2024年广东省中考数学试卷

这是一份2024年广东省中考数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）计算﹣5+3的结果是（ ）
A．﹣2B．﹣8C．2D．8
2．（3分）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为（ ）
A．3.84×104B．3.84×105C．3.84×106D．38.4×105
4．（3分）如图，一把直尺、两个含30°的三角尺拼接在一起，则∠ACE的度数为（ ）
A．120°B．90°C．60°D．30°
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a5＝a10B．a8÷a2＝a4C．﹣2a+5a＝7aD．（a2）5＝a10
6．（3分）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（ ）
A．2B．5C．10D．20
8．（3分）若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝x2的图象上，则（ ）
A．y3＞y2＞y1B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y1＞y2
9．（3分）方程＝的解是（ ）
A．x＝﹣3B．x＝﹣9C．x＝3D．x＝9
10．（3分）已知不等式kx+b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）数据5，2，5，4，3的众数是 ．
12．（3分）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝ ．
14．（3分）计算：﹣＝ ．
15．（3分）如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
16．（7分）计算：20×|﹣|+﹣3﹣1．
17．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D．求证：AB与⊙D相切．
18．（7分）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4m，CE＝1.6m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据≈1.73）
（1）求PQ的长；
（2）该充电站有20个停车位，求PN的长．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．（9分）端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩．为了选择一个最合适的景区，王先生对A、B、C三个景区进行了调查与评估．他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评分（10分制）．三个景区的得分如表所示：
（1）若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩？
（2）如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩？
（3）如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的景区，并说明理由．
20．（9分）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）
21．（9分）综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为10cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
【实践探索】
（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留π）
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。
22．（13分）【知识技能】
（1）如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′．当点E的对应点E′与点A重合时，求证：AB＝BC．
【数学理解】
（2）如图2，在△ABC中（AB＜BC），DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′，连接A′B，C′C，作△A′BD的中线DF．求证：2DF•CD＝BD•CC′．
【拓展探索】
（3）如图3，在△ABC中，tanB＝，点D在AB上，AD＝．过点D作DE⊥BC，垂足为E，BE＝3，CE＝．在四边形ADEC内是否存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
23．（14分）【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y＝ax（a＞0）上第一象限内的两个动点（OD＞OB），以线段BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数y＝的图象经过点A．
【构建联系】
（1）求证：函数y＝的图象必经过点C．
（2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为（1，2）时，求k的值．
【深入探究】
（3）如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接AC交BD于点P．以点O为圆心，AC长为半径作⊙O．若OP＝3，当⊙O与△ABC的边有交点时，求k的取值范围．
2024年广东省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）计算﹣5+3的结果是（ ）
A．﹣2B．﹣8C．2D．8
【分析】依据有理数的加法法则计算即可．
【解答】解：﹣5+3＝﹣（5﹣3）＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是有理数的加法法则，掌握有理数的加法法则是解题的关键．
2．（3分）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．（3分）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接．数据384000用科学记数法表示为（ ）
A．3.84×104B．3.84×105C．3.84×106D．38.4×105
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：384000＝3.84×105．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法﹣﹣表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．（3分）如图，一把直尺、两个含30°的三角尺拼接在一起，则∠ACE的度数为（ ）
A．120°B．90°C．60°D．30°
【分析】根据∠ACD＝∠ABC+∠A及∠ECD的度数即可解决问题．
【解答】解：由题知，
∠ACD＝∠ABC+∠A＝90°，
又∵∠ECD＝30°，
∴∠ACE＝90°﹣30°＝60°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的外角性质，熟知三角形的外角的性质是解题的关键．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a5＝a10B．a8÷a2＝a4C．﹣2a+5a＝7aD．（a2）5＝a10
【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项及幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算，逐一判断即可．
【解答】解：A．a2•a5＝a7，故本选项不符合题意；
B．a8÷a2＝a6，故本选项不符合题意；
C．﹣2a+5a＝3a，故本选项不符合题意；
D．（a2）5＝a10，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘除法、合并同类项及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
6．（3分）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用概率公式可得答案．
【解答】解：∵共有四种区域文化，
∴随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是．
故选：A．
【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
7．（3分）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（ ）
A．2B．5C．10D．20
【分析】根据题意列出算式，利用算术平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：＝＝5，
则正方形的边长为5．
故选：B．
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
8．（3分）若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y＝x2的图象上，则（ ）
A．y3＞y2＞y1B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2D．y3＞y1＞y2
【分析】先求得抛物线开口方向和对称轴．再根据二次函数的增减性即可判断．
【解答】解：∵二次函数y＝x2，
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为y轴．
∴当x≥0时，y随x的增大而增大，
∵0＜1＜2，
∴y1＜y2＜y3，
故选：A．
【点评】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性．
9．（3分）方程＝的解是（ ）
A．x＝﹣3B．x＝﹣9C．x＝3D．x＝9
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：＝，
2x＝3（x﹣3），
解得：x＝9，
检验：当x＝9时，x（x﹣3）≠0，
∴x＝9是原方程的根，
故选：D．
【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
10．（3分）已知不等式kx+b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx+b的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】数形结合求不等式的解集，逐一判断四个选项即可．
【解答】解：A．不等式kx+b＜0的解集是x＞﹣2，故本选项不符合题意；
B．不等式kx+b＜0的解集是x＜2，故本选项符合题意；
C．不等式kx+b＜0的解集是x＜﹣2，故本选项不符合题意；
D．不等式kx+b＜0的解集是x＞2，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，数形结合思想是解题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）数据5，2，5，4，3的众数是 5 ．
【分析】根据众数的定义即可得出答案．
【解答】解：数据5，2，5，4，3中，5出现的次数最多，所以众数是5．
故答案为：5．
【点评】主要考查了众数的概念．注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．
12．（3分）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 x≥3 ．
【分析】根据数轴可得不等式的解集，注意实心表示可以取等于号，空心表示不能取等于号．
【解答】解：这个不等式组的解集是：x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定界点时要注意，点是实心还是空心，若界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝ 1 ．
【分析】根据一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根可知Δ＝0，即4﹣4c＝0，即可解得答案．
【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即4﹣4c＝0，
解得c＝1
故答案为：1．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则Δ＝0．
14．（3分）计算：﹣＝ 1 ．
【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母．
15．（3分）如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为 10 ．
【分析】连接BD，因为E是AB的中点，所以S△AED＝S△ABD＝S菱形ABCD＝6，S△BEC＝S△AED＝6，根据S△BEF＝4，可得FC＝BC，故S△DFC＝S△BCD＝4，故S阴影＝S菱形ABCD﹣S△AED﹣S△BEF﹣S△DFC＝24﹣6﹣4﹣4＝10．
【解答】解：连接BD，
∵E是AB的中点，
∴S△AED＝S△ABD＝S菱形ABCD＝6，
连接EC，
同理可得S△BEC＝S△AED＝6，
∵S△BEF＝4，
∴S△BEF＝S△BEC，
∴FC＝BC，
∴S△DFC＝S△BCD＝S菱形ABCD＝4，
∴S阴影＝S菱形ABCD﹣S△AED﹣S△BEF﹣S△DFC＝24﹣6﹣4﹣4＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查菱形的性质及三角形的面积计算，根据同高三角形的底之比等于面积之比计算出空白部分三角形面积是解题的关键．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
16．（7分）计算：20×|﹣|+﹣3﹣1．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝1×+2﹣
＝+2﹣
＝2．
【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）实践与操作：用尺规作图法作∠A的平分线AD交BC于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D．求证：AB与⊙D相切．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得DE＝CD，则DE为⊙D的半径，结合切线的判定可知，AB与⊙D相切．
【解答】（1）解：如图，AD即为所求．
（2）证明：过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，
∴DE＝CD，
∴DE为⊙D的半径，
∴AB与⊙D相切．
【点评】本题考查作图—复杂作图、角平分线的性质、切线的判定，熟练掌握角平分线的性质及作图方法、切线的判定是解答本题的关键．
18．（7分）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ＝60°，AB＝5.4m，CE＝1.6m，GH⊥CD，GH是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．
根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据≈1.73）
（1）求PQ的长；
（2）该充电站有20个停车位，求PN的长．
【分析】（1）先求出AQ和AP的长度，；
（2）求出QM的长度，因为四边形ABCD是矩形，所以PN＝QM＝66.7m．
【解答】解：（1）∵四边形PQMN是矩形，
∴∠Q＝∠P＝90°，
在Rt△ABQ中，∠ABQ＝60°，AB＝5.4m，
∴AQ＝AB•sin，∠QAB＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝∠ABC＝∠BCE＝90°，
∴∠CBE＝30°，
∴，
∴，
∵∠PAD＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∴，
∴；
（2）在Rt△BCE中，，
在Rt△ABQ中，BQ＝AB•cs∠ABQ＝2.7m，
∵该充电站有20个停车位，
∴QM＝QB+20BE＝66.7m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴PN＝QM＝66.7m．
【点评】本题考查了三角函数的实际应用，理解题目意思是解题的关键．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．（9分）端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩．为了选择一个最合适的景区，王先生对A、B、C三个景区进行了调查与评估．他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景区评分（10分制）．三个景区的得分如表所示：
（1）若四项所占百分比如图所示，通过计算回答：王先生会选择哪个景区去游玩？
（2）如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择哪个景区去游玩？
（3）如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的景区，并说明理由．
【分析】（1）分别计算加权平均数即可判断出答案；
（2）分别计算算术平均数即可判断出答案；
（2）将特色美食、自然风光、乡村民宿和科普基地四项得分的百分比定为20%，30%，30%，20%，通过计算再判断即可（答案不唯一）．
【解答】解：（1）景区A得分为：＝7.15，
景区B得分为：＝7.4，
景区C得分为：＝6.9，
∵7.4＞7.15＞6.9，
∴王先生会选择B景区去游玩；
（2）景区A得分为：＝7.5，
景区B得分为：＝7.25，
景区C得分为：＝7，
∵7.5＞7.25＞7，
∴王先生会选择A景区去游玩；
（3）将特色美食、自然风光、乡村民宿和科普基地四项得分的百分比定为20%，30%，30%，20%，
景区A得分为：＝7.5，
景区B得分为：＝7.3，
景区C得分为：＝7，
∵7.5＞7.3＞7，
∴选择A景区去游玩．
【点评】本题考查了扇形统计图和平均数，加权平均数是将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数，平均数的大小不仅取决于总体中各单位的标志值（变量值）的大小，而且取决于各标志值出现的次数（频数），由于各标志值出现的次数对其在平均数中的影响起着权衡轻重的作用，因此叫做权数．
20．（9分）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外，若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）
【分析】设该果商定价x万元时每天的“利润”为w万元，根据题意列出w与x之间的函数关系式，再根据二次函数的单调性即可得出答案．
【解答】解：设该果商定价x万元时每天的“利润”为w万元，
w＝（x﹣2）[100+50（5﹣x）]
＝﹣50（x﹣4.5）2+312.5，
∵﹣50＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝4.5时，w有最大值，最大值为312.5万元，
答：该果商定价为4.5万元时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大，其最大值为312.5万元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，找到等量关系是解题的关键．
21．（9分）综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为10cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗．
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
【实践探索】
（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留π）
【分析】（1）证△CDE∽△CAB即可得证；
（2）利用圆锥体积公式计算即可．
【解答】解：（1）滤纸能紧贴此漏斗内壁，理由如下，
方法一：如图作出示意图，由题意知，AB＝AC＝BC＝7cm，
折叠后CD＝CE＝×10＝5cm，
∵底面周长＝×10π＝5πcm，
∴DE•π＝5πcm，
∴DE＝5cm，
∴，
∴△CDE∽△CAB，
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁．
方法二：由2πr＝得，＝
图3中，n1＝90°×2＝180°，
图4中，＝＝，
∴n2＝180°，
∵n1＝n2，
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁．
（2）由（1）知CD＝DE＝CE＝5cm，
∴∠CDE＝60°，
过C作CF⊥DE于点F，则DF＝DE＝cm，
在Rt△CDF中，CF2＝＝cm，
∴V＝π•（）2××＝πcm3．
即圆锥形的体积是πcm3．
【点评】本题主要考查了圆锥的计算、相似三角形判定、勾股定理等知识，正确读懂题意和掌握圆锥体积公式是解题关键．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分。
22．（13分）【知识技能】
（1）如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′．当点E的对应点E′与点A重合时，求证：AB＝BC．
【数学理解】
（2）如图2，在△ABC中（AB＜BC），DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′，连接A′B，C′C，作△A′BD的中线DF．求证：2DF•CD＝BD•CC′．
【拓展探索】
（3）如图3，在△ABC中，tanB＝，点D在AB上，AD＝．过点D作DE⊥BC，垂足为E，BE＝3，CE＝．在四边形ADEC内是否存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用等腰三角形+平行线证明∠DAE＝∠BCA即可得证；
（2）先证△ADA′∽△CDC得到，再证AA'＝2DF，代入变形即可得证；
（3）利用特殊点，∠AGD＝90°，∠CGE＝90°，则G就是以AD为直径的圆和以CE为直径的圆的交点，根据题意证G在内部即可．
【解答】（1）证明：∵△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC'，且E'与A重合，
∴AD＝AE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠DEA＝∠BCA，
∴∠DAE＝∠BCA，
∴AB＝AC．
（2）证明：连接AA'，
∵旋转，
∴∠ADA′＝∠CDC′，AD＝A'D，CD＝C'D，
∴，
∴△ADA′∽△CDC′，
∴，
∵DE是△ABC的中位线，DF是△A'BD的中线，
∴AD＝BD，BF＝A'F，
∴DF是△AA'B的中位线，
∴AA'＝2DF，
∴，
∴2DF•CD＝BD•CC'
（3）解：存在，理由如下，
取AD中点M，CE中点N，连接MN，
∵AD是⊙M直径，CE是⊙N直径，
∴∠AGD＝90°，∠CGE＝90°，
∴∠AGD+∠CGE＝180°，
∵tanB＝，BE＝3，
∴BD＝5，
∵CE＝，
∴EN＝CE＝，
∴BN＝BE+EN＝，
∵DE⊥CE，
∴DE是⊙N的切线，即DE在⊙N外，
作NF⊥AB，
∵∠B＝∠B，∠BED＝∠BFN＝90°，
∴△BDE∽△BNF，
∴，
∴NF＝＞，即NF＞rn，
∴AB在⊙N外，
∴G点在四边形ADEC内部．
故四边形ADEC内存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、中位线定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
23．（14分）【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y＝ax（a＞0）上第一象限内的两个动点（OD＞OB），以线段BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数y＝的图象经过点A．
【构建联系】
（1）求证：函数y＝的图象必经过点C．
（2）如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为（1，2）时，求k的值．
【深入探究】
（3）如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接AC交BD于点P．以点O为圆心，AC长为半径作⊙O．若OP＝3，当⊙O与△ABC的边有交点时，求k的取值范围．
【分析】（1）设B（m，ma），则，求出点，代入函数解析式中，得出函数的图象必经过点C；
（2）证明△DHE∽△EFB，根据对应边成比例求出k的值；
（3）根据⊙O过点A和过点B，求出临界值，从而求出k的取值范围．
【解答】解：（1）设B（m，ma），则，
∵AD∥x轴，
∴D点的纵坐标为，
将代入y＝ax中，得：，
∴，
∴，
∴，
将代入中得出，y＝am，
∴函数的图象必经过点C；
（2）∵点B（1，2）在直线y＝ax上，
∴a＝2，
∴y＝2x，
∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2，
∵函数的图象经过点A，C，
∴，A（1，k），
∴，
∴DC＝k﹣2，
∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E，
∴，∠BED＝∠BCD＝90°，
∴，
如图，过点D作DH⊥y轴，过点B作BF⊥y轴，
∵AD∥x轴，
∴H，A，D三点共线，
∴∠HED+∠BEF＝90°，∠BEF+∠EBF＝90°，
∴∠HED＝∠EBF，
∵∠DHE＝∠EFB＝90°，
∴△DHE∽△EFB，
∴，
∵BF＝1，，
∴HE＝2，，
∴，
由图知，HF＝DC，
∴，
∴；
（3）∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合，
∴AC⊥BD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴四边形ABCD为正方形，∠ABP＝∠DBC＝45°，
∴，，BP⊥AC，
∵BC∥x轴，
∴直线y＝a为一，三象限的夹角平分线，
∴y＝x，
当⊙O过点B时，如图所示，过点D作DH∥x轴交y轴于点H，
∵AD∥x轴，
∴H，A，D三点共线，
∵以点O为圆心，AC长为半径作⊙O，，
∴，
∴，
∴，，，
∵AB∥y轴，
∴△DHO∽△DAB，
∴，
∴，
∴HO＝HD＝4，
∴HA＝HD﹣DA＝4﹣2＝2，
∴A（2，4），
∴k＝2×4＝8，
当⊙O过点A时，根据A，C关于直线OD对称知，⊙O必过点C，如图所示，连AO，CO，过点D作DH∥x轴交y轴于点H，
∵AO＝OC＝AC，
∴△AOC为等边三角形，
∵OP⊥AC，
∴，
∴，，
∴，，
∵AB∥y轴，
∴△DHO∽△DAB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当⊙O与△ABC的边有交点时，k的取值范围为6≤k≤8．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/4 7:13:27；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.cm；学号：39221433景区
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