2023-2024学年北京市人大附中朝阳学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市人大附中朝阳学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列标志是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的值可能是（ ）
A．m＝2B．m＝4C．m＝8D．m＝9
3．（3分）下列图形中，有稳定性的是（ ）
A．长方形B．梯形
C．平行四边形D．三角形
4．（3分）若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
5．（3分）如图，已知直线PC是线段AB的垂直平分线，∠APC＝50°，则∠B＝（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
6．（3分）如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色．现在要从编号为①‒④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形
B．如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形
C．全等三角形的周长和面积分别相等
D．所有的等边三角形都是全等三角形
8．（3分）数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AB+CD＝AD．
小明是这样想的：要证明AB+CD＝AD，只需要在AD上找到一点F，再试图说明AF＝AB，DF＝CD即可．如图2，经过思考，小明给出了以下3种辅助线的添加方式．
①过点E作EF⊥AD交AD于点F；
②作EF＝EC，交AD于点F；
③在AD上取一点F，使得DF＝DC，连接EF；
上述3种辅助线的添加方式，可以证明“AB+CD＝AD”的有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题
9．（3分）如图，图中以BC为边的三角形的个数为 ．
10．（3分）颐和园坐落在北京西郊，是第一批全国重点文物保护单位之一．小万去颐和园参加实践活动时发现有的窗户造型是正八边形，如图所示，则∠1＝ °．
11．（3分）如图，小明不小心将书上的一个三角形用墨迹污染了一部分，但他很快就根据所学知识画出了一个和书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据可简写为 ．
12．（3分）如图，△ABC的外角平分线AM与边BC平行，则∠B ∠C（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
13．（3分）三角形纸片ABC，AB＝AC，将其折叠，如图，使点A与点B重合，折痕为ED，点E，D分别在AB，AC上，若AB＝6，BC＝4，那么△BDC的周长为 ．
14．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，AD是BC边上的中线．点E在AC边上，且∠EDA＝30°，则ED的长为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点E是BC延长线上一点，∠ACE＝100°，则∠A＝ ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿CB自点C向点B运动（点D与点C，B不重合），作BE⊥AD于点E，CF⊥AD的延长线于点F，在点D的运动过程中，BE+CF的值逐渐 （填“增大”，“减小”或“不变”）．
三、解答题
17．计算：．
18．解方程组：；
19．解不等式组，并写出其所有整数解．
20．下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC中BC边上的高线AD．
作法：如图，
①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；
②连接AE交BC于点D．
所以线段AD是△ABC中BC边上的高线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵ ＝BA， ＝CA，
∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（ ）（填推理的依据）．
∴BC垂直平分线段AE．
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．
21．如图，AB，CD交于点O，AD∥BC．请你添加一个条件 ，
使得△AOD≌△BOC，并加以证明．
22．已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．
（1）在图中画出△AOB关于x轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1，B1的坐标；
（2）直接写出△A1OB1的面积为 ．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形内一点，连接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）求∠ADB的度数．
25．我们学习过：“如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”．请按要求完成下面三道小题：
（1）如图1，AB＝AC．这两条线段一定关于某条直线对称，请作出对称轴a（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）如图2，已知线段AB和点C．求作线段CD（不要求尺规作图），使它与AB成轴对称．且A与C是对称点，
请作出线段CD并标明对称轴b；
（3）如图3，任意位置的两条线段AB，CD，AB＝CD．你能通过对其中一条线段作有限次的轴对称使它们重合吗？如果能，请描述操作方法；如果不能，请说明理由．
26．如图，过等边△ABC的顶点B在∠ABC内部作射线BP，∠ABP＝α（0°＜α＜60°且α≠30°），点A关于射线BP的对称点为点D，直线CD交BP于点E，连接BD，AE．
（1）依据题意，在图1中补全图形；
（2）在α（0°＜α＜60°且α≠30°）α≠30°）的变化过程中，∠AEB的度数是否会发生变化？若变化，请直接用含α的式子表示∠AEB的度数；若不变，请直接写出∠AEB的度数；
（3）用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并给予证明．
27．在平面直角坐标系xOy中，直线l为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作P1，P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作P2，例如，点P（﹣2，5）的一次反射点为P1（2，5），二次反射点为P2（5，2）．根据定义，回答下列问题：
（1）点（2，5）的一次反射点为 ，二次反射点为 ；
（2）若点A在第二象限，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，∠A1OA2＝50°，求射线OA与x轴所夹锐角的度数．
（3）若点A在y轴左侧，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△AA1A2是等腰直角三角形，请直接在平面直角坐标系中画出由符合题意的点A所构成的图形．
2023-2024学年北京市人大附中朝阳学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.）
1．（3分）下列标志是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）若三角形的两边长分别为3和5，则第三边m的值可能是（ ）
A．m＝2B．m＝4C．m＝8D．m＝9
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【解答】解：第三边m的取值范围是5﹣3＜m＜5+3，
即2＜m＜8．，只有m＝2适合，
故选：B．
【点评】考查了三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
3．（3分）下列图形中，有稳定性的是（ ）
A．长方形B．梯形
C．平行四边形D．三角形
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．
【解答】解：因为三角形具有稳定性，所以下面图形中稳定性最好的是三角形．
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的稳定性，关键是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性解答．
4．（3分）若如图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】在左图中，先利用三角形内角和计算出边a所对的角为50°，然后根据全等三角形的性质得到∠1的度数．
【解答】解：在左图中，边a所对的角为180°﹣60°﹣70°＝50°，
因为图中的两个三角形全等，
所以∠1的度数为50°．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
5．（3分）如图，已知直线PC是线段AB的垂直平分线，∠APC＝50°，则∠B＝（ ）
A．40°B．50°C．55°D．60°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出PA＝PB，根据等腰三角形的性质求出∠A＝∠B，再根据直角三角形的两锐角互余求出即可．
【解答】解：∵直线PC是线段AB的垂直平分线，
∴PC⊥AB，PA＝PB，
∴∠B＝∠A，∠PCA＝90°，
∵∠APC＝50°，
∴∠B＝∠A＝90°﹣∠APC＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识点，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
6．（3分）如图是3×3的正方形网格，其中已有2个小方格涂成了黑色．现在要从编号为①‒④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．
【解答】解：要从编号为①‒④的小方格中选出1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是④，
故选：D．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形
B．如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形
C．全等三角形的周长和面积分别相等
D．所有的等边三角形都是全等三角形
【分析】根据全等三角形的判定与性质进行逐一判断即可．
【解答】解：A、全等三角形是指形状和大小完全相同的两个三角形，原说法错误，不符合题意；
B、如果两个三角形全等，它们不一定关于某条直线成轴对称的图形，原说法错误，不符合题意；
C、全等三角形的周长和面积分别相等，正确，符合题意；
D、只有边长相等的等边三角形是全等三角形，原说法错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的相关知识是解题的关键．
8．（3分）数学课上，老师给出了如下问题：
如图1，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：AB+CD＝AD．
小明是这样想的：要证明AB+CD＝AD，只需要在AD上找到一点F，再试图说明AF＝AB，DF＝CD即可．如图2，经过思考，小明给出了以下3种辅助线的添加方式．
①过点E作EF⊥AD交AD于点F；
②作EF＝EC，交AD于点F；
③在AD上取一点F，使得DF＝DC，连接EF；
上述3种辅助线的添加方式，可以证明“AB+CD＝AD”的有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】①如图1，过作EF⊥AD，垂足为点F，证明△DEF≌△DCE（AAS），由全等三角形的性质得出CE＝EF，DC＝DF，∠CED＝∠FED，证明Rt△AFE≌Rt△ABE（HL），得出AF＝AB，则得出结论；②作EF＝EC，交AD于点F，不能证明结论；③在AD上取一点F，使得DF＝DC，连接EF，证明△DEF≌△DCE（SAS），得出CE＝EF，∠ECD＝∠EFD＝90°，证明Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）得出AF＝AB．则可得出结论．
【解答】解：①如图1，过作EF⊥AD，垂足为点F，
可得∠DFE＝90°，
则∠DFE＝∠C，
∵DE平分∠ADC，
∴∠FDE＝∠CDE，
在△DCE和△DFE中，
，
∴△DEF≌△DCE（AAS）；
∴CE＝EF，DC＝DF，∠CED＝∠FED，
∵E是BC的中点，
∴CE＝EB，
∴EF＝EB，
在Rt△ABE和Rt△AFE中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）；
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD．
②如图2，作EF＝EC，交AD于点F；
∵EF＝EC，DE＝DE，∠FDE＝∠CDE，
∴根据SSA不能证明△DEF≌△DCE，
∴这种辅助线的添加方式不能证明结论AD＝AB+CD．
③如图3，在AD上取一点F，使得DF＝DC，连接EF，
在△DCE和△DFE中，
，
∴△DEF≌△DCE（SAS）；
∴CE＝EF，∠ECD＝∠EFD＝90°，
∵E是BC的中点，
∴CE＝EB，
∴EF＝EB，
在Rt△ABE和Rt△AFE中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）；
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
二、填空题
9．（3分）如图，图中以BC为边的三角形的个数为 4 ．
【分析】根据三角形的定义即可得到结论．
【解答】解：∵以BC为公共边的三角形有△BCD，△BCE，△BCF，△ABC，
∴以BC为公共边的三角形的个数是4个．
故答案为：4．
【点评】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题．
10．（3分）颐和园坐落在北京西郊，是第一批全国重点文物保护单位之一．小万去颐和园参加实践活动时发现有的窗户造型是正八边形，如图所示，则∠1＝ 45 °．
【分析】利用正八边形的外角和等于360度即可求出答案．
【解答】解：360°÷8＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，明确任何一个多边形的外角和都是360°是解题的关键．
11．（3分）如图，小明不小心将书上的一个三角形用墨迹污染了一部分，但他很快就根据所学知识画出了一个和书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据可简写为 ASA ．
【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“ASA”定理作出完全一样的三角形．
故答案为：ASA．
【点评】本题考查了全等三角形判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
12．（3分）如图，△ABC的外角平分线AM与边BC平行，则∠B ＝ ∠C（填“＞”，“＝”，或“＜”）．
【分析】依据AM∥BC，即可得到∠DAM＝∠B，∠CAM＝∠C，再根据AM平分∠DAC，即可得到∠DAM＝∠CAM，进而得出∠B＝∠C．
【解答】解：如图，∵AM∥BC，
∴∠DAM＝∠B，∠CAM＝∠C，
∵AM平分∠DAC，
∴∠DAM＝∠CAM，
∴∠B＝∠C．
故答案为：＝．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
13．（3分）三角形纸片ABC，AB＝AC，将其折叠，如图，使点A与点B重合，折痕为ED，点E，D分别在AB，AC上，若AB＝6，BC＝4，那么△BDC的周长为 10 ．
【分析】由折叠得BD＝AD，所以BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝10，于是得到问题的答案．
【解答】解：由折叠得BD＝AD，
∴BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，
∵AB＝AC＝6，BC＝4，
∴BD+CD+BC＝6+4＝10，
∴△BDC的周长为10，
故答案为：10．
【点评】此题重点考查三角形的周长、轴对称的性质等知识，证明BD+CD+BC＝AC+BC是解题的关键．
14．（3分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，AD是BC边上的中线．点E在AC边上，且∠EDA＝30°，则ED的长为 3 ．
【分析】先根据等边三角形的性质，求出BC和∠C＝90°，证明AD垂直平分BC，从而求出CD和∠ADC＝90°，然后根据已知条件中的角，求出∠EDC的度数，从而证明△DEC是等边三角形，最后根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AB＝6，
∴BC＝AB＝6，∠BAC＝∠C＝90°，
∵AD是等边三角形BC边上的中线，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝，
∴∠ADC＝90°，
∵∠EDA＝30°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠EDA＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠EDC＝∠DEC＝∠C＝60°，
∴△DEC为等边三角形，
∴ED＝CD＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，解题关键是熟练掌握和应用等边三角形的性质．
15．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，点E是BC延长线上一点，∠ACE＝100°，则∠A＝ 50° ．
【分析】根据平角的定义可求∠ACB，再根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵∠ACE＝100°，
∴∠ACB＝80°，
在△ABC中，AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∴∠A＝（180°﹣∠ACB）÷2＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，关键是熟悉等腰三角形的两个底角相等的知识点．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿CB自点C向点B运动（点D与点C，B不重合），作BE⊥AD于点E，CF⊥AD的延长线于点F，在点D的运动过程中，BE+CF的值逐渐 增大 （填“增大”，“减小”或“不变”）．
【分析】根据点D沿BC自点B向点C运动时，Rt△ABC的面积不变，但是AD会增大，由面积公式可得BE+CF的值逐渐减小．
【解答】解：∵BE⊥AD于点E，CF⊥AD的延长线于点F，
∴S△ABC＝S△ABD+SACD＝AD•BE+AD•CF＝AD（BE+CF），
∵Rt△ABC的面积不变，但是点D沿CB自点C向点B运动时，AD会减小，
∴BE+CF的值逐渐增大，
故答案为：增大．
【点评】本题考查了三角形的动点问题，利用三角形的面积转换是解决问题的关键．
三、解答题
17．计算：．
【分析】利用立方根的定义及绝对值的性质计算即可．
【解答】解：原式＝2+﹣1＝+1．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．解方程组：；
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：，
把①代入②得：5+y﹣2y＝2，
解得：y＝3，
把y＝3代入①得：x＝8，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．解不等式组，并写出其所有整数解．
【分析】先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，即可求出不等式组的解集，再写出其所有整数解．
【解答】解：
由①得：x＜2，
由②得：x≥﹣，
故不等式组的解集是﹣≤x＜2，
它的所有整数解有x＝﹣2，﹣1，0，1．
【点评】本题主要考查对解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．
20．下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC中BC边上的高线AD．
作法：如图，
①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；
②连接AE交BC于点D．
所以线段AD是△ABC中BC边上的高线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵ BE ＝BA， EC ＝CA，
∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（ 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 ）（填推理的依据）．
∴BC垂直平分线段AE．
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．
【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）根据线段的垂直平分线的判定即可解决问题；
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）理由：连接BE，EC．
∵AB＝BE，EC＝CA，
∴点B，点C分别在线段AE的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∴直线BC垂直平分线段AE，
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．
故答案为：BE，EC，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【点评】本题考查线段的垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．如图，AB，CD交于点O，AD∥BC．请你添加一个条件 OA＝OB或OD＝OC或AD＝BC ，
使得△AOD≌△BOC，并加以证明．
【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断．
【解答】解：添加条件：OA＝OB或OD＝OC或AD＝BC．
理由：当添加OA＝OB时，
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠B，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（ASA）．
添加OD＝OC或AD＝BC同法可证．
故答案为OA＝OB或OD＝OC或AD＝BC．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．已知一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数．
【分析】多边形的外角和是360°，内角和是它的外角和的3倍，则内角和是3×360＝1080度．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
∵n边形的内角和为（n﹣2）•180°，多边形的外角和为360°，
∴（n﹣2）•180°＝360°×3，
解得n＝8．
∴此多边形的边数为8．
【点评】根据正多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法，需要熟记．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（﹣1，2），B（2，1）．
（1）在图中画出△AOB关于x轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1，B1的坐标；
（2）直接写出△A1OB1的面积为 ．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1OB1即为所求．
由图可得，点A1（﹣1，﹣2），B1（2，﹣1）．
（2）△A1OB1的面积为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形内一点，连接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）求∠ADB的度数．
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠DBC＝45°，利用等角对等边得出DB＝DC．再根据SSS证明△ABD≌△ACD，那么∠BAD＝∠CAD；
（2）根据全等三角形的对应角相等得出∠ADB＝∠ADC，再利用周角的定义即可求出∠ADB的度数．
【解答】（1）证明：∵∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠DBC＝45°，
∴∠DBC＝∠BCD，
∴DB＝DC．
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD；
（2）解：∵△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB＝∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC+∠BDC＝360°，∠BDC＝90°，
∴∠ADB＝（360°﹣90°）＝135°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，周角的定义．证明出△ABD≌△ACD是解题的关键．
25．我们学习过：“如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”．请按要求完成下面三道小题：
（1）如图1，AB＝AC．这两条线段一定关于某条直线对称，请作出对称轴a（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）如图2，已知线段AB和点C．求作线段CD（不要求尺规作图），使它与AB成轴对称．且A与C是对称点，
请作出线段CD并标明对称轴b；
（3）如图3，任意位置的两条线段AB，CD，AB＝CD．你能通过对其中一条线段作有限次的轴对称使它们重合吗？如果能，请描述操作方法；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）作∠ABC的平分线所在直线即可；
（2）先连接AC；作线段AC的垂直平分线，即为对称轴b；作点B关于直线b的对称点D；连接CD即为所求．
（3）先类比（2）的步骤画图，通过一次轴对称，把问题转化为（1）的情况，再做一次轴对称即可满足条件．
【解答】解：（1）如图1，作∠ABC的平分线所在直线a．（答案不唯一）
（2）如图2所示：
①连接AC；
②作线段AC的垂直平分线，即为对称轴b；
③作点B关于直线b的对称点D；
④连接CD即为所求．
（3）如图3所示，连接BD；作线段BD的垂直平分线，即为对称轴c；作点C关于直线c的对称点E；连接BE；作∠ABE的角平分线所在直线d即为对称轴，
故其中一条线段作2次的轴对称即可使它们重合．
【点评】本题主要考查了利用轴对称变换进行作图，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
26．如图，过等边△ABC的顶点B在∠ABC内部作射线BP，∠ABP＝α（0°＜α＜60°且α≠30°），点A关于射线BP的对称点为点D，直线CD交BP于点E，连接BD，AE．
（1）依据题意，在图1中补全图形；
（2）在α（0°＜α＜60°且α≠30°）α≠30°）的变化过程中，∠AEB的度数是否会发生变化？若变化，请直接用含α的式子表示∠AEB的度数；若不变，请直接写出∠AEB的度数；
（3）用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并给予证明．
【分析】（1）根据题意补全图形，即可得出结论；
（2）先判断出∠ABP＝∠DBP＝α，BD＝BA，在判断出AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，进而得出BD＝BC，∠CBD＝60°+2α，∠BDC＝∠BCD＝60°+α，即可得出结论；
（3）先判断出△AME是等边三角形，得出AE＝AM＝EM，∠EAM＝60°，在判断出∠BAM＝∠CAE，进而判断出△ABM≌△ACE（SAS），得出BM＝CE，则可得出结论．
【解答】解：（1）补全图形如图1所示，
（2）∠AEB不发生变化，∠AEB＝60°；
∵点A关于射线CP的对称点为点D，
∴∠ABP＝∠DBP＝α，BD＝BA，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴BD＝BC，∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣2α，
∴∠BDC＝∠BCD＝60°+α，
∵∠BDC＝∠BEC+∠DBE＝∠BEC+α＝60°+α，
∴∠BEC＝60°，
∴∠AEB＝∠BEC＝60°，
∴∠AEB不发生变化，∠AEB＝60°；
（3）BE＝CE+AE．
证明：如图2，在BE上取一点M，使EM＝AE，连接AM，
∵∠AEB＝60°，
∴△AME是等边三角形，
∴AE＝AM＝EM，∠EAM＝60°，
∵∠BAM+∠CAM＝∠CAM+∠CAE＝60°，
∴∠BAM＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△ABM≌△ACE（SAS），
∴BM＝CE，
∴BE＝BM+ME＝CE+AE．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
27．在平面直角坐标系xOy中，直线l为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作P1，P1关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记作P2，例如，点P（﹣2，5）的一次反射点为P1（2，5），二次反射点为P2（5，2）．根据定义，回答下列问题：
（1）点（2，5）的一次反射点为 （﹣2，5） ，二次反射点为 （5，﹣2） ；
（2）若点A在第二象限，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，∠A1OA2＝50°，求射线OA与x轴所夹锐角的度数．
（3）若点A在y轴左侧，点A1，A2分别是点A的一次、二次反射点，△AA1A2是等腰直角三角形，请直接在平面直角坐标系中画出由符合题意的点A所构成的图形．
【分析】（1）根据一次反射点，二次反射点的定义求解；
（2）分两种情况：当点A靠近y轴在第二象限时，当 点A靠近x轴在第二象限时，作出相应图形，然后利 用各角之间的关系及轴对称的性质求解即可；
（3）分三种情况进行讨论：①当AA1⊥AA2 时，②当AA1⊥A1A2 时，③当AA2⊥A1A2 时；分别利用等腰直角三角形的性质及轴对称的性质求解即可．
【解答】（1）∵点 （2，5）关于y轴的对称点为（﹣2，5），
∴一次反射点为 （﹣2，5），（﹣2，5）关于直线l的对称点为 （5，﹣2），
∴二次反射点为（5，﹣2）；
故答案为：（﹣2，5），（5，﹣2）；
（2）如图1中，当点A靠近y轴在第二象限时，如图所示：
A1，A2 关于直线l对称，点A、A1 关于y轴对称，
∴∠AOE＝∠A1OE，∠A1OG＝∠A2OG，∠A1OE＝∠A2OF，∠A1OA2＝50°，
∴，
∴∠AOE＝∠A1OE＝20°，
∴∠AOF＝90°+20°＝110°，
∴OA与x轴所夹锐角的度数为 180°﹣110°＝70°；
同理当点A靠近x轴在第二象限时，OA与x轴所夹锐角的度数为 20°，
综上可得：OA与x轴所夹锐角的度数为20°或70°；
（3）设点A（x，y），则 A1（﹣x，y），A2（y，﹣x），
∵ΔAA1A2 是等腰直角三角形，
∴分三种情况：
①当AA1⊥AA2时，x﹣y＝0，即x＝y，且 AA1＝AA2，即，
解得：x＝y，即y＝x（x＜0）上的点均满足，
如图所示：
②当 AA1⊥A1A2时，不存在；
③当 AA2⊥A1A2时，
∠A2AA1＝45°，且AA2＝A1A2，即 ，
解得y＝0，即在x轴的负半轴上，
如图所示：
综上所述，点A在x轴的负半轴上或直线y＝x（x＜0）上．
【点评】本题考查坐标与图形变化——对称，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是理解一次反射点、二次反射点的定义，学会利用图象法解决问题，同时进行分类讨论．
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