2023-2024学年北京市通州区九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市通州区九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共28页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．3cm、5cm、6cm、9cmB．3cm、5cm、8cm、9cm
C．3cm、9cm、10cm、30cmD．3cm、6cm、7cm、9cm
2．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（2，1）
3．（2分）如图所示，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE∥BC．如果AD：DB＝2：1，那么AE：AC等于（ ）
A．2：1B．2：5C．2：3D．3：5
4．（2分）将抛物线y＝2x2向下平移3个单位，得到的抛物线为（ ）
A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）2
5．（2分）如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图2中的数据可得x的值为（ ）
A．0.4B．0.8C．1D．1.6
6．（2分）如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件，不能判定△CAB∽△CBD的是（ ）
A．∠A＝∠CBDB．∠CBA＝∠CDB
C．AB•CD＝BD•BCD．BC2＝AC•CD
7．（2分）若二次函数y＝x2﹣4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣4B．m＞﹣4C．m≤4D．m＜4
8．（2分）函数y＝x2﹣4|x|﹣2的自变量x的取值范围为全体实数，其中x≥0部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：
①函数图象关于y轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
④当﹣6＜a＜﹣2时，关于x的方程x2﹣4|x|﹣2＝a有4个实数根．
其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）已知，则＝ ．
10．（2分）请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式 ．
11．（2分）两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积之比为 ．
12．（2分）20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，BE＞AE．已知AB为2米，则线段BE的长为 米．
13．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（﹣1，0），则点Q的坐标为 ．
14．（2分）点（﹣2，y1），（3，y2）为抛物线y＝﹣x2+2x﹣n上两点，则y1 y2．（用“＜”或“＞”号连接）
15．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝6，BD＝2，则CD的长为 ．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为 ．
三、解答题（本题共68分，第17-18题每题4分；第19-21题每题5分；第22-27题每题6分；第28题9分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（4分）已知一条抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4），且经过点（0，4），求抛物线的表达式．
18．（4分）如图，△ABC的高AD，BE相交于点O．
（1）写出一个与△ACD相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是
；
（2）证明：
19．（5分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3；
（1）求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中画出函数图象．
20．（5分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．
21．（5分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F．
（1）求证：△AFE∽△CFD；
（2）若AB＝4，AD＝3，求CF的长．
22．（6分）已知二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4时的函数值相等．
（1）求二次函数y＝x2﹣ax+b图象的对称轴；
（2）过P（0，2）作x轴的平行线与二次函数y＝x2﹣ax+b的图象交于不同的两点M、N．当MN＝2时，求b的值．
23．（6分）已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且AB：AC＝AE：AD．判断BE与BD的数量关系并证明．
24．（6分）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线表达式为．
（1）求绳子所对应的抛物线表达式；
（2）身高1.70m的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
25．（6分）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
26．（6分）某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤20元的价格销售，平均每天可售出60公斤．结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．
（1）若每公斤降价2元，则每天的销售利润为 元；
（2）销售单价定为每公斤多少元时，每天销售该品种葡萄获得的利润w最大？最大利润是多少元？
27．（6分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）点P（a，y1），Q（3，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求a的取值范围．
28．（9分）定义：两个相似三角形共边且位于一个角的平分线两侧，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形．
（1）如图1，四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCD+∠BAD＝180°，求证：△ACB和△ADC为叠似三角形；
（2）如图2，△ACB和△ADC为叠似三角形，若CD∥AB，AD＝4，AC＝6，求四边形ABCD的周长；
（3）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连结AD，点E在AD上，且DE＝DC，F为AC中点，且∠BEC＝∠AEF，若BC＝9，AE＝4，求的值．
2023-2024学年北京市通州区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．3cm、5cm、6cm、9cmB．3cm、5cm、8cm、9cm
C．3cm、9cm、10cm、30cmD．3cm、6cm、7cm、9cm
【分析】根据比例线段的定义和比例的性质，利用每组数中最大和最小数的积与另两个数之积是否相等进行判断．
【解答】解：A.3×9≠5×6，所以四条线段不成比例，故A选项不符合题意；
B.3×9≠5×8，所以四条线段不成比例，故B选项不符合题意；
C.3×30＝9×10，所以四条线段成比例，故C选项符合题意；
D.3×9≠6×7，所以四条线段不成比例，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查成比例线段的概念，关键是理解比例线段的定义，两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
2．（2分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（2，1）
【分析】直接根据二次函数的顶点式可得出结论．
【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+2，
∴其顶点坐标为（1，2）．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
3．（2分）如图所示，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，且DE∥BC．如果AD：DB＝2：1，那么AE：AC等于（ ）
A．2：1B．2：5C．2：3D．3：5
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝＝，求出AE＝2EC，再代入AE：AC求出即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AD：DB＝2：1，
∴＝，
∴AE＝2EC，
∴AE：AC＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
4．（2分）将抛物线y＝2x2向下平移3个单位，得到的抛物线为（ ）
A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）2
【分析】根据“左加右减，上加下减“即可得到答案．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向下平移3个单位，得到的抛物线为y＝2x2﹣3；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减“的平移口诀．
5．（2分）如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图2中的数据可得x的值为（ ）
A．0.4B．0.8C．1D．1.6
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△COD∽△BOA，
∴，
∴，
∴x＝0.4，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
6．（2分）如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件，不能判定△CAB∽△CBD的是（ ）
A．∠A＝∠CBDB．∠CBA＝∠CDB
C．AB•CD＝BD•BCD．BC2＝AC•CD
【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项逐一分析即可．
【解答】解：∵∠C是公共角，
∴再加上∠A＝∠CBD或∠CBA＝∠CDB都可以证明△CAB∽△CBD，故A，B不符合题意，
C选项中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，所以选项C符合题意．
∵∠C＝∠C，
若再添加，即BC2＝AC⋅CD，可证明△CAB∽△CBD，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
7．（2分）若二次函数y＝x2﹣4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣4B．m＞﹣4C．m≤4D．m＜4
【分析】根据已知得出方程x2﹣4x﹣m＝0有两个实数根，即Δ≥0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵函数y＝x2﹣4x﹣m的图象与x轴有公共点，
∴方程x2﹣4x﹣m＝0有两个实数根，即Δ＝42﹣4×1×（﹣m）≥0，
解得：m≥﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，
8．（2分）函数y＝x2﹣4|x|﹣2的自变量x的取值范围为全体实数，其中x≥0部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：
①函数图象关于y轴对称；
②函数既有最大值，也有最小值；
③当x＜﹣2时，y随x的增大而减小；
④当﹣6＜a＜﹣2时，关于x的方程x2﹣4|x|﹣2＝a有4个实数根．
其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题．
【解答】解：如图：
①如图所示：函数图象关于y轴对称，则正确；
②如图所示：函数没有最大值，只有最小值，则错误；
③如图所示：当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则正确；
④如图所示：当﹣6＜a＜﹣2时，关于x的方程x2﹣4|x|﹣2＝a有4个实数根，则正确；
则正确的个数有3个，故选C．
【点评】本题考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题．
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）已知，则＝ ＝ ．
【分析】根据分比性质，可得答案．
【解答】解：由分比性质，得
＝，
即＝，
故答案为：＝．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了分比性质：＝⇒＝．
10．（2分）请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式 y＝﹣x2 ．
【分析】根据开口向下，可知a＜0，再根据经过原点，可知c＝0，从而可以写出一个符合要求的二次函数解析式，本题得以解决，注意本题答案不唯一．
【解答】解：开口向下，经过原点的二次函数的表达式是y＝﹣x2，
故答案为：y＝﹣x2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11．（2分）两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的面积之比为 4：9 ．
【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积之比为4：9．
故答案为：4：9
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比的平方．
12．（2分）20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，BE＞AE．已知AB为2米，则线段BE的长为 （﹣1） 米．
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵E为边AB的黄金分割点，BE＞AE，AB为2米，
∴BE＝AB＝×2＝（﹣1）米，
故答案为：（﹣1）．
【点评】本题考查了黄金分割，数学常识，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
13．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（﹣1，0），则点Q的坐标为 （3，0） ．
【分析】点P的坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝1，则：PQ之间的距离为2×（1+1）＝4，即可求解．
【解答】解：点P的坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝1，
则：PQ之间的距离为2×（1+1）＝4，
则：点Q的横坐标为﹣1+4＝3，
故答案为：（3，0）．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，涉及到图象上点的性质等函数基本属性，本题是一道基本题．
14．（2分）点（﹣2，y1），（3，y2）为抛物线y＝﹣x2+2x﹣n上两点，则y1 ＜ y2．（用“＜”或“＞”号连接）
【分析】根据二次函数的对称性将点化在对称轴的同一侧，结合函数的性质比较即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，
抛物线y＝﹣x2+2x﹣n的对称轴为：直线，
∴（﹣2，y1）的对称点为：（4，y1），
∵﹣1＜0，1＜3＜4，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝6，BD＝2，则CD的长为 2 ．
【分析】根据射影定理计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
由射影定理得：CD2＝AD•BD，
∵AB＝6，BD＝2，
∴AD＝6﹣2＝4，
∴CD2＝4×2＝8，
∴CD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是射影定理，直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为（8，6），点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足△PBE∽△CBO，当△APC是等腰三角形时，点P的坐标为 （，）或（4，3） ．
【分析】由题意得出P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，由此分两种情形分别求解，可得结论．
【解答】解：∵点P在矩形ABOC的内部，且△APC是等腰三角形，
∴P点在AC的垂直平分线上或在以点C为圆心AC为半径的圆弧上；
①当P点在AC的垂直平分线上时，点P同时在BC上，AC的垂直平分线与BO的交点即是E，如图1所示：
∵PE⊥BO，CO⊥BO，
∴PE∥CO，
∴△PBE∽△CBO，
∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（8，6），
∴点P横坐标为4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，
∵△PBE∽△CBO，
∴＝，即＝，
解得：PE＝3，
∴点P（4，3）；
②P点在以点C为圆心AC为半径的圆弧上，圆弧与BC的交点为P，
过点P作PE⊥BO于E，如图2所示：
∵CO⊥BO，
∴PE∥CO，
∴△PBE∽△CBO，
∵四边形ABOC是矩形，A点的坐标为（8，6），
∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，
∴BC＝＝＝10，
∴BP＝2，
∵△PBE∽△CBO，
∴＝＝，即：＝＝，
解得：PE＝，BE＝，
∴OE＝8﹣＝，
∴点P（，）；
综上所述：点P的坐标为：（，）或（4，3）；
故答案为：（，）或（4，3）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形的性质、平行线的判定、勾股定理、分类讨论等知识，熟练掌握相似三角形与等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-18题每题4分；第19-21题每题5分；第22-27题每题6分；第28题9分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（4分）已知一条抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4），且经过点（0，4），求抛物线的表达式．
【分析】根据顶点坐标设抛物线解析式为y＝a（x+2）2﹣4，代入已知点坐标计算即可．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣4），
∴设抛物线表达式为y＝a（x+2）2﹣4，
∵抛物线经过点（0，4），
∴将（0，4）代入y＝a（x+2）2﹣4，
得：4a﹣4＝4，
∴a＝2，
∴y＝2（x+2）2﹣4．
【点评】本题考查二次函数函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
18．（4分）如图，△ABC的高AD，BE相交于点O．
（1）写出一个与△ACD相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是
△AOE或△BOD或△BCE ；
（2）证明：
【分析】（1）根据两个角相等，两个三角形相似，可证明与△ACD相似的三角形有△BOD或△CBE或△AOE；
（2）证明过程同（1）．
【解答】（1）解：∵∠AEO＝∠ADC＝90°，∠DAC＝∠OAE，
∴△AOE∽△ACD，
∴∠AOE＝∠C，
∵∠AOE＝∠BOD，
∴△BOD∽△ACD；
∵∠AEO＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，
∴△CBE∽△ACD，
∴与△ACD相似的三角形为△AOE或△BOD或△BCE，
故答案为：△AOE或△BOD或△BCE；
（2）证明：∵∠AEO＝∠ADC＝90°，∠DAC＝∠OAE，
∴△AOE∽△ACD，
∴∠AOE＝∠C，
∵∠AOE＝∠BOD，
∴△BOD∽△ACD；
∵∠AEO＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，
∴△CBE∽△ACD．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．
19．（5分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3；
（1）求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中画出函数图象．
【分析】（1）由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得到抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），令x＝0，则 y＝﹣3，得到抛物线与y轴交点坐标，令y＝0，求出抛物线与x轴交点，即可求解；
（2）取点描点连线画图即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
令x＝0，则 y＝﹣3，抛物线与y轴交点为（0，﹣3），
令y＝0，则 x1＝3．x2＝﹣1，抛物线与x轴交点为（3，0）和 （﹣1，0）；
（2）当x＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，即抛物线过点（2，﹣3），
根据（1）中的数据画出函数图象如下：
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
20．（5分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．
【分析】先判定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
【解答】解：在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴＝，
即＝，
解得BC＝4，
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，
即树高5.5m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF和△DBC相似是解题的关键．
21．（5分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F．
（1）求证：△AFE∽△CFD；
（2）若AB＝4，AD＝3，求CF的长．
【分析】（1）根据矩形对边平行，有AE∥DC，可知△AFE∽△CFD；
（2）根据相似三角形的性质可得，再利用已知线段的长代入即可求出CF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥DC，
∴∠FAE＝∠FCD，∠FEA＝∠FDC，
∴△AFE∽△CFD，
故△AFE∽△CFD得证．
（2）解：由（1）知△AFE∽△CFD，
∴，
而E是边AB的中点，且AB＝4，AD＝3，
∴AE＝2，AC＝5，
∴＝＝，
而AC＝5，
∴AF＝，CF＝，
故CF的长为．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例即可利用已知线段求出未知线段的长度．
22．（6分）已知二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4时的函数值相等．
（1）求二次函数y＝x2﹣ax+b图象的对称轴；
（2）过P（0，2）作x轴的平行线与二次函数y＝x2﹣ax+b的图象交于不同的两点M、N．当MN＝2时，求b的值．
【分析】（1）根据对称轴为对称点横坐标和的一半计算即可．
（2）设M（x1，2），N（x2，2），根据对称轴为直线x＝2，MN＝2，得到，求得值后，利用对称轴和点的坐标计算即可；
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4时函数值相等，
∴对称轴为直线x＝2．
（2）∵过P（0，2）作x轴的平行线与二次函数y＝x2﹣ax+b的图象交于不同的两点M、N，
设点M在点N的左侧，设M（x1，2），N（x2，2），
∵对称轴为直线x＝2，MN＝2，
∴，
解得，
∴点M的坐标为（1，2），点N的坐标为（3，2）
∴，1﹣a+b＝2，
∴a＝4，b＝5．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
23．（6分）已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且AB：AC＝AE：AD．判断BE与BD的数量关系并证明．
【分析】根据相似三角形的判定方法，利用∠CAD＝∠DAB和AB：AC＝AE：AD可判断△EAB∽△DAC，则∠AEB＝∠ADC，根据等角的补角相等得到∠BED＝∠BDE，从而可判断BE＝BD．
【解答】解：BE＝BD．
理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵AB：AC＝AE：AD，
∴△EAB∽△DAC，
∴∠AEB＝∠ADC，
∴∠BED＝∠BDE，
∴BE＝BD．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了等腰三角形的判定．
24．（6分）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线表达式为．
（1）求绳子所对应的抛物线表达式；
（2）身高1.70m的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）先将函数关系式化为顶点式，求出函数的最值，再与小明的身高作比较，即可作答．
【解答】解：（1）根据题意，抛物线经过点（0，1），（4，1）．
∴，
解得，
∴绳子所对应的抛物线表达式为：；
（2）身高1.70m的小明，不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
理由如下：
∵，
∴当x＝2时，，
∵，
∴绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
【点评】本题考查了待定系数法，二次函数的最值，熟练掌握二次函数最值求法是解答本题的关键．
25．（6分）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠B＝∠C＝45°，根据三角形的外角性质得到∠BAD＝∠EAC，根据相似三角形的判定定理证明结论；
（2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到y关于x的函数关系式．
【解答】（1）证明：∵等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴∠B＝∠C＝45°，，
∵∠ADE＝45°，∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EDC，
∴∠BAD＝∠EDC，
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴，
∵BD＝x，AE＝y，
∴，
∴．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
26．（6分）某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤20元的价格销售，平均每天可售出60公斤．结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．
（1）若每公斤降价2元，则每天的销售利润为 800 元；
（2）销售单价定为每公斤多少元时，每天销售该品种葡萄获得的利润w最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）本题考查二次函数解决销售理论问题，解题的关键是找到等量关系式，根据利润＝利润单价×数量即可得到答案；
（2）本题考查二次函数解决销售理论问题，解题的关键是找到等量关系式，根据利润＝利润单价×数量写出函数关系式，结合函数性质即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意得每天的销售利润为：
（20﹣2﹣8）（60+2×10）＝800（元），
故答案为：800；
（2）设销售单价定为每公斤x元，由题意得，
w＝（x﹣8）[60+（20﹣x）×10]＝﹣10x2+340x﹣2080＝﹣10（x﹣17）2+810，
∵﹣10＜0，
∴当x＝17时w最大，wmax＝810（元），
答：销售单价定为每公斤17元时，每天销售该品种葡萄获得的利润最大，最大利润是810元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值．
27．（6分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）点P（a，y1），Q（3，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求a的取值范围．
【分析】（1）把抛物线解析式转化成顶点式即可求解；
（2）分类讨论：当a＞0时，抛物线开口向上时，当a＜0时，抛物线开口向下时，根据点P、Q在对称轴异侧或同侧和二次函数的图象与性质求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0），
∴y＝a（x﹣1）2+3﹣a，
∴抛物线的顶点坐标为（1，3﹣a）．
（2）当a＞0时，抛物线开口向上，
①若点P、Q在对称轴异侧，
∵y1＞y2，
∴点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，
∴1﹣a＞2，
∴a＜﹣1，
又∵a＞0，
∴此情况不成立，
②若点P、Q在对称轴同侧，
当x≥1时，y随x的增大而增大，
∵y1＞y2，
∴a＞3，
当a＜0时，抛物线开口向下，
①若点P、Q在对称轴异侧
∵y1＞y2，
∴点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，
∴1﹣a＜2，
∴a＞﹣1，
∴﹣1＜a＜0，
②若点P、Q在对称轴同侧，
当x≥1时，y随x的增大而减小，
∵y1＞y2，
∴1＜a＜3与a＜0矛盾，
∵此情况不成立，
综上所述，﹣1＜a＜0或a＞3．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的性质，灵活运用所学知识解决问题．
28．（9分）定义：两个相似三角形共边且位于一个角的平分线两侧，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形．
（1）如图1，四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCD+∠BAD＝180°，求证：△ACB和△ADC为叠似三角形；
（2）如图2，△ACB和△ADC为叠似三角形，若CD∥AB，AD＝4，AC＝6，求四边形ABCD的周长；
（3）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，连结AD，点E在AD上，且DE＝DC，F为AC中点，且∠BEC＝∠AEF，若BC＝9，AE＝4，求的值．
【分析】（1）先证明△ABC∽△ACD，再根据叠似三角形的定义证明；
（2）根据叠似三角形的定义得到△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算求出AB，进而求出四边形ABCD的周长；
（3）延长EF至点M，使FM＝EF，连结CM，证明△AEF≌△CMF，得到AE＝CM＝4，∠AEF＝∠M，证明△BCE∽△ECM，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD
∴∠CAB＝∠CAD，
在△ACD中，∠CAD+∠D+∠ACD＝180°，
∵∠BCD+∠BAD＝180°，
∴∠ACB＝∠D，
∴△ABC∽△ACD，
∴△ACB和△ADC为叠似三角形；
（2）解：∵CD∥AB，
∴∠CAB＝∠ACD，
∵△ACB和△ADC 为叠似三角形，
∴∠CAB＝∠CAD，
∴∠ACD＝∠CAD，
∴AD＝CD＝4，
∵△ACB 和△ADC为叠似三角形，
∴△ABC∽△ACD，
∴＝，∠B＝∠ACD＝∠CAB，
∴AC＝CB＝6，AC2＝AB•AD，
∵AD＝4，AC＝6，
∴AB＝9，
∴四边形ABCD的周长AD+DC+CB+AB＝4+4+6+9＝23；
（3）解：延长EF至点M，使FM＝EF，连结CM，
∵F为AC中点
∴AF＝CF，
在△AEF和△CMF中，
，
∴△AEF≌△CMF（SAS），
∴AE＝CM＝4，∠AEF＝∠M，
∴AE∥CM，
∴∠DEC＝∠ECM，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴∠ECM＝∠DCE，
∵∠BEC＝∠AEF，
∴∠BEC＝∠M，
∴△BCE∽△ECM，
∴＝＝，
∵BC＝9，CM＝4，
∴EC＝6，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴＝．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、叠似三角形的定义，正确理解叠似三角形的定义、掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
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