江苏省泰州中学2024-2025学年高三上学期期初调研考试数学试题（解析版）

这是一份江苏省泰州中学2024-2025学年高三上学期期初调研考试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了 若，则， 已知，则， 下列四个命题中，正确的是， 已知，，，下列结论正确的是， 已知函数的最小正周期为，则等内容，欢迎下载使用。

（命题：汤晓燕 审题：陈生 时间：120分钟 满分：150分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝
A. {0，1，2}B. {－1，0，1，2}C. {－1，0，2，3}D. {0，1，2，3}
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：求出集合M中不等式的解集，确定出M，找出M与N的公共元素，即可确定出两集合的交集．
解：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}，
∵N={﹣1，0，1，2，3}，
∴M∩N={0，1，2}．
故选A
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的运算进行计算，即可求解.
【详解】.
故选：C
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用换元法结合诱导公式、倍角公式即可求解.
【详解】令，则，
所以，
故选：A.
4. 下列四个命题中，正确的是（ ）
A. 直线在轴上的截距为2
B. 直线倾斜角和斜率均存在
C. 若两直线的斜率满足，则两直线互相平行
D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程直接求解可判断A；由倾斜角和斜率的定义可判断B；根据直线平行与斜率的关系可判断C；由倾斜角为时斜率不存在可判断D.
【详解】对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故错误；
直线的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B正确；
若两直线的斜率满足，则两直线互相平行或重合，所以C错误；
若两直线的倾斜角为，则它们的斜率不存在，所以D错误；
故选：B
5. 在中，是中点且，则向量在向量上的投影向量（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知得为等边三角形，结合投影向量的定义即可求解.
【详解】由，得为等边三角形，
故过点作交于点，则为中点，

所以向量在向量上的投影向量为，与方向相反，
由是中点，为中点，有.
故选：C
6. 已知函数，，则图象为如图的函数可能是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用图象的特殊值排除即可
【详解】，，由图得，时，排除BD；
，，由图得，时，排除A.
故选：C．
7. 某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ）
A. 72种B. 81种C. 144种D. 192种
【答案】D
【解析】
【分析】先计算乙和丙在相邻两天参加服务的排法，排除乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务的排法，即可得出答案.
【详解】解：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为，
若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为，
由间接法可知，满足条件的排法种数为种.
故选：D.
8. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求函数的导函数以后，将问题转化成含参方程有两实根时，求参数的取值范围的问题，参变分离以后得到，令，令利用导数研究函数的图象性质，进而得到的取值范围.
【详解】，
故原命题等价于关于的方程在上有两个不同的实数根，
即关于的方程在上有两个不同的实数根，
令，则，
所以关于的方程在上有两个不同的实数根，
令，
因为在上单调递增，故在上的值域为，
因为在上单调递减，故在上的值域为，
而，从而实数的取值范围是.
故选：C.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，，下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为9B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据基本不等式、二次函数的性质和对数运算性质判断各选项即可.
【详解】因为，，，
所以，
当且仅当，即时取等号，取得最小值9，故A正确；
，
根据二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，故B错误；
因为，即，
当且仅当，即时取等号，
所以，即最大值，故C错误；
，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，故D正确．
故选：AD．
10. 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A.
B. 点是图象的一个对称中心
C. 在上单调递减
D. 将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象
【答案】AB
【解析】
【分析】将化简，由其周期求得，判断A;将代入解析式验证，判断B；根据正弦函数的单调性判断C；根据正弦函数图象的平移变换判断D.
【详解】由题意知,A正确.
，
故关于对称，B正确.
令，则，
当时，，
令，则，
当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
而，故在上不单调递减，C错误；
将的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到的图象,
而
，D错，
故选：
11. 设，正项数列满足，下列说法正确的有（ ）
A. 为中的最小项
B. 为中最大项
C. 存在，使得成等差数列
D. 存在，使得成等差数列
【答案】AB
【解析】
【分析】由可得，故构造，利用导数求其单调性，不难发现是最小的项；在构造，为了比较之后每一项与前一项的关系，发现是最大的项，易得BCD选项的对与错
【详解】解：由可得
令，
当递增；
当递减
且
是最小的项；
所以A正确
令
在区间内递减，即；即
即，
所以，综上所述，是最大的项，所以B正确，
由于 是最小的项，是最大的项，则不可能使得成等差数列，故C错误；
由C知，不成等差数列，当时，
因为，所以，则，
，所以不存在成等差数列，故D错误
故选：AB
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的二项展开式中，各项的系数和为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用赋值法求二项式展开式中各项的系数和即可.
【详解】当时，二项式展开式各项的系数和为.
故答案为：.
13. 在中，分别为内角的对边，若，且，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】由三角函数的基本关系式和，求得，再由正弦定理，得到，根据余弦定理，列出方程，即可求解.
【详解】因为，则，
所以，
又因为，
即，解得，
又由，
根据正弦定理，可得，
由余弦定理可得
，
整理得，即.
故答案为：.
14. 已知，若，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦函数的对称性，可知，利用函数值相等有，转化成一个变量的函数，利用导数求解出函数的最值，即可求解.
【详解】设，则的图象如图所示，

即y=fx的图象与的图象有3个交点，横坐标依次为，且
由余弦函数图象的性质可知，，
又，所以，
令，
则，令，解得或，
当时，在单调递增，
当时，在单调递减，
当时，在单调递增，
又因为，
所以，
所以，
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现在甲､乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数.求：
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量的概率分布.
【答案】（1）3 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）设出袋中原有个白球，利用古典概型得到关于的方程，求解即可；
（2）根据题意分析可知，随机变量的可能取值为，计算出随机变量在不同取值下的概率，即可得出随机变量的概率分布列.
【小问1详解】
设袋中原有个白球，由题意知：，所以，
解得（舍去），即袋中原有3个白球.
【小问2详解】
由题意，的可能取值为.
；
；
；
；
；
所以，取球次数的分布列为：
16. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，平面平面．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）设的中点为，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而得到平面，然后根据面面垂直的判定定理即得；
（2）根据题意以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而求解.
【小问1详解】
设的中点为，连接，
因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，且平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，
因为在等边三角形中，为的中点，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
【小问2详解】
连接，由（1）知，平面，
因为平面，所以，
因为，，，
所以四边形为矩形，
即，，，所以，
设，， ，，
以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
所以，，，，，，
所以，，，，
设平面和平面的法向量分别为，，
则，，
即， ，
取，，则，，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17. 已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若当时，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）递减区间为，无递增区间；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数，再利用导数求出的单调区间.
（2）等价变形给定不等式得，令并求出值域，再换元并分离参数构造函数，求出函数的最小值即得.
【小问1详解】
依题意，函数的定义域为，
求导得，当且仅当时取等号，
即在上单调递减，
所以函数递减区间为，无递增区间.
【小问2详解】
当时，恒成立，
令，求导得，
当时，，当时，，
即函数在上递减，在上递增，则当时，，
令，依题意，，恒成立，
令，求导得，则函数在上单调递增，
当时，，因此，
所以实数m的取值范围.
【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
18. 已知各项均为正数的数列的前项和为，
（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）求证：：
（3）设，是否存在正整数，使得对任意正整数均有恒成立？若存在求出的最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析，
（2）证明见解析 （3）存在，的最大值为674
【解析】
【分析】（1）由等差数列的定义证明即可，由为等差数列，先求出，然后求解an的通项公式即可；
（2）由裂项相消法求和证明不等式即可；
（3）由裂项相消法求和，然后由恒成立问题求解的最大值，因Tn+1-Tn=bn+1=12n+12n+3>0，则数列单调递增，所以只需求的最小值即可；
【小问1详解】
证明：因为，则当时，，
即，
而，有，即，
所以数列是以为首项为1，公差为1的等差数列，
于是得，即，
当时，，又满足上式，
所以an的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）知，
当时，，
则，
当时，，
即对任意的，都有.
【小问3详解】
由（1）知，，
则有，
因Tn+1-Tn=bn+1=12n+12n+3>0，则数列单调递增，，
因对任意正整数均有成立，
于是得，解得，
而，则，
所以存在正整数，使得对任意正整数均有总成立，的最大值为674.
19. 已知椭圆的焦点和上顶点分别为，定义：为椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点是椭圆的一个焦点，且上任意一点到它的两焦点的距离之和为4
（1）若椭圆与椭圆相似，且与的相似比为2：1，求椭圆的方程.
（2）已知点是椭圆上任意一点，若点是直线与抛物线异于原点的交点，证明：点一定在双曲线上.
（3）已知直线，与椭圆相似且短半轴长为的椭圆为，是否存在正方形，（设其面积为），使得在直线上，在曲线上？若存在，求出函数的解析式及定义域；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）先计算椭圆：，根据相似比得到椭圆的方程.
（2）点是椭圆上的一点，则，设，计算
得到证明.
（3）根据题意：只需上存在两点关于对称即可，利用韦达定理计算，得到答案.
【详解】（1）根据题意知，椭圆：，，椭圆：
椭圆与椭圆相似，且与的相似比为2：1，则
椭圆的方程为：
（2）点是椭圆上的一点，则，
设
故
所以点一定在双曲线上
（3）：根据题意：只需上存在两点关于对称即可
设，设的中点为
由韦达定理知：
在直线上，则
故，
此时正方形的边长为

故1
2
3
4
5