2023-2024学年北京市密云区九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市密云区九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共29页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）一元二次方程3x2+x﹣7＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，1，7B．3，1，﹣7C．3，0，﹣7D．3，0，7
2．（2分）每年的4月22日是世界地球日，2023年世界地球日的主题是“众生的地球”．某校在此期间组织学生开展“爱护地球”图标设计征集活动，如图所示图标是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2分）用配方法解方程x2+6x﹣1＝0，变形后结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝10B．（x+3）2＝7C．（x﹣3）2＝10D．（x﹣3）2＝7
4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，5）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣5）B．（5，﹣2）C．（2，5）D．（2，﹣5）
5．（2分）抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2+3B．y＝﹣x2﹣3C．y＝﹣（x+3）2D．y＝﹣（x﹣3）2
6．（2分）如图，AD是△ABD的外接圆⊙O的直径，若∠ACB＝50°，则∠BAD等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．（2分）关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，以下说法正确的是（ ）
A．当 x＞﹣1 时，y随x增大而减小
B．当x＞﹣1时，y随x增大而增大
C．当x＞1时，y随x增大而减小
D．当x＞1时，y随x增大而增大
8．（2分）用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为x m，它的邻边长为y m，矩形的面积为S m2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x、S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系
D．正比例函数关系，一次函数关系
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个根为1，则m的值为 ．
10．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则方程ax2+bx+c＝0的解为 ．
11．（2分）⊙O的半径为6cm，若圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是 ．
12．（2分）写出一个开口向上，与y轴交于点（0，4）的抛物线的函数表达式： ．
13．（2分）若一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 ．
14．（2分）如图所示，△ABC绕点P顺时针旋转得到△DEF，则旋转的角度是 ．
15．（2分）若M（x1，5），N（x2，5）两点都在抛物线y＝x2﹣4x﹣3上，则x1+x2＝ ．
16．（2分）如图，AB是⊙O直径，C、D是⊙O上的两点，且OD∥BC，连接AC和BD．下列四个结论中：
①；
②OD垂直平分AC；
③BD＝AC；
④∠AOD＝2∠DBC．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共68分，其中17-22每题5分，23-26每题6分，27、28题每题7分）
17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣12＝0．
18．（5分）下面是小玲设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图所示．
①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径在直线l上方画半圆，交直线l于A，B两点；
②连接PA，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小玲设计的尺规作图过程，解决问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接BP和BQ，
∵AP＝BQ，
∴＝ ，
∴∠PBA＝∠QPB（ ）（填推理的依据），
∴PQ∥l．
19．（5分）已知二次函数y＝x2+4x+3．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2+4x+3的图象；
（3）结合函数图象：当y＜0时，直接写出x的取值范围．
20．（5分）如图，A、B、C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为8cm，∠ACB＝30°．求弦AB的长．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点为A（1，1），B（2，4），C（3，0）．将△ABC 绕原点逆时针旋转90°后得到△A1B1C1，其中A1、B1、C1分别与点A、B、C对应．
（1）画出旋转后的△A1B1C1；
（2）若x轴上一点D，满足A1D+B1D的值最小，在图中画出点D的位置，并直接写出点D的坐标．
22．（5分）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为33米，宽为20米．停车场内车道的宽都相等．若停车位的总占地面积为510平方米．求车道的宽度（单位：米）．
23．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且方程的两个根均为整数，求k的值及方程的两个根．
24．（6分）如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E，连接AC、BD和OC．
（1）求证：∠ACO＝∠D；
（2）若BE＝2，CD＝4，求⊙O的半径．
25．（6分）某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A距地面的高度为2.3m，与篮筐B的水平距离为4.5m，当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．
（1）结合图中所建平面直角坐标系xOy，直接写出篮球出手位置A的坐标为 ，篮球行进的最高点C的坐标为 ；
（2）求篮筐距离地面的高度．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点（﹣1，m）和（3，n）在二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当m＝n时，求b的值；
（2）若n＜m＜c，求t的取值范围．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点B关于直线AC 的对称点为点B'，点D是射线CB'上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上（不与B、C两点重合），且∠DAE+∠ACD＝90°．
（1）证明：∠BAC＝2∠DAE；
（2）连接DE，用等式表示线段BE、DE与DC之间的数量关系，并证明．
28．（7分）对于⊙C和⊙C内一点P（P与C不重合）给出如下定义：过点P可以作出无数条⊙C的弦．若在这些弦中，长度为正整数的弦有k条，则称点P为⊙C的k属相关点，k为点P关于⊙C的相关系数．在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为4．
（1）当点A的坐标为（3，0）时．
①经过点A的⊙O的所有弦中，最短的弦长为 ；
②点A关于⊙O的相关系数为 ．
（2）已知点D（4，3），点B为⊙O的4属相关点，求线段DB的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的．
1．（2分）一元二次方程3x2+x﹣7＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，1，7B．3，1，﹣7C．3，0，﹣7D．3，0，7
【分析】根据一元二次方程的一般形式各系数表示的意义解答即可．
【解答】解：一元二次方程3x2+x﹣7＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3、1、﹣7．
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式及各系数表示的意义是解题的关键．
2．（2分）每年的4月22日是世界地球日，2023年世界地球日的主题是“众生的地球”．某校在此期间组织学生开展“爱护地球”图标设计征集活动，如图所示图标是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（2分）用配方法解方程x2+6x﹣1＝0，变形后结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝10B．（x+3）2＝7C．（x﹣3）2＝10D．（x﹣3）2＝7
【分析】根据解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答．
【解答】解：x2+6x﹣1＝0，
x2+6x＝1，
x2+6x+9＝1+9，
（x+3）2＝10，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
4．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，5）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣5）B．（5，﹣2）C．（2，5）D．（2，﹣5）
【分析】两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，因而点（a，b）关于原点对称的点是（﹣a，﹣b）．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，5）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣5）．
故选：D．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数是解题关键．
5．（2分）抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2+3B．y＝﹣x2﹣3C．y＝﹣（x+3）2D．y＝﹣（x﹣3）2
【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，进而得出答案．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2向右平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣3）2；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图象平移规律是解题关键．
6．（2分）如图，AD是△ABD的外接圆⊙O的直径，若∠ACB＝50°，则∠BAD等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】根据圆周角定理和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵AD是△ABD的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ADB＝∠ACB＝50°，
∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理是解题的关键．
7．（2分）关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+4，以下说法正确的是（ ）
A．当 x＞﹣1 时，y随x增大而减小
B．当x＞﹣1时，y随x增大而增大
C．当x＞1时，y随x增大而减小
D．当x＞1时，y随x增大而增大
【分析】根据抛物线的对称轴，开口方向可以判断函数的增减性．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，x＜1时，y随x的增大而增大，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴、增减性、开口方向等知识是解题的关键．
8．（2分）用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为x m，它的邻边长为y m，矩形的面积为S m2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x、S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．正比例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系
D．正比例函数关系，一次函数关系
【分析】依据题意，矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，化简即可得到S关于x的函数关系式．
【解答】解：由题意得，2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
即y与x是一次函数关系，
∵S＝xy
＝x（5﹣x）
＝﹣x2+5x，
∴矩形面积满足的函数关系为S＝﹣x2+5x，
即满足二次函数关系，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数在实际问题中的应用，一次函数的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个根为1，则m的值为 1 ．
【分析】根据题意可得：把x＝1代入方程x2﹣2x+m＝0中得：12﹣2×1+m＝0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：把x＝1代入方程x2﹣2x+m＝0中得：12﹣2×1+m＝0，
解得：m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则方程ax2+bx+c＝0的解为 x1＝1，x2＝﹣3 ．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c＝0的两根填空即可．
【解答】解：∵当y＝0时，ax2+bx+c＝0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标的横坐标就是方程ax2+bx+c＝0的两根；
又∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（1，0）、（﹣3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为：x1＝1，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．注意二次函数y＝ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的联系．
11．（2分）⊙O的半径为6cm，若圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是 相交 ．
【分析】由题意得出d＜r，根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，如果圆心O到直线l的距离为4cm，
∴4＜6，
即d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故答案为：相交．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用；注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d＝r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交．
12．（2分）写出一个开口向上，与y轴交于点（0，4）的抛物线的函数表达式： y＝x2+4（答案不唯一） ．
【分析】开口向上确定二次项系数符号，与y轴交于点（0，4）确定常数项，由此即可求解．
【解答】解：依题意y＝x2+4．（答案不唯一）
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是确定二次项系数及常数项．
13．（2分）若一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 8 ．
【分析】利用根与系数的关系求解．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣5
∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣（﹣5）＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．
14．（2分）如图所示，△ABC绕点P顺时针旋转得到△DEF，则旋转的角度是 90° ．
【分析】由勾股定理的逆定理可求∠CPF＝90°，即可求解．
【解答】解：如图，连接PC，PF，CF，
∵PC＝＝，PF＝＝，FC＝＝，
∴PC2+PF2＝5+5＝10＝FC2，
∴∠CPF＝90°，
∴旋转角为90°，
故答案为：90°．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理及其逆定理，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．
15．（2分）若M（x1，5），N（x2，5）两点都在抛物线y＝x2﹣4x﹣3上，则x1+x2＝ 4 ．
【分析】根据抛物线的对称性以及对称轴公式即可得到＝﹣，解得x1+x2＝4．
【解答】解：∵M（x1，5），N（x2，5）两点都在抛物线y＝x2﹣4x﹣3上，
∴M（x1，5），N（x2，5）两点关于对称轴对称，
∴＝﹣，
∴x1+x2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知抛物线的对称性是解题的关键．
16．（2分）如图，AB是⊙O直径，C、D是⊙O上的两点，且OD∥BC，连接AC和BD．下列四个结论中：
①；
②OD垂直平分AC；
③BD＝AC；
④∠AOD＝2∠DBC．
所有正确结论的序号是 ①②④ ．
【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系判断求解即可．
【解答】解：∵AB是⊙O直径，
∴∠C＝90°，
∴BC⊥AC，
∵OD∥BC，
∴OD⊥AC，
∴OD平分AC，
∴OD垂直平分AC，
故②正确，符合题意；
∴＝，
故①正确，符合题意；
∴∠AOD＝2∠DBC，
故④正确，符合题意；
根据题意，无法求解BD＝AC，
故③错误，不符合题意；
故答案为：①②④．
【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，其中17-22每题5分，23-26每题6分，27、28题每题7分）
17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣12＝0．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：（x﹣6）（x+2）＝0，
x﹣6＝0或x+2＝0，
所以x1＝6，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
18．（5分）下面是小玲设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线PQ，使得PQ∥l．
作法：如图所示．
①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径在直线l上方画半圆，交直线l于A，B两点；
②连接PA，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小玲设计的尺规作图过程，解决问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接BP和BQ，
∵AP＝BQ，
∴＝ ，
∴∠PBA＝∠QPB（ 同弧所对的圆周角相等 ）（填推理的依据），
∴PQ∥l．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；
（2）连接BP和BQ，如图，根据圆周角定理，由＝得到∠PBA＝∠QPB，然后根据平行线的判定方法得到PQ∥l．
【解答】（1）解：如图，PQ为所作；
（2）证明：连接BP和BQ，如图，
∵AP＝BQ，
∴＝，
∴∠PBA＝∠QPB（同弧所对的圆周角相等），
∴PQ∥l．
故答案为：，同弧所对的圆周角相等．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了平行线的判定．
19．（5分）已知二次函数y＝x2+4x+3．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y＝x2+4x+3的图象；
（3）结合函数图象：当y＜0时，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）根据配方法将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标；
（2）根据函数解析式，可以写出该函数的顶点坐标和图象上的几个点的坐标，从而可以画出相应的函数图象；
（3）根据函数图象中的数据，可以写出y的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
∴该函数的顶点坐标为（﹣2，﹣1）；
（2）∵y＝x2+4x+3＝（x+3）（x+1）＝（x+2）2﹣1，
∴该函数与x轴的两个交点坐标为（﹣3，0），（﹣1，0），顶点坐标为（﹣2，﹣1），过点（0，3），
函数图象如图所示；
（3）由图象可得，
当y＜0时，∵开口向上，
∴y的取值范围是﹣3＜x＜﹣1．
【点评】本题主要考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
20．（5分）如图，A、B、C为⊙O上的三个点，⊙O的直径为8cm，∠ACB＝30°．求弦AB的长．
【分析】先根据圆周角定理得到∠AOB＝60°，则可判断△AOB为等边三角形，所以AB＝OA．
【解答】解：∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB＝OA，
∵⊙O的直径为8cm，
∴OA＝4cm，
∴AB＝4cm．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点为A（1，1），B（2，4），C（3，0）．将△ABC 绕原点逆时针旋转90°后得到△A1B1C1，其中A1、B1、C1分别与点A、B、C对应．
（1）画出旋转后的△A1B1C1；
（2）若x轴上一点D，满足A1D+B1D的值最小，在图中画出点D的位置，并直接写出点D的坐标．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）取点A1关于x轴的对称点A'，连接A'B1，交x轴于点D，则点D即为所求，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，取点A1关于x轴的对称点A'，连接A'B1，交x轴于点D，连接A1D，
此时满足A1D+B1D的值最小，
则点D即为所求．
∴点D的坐标为（﹣2，0）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质是解答本题的关键．
22．（5分）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为33米，宽为20米．停车场内车道的宽都相等．若停车位的总占地面积为510平方米．求车道的宽度（单位：米）．
【分析】设车道的宽度为x米，则停车位可合成长为（33﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，根据停车位的总占地面积为510平方米，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设车道的宽度为x米，则停车位可合成长为（33﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，
根据题意得：（33﹣x）（20﹣x）＝510，
整理得：x2﹣53x+150＝0，
解得：x1＝3，x2＝50（不符合题意，舍去）．
答：车道的宽度为3米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且方程的两个根均为整数，求k的值及方程的两个根．
【分析】（1）由题意Δ＞0，构建不等式求解；
（2）判断出k的值求解即可．
【解答】解：（1）由题意Δ＞0，
∴（﹣3）2﹣4k＞0，
∴k＜；
（2）∵k为正整数，k＜，
∴k＝1或2，
当k＝1时，方程x2﹣3x+1＝0，没有整数根，不符合题意舍去，
当k＝2时，方程x2﹣3x+2＝0，方程的根为1或2，符合题意．
∴k＝2，x1＝1，x2＝2．
【点评】本题考查根与系数的关系，根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（6分）如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E，连接AC、BD和OC．
（1）求证：∠ACO＝∠D；
（2）若BE＝2，CD＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）先利用OA＝OC得到∠ACO＝∠A，再根据圆周角定理得到∠A＝∠D，然后利用等量代换得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，先利用垂径定理得到CE＝DE＝2，再在Rt△OCE中利用勾股定理得到（2）2+（r﹣2）2＝r2，然后解方程求出r即可．
【解答】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∵∠A＝∠D，
∴∠ACO＝∠D；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝×4＝2，
在Rt△OCE中，（2）2+（r﹣2）2＝r2，
解得r＝3，
即⊙O的半径为3．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理和垂径定理．
25．（6分）某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A距地面的高度为2.3m，与篮筐B的水平距离为4.5m，当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．
（1）结合图中所建平面直角坐标系xOy，直接写出篮球出手位置A的坐标为 （0，2.3） ，篮球行进的最高点C的坐标为 （3，3.3） ；
（2）求篮筐距离地面的高度．
【分析】（1）根据“A距地面的高度为2.3m”可写出A的坐标，根据“当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m”可写出最高点C的坐标；
（2）先利用待定系数法求出篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系式，再令x＝4.5求出对应的y值，即可得篮筐距离地面的高度．
【解答】解：（1）∵A距地面的高度为2.3m，
∴A的坐标为（0，2.3），
∵当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m，
∴最高点C的坐标为（3，3.3），
故答案为：（0，2.3），（3，3.3）；
（2）根据题意，可设篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系为：y＝a（x﹣3）2+3.3，
将（0，2.3）代入，得2.3＝a（0﹣3）2+3.3，
解得a＝，
∴y＝（x﹣3）2+3.3，
当x＝4.5时，y＝（4.5﹣3）2+3.3＝3.05，
故篮筐距离地面的高度为3.05m．
【点评】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质是解题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点（﹣1，m）和（3，n）在二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当m＝n时，求b的值；
（2）若n＜m＜c，求t的取值范围．
【分析】（1）由抛物线的对称性及已知点横坐标可得抛物线对称轴的直线方程，进而求解；
（2）根据二次函数解析式可得抛物线开口向下且经过（0，c），（2t，c），由n＜m＜c可得点A，B与对称轴的距离大小关系，进而求解．
【解答】解：（1）∵m＝n，
∴点（﹣1，m）和（3，n）关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝1，
∴t＝﹣＝1，
∴b＝2；
（2）∵y＝﹣x2+bx+c，
∴抛物线开口向下，抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
∵抛物线对称轴为直线x＝t，
∴抛物线经过（2t，c），
∵已知点（﹣1，m）和（3，n），
∴﹣1＜3，
而n＜m＜c，
∴当已知点（﹣1，m）和（3，n）都在对称轴左侧时不符合题意，
∵n＜m＜c，
∴当点（﹣1，m）在对称轴左侧，点（3，n）在对称轴右侧时，﹣1＜t＜2t＜2t+1＜3，
解得﹣1＜t＜1，
当已知点（﹣1，m）和（3，n）都在对称轴右侧时，2t＜﹣1＜3，
解得t＜﹣，
综上所述，﹣1＜t＜﹣．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与一次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点B关于直线AC 的对称点为点B'，点D是射线CB'上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上（不与B、C两点重合），且∠DAE+∠ACD＝90°．
（1）证明：∠BAC＝2∠DAE；
（2）连接DE，用等式表示线段BE、DE与DC之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠BAC＝2∠CAM＝2∠BAM，由“AAS”可证△ACN≌△ACM，可得结论；
（2）由“SAS”可证△ABF≌△ACD，可得AF＝AD，∠BAF＝∠CAD，由“SAS”可证△FAE≌△DAE，可得EF＝DE，即可求解．
【解答】（1）证明：如图1，过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CB'于点N，
则∠AMC＝∠ANC＝90°，
∴∠CAN+∠ACB＝90°，
∵∠DAE+∠ACD＝90°＝∠DAAE+∠ACB'＝90°，
∴∠DAE＝∠CAN，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴∠BAC＝2∠CAM＝2∠BAM，
在△ACN和△ACM中，
，
∴△ACN≌△ACM（AAS），
∴∠CAN＝∠CAM，
∴∠BAC＝2∠CAM＝2∠DAE；
（2）解：BE＝CD+DE，理由如下：
如图2，在BC上截取BF＝CD，连接AF，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ACB'＝∠ACB．
∴∠B＝∠ACB'＝∠ACD，
在△ABF和△ACD中，
，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AF＝AD，∠BAF＝∠CAD，
∴∠BAF+∠CAE＝∠CAD+∠CAE＝∠DAE，
∵∠BAC＝2∠DAE，
∴∠BAF+∠CAE＝∠BAC，
∴∠FAE＝∠BAC﹣（∠BAF+∠CAE）＝∠BAC，
∴∠FAE＝∠DAE，
在△FAE和△DAE中，
，
∴△FAE≌△DAE（SAS），
∴EF＝DE，
∴BE＝EF+BF＝CD+DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
28．（7分）对于⊙C和⊙C内一点P（P与C不重合）给出如下定义：过点P可以作出无数条⊙C的弦．若在这些弦中，长度为正整数的弦有k条，则称点P为⊙C的k属相关点，k为点P关于⊙C的相关系数．在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为4．
（1）当点A的坐标为（3，0）时．
①经过点A的⊙O的所有弦中，最短的弦长为 2 ；
②点A关于⊙O的相关系数为 5 ．
（2）已知点D（4，3），点B为⊙O的4属相关点，求线段DB的取值范围．
【分析】（1）①利用点的坐标的特征，垂径定理的推论，勾股定理解答即可得出结论；
②利用直径是圆中最长的弦和①的结论，结合⊙O的相关系数的定义解答即可；
（2）利用⊙O的4属相关点的定义得到：经过点B的⊙O的所有弦中，最短的弦长为6，利用垂径定理和勾股定理求得OB的长度，从而得到点B的轨迹，结合图形解答即可得出结论．
【解答】解：（1）①过点A作CD⊥OA，交⊙O于点C，D，则弦CD为过点A的⊙O的所有弦中最短的弦，连接OC，如图，则OC＝4，
∵点A的坐标为（3，0），
∴OA＝3．
∵OA⊥CD，
∴CA＝DA＝CD．
∵AC＝＝＝，
∴CD＝2AC＝2．
故答案为：2；
②∵⊙O的半径为4，
∴⊙O的直径为8，
∴经过点A的⊙O的所有弦中，最长的弦长为8，
由（1）①知：经过点A的⊙O的所有弦中，最短的弦长为2，
∵5＜2＜6，
∴经过点A的⊙O的所有弦中，弦长为整数的长度为8，7，6，
由圆的对称性可知：弦长为7，6的各两条，
∴经过点A的⊙O的所有弦中弦长为整数的条数为5条，
∴点A关于⊙O的相关系数为5．
故答案为：5；
（2）∵点B为⊙O的4属相关点，
∴经过点B的⊙O的所有弦中，弦长为整数的条数为4条，分别为最长的为8，长度为7的两条，最短的为6，
设最短的弦为CD，则CD与OB垂直，且DB＝CB＝3，如图，
∴OB＝＝＝，
∴点B的轨迹为以O为圆心，半径为的圆，
∵D（4，3），
∴OD＝＝5，
∴BD的最小值为OD﹣OB＝5﹣，BD的最大值为OD+OB＝5+，
∴线段DB的取值范围为：5﹣≤BD≤5+．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，点的轨迹，点的坐标的特征，本题是新定义型，理解新定义的关键并熟练应用是解题的关键．
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