2023-2024学年北京市海淀外国语实验学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市海淀外国语实验学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）现有两根长度分别这3cm和6cm的木棒，若要钉成一个三角形木棒，则第三根木棒长可以为（ ）
A．2cmB．3cmC．5cmD．9cm
4．（3分）三角形的下列线中，能将三角形分成面积相等的两部分的是（ ）
A．中线B．角平分线
C．高线D．垂直平分线
5．（3分）如图所示，已知△ABC的五个元素，右侧甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（ ）
A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙
6．（3分）点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A'的坐标为（ ）
A．（﹣3，2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（2，﹣3）
7．（3分）如图，在等边三角形ABC中，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A在BC边上的点D位置．且ED⊥BC．则∠EFD＝（ ）
A．45°B．50°C．40°D．55°
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，C（4，4），点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA+OB等于（ ）
A．8B．9C．10D．11
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（3分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 ．
10．（3分）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则该三角形的周长是 ．
11．（3分）如图，△ABC中，D、E分别是BC，AD的中点，△ABC的面积是20，则阴影部分的面积是 ．
12．（3分）如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C＝90°，则图中∠1+∠2的度数为 °．
13．（3分）如图，△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝6cm，则DE＝ cm．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，EF为AC的中垂线，若EC＝7，则BE的长为 ．
15．（3分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是 ．
16．（3分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B是x轴上的一个动点．以AB为边向右侧作等边三角形ABC，连接OC，在运动过程中，OC的最小值为 ．
三、解答题（共52分）
17．（5分）如图，在△ABC中，D是边AB上的点．尺规作图：过点D作DE∥BC，与边AC交于点E．（保留作图痕迹）
18．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠DAE＝40°，AD是BC边上的高线，AE平分∠BAC，求∠ACB的度数．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，﹣2）、B（2，﹣4）、C（4，﹣1）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标；
（2）在x轴上画一点P，使PA+PC最小．
20．（5分）如图：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是BC边上的高．求证：AB+BD＝DC．
21．（6分）如图，在△ABC中，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BE＝CF．求证：AD平分∠BAC．
请你补全下述证明过程：
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF．（ ）
∴DE＝DF．
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC．
∴AD平分∠BAC．（ ）
22．（6分）如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，CD∥AB，求证：CD＝AB．
23．（6分）如图，在△ABC与△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，EF⊥AB，AB＝DE．
（1）求证：BC＝DB；
（2）若BD＝8cm，求AC的长．
24．（6分）如图1和2，△ABC中，BE平分∠ABC交AC边于点E，
（1）过点E作DE∥BC交AB于点D，求证：△BDE为等腰三角形；
（2）若AB＝AC，AF⊥BD，∠ACD＝∠ABC，判断BF、CD、DF的数量关系，并说明理由．
25．（8分）如图1所示，已知点P（3，﹣3），有以点P为顶点的直角的两边分别与x轴、y轴相交于点M、N．
（1）试说明PM＝PN；
（2）若点M坐标为（m，0），点N坐标为（0，n），请直接写出m与n之间的数量关系；
（3）如图2所示，过点P作线段AB，交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，使得点P为AB中点，且OA＝OB，绕着顶点P旋转直角∠MPN，使得一边交x轴正半轴于点M，另一边交y轴正半轴于点N，此时，PM和PN是否还相等，请说明理由；
（4）在（3）条件下，请直接写出S△PBN﹣S△PAM的值．
26．（3分）科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）
A．12米B．16米C．18米D．20米
27．（3分）在桌球运动中，正面击球时球碰到球桌边缘会发生反弹，如图建立平面直角坐标系，动点P从（0，2）出发，沿如图所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2023次碰到长方形的边时，点P2023的坐标为 ．
28．（8分）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．在下面每个网格中画出一种符合要求的图形（画出三种即可）．
29．（6分）新定义：如图1和图2中，点P是平面内一点，如果或，称点P是线段AB的友好点．
（1）如图3，Rt△DEF中，∠E＝90°，∠D＝30°，问：点F是否是线段DE的友好点？请说明理由；
（2）如图4，Rt△DEF中，∠DEF＝90°，F是线段DE的友好点（DF＞DE），FH是Rt△DEF的角平分线，求证：点H是线段DE上的友好点．
2023-2024学年北京市海淀外国语实验学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．
2．（3分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：A，C，D都不是△ABC的边AB上的高，
故选：B．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
3．（3分）现有两根长度分别这3cm和6cm的木棒，若要钉成一个三角形木棒，则第三根木棒长可以为（ ）
A．2cmB．3cmC．5cmD．9cm
【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的范围，判断即可．
【解答】解：设第三根木棒长为x cm，
则6﹣3＜x＜6+3，即3＜x＜9，
∴四个选项中，第三根木棒长可以为5cm，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、两边差小于第三边是解题的关键．
4．（3分）三角形的下列线中，能将三角形分成面积相等的两部分的是（ ）
A．中线B．角平分线
C．高线D．垂直平分线
【分析】根据三角形中线的性质可求解．
【解答】解：三角形的中线把三角形分成等底同高的两个三角形，
∴三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形的面积，三角形的中线，高线，角平分线，垂直平分线，根据三角形中线的性质可判定求解．
5．（3分）如图所示，已知△ABC的五个元素，右侧甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（ ）
A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙
【分析】根据三角形全等的判定定理即可进行解答．
【解答】解：图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和△ABC不全等；
图乙符合SAS定理，即图乙和△ABC全等；
图丙符合AAS定理，即图丙和△ABC全等；
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是在熟练掌握三角形全等的判定定理．
6．（3分）点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A'的坐标为（ ）
A．（﹣3，2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（2，﹣3）
【分析】利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：∵点A（﹣3，2）关于x轴的对称点为A′，
∴A′点的坐标为：（﹣3，﹣2）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
7．（3分）如图，在等边三角形ABC中，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A在BC边上的点D位置．且ED⊥BC．则∠EFD＝（ ）
A．45°B．50°C．40°D．55°
【分析】由翻折的性质可知∠AFE＝∠EFD，在Rt△EDC中，由三角形内角和求解即可．
【解答】解：由翻折的性质可知；∠AFE＝∠EFD．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，∠C＝60°，∠A＝∠EDF＝60°．
∵ED⊥BC，
∴△EDC为直角三角形，
∴∠FDB＝30°，
∴∠AFE+∠EFD＝60°+30°＝90°，
∴∠EFD＝45°．
故选：A．
【点评】本题主要考查是翻折的性质，关键是根据等边三角形的性质和翻折的性质解答．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，C（4，4），点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠ACB＝90°，则OA+OB等于（ ）
A．8B．9C．10D．11
【分析】过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N，证△ACM≌△BCN，推出AM＝BN，即可解决问题．
【解答】解：过C作CM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N，
则∠CMA＝∠CNB＝90°，
∵C（5，5），
∴CN＝CM＝5，
∵∠MON＝∠CNO＝∠CMO＝90°，
∴∠MCN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠MCN，
∴∠ACM＝∠BCN，
在△ACM和△BCN中，
，
∴△ACM≌△BCN（ASA），
∴AM＝BN，
∴OA+OB＝OA+0N+BN＝OA+ON+AM＝ON+OM＝4+4＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质和判定，四边形的内角和定理，坐标与图形性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（3分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为 7 ．
【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则有
（n﹣2）×180°＝900°，
解得：n＝7，
∴这个多边形的边数为7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．
10．（3分）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则该三角形的周长是 12 ．
【分析】根据2和5可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解．
【解答】解：当2为腰时，三边为2，2，5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+2＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
11．（3分）如图，△ABC中，D、E分别是BC，AD的中点，△ABC的面积是20，则阴影部分的面积是 5 ．
【分析】根据三角形的中线将三角形面积分为相等的两部分可知，S△ABC＝2S△ADC，S△ADC＝2S△AEC，根据△ABC的面积是20解答即可．
【解答】解：∵△ABC中，D、E分别是BC，AD的中点，
∴AD是△ABC的中线，CE是△ADC的中线，
∴S△ABC＝2S△ADC，S△ADC＝2S△AEC，
∴S△ABC＝4S△AEC，
∵△ABC的面积是20，
∴△AEC的面积为5，
即阴影部分的面积是5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分，知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键．
12．（3分）如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C＝90°，则图中∠1+∠2的度数为 270 °．
【分析】由三角形的内角和定理求解∠A+∠B＝90°，再结合四边形的内角和定理可得答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°，
故答案为：270．
【点评】本题考查的是三角形的内角和定理与四边形的内角和定理的应用，熟记三角形的内角和与四边形的内角和是解本题的关键．
13．（3分）如图，△ABD≌△EBC，AB＝3cm，BC＝6cm，则DE＝ 3 cm．
【分析】全等得到BC＝BD，AB＝BE，即可得解．
【解答】解：∵△ABD≌△EBC，
∴BE＝AB＝3cm，BD＝BC＝6cm，
∴DE＝BD﹣BE＝3cm；
故答案为：3．
【点评】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，EF为AC的中垂线，若EC＝7，则BE的长为 3 ．
【分析】根据中垂线的性质可得AE＝EC＝7，最后计算BE＝AB﹣AE即可．
【解答】解：∵EF为AC的中垂线，
∴AE＝EC＝7，
∵AB＝10，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣7＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查中垂线的性质，较简单，熟记性质是关键．
15．（3分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是 三角形的稳定性 ．
【分析】由图可得，固定窗钩BC即，是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故应填：三角形的稳定性．
【点评】本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题．
16．（3分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B是x轴上的一个动点．以AB为边向右侧作等边三角形ABC，连接OC，在运动过程中，OC的最小值为 3 ．
【分析】以OA为边向左侧作等边△AOE，连接BE，先证出△ABE≌△ACO，根据全等三角形的性质可得BE＝OC，再根据垂线段最短可得当BE⊥x轴，BE的值最小，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得．
【解答】解：如图，以OA为边向左侧作等边△AOE，连接BE，
∴OA＝EA＝OE，∠OAE＝∠AOE＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠BAC﹣∠OAB＝60°﹣∠OAB＝∠OAE﹣∠OAB，即∠OAC＝∠EAB，
在△ABE和△ACO中，
，
∴△ABE≌△ACO（SAS），
∴BE＝OC，
由垂线段最短可知，当BE⊥x轴，BE的值最小，
∵点A的坐标是（0，6），
∴OA＝6，
∴OE＝6，
又∵∠AOE＝60°，∠AOB＝90°，
∴∠BOE＝30°，
则在Rt△BOE中，，
所以在运动过程中，OC的最小值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
三、解答题（共52分）
17．（5分）如图，在△ABC中，D是边AB上的点．尺规作图：过点D作DE∥BC，与边AC交于点E．（保留作图痕迹）
【分析】以D为顶点，DA为一边，作∠ADE＝∠B，DE即为所求．
【解答】解：以D为顶点，DA为一边，作∠ADE＝∠B，如图：
DE即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法．
18．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠DAE＝40°，AD是BC边上的高线，AE平分∠BAC，求∠ACB的度数．
【分析】由AD⊥BC，可得出∠ADB＝90°，结合三角形内角和定理，可求出∠BAD的度，将其代入∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE中，可求出∠BAE的度数，由AE平分∠BAC，利用角平分线的定义，可求出∠BAC的度数，再在△ABC中，利用三角形内角和定理，即可求出∠ACB的度数．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝60°﹣40°＝20°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAE＝2×20°＝40°．
在△ABC中，∠B＝30°，∠BAC＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、垂线以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
19．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，﹣2）、B（2，﹣4）、C（4，﹣1）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标；
（2）在x轴上画一点P，使PA+PC最小．
【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置．
【解答】解：（1）如图所示，
∵B（2，﹣4）关于y轴对称的点B1（﹣2，﹣4），
C（4，﹣1）关于y轴对称的点C1（﹣4，﹣1），
∴连接AC1，AB1，B1C1，
∴△AB1C1，即为所求，B1（﹣2，﹣4）；
（2）如图所示，找点A关于x轴对称点D，连接CD交x轴于点P，
∴PA＝PD，
∴PA+PC＝PD+PC，
即点D，P，C三点共线，
∵两点之间线段最短，
∴点P即为所求．
【点评】此题考查了作图—轴对称，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质及两点之间线段最短．
20．（5分）如图：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是BC边上的高．求证：AB+BD＝DC．
【分析】先在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE，利用∠B＝2∠C，求证△ACE是等腰三角形，然后利用等量代换即可求证结论．
【解答】证明：在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE，
∵AD⊥BC，
∴AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B，
∵∠B＝2∠C，
∴∠AEB＝2∠C，
∴∠EAC＝∠AEB﹣∠C＝2∠C﹣∠C＝∠C，
∴AE＝CE，
∴CE＝AE＝AB，
∴DC＝DE+CE＝AB+BD，
∴AB+BD＝DC．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，证明此题的关键是在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE，这也是此题的突破点．
21．（6分）如图，在△ABC中，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BE＝CF．求证：AD平分∠BAC．
请你补全下述证明过程：
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF．（ HL ）
∴DE＝DF．
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC．
∴AD平分∠BAC．（ 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 ）
【分析】由DE⊥AB，DF⊥AC，得∠BED＝∠CFD＝90°即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△DBE≌Rt△DCF，得DE＝DF，再根据“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”证明AD平分∠BAC，于是得到问题的答案．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED＝∠CFD＝90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
故答案为：BE，CF，HL，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上等知识，证明Rt△DBE≌Rt△DCF是解题的关键．
22．（6分）如图，点C，F，E，B在一条直线上，∠CFD＝∠BEA，CE＝BF，CD∥AB，求证：CD＝AB．
【分析】证明△CFD≌△BEA即可作答．
【解答】证明：∵CD∥AB，
∴∠C＝∠B，
∵CE＝BF，
∴CE﹣EF＝BF﹣EF，
∴CF＝BE，
又∵∠CFD＝∠BEA，
∴△CFD≌△BEA（AAS），
∴CD＝AB．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确全等三角形的判定是解答本题的关键．
23．（6分）如图，在△ABC与△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，EF⊥AB，AB＝DE．
（1）求证：BC＝DB；
（2）若BD＝8cm，求AC的长．
【分析】（1）由DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB＝90°，由∠ACB＝90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A＝90°，根据同角的余角相等，可得∠A＝∠DEB，然后根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD＝BC；
（2）由（1）可知△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等，得到AC＝BE，由E是BC的中点，得到BE＝．
【解答】解：（1）∵DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，
∴∠ABC+∠DEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝∠DEB，
在△ABC和△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴BD＝BC；
（2）∵△ABC≌△EDB，
∴AC＝BE，
∵E是BC的中点，BD＝8cm，
∴BE＝cm．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．
24．（6分）如图1和2，△ABC中，BE平分∠ABC交AC边于点E，
（1）过点E作DE∥BC交AB于点D，求证：△BDE为等腰三角形；
（2）若AB＝AC，AF⊥BD，∠ACD＝∠ABC，判断BF、CD、DF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由角平分线和平行线的性质可得到∠BDE＝∠DEB，可证得结论；
（2）延长CD到M，使得CM＝BD，连接AM，过点A作AN⊥CM于点N，则△ABD≌△ACM，根据全等三角形的性质可得出AD＝AM，∠ADB＝∠AMC，利用全等三角形的判定定理AAS可证出△ADF≌△ADN，根据全等三角形的性质可得出DF＝DN＝MN，再结合BD＝CM即可找出BF＝CD+DF．
【解答】（1）证明：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴BD＝ED，
∴△DBE为等腰三角形；
（2）解：在图2中，延长CD到M，使得CM＝BD，连接AM，过点A作AN⊥CM于点N，
∵BE平分∠ABC，∠ACD＝∠ABC，
∴∠ACM＝∠ABD．
在△ABD和△ACM中，，
∴△ABD≌△ACM（SAS），
∴AD＝AM，∠ADB＝∠AMC，
∴∠AMD＝∠ADM，
∴∠ADF＝ADN．
∵AN⊥DM，
∴DN＝MN．
在△ADF和△ADN中，，
∴△ADF≌△ADN（AAS），
∴DF＝DN＝MN．
∵BD＝CM，
∴BF＝BC﹣DF＝CM﹣MN＝CN＝CD+DN＝CD+DF．
即BF＝CD+DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（8分）如图1所示，已知点P（3，﹣3），有以点P为顶点的直角的两边分别与x轴、y轴相交于点M、N．
（1）试说明PM＝PN；
（2）若点M坐标为（m，0），点N坐标为（0，n），请直接写出m与n之间的数量关系；
（3）如图2所示，过点P作线段AB，交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，使得点P为AB中点，且OA＝OB，绕着顶点P旋转直角∠MPN，使得一边交x轴正半轴于点M，另一边交y轴正半轴于点N，此时，PM和PN是否还相等，请说明理由；
（4）在（3）条件下，请直接写出S△PBN﹣S△PAM的值．
【分析】（1）过点P作PG⊥x轴于点G，PH⊥y轴于点H，证明△PGM≌△PHN，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）根据△PGM≌△PHN得到GM＝HN，根据坐标与图形性质解答即可；
（3）连接OP，证明△PON≌△PAM，根据全等三角形的性质证明即可；
（4）根据全等三角形的性质得到S△PAM＝S△PON，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】（1）证明：如图1，过点P作PG⊥x轴于点G，PH⊥y轴于点H，
则四边形OHPG为矩形，
∵点P的坐标为（3，﹣3），
∴PG＝PH＝3，
∴矩形OHPG为正方形，
∴∠GPH＝90°，
∵∠MPN＝∠GPH＝90°，
∴∠GPM＝∠HPN，
在△PGM和△PHN中，
，
∴△PGM≌△PHN（ASA），
∴PM＝PN；
（2）解：∵△PGM≌△PHN，
∴GM＝HN，即3﹣m＝﹣3﹣n，
整理得：m﹣n＝6；
（3）解：PM＝PN，
理由如下：如图2，连接OP，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，P为AB的中点，
∴OP⊥AB，∠BOP＝∠POA＝45°，OP＝AB＝PA，
∴∠PON＝∠PAM＝135°，
∵∠OPA＝∠MPN＝90°，
∴∠OPN＝∠APM，
在△PON和△PAM中，
，
∴△PON≌△PAM（ASA），
∴PM＝PN；
（4）解：∵点P的坐标为（3，﹣3），
∴OP＝＝3＝BP，
∴S△OPB＝×3×3＝9，
∵△PON≌△PAM，
∴S△PBN﹣S△PAM＝S△PBN﹣S△PON＝S△OPB＝9．
【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
26．（3分）科技馆为某机器人编制了一个程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）
A．12米B．16米C．18米D．20米
【分析】先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形，
∵每一次都是左转20°，
∴多边形的边数＝360°÷20°＝18，
周长＝18×1＝18（米）．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，判断出走过的路线是正多边形是解题的关键．
27．（3分）在桌球运动中，正面击球时球碰到球桌边缘会发生反弹，如图建立平面直角坐标系，动点P从（0，2）出发，沿如图所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第2023次碰到长方形的边时，点P2023的坐标为 （2，0） ．
【分析】依照题意画出图形，再根据轴对称的性质写出前面7个点的坐标，再归纳出规律，利用规律解题即可．
【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．
∵P（0，2），P1（2，0），P2（6，4），
∴P3（8，2），P4（6，0），P5（2，4），P6（0，2），P7（2，0），…，
∴Pn的坐标以6为循环单位循环．
∵2023÷6＝337⋅⋅⋅1，
∴点P2023的坐标是（2，0），
故答案为：（2，0）．
【点评】本题考查的轴对称的性质，坐标规律探究，熟练的利用轴对称的性质得到坐标的变化规律是解本题的关键．
28．（8分）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．在下面每个网格中画出一种符合要求的图形（画出三种即可）．
【分析】根据轴对称的性质设计出图案即可．
【解答】解：如图所示．
．
【点评】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
29．（6分）新定义：如图1和图2中，点P是平面内一点，如果或，称点P是线段AB的友好点．
（1）如图3，Rt△DEF中，∠E＝90°，∠D＝30°，问：点F是否是线段DE的友好点？请说明理由；
（2）如图4，Rt△DEF中，∠DEF＝90°，F是线段DE的友好点（DF＞DE），FH是Rt△DEF的角平分线，求证：点H是线段DE上的友好点．
【分析】（1）根据友好点的定义证明即可；
（2）根据F是线段DE的友好点得到DF＝2EF，推导出∠D＝30°，根据角平分线得到角EFH＝∠HFD＝30°，从而得到HF＝HD，线段等量代换即可得到证明．
【解答】（1）解：点F是线段DE的友好点，理由如下：
∵Rt△DEF中，∠E＝90°，∠D＝30°，
∴EF＝FD，
∴点F是线段DE的友好点．
（2）证明：∵F是线段DE的友好点（DF＞DE），
∴，
∴DF＝2EF，
∴Rt△DEF中，∠D＝30°，
∵∠E＝90°，
∴∠DFE＝60°，
∵FH是Rt△DEF的角平分线，
∴∠EFH＝∠HFD＝30°，
在Rt△FHE中，∠EFH＝30°，
∴HF＝2HE，
∴，
∵∠HFD＝∠D＝30°，
∴HF＝HD，
∴，
∴点H是线段DE的友好点．
【点评】本题考查了特殊三角形的边角关系，理解新定义是解答本题的关键．
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