两点且DM＝BN，连接CM，AN．请写出线段CM和AN的关系，并证明．
【分析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，根据线段的和差求出AM＝CN，进而推出四边形ANCM是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得解．
【解答】解：CM＝AN，CM∥AN，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵DM＝BN，
∴AM＝CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴CM＝AN，CM∥AN．
【点评】此题考查平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
20．（5分）已知，如图点M为∠BAC的边上的一个定点，点N为∠BAC内部的一个定点，连接MN，在∠BAC的内部求作一点P，使得∠APN＝∠AMN．下面是小兵设计的一种尺规作图过程．
①连接AN；
②作线段AN的垂直平分线m，交AN与点O；
③连接MO，并延长MO至P，使得PO＝MO；
则点P即为所求．
根据小兵设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规补全图形．（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：连接AP、PN，
∵直线m为线段AN的垂直平分线，
∴AO＝NO，
又∵PO＝MO，
∴四边形AMNP为平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 （填推理依据），
∴∠APN＝∠AMN 平行四边形对角相等 （填推理依据）．
【分析】（1）按照要求作图即可．
（2）根据平行四边形的判定与性质可得答案．
【解答】（1）解：如图所示．
（2）证明：连接AP、PN，
∵直线m为线段AN的垂直平分线，
∴AO＝NO，
又∵PO＝MO，
∴四边形AMNP为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴∠APN＝∠AMN（平行四边形对角相等）．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；平行四边形对角相等．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的作法是解答本题的关键．
21．（5分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点△ABC，使AB＝，AC＝，BC＝，请标出顶点位置，并判断△ABC形状为 等腰直角 三角形．
【分析】先找到A，B，C的位置，再判断三角形形状．
【解答】解：如图：∵AB＝AC＝，BC＝，
∴AB2+AC2＝10+10＝20，BC2＝20，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
【点评】本题考查直角三角形的判定，掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是求解本题的关键．
22．（6分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，已知CD＝6，AD＝10．请判断线段AD和BD的大小，并说明理由．
【分析】先判断，然后根据勾股定理可以求得AE、BE和BD的长，然后即可判断AD和BD的大小．
【解答】解：AD＜BD，
理由：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，CD＝6，
∴DE＝DC＝6，∠CBD＝∠EBD，∠C＝∠DEB＝90°，
∴AE＝＝＝8，
在△DCB和△DEB中，
，
∴△DCB≌△DEB（AAS），
∴BC＝BE，
设BC＝x，则AB＝x+8，
∵∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
即（10+6）2+x2＝（x+8）2，
解得x＝12，
即BE＝12，
∴BD＝＝＝6，
∵10＜6，
∴AD＜BD．
【点评】本题考查勾股定理、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（6分）如图，在▱ABCD 中，F是CD的中点，延长AB到点E．使BE＝AB，连接BF、CE．
（1）求证：BF∥EC；
（2）若AB＝6，AD＝4，∠A＝60°．求CE的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，且AB＝DC，再证CF＝BE，然后根据平行四边形的判定定理推出四边形BECF是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；
（2）过点C作CH⊥BE于点H．解直角三角形得到BH＝CB＝2，CH＝2，再根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∵F是CD的中点，
∴CF＝CD，
又∵BE＝AB，
∴CF＝BE，
∵CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形，
∴BF∥EC；
（2）解：如图，过点C作CH⊥BE于点H．
在▱ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，
∴∠CBE＝∠A＝60°．
∵AB＝6，AD＝4，
∴CD＝AB＝6，CB＝AD＝4，
在Rt△BCH中，∠BCH＝90°﹣∠CBE＝30°，
∴BH＝CB＝2，
∴CH＝＝＝2，
由（1）可知，四边形BECF是平行四边形，
∴BE＝CF＝CD＝3，
∴EH＝BE﹣BH＝3﹣2＝1，
在Rt△CHE中，根据勾股定理得：CE＝＝＝．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
24．（6分）小明在解方程 时采用了下面的方法：
（）（）＝（）2﹣（）2＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16
∵
∴
将这①②两式相加可得解得x＝﹣1．
经检验x＝﹣1是原方程的解．
请你学习小明的方法，解下列方程：
（1）方程的解是 x＝ （直接写出答案）；
（2）解方程．
【分析】（1）利用二次根式的特征，利用平方差公式得到方程（+）（﹣）＝4，则可得到﹣＝1，再利用加减法得到2＝5，然后解简单的无理方程即可；
（2）利用二次根式的特征，利用平方差公式得到方程（﹣）（+）＝12x，则+＝6x，再利用加减法得到＝3x+1，然后解简单的无理方程即可．
【解答】解：（1）∵（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝x+6﹣（x+2）＝4，
而+＝4①，
∴﹣＝1②，
①+②得2＝5，
解得x＝，
经检验x＝是原方程的解；
故答案为：；
（2）∵（﹣）（+）＝（）2﹣（）2＝9x2+8x﹣3﹣（9x2﹣4x﹣3）＝12x，
而﹣＝2①，
∴+＝6x②，
①+②得2＝6x+2，
即＝3x+1，
两边平方得9x2+8x﹣3＝9x2+6x+1，
解得x＝2，
经检验x＝2是原方程的解．
【点评】本题考查了解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解．在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法；用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
25．（6分）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小．我们可以把a和b分别平方．
∵a2＝12，b2＝18，
则a2＜b2，
∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
（1）比较，的大小．
（2）猜想之间的大小，并证明．
（3）化简＝ （直接写出答案）．
【分析】（1）利用平方法，通过比较c2与d2的大小得到c与d的大小；
（2）先计算出m2和n2的平方得到m2＝26+4，n226+4，然后比较与的大小得到m与n的大小；
（3）利用完全平方公式表示原式变形为＝+2，再利用二次根式的性质化简得到原式＝|﹣1|+2+2，接着进行讨论：当1≤p≤2时，原式＝1﹣+2+2；当p＞2时，原式＝﹣1+2+2，最后合并即可．
【解答】解：（1）∵c＝4，d＝2，
∴c2＝（4）2＝32，d2＝（2）2＝28，
∵32＞28，
∴c＞d；
（2）m＜n．
理由如下：
∵m＝2+，n＝2+，
∴m2＝（2+）2＝20+4+6＝26+4，
n2＝（2+）2＝12+4+14＝26+4，
∵4＜4，
∴m2＜n2，
∴m＜n；
（3）
＝+2
＝+2
＝+2
＝|﹣1|+2|+1|
＝|﹣1|+2+2，
∵p﹣1≥0，
∴p≥1，
当1≤p≤2时，原式＝1﹣+2+2＝+3；
当p＞2时，原式＝﹣1+2+2＝3+1，
综上所述，原式＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和完全平方公式是解决问题的关键．
26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，给定线段MN和图形F，给出如下定义：
平移线段MN至M'N'，使得线段M'N'上的所有点均在图形F上或其内部，则称该变换为线段MN到图形F的平移重合变换，线段MM'的长度称为该次平移重合变换的平移距离，其中，所有平移重合变换的平移距离中的最大值称为线段MN到图形F的最大平移距离，最小值称为线段MN到图形F的最小平移距离．
如图1，点A（1，0），P（﹣1，），Q（5，）
（1）①在图1中作出线段OA到线段PQ的平移重合变换（任作一条平移后的线段O'A'）；
②线段OA到线段PQ的最小平移距离是 ，最大平移距离是 ．
（2）如图2，作等边△PQR（点R在线段PQ的上方），
①求线段OA到等边△PQR最大平移距离．
②点B是坐标平面内一点，线段OB的长度为1，线段OB到等边△PQR的最小平移距离的最大值为 +1 ，最大平移距离的最小值为 2﹣1 ．
【分析】（1）①依照题意画出图形即可；
②当OA沿y轴平移到PQ上时，有最小平移距离为，如图，当点A'与点Q重合时，有最大平移距离OO'的长；
（2）①当O'在BP上，点A'在RQ时，线段OA到等边△PQR有最大平移距离为OO'的长，由等边三角形的性质和勾股定理可求解；
②找出特殊位置，由平移的性质可求解．
【解答】解：（1）①如图所示：
②当OA沿y轴平移到PQ上时，有最小平移距离为，
如图，当点A'与点Q重合时，有最大平移距离OO'的长，
∵O'Q＝OA＝1，
∴OO'＝＝，
故答案为：，；
（2）①如图，当O'在BP上，点A'在RQ时，线段OA到等边△PQR有最大平移距离为OO'的长，
过点R作RH⊥PQ于H，交A'O'于点N，延长A'O'交y轴于M，
∵△PQR是等边三角形，P（﹣1，），Q（5，），RH⊥PQ，
∴PQ＝6，PH＝3，RH＝3，
∴R（2，4），
由平移可得：O'A'∥PQ，A'O'＝1，
∴∠RO'A'＝∠P＝60°，∠RA'O'＝∠Q＝60°，
∴△RA'O'是等边三角形，
∵RN⊥O'A'，
∴O'N＝，RN＝，
∴O'M＝，OM＝，
∴OO'＝＝，
∴线段OA到等边△PQR有最大平移距离为；
②如图，当点B坐标为（0，﹣1）时，将OB沿y轴平移，当点B'平移到PQ上时，线段OB到等边△PQR的最小平移距离为BB'的长，
∵OB＝1，P（﹣1，），Q（5，），
∴BB'＝+1，
∴线段OB到等边△PQR的最小平移距离为+1，
如图，连接OR，当点B在线段OR上时，将点B'与R重合时，线段OB到等边△PQR的最大平移距离的最小值为BB'的长，
∵R（2，4），
∴OR＝＝2，
∵OB＝1，
∴BB'＝2﹣1，
∴线段OB到等边△PQR的最大平移距离的最小值为2﹣1，
故答案为：+1，2﹣1．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，平移的性质，勾股定理等知识，掌握平移重合变换的平移距离的定义并运用是解题的关键．
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