2023-2024学年北京市十一学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市十一学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共34页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.2×10﹣10B．3.2×10﹣8C．3.2×10﹣7D．3.2×10﹣9
2．（2分）下列计算正确的共有（ ）个．
①a12﹣a6＝a6；②x2y3•x4y＝x8y3；③a3b3＝（ab）3；④（﹣3a3）2÷（﹣a8）＝9a﹣2；⑤（2x+3）2＝4x2+9；⑥．
A．1B．2C．3D．4
3．（2分）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）已知：，可求得x﹣y的值为（ ）
A．B．C．2D．﹣2
5．（2分）如图，△ABC是等边三角形，直线l过顶点B，作点C关于直线l的对称点D，连接BD，AD，CD，若∠BAD＝25°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
6．（2分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝5cm，点M，N在边OB上，PM＝PN，
若MN＝2cm，则OM的长为（ ）
A．2cmB．2.5cmC．1.5cmD．3cm
7．（2分）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（ ）
A．3B．2C．1D．4
8．（2分）如图是由三个面积相等的小正方形组成的图形，如果再补画一个小正方形，使补画后的图形成为轴对称图形，一共有（ ）种不同的补画方法．
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（每小题2分，本题共16分）
9．（2分）如图正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD＝ °．
10．（2分）若关于x的分式方程的解为，我们就说这个方程是和解方程．比如：就是一个和解方程．如果关于x的分式方程是一个和解方程，则n＝ ．
11．（2分）关于x的方程1﹣无解，则a的值为 ．
12．（2分）如图，△ABC是等边三角形，点D为AC边上一点，以BD为边作等边△BDE，连接CE．若CD＝1，CE＝3，则BC＝ ．
13．（2分）如图，∠MON＝80°，OC平分∠MON，点A在射线OC上，若射线ON上有点B，使△OAB是等腰三角形，那么∠OBA的度数为 ．
14．（2分）如图，已知∠MON＝30°，在∠MON的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点，OP＝a，当△PAB的周长最小时，∠APB＝ 度，△PAB的周长的最小值是 ．
15．（2分）已知等边△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，若点H在线段AD上运动，取最小值时，DH的值为 ．
16．（2分）对于任意正实数a、b，
∵，
∴，
∴，只有当a＝b时，等号成立．
由此我们得到结论：任意正实数a、b，有．
依此结论我们有：
（1）的最小值＝ ；
（2）的最小值＝ ．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：
（1）（x+y+z）2﹣（x+y﹣z）2；
（2）（a+2b）2﹣2（a+2b）（a﹣2b）+（a﹣2b）2．
18．（5分）已知实数a满足，求的值．
19．（5分）已知，，求．
20．（5分）已知：在△ABC中，∠ABC＝45°，BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠ABD＝∠ACE；
（3）求证：EF＝AE．
21．（5分）因为x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2），令x2+x﹣6＝0，则（x+3）（x﹣2）＝0，x＝﹣3或x＝2，反过来，x＝2能使多项式x2+x﹣6的值为0．
利用上述阅读材料求解：
（1）若x﹣4是多项式x2+mx+8的一个因式，求m的值；
（2）若（x﹣1）和（x+2）是多项式x3+ax2﹣5x+b的两个因式，试求a，b的值；
（3）在（2）的条件下，把多项式x3+ax2﹣5x+b因式分解的结果为 ．
22．（5分）如果10a＝b，那么称a为b的劳格数，记为a＝f（b），由定义可知：10a＝b与a＝f（b）所表示的是a、b两个量之间的同一关系．
（1）根据劳格数的定义，填空：f（10﹣2）＝ ；
（2）劳格数有如下运算性质：
若m、n为正数，则f（mn）＝f（m）+f（n），．根据运算性质，填空：＝ （b为正数）．
若f（2）≈0.3，则f（20）≈ ， ；（答案精确到小数点后一位）
（3）已知f（3）＝a，f（7）＝b，f（0.63）＝c，则a，b，c之间的等量关系式为 ．
23．（6分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（1）在图1中，画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
（2）在图2中，在直线l上找出一点P，使得|PA﹣PC|的值最大，该最大值为 ；（保留作图痕迹并标上字母P）
（3）在图3中，在正方形网格中存在 个格点，使得该格点与B、C两点构成以BC为腰的等腰三角形．
24．（6分）探索规律
观察下列各式及验证过程：
n＝2时，有式①：2×＝；
n＝3时．有式②：3×＝；
n＝4时，有式③：4×＝；
（1）针对上述式①、式②、式③的规律，请写出n＝5时的式子；
（2）请写出满足上述规律的用n（n为自然数且n≥2）表示的等式，并证明此等式成立．
25．（6分）某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．
（2）若甲工程队每天可以改造a米道路，乙工程队每天可以改造b米道路，（其中a≠b）．现在有两种施工改造方案：
方案一：前米的道路由甲工程队改造，后米的道路由乙工程队改造；
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
26．（6分）阅读材料：一般情形下等式＝1不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如：x＝2，y＝2时，＝1成立，我们称（2，2）是使＝1成立的“神奇数对”．请完成下列问题：
（1）数对（，4），（1，1）中，使＝1成立的“神奇数对”是 ；
（2）若（5﹣t，5+t）是使＝1成立的“神奇数对”，求t的值；
（3）若（m，n）是使＝1成立的“神奇数对”，且a＝b+m，b＝c+n，求代数式（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值．
27．（7分）已知∠MAN＝30°，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接AQ，BQ，点A关于直线BQ的对称点为点C，连接PQ，CP．
（1）如图1，若点P为线段AB的中点．
①直接写出∠AQB的度数；
②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；
（2）如图2，若线段CP与BQ交于点D．
①设∠BQP＝α，求∠CPQ的大小（用含α的式子表示）；
②用等式表示线段PC，DQ，DP之间的数量关系，并证明．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点M（a，b）和点N（a，b），给出如下定义：若满足b′＝，那么称点N是点M的“m﹣限变点”．
请解决下面的问题：
（1）当m＝2时，
①已知点P的坐标是（2，1），则点P的“m﹣限变点”Q的坐标是 ；
②若点P（a，b）的“m﹣限变点”Q的坐标为（﹣1，1），求点P的坐标；
（2）如图1，已知点A（1，5），B（4，2），点P在线段AB上，点P的“3﹣限变点”为Q，则Q的纵坐标t的取值范围是 ；
（3）如图2，已知点P是一、三象限角平分线上的点，△ABC的顶点A（1，1）、B（4，﹣2）、C（6，0），若△ABC上存在点P的“m﹣限变点”，直接写出m的取值范围．
2023-2024学年北京市十一学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，本题共16分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，用科学记数法表示正确的是（ ）
A．3.2×10﹣10B．3.2×10﹣8C．3.2×10﹣7D．3.2×10﹣9
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：0.00000032＝3.2×10﹣7，
故选：C．
【点评】本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2．（2分）下列计算正确的共有（ ）个．
①a12﹣a6＝a6；②x2y3•x4y＝x8y3；③a3b3＝（ab）3；④（﹣3a3）2÷（﹣a8）＝9a﹣2；⑤（2x+3）2＝4x2+9；⑥．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据整式的混合运算法则，负整数指数幂以及分式的基本性质分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：①a12与a6不是同类项，不能合并，故本选项错误；
②x2y3•x4y＝x6y4，故本选项错误；
③a3b3＝（ab）3，故本选项正确；
④（﹣3a3）2÷（﹣a8）＝﹣9a﹣2，故本选项错误；
⑤（2x+3）2＝4x2+12x+9，故本选项错误；
⑥＝＝﹣，故本选项正确；
其中正确的有③⑥，共2个．
故选：B．
【点评】本题考查了整式的混合运算、负整数指数幂以及分式的基本性质，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键．
3．（2分）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用二次根式的形式进行化简即可．
【解答】解：由题意可得：m﹣1＜0，
则原式＝﹣＝﹣，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4．（2分）已知：，可求得x﹣y的值为（ ）
A．B．C．2D．﹣2
【分析】由题意，利用算术平方根及偶次幂的非负性求得x，y的值，然后将其代入x﹣y中计算即可．
【解答】解：由题意可得，
解得：，
则x﹣y＝2﹣1＝，
故选：A．
【点评】本题考查算术平方根及偶次幂的非负性，解二元一次方程组，负整数指数幂，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键．
5．（2分）如图，△ABC是等边三角形，直线l过顶点B，作点C关于直线l的对称点D，连接BD，AD，CD，若∠BAD＝25°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【分析】由轴对称的性质可得BC＝BD，由等腰三角形的性质可求∠BAD＝∠ADB＝25°，可求∠CBD＝70°，由三角形内角和定理可求解．
【解答】解：∵点C关于直线l的对称点D，
∴BC＝BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴AB＝BD，
∴∠BAD＝∠ADB＝25°，
∴∠ABD＝130°，
∴∠CBD＝70°，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝55°，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．
6．（2分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝5cm，点M，N在边OB上，PM＝PN，
若MN＝2cm，则OM的长为（ ）
A．2cmB．2.5cmC．1.5cmD．3cm
【分析】过点P作PC⊥MN，垂足为C，根据等腰三角形的三线合一性质可得CM＝MN＝1，然后在Rt△POC中，求出∠OPC＝30°，从而求出OC＝OP，即可解答．
【解答】解：过点P作PC⊥MN，垂足为C，
∴∠PCO＝90°，
∵PM＝PN，PC⊥MN，
∴CM＝MN＝1cm，
在Rt△POC中，∠AOB＝60°，
∴∠OPC＝90°﹣∠AOB＝30°，
∴OC＝OP＝×5＝2.5cm，
∴OM＝OC﹣CM＝2.5﹣1＝1.5cm，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
7．（2分）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（ ）
A．3B．2C．1D．4
【分析】根据等式的性质得到x﹣＝1，根据完全平方公式计算，得到答案．
【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2﹣1＝x，
∴x﹣＝1，
∴（x﹣）2＝1，
∴x2﹣2+＝1，
∴x2+＝3，
故选：A．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
8．（2分）如图是由三个面积相等的小正方形组成的图形，如果再补画一个小正方形，使补画后的图形成为轴对称图形，一共有（ ）种不同的补画方法．
A．2B．3C．4D．5
【分析】首先正确理解轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；然后再结合轴对称图形的定义结合所给图示分别补画一个同样大小的正方形，找出各自的对称轴，使之成为轴对称图形即可．
【解答】解：如图所示：
共有4种不同的补画方法．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
二、填空题（每小题2分，本题共16分）
9．（2分）如图正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD＝ 90 °．
【分析】证明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE＝∠DAB，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论．
【解答】解：在△DCE和△ABD中，
，
∴△DCE≌△ABD（SAS），
∴∠CDE＝∠DAB，
∵∠CDE+∠ADC＝∠ADC+∠DAB＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝90°，
故答案为：90．
【点评】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角形是关键．
10．（2分）若关于x的分式方程的解为，我们就说这个方程是和解方程．比如：就是一个和解方程．如果关于x的分式方程是一个和解方程，则n＝ ．
【分析】先根据等式的性质求出方程的解，再根据“和解方程”得出＝，再求出n即可．
【解答】解：解方程得：x＝，
∵关于x的分式方程是一个和解方程，
∴＝，
解得：n＝，
经检验n＝是方程＝的解．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式方程的解和解分式方程，能求出关于n的方程＝是解此题的关键．
11．（2分）关于x的方程1﹣无解，则a的值为 ﹣3，﹣，2 ．
【分析】去分母整理成整式方程，根据分式方程无解，求出a的值即可．
【解答】解：去分母得：x2﹣1﹣2x﹣2a+2＝x2+ax+x+a，
整理得：（a+3）x＝1﹣3a，
∵分式方程无解，
∴当整式方程无解时，a+3＝0，解得a＝﹣3；
当分式方程有增根，则x＝1或﹣1，
∴（a+3）×1＝1﹣3a或（a+3）×（﹣1）＝1﹣3a，
解得a＝2或．
故答案为：﹣3，﹣，2．
【点评】本题考查分式方程的解，解题关键是熟知分式方程无解的两种情况：去分母转化后的整式方程无解或者整式方程的解是原分式方程的增根．
12．（2分）如图，△ABC是等边三角形，点D为AC边上一点，以BD为边作等边△BDE，连接CE．若CD＝1，CE＝3，则BC＝ 4 ．
【分析】在CB上取一点G使得CG＝CD，即可判定△CDG是等边三角形，可得CD＝DG＝CG，易证∠BDG＝∠EDC，即可证明△BDG≌△EDC，可得BG＝CE，即可解题．
【解答】解：在CB上取一点G使得CG＝CD，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，
∴△CDG是等边三角形，
∴CD＝DG＝CG，
∵∠BDG+∠EDG＝60°，∠EDC+∠EDG＝60°，
∴∠BDG＝∠EDC，
在△BDG和△EDC中，
，
∴△BDG≌△EDC（SAS），
∴BG＝CE，
∴BC＝BG+CG＝CE+CD＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等边三角形的判定和性质，本题中求证△BDG≌△EDC是解题的关键．
13．（2分）如图，∠MON＝80°，OC平分∠MON，点A在射线OC上，若射线ON上有点B，使△OAB是等腰三角形，那么∠OBA的度数为 100°或40°或70° ．
【分析】由角平分线的定义求出∠AOB＝∠MON＝40°，分三种情况，由等腰三角形的性质，即可解决问题．
【解答】解：∵∠MON＝80°，OC平分∠MON，
∴∠AOB＝∠MON＝40°，
当OA＝AB时，
∠ABO＝∠AOB＝40°，
当AO＝BO时，
∴∠OBA＝∠OAB＝×（180°﹣∠AOB）＝70°，
当AB＝OB时，
∴∠BAO＝∠AOB＝40°，
∴∠OBA＝180°﹣∠BAO﹣∠BOA＝100°，
∴△OAB是等腰三角形，∠OBA的度数为100°或40°或70°．
故答案为：100°或40°或70°．
【点评】本题考查角平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是要分情况讨论．
14．（2分）如图，已知∠MON＝30°，在∠MON的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点，OP＝a，当△PAB的周长最小时，∠APB＝ 120 度，△PAB的周长的最小值是 a ．
【分析】分别作出点P关于OM，ON两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与OM，ON的交点得到△PAB的周长最小时点A，B的位置，再求出∠PAB+∠PBA的值即可求出∠APB的度数；连接OP，OP′，OP″，由轴对称的性质得：OP＝OP′＝OP″＝a，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，证得△P′OP″是等边三角形，即可得到结论．
【解答】解：分别作点P关于OM，ON的对称点P′，P″；
连接P′、P″，分别交OM，ON于点A、点B，
则此时△PAB的周长最小．
如图所示：
则∠P′PP″＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°，
∴∠PP'A+∠PP“B＝180°﹣∠P′PP″＝30°，
∴∠PAB+∠PBA＝2（∠PP'A+∠PP“B）＝60°，
∴∠APB＝120°；
连接OP′，OP″，
由轴对称的性质得：OP＝OP′＝OP″＝a，
∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∵∠MON＝30°，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝60°，
∴△P′OP″是等边三角形，
∴P′P″＝OP＝a，
∴△PAB的周长＝a．
故答案为：120，a．
【点评】本题主要考查轴对称﹣最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点．
15．（2分）已知等边△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，若点H在线段AD上运动，取最小值时，DH的值为 4 ．
【分析】如图，过点H作HE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交AD于点G．证明EH＝AH，再根据AH+CH＝EH+CH≥CF，求出CF，此时得到AH+CH的最小值，再用相似三角形的性质可以求出DH的值．
【解答】解：如图，过点H作HE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交AD于点G．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴BD＝DC，
∵CF⊥AB，
∴CF＝AD＝12，
∵HE⊥AB，∠EAH＝30°，
∴EH＝AH，
∴AH+CH＝EH+CH，
∴AH+CH的最小值为12，
∵∠DCG＝∠FCB，∠GDC＝∠BFC，
∴△GDC∽△BFC，
∴＝，
∵∠CAD＝30°，AD＝12，
∴CD＝4，△ABC边长为8，
∴当AH+CH取最小值时，DH＝DG＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查胡不归问题，等边三角形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
16．（2分）对于任意正实数a、b，
∵，
∴，
∴，只有当a＝b时，等号成立．
由此我们得到结论：任意正实数a、b，有．
依此结论我们有：
（1）的最小值＝ 2 ；
（2）的最小值＝ 7 ．
【分析】（1）由（1）≥2，（m＞0）即可得的小值；
（2）由＝＝x+2+1+＝（x﹣2）++5≥2+5＝7．
【解答】解：（1）≥2，
∵m＞0
∴当m＝1时，取最小值为2；
（2）由
＝
＝x+2+1+
＝（x﹣2）++5≥2+5＝7，
∵x＞2，
∴x﹣2＞0，
∴当x﹣2＝1时即x＝3由取最小值7．
【点评】本题考查分式函数得最值问题、非负数的性质构造基本不等式是解决问题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：
（1）（x+y+z）2﹣（x+y﹣z）2；
（2）（a+2b）2﹣2（a+2b）（a﹣2b）+（a﹣2b）2．
【分析】（1）根据平方差公式计算即可；
（2）先根据完全平方公式分解因式，再合并即可．
【解答】解：（1）原式＝[x+y+z+（x+y﹣z）][x+y+z﹣（x+y﹣z）]
＝（2x+2y）•2z
＝4xz+4yz；
（2）原式＝[a+2b﹣（a﹣2b）]2
＝（4b）2
＝16b2．
【点评】此题考查的是平方差公式及完全平方公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
18．（5分）已知实数a满足，求的值．
【分析】根据分式的乘法法则、减法法则把原式化简，整体代入计算即可．
【解答】解：原式＝﹣•
＝﹣
＝﹣
＝，
∵a2+2a+2﹣＝0，
∴a2+2a+1＝﹣1，
∴原式＝＝＝+1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19．（5分）已知，，求．
【分析】利用二次根式的性质将a，b的值化简，求得a+b，ab的值，再利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：∵a＝＝＝4，
b＝＝＝4﹣，
∴a+b＝8，ab＝（4+）（4﹣）＝16﹣15＝1．
∴原式＝
＝
＝
＝62．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质，分母有理化，二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
20．（5分）已知：在△ABC中，∠ABC＝45°，BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠ABD＝∠ACE；
（3）求证：EF＝AE．
【分析】（1）依据过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点F作图即可；
（2）依据同角的余角相等，即可得出结论；
（3）依据全等三角形的对应边相等，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图所示，CE即为所求；
（2）∵BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，
∴∠A+∠ABD＝∠A+∠ACE＝90°，
∴∠ABD＝∠ACE；
（3）∵∠ABC＝45°，CE⊥AB，
∴∠BCE＝∠CBE，∠AEC＝∠FEB＝90°，
∴CE＝BE，
∴△BEF≌△CEA（ASA），
∴EF＝AE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及基本作图，利用全等三角形的对应角相等是解决问题的关键．
21．（5分）因为x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2），令x2+x﹣6＝0，则（x+3）（x﹣2）＝0，x＝﹣3或x＝2，反过来，x＝2能使多项式x2+x﹣6的值为0．
利用上述阅读材料求解：
（1）若x﹣4是多项式x2+mx+8的一个因式，求m的值；
（2）若（x﹣1）和（x+2）是多项式x3+ax2﹣5x+b的两个因式，试求a，b的值；
（3）在（2）的条件下，把多项式x3+ax2﹣5x+b因式分解的结果为 （x﹣1）（x+2）（x﹣3） ．
【分析】（1）由已知条件可知，当x＝4时，x2+mx+8，将x的值代入即可求得；
（2）由题意可知，x＝1和x＝﹣2时，x3+ax2﹣5x+b＝0，由此得二元一次方程组，从而可求得a和b的值；
（3）将（2）中a和b的值代入x3+ax2﹣5x+b，提取公因式x，则由题意知（x﹣1）和（x+2）也是所给多项式的因式，从而问题得解．
【解答】解：（1）∵x﹣4是多项式x2+mx+8的一个因式，
∴x＝4时，x2+mx+8＝0，
∴16+4m+8＝0，
∴4m＝﹣24，
∴m＝﹣6，
∴m的值为﹣6．
（2）∵（x﹣1）和（x+2）是多项式x3+ax2﹣5x+b的两个因式，
∴x＝1和x＝﹣2时，x3+ax2﹣5x+b＝0，
∴，
解得，
∴a、b的值分别为2和2．
（3）∵a＝2，b＝2，
∴x3+ax2﹣5x+b可化为：x3+2x2﹣5x+2，
∴x3+2x2﹣5x+2
＝（x﹣1）（x+2）（x﹣3）．
故答案为：（x﹣1）（x+2）（x﹣3）．
【点评】本题考查了利用因式定理分解因式的特殊方法，根据阅读材料仿做，是解答本题的关键．
22．（5分）如果10a＝b，那么称a为b的劳格数，记为a＝f（b），由定义可知：10a＝b与a＝f（b）所表示的是a、b两个量之间的同一关系．
（1）根据劳格数的定义，填空：f（10﹣2）＝ ﹣2 ；
（2）劳格数有如下运算性质：
若m、n为正数，则f（mn）＝f（m）+f（n），．根据运算性质，填空：＝ 3 （b为正数）．
若f（2）≈0.3，则f（20）≈ 1.3 ， ﹣1.7 ；（答案精确到小数点后一位）
（3）已知f（3）＝a，f（7）＝b，f（0.63）＝c，则a，b，c之间的等量关系式为 2a+b﹣c＝2 ．
【分析】（1）根据劳格数的定义解答即可；
（2）由劳格数运算性质解答即可；
（3）由劳格数运算性质解答即可．
【解答】解：（1）∵10a＝b，那么称a为b的劳格数，记为a＝f（b），
∴f（10﹣2）＝﹣2，
故答案为：﹣2；
（2）∵，
∴＝3f（b）÷f（b）＝3，
∵f（mn）＝f（m）+f（n），
∴f（20）＝f（2×10）＝f（2）+f（10）≈0.3+1＝1.3，
由f（）＝f（）＝f（2）﹣f（102）≈0.3﹣2＝﹣1.7，
故答案为：1.3；﹣1.7；
（3）由f（3）＝a，f（7）＝b．f（0.63）＝c，
∵f（0.63）
＝f（）
＝f（63）﹣f（102）
＝f（7×9）﹣2
＝f（7）+f（9）﹣2
＝f（7）+f（3×3）﹣2
＝f（7）+f（3）+f（3）﹣2
＝a+b+a﹣2，
∴2a+b﹣2＝c，
即：2a+b﹣c＝2，
故答案为：2a+b﹣c＝2．
【点评】本题考查有理数的乘方以及近似数的性质，关键是理解新定义是解决问题的关键．
23．（6分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（1）在图1中，画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A1B1C1；
（2）在图2中，在直线l上找出一点P，使得|PA﹣PC|的值最大，该最大值为 5 ；（保留作图痕迹并标上字母P）
（3）在图3中，在正方形网格中存在 5 个格点，使得该格点与B、C两点构成以BC为腰的等腰三角形．
【分析】（1）分别作出各点关于直线l的对称点，顺次连接各点即可；
（3）连接AC1并延长，交直线l于点P，连接PC，此时|PA﹣PC|的值最大；
（3）画出满足条件的点即可判断．
【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求；
（2）如图2，作点C的对称点C1，连接AC1，
|PA﹣PC|的最大值为＝5，
故答案为：5；
（3）如图3，
使得该格点与B、C两点构成以BC为腰的等腰三角形的格点有5个，
故答案为：5．
【点评】本题是几何变换综合题，考查作图﹣轴对称变换，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．（6分）探索规律
观察下列各式及验证过程：
n＝2时，有式①：2×＝；
n＝3时．有式②：3×＝；
n＝4时，有式③：4×＝；
（1）针对上述式①、式②、式③的规律，请写出n＝5时的式子；
（2）请写出满足上述规律的用n（n为自然数且n≥2）表示的等式，并证明此等式成立．
【分析】（1）根据题意总结规律即可；
（2）总结规律后利用二次根式的乘除法则计算即可．
【解答】解：（1）根据题意可得当n＝5时，5×＝；
（2）根据规律可得n＝（n为自然数且n≥2），证明过程如下：
＝
＝
＝n，
即n＝．
【点评】本题考查二次根式的乘除及规律探索问题，根据题意总结出规律是解题的关键．
25．（6分）某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．
（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．
（2）若甲工程队每天可以改造a米道路，乙工程队每天可以改造b米道路，（其中a≠b）．现在有两种施工改造方案：
方案一：前米的道路由甲工程队改造，后米的道路由乙工程队改造；
方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造．根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．
【分析】（1）设乙工程队每天改造道路的长度为x米，则甲工程队每天改造道路的长度为（x+30）米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用工作时间＝工作总量÷工作效率可分别求出方案一和方案二所需时间，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙工程队每天改造道路的长度为x米，则甲工程队每天改造道路的长度为（x+30）米，
根据题意，得：，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝180．
答：甲工程队每天改造道路的长度为180米，乙工程队每天改造道路的长度为150米．
（2）方案一所用时间为+＝．
设方案二所用时间为＝．
﹣＝＝．
∵a≠b，
∴＞0，
∴﹣＞0，
∴方案二所用的时间少．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
26．（6分）阅读材料：一般情形下等式＝1不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如：x＝2，y＝2时，＝1成立，我们称（2，2）是使＝1成立的“神奇数对”．请完成下列问题：
（1）数对（，4），（1，1）中，使＝1成立的“神奇数对”是 （，4） ；
（2）若（5﹣t，5+t）是使＝1成立的“神奇数对”，求t的值；
（3）若（m，n）是使＝1成立的“神奇数对”，且a＝b+m，b＝c+n，求代数式（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值．
【分析】（1）按照题中定义将数对（，4），（1，1）分别验算即可；
（2）根据题意得关于t 的分式方程，解方程即可；
（3）根据已知条件，先将m和n用含a，b，c的式子表示出来，再根据题意得出关于m和n的等式，然后可得关于a，b，c的等式，从而可对所给的代数式配方，求得最值．
【解答】解：（1）∵+＝+＝1
∴（，4）是使＝1成立的“神奇数对”．
∵+＝2≠1
∴（1，1）不是使＝1成立的“神奇数对”．
故答案为：（，4）；
（2）若（5﹣t，5+t）是使＝1成立的“神奇数对”，
则：+＝1
∴5+t+5﹣t＝25﹣t2
∴t＝±
经检验，t＝±是原方程的解
∴t的值为±；
（3）∵a＝b+m，b＝c+n
∴m＝a﹣b，n＝b﹣c
由题意得：+＝1
+＝1
∴b﹣c+a﹣b＝（a﹣b）（b﹣c）
∴a﹣c＝（a﹣b）（b﹣c）
∴（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）
＝（a﹣c）2﹣12（a﹣c）
＝（a﹣c﹣6）2﹣36
∵（a﹣c﹣6）2≥0
∴（a﹣c﹣6）2﹣36≥﹣36
∴代数式（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值为﹣36．
【点评】本题考查了分式方程在新定义习题和整式的化简求值中的应用，正确按照定义列式，是解题的关键．
27．（7分）已知∠MAN＝30°，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接AQ，BQ，点A关于直线BQ的对称点为点C，连接PQ，CP．
（1）如图1，若点P为线段AB的中点．
①直接写出∠AQB的度数；
②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；
（2）如图2，若线段CP与BQ交于点D．
①设∠BQP＝α，求∠CPQ的大小（用含α的式子表示）；
②用等式表示线段PC，DQ，DP之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）①证明PQ＝PA＝PB，可得结论．
②图形如图所示：结论：．证明∠APC＝90°，可得结论．
（2）①如图2中，连接BC，CQ．证明B，P，Q，C四点共圆，推出∠CPB＝∠CQB＝∠AQB，由∠APC+∠CPB＝180°，推出∠PAQ+∠PDQ＝180°，推出∠PDQ＝120°，推出∠DQP+∠DPQ＝60°，可得结论．
②如图2﹣1中，结论：CD＝DP+DQ．连接AD，在AD上取一点T，使得DT＝DP．利用全等三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）①∵P，Q关于AN对称，
∴AP＝AQ，∠PAN＝∠QAN＝30°，
∴△APQ是等边三角形，
∴PQ＝PA，
∵点P为线段AB的中点，
∴PB＝PA，
∴PQ＝PA＝PB，
∴∠AQB＝90°．
②图形如图所示：结论：．
理由：∵∠AQB＝90°，A，C关于BQ对称，
∴AQ＝QC，
∴PQ＝QC＝AQ，
∴∠CPA＝60°，
∴，
∴．
（2）①如图，连接BC，CQ．
∵A，C关于BQ对称，
∴BC＝BA，CQ＝AQ，
在△BQC与△BQA中，
，
∴△BQC≌△BQA（SSS），
∴∠BCQ＝∠BAQ＝60°，∠BQC＝∠BQA，
∵∠APQ＝60°，
∴∠BPQ＝120°，
∴∠BPQ+∠BCQ＝180°，
∴B，P，Q，C四点共圆，
∴∠CPB＝∠CQB＝∠AQB，
∵∠APC+∠CPB＝180°，
∴∠PAQ+∠PDQ＝180°，
∴∠PDQ＝120°，
∴∠DQP+∠DPQ＝60°，
∴∠CPQ＝60°﹣α．
②如图，结论：PC＝2DP+DQ．
理由：连接AD，在AD上取一点T，使得DT＝DP．
∵∠PAQ+∠PDQ＝180°，
∴A，P，D，Q四点共圆，
∴∠PDT＝∠PQA＝60°，
∵DT＝DP，
∴△PDT是等边三角形，
∴PD＝PT，∠DPT＝∠QPA＝60°，
∴∠DPQ＝∠TPA，
在△DPQ与△TPA中，
，
∴△DPQ≌△TPA（SAS），
∴DQ＝TA，
∴AD＝DT+AT＝PD+DQ，
∵A，C关于BQ对称，
∴DC＝AD，
∴CD＝DP+DQ．
∴PC＝DP+CD＝DP+DP+DQ＝2DP+DQ．
【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，涉及到等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的点M（a，b）和点N（a，b），给出如下定义：若满足b′＝，那么称点N是点M的“m﹣限变点”．
请解决下面的问题：
（1）当m＝2时，
①已知点P的坐标是（2，1），则点P的“m﹣限变点”Q的坐标是 （2，﹣1） ；
②若点P（a，b）的“m﹣限变点”Q的坐标为（﹣1，1），求点P的坐标；
（2）如图1，已知点A（1，5），B（4，2），点P在线段AB上，点P的“3﹣限变点”为Q，则Q的纵坐标t的取值范围是 ﹣3＜t≤3 ；
（3）如图2，已知点P是一、三象限角平分线上的点，△ABC的顶点A（1，1）、B（4，﹣2）、C（6，0），若△ABC上存在点P的“m﹣限变点”，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）①根据“m—限变点”的定义求解即可；
②分两种情况，b≥m或b＜m，分别求解即可；
（2）设P点的纵坐标为b，分两种情况求得t与b的关系，进而得出t的取值范围；
（3）分别求得AC、BC以及AB的解析式，分多种情况求解即可．
【解答】解：（1）①由题意可知，m＝2，
∵1＜2，
由“m—限变点”的定义可得，Q的坐标是（2，﹣1）；
②由题意可知，a＝﹣1，
当b≥2时，由题意可得，4﹣b＝1，
解得：b＝3，
符合题意，即点P的坐标为（﹣1，3）；
当b＜2时，由题意可得：﹣b＝1，
解得：b＝﹣1，
符合题意，即点P的坐标为（﹣1，﹣1）；
点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）；
（2）设P点的纵坐标为b，
点P在线段AB上，点A（1，5），B（4，2），则2≤b≤5，
当2≤b＜3时，t＝﹣b，即﹣3＜t≤2，
当3≤b≤5时，t＝6﹣b，即1≤t≤3，
综上所述：﹣3＜t≤3；
（3）点P是一、三象限角平分线上的点，可得点P的横坐标相等，设P（b，b），点P的“m—限变点”的纵坐标为t，
△ABC的顶点A（1，1）、B（4，﹣2）、C（6，0），
设AB解析式为：y＝kx+t，代入A（1，1）、B（4，﹣2）可得：
，
解得：，
即y＝﹣x+2，
同理可得：BC解析式为：y＝x﹣6，AC解析式为：y＝﹣x+，
由△ABC上存在点P的“m—限变点”可得，1≤b≤6，
当1≤b≤4时，若b≥m时，点P的“m—限变点”的纵坐标t＝2m﹣b，
由题意可得：﹣b+2≤2m﹣b≤﹣b+，
可得：1≤m≤，
可得：1，
若b＜m时，点P的“m—限变点”的纵坐标t＝﹣b，
﹣b+2≤﹣b≤﹣，无解；
当4＜b≤6时，若b≥m，点P的“m—限变点”的纵坐标：t＝2m﹣b，
由题意可得，b﹣6≤2m﹣b≤﹣，
可得：b﹣3≤m≤，
可得：1≤m≤3；
若b＜m，点P的“m—限变点”的纵坐标t＝﹣b，
b﹣6≤﹣b≤﹣b+，无解；
综上所述，m的取值范围为1≤m≤3．
【点评】此题是三角形综合题，考查一次函数的综合运用，新定义问题，一元一次不等式的求解，解题关键是理解题意，掌握“m—限变点”的含义．
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