2023-2024学年浙江省台州市仙居县白塔中学八年级（上）月考数学试卷（1月份）

这是一份2023-2024学年浙江省台州市仙居县白塔中学八年级（上）月考数学试卷（1月份），共20页。试卷主要包含了据医学研究，下列说法正确的是，下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.一个等腰三角形的两边长分别为3，6，则这个等腰三角形的周长是( )
A. 12B. 12或15C. 15D. 无法确定
3.在下列各图中，正确画出△ABC的边BC上的高的是( )
A. B.
C. D.
4.据医学研究：新型冠状病毒的平均直径约为100纳米．其中1纳米=1.0×10−9米，则新型冠状病毒的平均直径用科学记数法表示为：
A. 1.0×10−9米B. 1.0×10−8米C. 1.0×10−7 D. 1.0×10−6米
5.下列说法正确的是( )
A. 面积相等的两个三角形全等
B. 形状相同的两个三角形全等
C. 三个角分别相等的两个三角形全等
D. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
6.下列计算正确的是( )
A. 3a2−a2=2B. a2⋅a3=a6
C. (a2)3=a6D. (a−2b)2=a2−4b2
7.如图，用尺规作图作已知角平分线，根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是( )
A. SSSB. SASC. ASAD. AAS
8.如图1，应县木塔位于山西省朔州市应县县城，是我国现存最古老最高大的纯木结构楼阁式建筑．经测量木塔建造在约四米之高的台基上，台基底层设计呈正多边形．如图2是台基底层正多边形的部分示意图，其外角为45°，则该正多边形是( )
A. 正五边形B. 正六边形C. 正七边形D. 正八边形
9.通过计算图中阴影部分的面积，可以验证的等式为( )
A. a2−b2=(a+b)(a−b)
B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. a2−b2=(a−b)2
D. (a−b)2=a2−2ab+b2
10.如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB'C'D'位置，此时AC'的中点恰好与D点重合，AB'交CD于点E.若AB=3，则△AEC的面积为( )
A. 3B. 1.5C. 2 3D. 3
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.分解因式：x4−16= ．
12.若分式1x−5在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
13.已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A'B'C'与△ABC关于y轴对称，则点A的对应点A'的坐标是 ．
14.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC= ．
15.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=4，P是△ABC的重心，连接BP，CP，则△BPC的面积为____．
16.如图，以△ABC(∠ABC>120°)三边为边向外作等边三角形，分别记△ABC，△ABD，△BCE，△ACF面积为S，S1，S2，S3，作△ABD关于AB对称的△ABM，连接MF，BF.若△ABC≌△BMF，则∠ABC= ______ ，S3= ______ (用含S，S1，S2的式子表示)．
三、解答题：本题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1)−32+(−13)−2+(2016−π)0−|2− 5|；
(2)(x+1)(x−1)−(x+2)2．
18.(本小题8分)
先化简，再求值：m+2+52−m÷m2−6m+9m−2，其中m=−1．
19.(本小题8分)
两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的宇母)；
(2)证明：DC⊥BE．
20.(本小题8分)
如图，已知△ABC，E是BA延长线上的点．
(1)过点A在射线BE右侧作AD//BC;(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下，若AB=AC，求证：AD平分∠CAE．
21.(本小题10分)
如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，AE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．
(1)求证：∠EAD=∠CBD；
(2)当AE=m时，求△ABD的面积(用含m的代数式表示)．
22.(本小题12分)
蜜桔丰收，桔农小王家有两片果园A，B，为方便统一运输，小王计划在公路l上建一个蜜桔装卸站P，并在果园和装卸站之间铺设机械轨道，果园和公路位置如图所示．
(1)为使铺设轨道长度最短，请你为小王设计运输轨道铺设路线，并标出桔子装卸站P位置.(不写作法，保留作图痕迹)
(2)测量得轨道最短路线全长720米，为赶在桔子采摘前完工，实际施工时每天铺设轨道的长度是原计划的1.2倍，结果比原计划提前2天完成任务，求原计划每天铺设轨道的长度．
23.(本小题12分)
如图所示，图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长方形，再按图2围成一个较大的正方形．
(1)请用两种方法表示图2中阴影部分的面积(只需表示，不必化简)；
(2)比较(1)的两种结果，你能得到怎样的等量关系？
(3)请你用(2)中得到的等量关系解决下面问题：如果m−n=4，mn=12，求m+n的
值．
24.(本小题14分)
如图，正方形ABCD的边长为a，射线AM是∠BAD外角的平分线，点E在边AB上运动(不与点A、B重合)，点F在射线AM上，且AF= 2BE，CF与AD相交于点G，连结EC、EF、EG．
(1)求证：CE=EF；
(2)求△AEG的周长(用含a的代数式表示)；
(3)试探索：点E在边AB上运动至什么位置时，△EAF的面积最大．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
点拨：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】C
【解析】解：若3为腰长，6为底边长，
由于3+3=6，则三角形不存在；
若6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为6+6+3=15．
故选C．
求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
3.【答案】C
【解析】解：由题可得，过点A作BC的垂线段，垂足为D，则AD是△ABC的边BC上的高，
所以C选项符合题意，
故选：C．
过三角形的顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，据此解答．
本题考查了三角形的高线，熟记概念是解题的关键．钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
4.【答案】C
【解析】解：100纳米用科学记数法表示为1.0×10−7米．
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5.【答案】D
【解析】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，如同底等高的2个三角形，不一定相似，不符合题意；
B、形状相同的两个三角形不一定全等，相似三角形的形状相同，不符合题意；
C、三个角分别相等的两个三角形不一定全等，三个角相等的三角形可能是相似三角形，不符合题意；
D、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，符合题意．
故选：D．
根据全等三角形的判定，逐项判断即可求解．
本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方和完全平方公式逐个判断即可．
解：A.3a2−a2=2a2，故本选项不符合题意；
B.a2⋅a3=a5，故本选项不符合题意；
C.(a2)3=a6，故本选项符合题意；
D.(a−2b)2=a2−4ab+4b2，故本选项不符合题意；
故选：C．
本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法，幂的乘方和完全平方公式等知识点，能熟记知识点是解此题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由作图痕迹得到OA=OB，AC=BC，
∵OC=OC，
∴△OAC≌△OBC(SSS)，
∴∠AOC=∠BOC，
即OC平分∠AOB．
故选：A．
利用作图痕迹得到OA=OB，AC=BC，加上OC为公共边，则根据“SSS”可判断△OAC≌△OBC，从而得到∠AOC=∠BOC．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质．
8.【答案】D
【解析】解：360°÷45°=8，
故选：D．
根据多边形的外角和解答即可．
本题考查了多边形的外角和定理，掌握角和为360°是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】本题考查平方差公式的几何背景，根据图形特征，用两种方法表示同一个图形的面积是求解本题的关键．
用两种方法表示同一个图形面积即可．
解：图中阴影部分面积可以表示为：a2−b2，
还可以表示为：2×12(a+b)(a−b)=(a+b)(a−b)．
∴a2−b2=(a+b)(a−b)．
故选：A．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质、矩形的性质，三角形面积计算等知识点，难度不大．清楚旋转的“不变”特性是解答的关键．先求出∠ACD=30°，进而可算出CE、AD，再算出△AEC的面积．
【解答】
解：如图，
由旋转的性质可知：AC=AC'，
∵D为AC'的中点，
∴AD=12AC'=12AC，
∵ABCD是矩形，
∴AD⊥CD，
∴∠ACD=30°，
∵AB/​/CD，
∴∠CAB=30°，
∴∠C'AB'=∠CAB=30°，
∴∠EAC=30°，
∴AE=EC，
∴DE=12AE=12EC，
∴CE=23CD=23AB=2，
DE=13AB=1，
AD= 3，
∴S△AEC=12×EC×AD= 3
故选D．
11.【答案】(x2+4)(x+2)(x−2)
【解析】【分析】
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
【解答】
解：x4−16=(x2+4)(x2−4)
=(x2+4)(x+2)(x−2)
故答案为：(x2+4)(x+2)(x−2)．
12.【答案】x≠5
【解析】解：依题意得：x−5≠0，
解得x≠5．
故答案为：x≠5．
本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零；分式无意义的条件是分母等于零．
分式有意义时，分母x−5≠0，据此求得x的取值范围．
13.【答案】(3,2)
【解析】【分析】
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键．首先利用图形得出A点坐标，再利用关于y轴对称点的性质得出答案．
【解答】
解：如图所示：
A(−3,2)，
则点A关于y轴对称的对应点A'的坐标是：(3,2)．
故答案为(3,2)．
14.【答案】6
【解析】【分析】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD=AD，由∠A=30°可知∠ABD=30°，故可得出∠DBC=30°，根据CD=3cm可得出BD的长，进而得出AD的长．【解答】
解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°．
∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，
∴AD=BD，DE⊥AB，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴∠DBC=30°，
∵CD=2，
∴BD=2CD=4，
∴AD=4．
∴AC=6，
故答案为6．
15.【答案】4
【解析】【分析】
此题考查了三角形的面积及三角形的重心的概念和性质，解题关键是掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．△ABC的面积S=12AB×BC=12×6×4=12，延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP=23BE，即可求解．
【解答】
解：△ABC的面积S=12AB×BC=12×6×4=12，
延长BP交AC于点E，则E是AC的中点，且BP=23BE，
△BEC的面积=12S=6，
BP=23BE，
则△BPC的面积=23△BEC的面积=4，
故答案为4．
16.【答案】150° 3S+S1+S2
【解析】解：∵△ABC≌△BMF，
∴AC=BF，∠ABC=∠BMF
∵由题意知：△ABD，△ACF，△ABM为等边三角形，
∴BF=AF=AC，AM=BM=AB，
∵MF=MF，
∴△AMF≌△BMF(SSS)，
∴∠ABC=∠AMF=∠BMF=360°−60°2=150°，
把△ABC绕点C顺时针旋转60度，AC边落在FC得到△FNC，连接NB，
则△FNC≌△ABC，
∴NC=BC，∠FCN=∠ACB，
∴∠NCB=∠FCA=∠NCA+∠FCN=60°，
∴△NCB为等边三角形且，△NCB≌△BCE，
∵NC=BC，FB=FC，FN=FN
∴△FNB≌△FNC(SSS)，
综上所述：S△FMB=S△FNB=S△FNC=S△ABC=S，
S△AMB=S△ABD=S1，
S△NBC=S△BCE=S2，
∴S3=3S+S1+S2．
故答案为：150°；3S+S1+S2．
根据△ABD，△ACF，△ABM为等边三角形，证明△AMF≌△BMF，从而求出∠ABC的度数；把△ABC绕点C顺时针旋转60度，AC边落在FC得到△FNC，连接NB，证明，△NCB≌△BCE，△FNB≌△FNC，从而求出S3．
本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解题的关键是能够证明三角形全等，进而求出面积的关系．
17.【答案】解：(1)原式=−9+9+1+2− 5
=3− 5；
(2)原式=x2−1−x2−4x−4
=−4x−5．
【解析】(1)根据有理数的乘方、零指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质解答即可；
(2)先利用平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项即可．
本题考查了实数的运算，整式的运算，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．
18.【答案】解：原式=2+m2−m+52−m·m−2m−32
=4−m2+52−m·m−2m−32
=3−m3+m2−m·m−2m−32
=m+3m−3，
∵m=−1，
∴原式=−1+3−1−3=2−4=−12．
【解析】本题主要考查了分式的化简求值，关键是熟练掌握分式的混合运算.先利用分式的混合运算计算括号中分式的减法，然后计算除法，最后把字母的值代入最简结果中进行计算可得结果．
19.【答案】(1)△ABE≌△ACD．
证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°．
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE．
即∠BAE=∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)；
(2)证明∵△ABE≌△ACD，
∴∠ACD=∠ABE=45°，
又∵∠ACB=45°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，
∴DC⊥BE．
【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质，可以得出△ABE≌△ACD；
(2)由△ABE≌△ACD可以得出∠ACD=∠ABE=45°，进而得出∠BCD=90°，就可以得出结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．
20.【答案】解：(1)如图所示：AD即为所作，
(2)∵AD/​/BC，
∴∠EAD=∠B，∠DAC=∠C，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠EAD=∠CAD，
∴AD平分∠CAE．
【解析】本题考查基本作图，平行线的性质与判定，角平分线的定义以及等腰三角形的性质，掌握平行线的性质是解题关键．
(1)利用基本作图作∠EAD=∠B即可；
(2)利用平行线的性质和等腰三角形的性质解答即可．
21.【答案】(1)证明：∵AE⊥BD，
∴∠E=∠C=90°，
又∵∠EDA=∠CDB，
∴∠EAD=∠CBD；
(2)解：如图，延长AE，BC交于点F，

在△AFC与△BDC中，
∠ACF=∠BCDAC=BC∠FAC=∠DBC，
∴△AFC≌△BDC(ASA)，
∴AF=BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
在△ABE与△FBE中，
∠ABE=∠FBEBE=BE∠AEB=∠FEB，
∴△ABE≌△FBE(ASA)，
∴AE=EF，
∴AF=BD=2AE=2m，
∴S△ABD=12BD⋅AE=12×2m×m=m2．
【解析】(1)由AE⊥BD，得∠E=∠C=90°，再根据∠EDA=∠CDB，利用三角形内角和定理可证明结论；
(2)延长AE，BC交于点F，利用ASA证明△AFC≌△BDC，得AF=BD，再根据ASA证明△ABE≌△FBE，得AE=EF，则AF=BD=2AE=2m，从而解决问题．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如下图，线段PA、PB为运输轨道铺设路线，点P为桔子装卸站；

(2)设原计划每天铺设轨道x米，
根据题意得：720x=7201.2x+2，
解得：x=60，
经检验x=60是原分式方程的解，
答：原计划每天铺设轨道60米．
【解析】(1)作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交直线l于点P，连接PA、PB即可；
(2)设原计划每天铺设轨道x米，根据原计划的天数=实际天数+2列方程解答即可．
本题考查了利用轴对称作图以及分式方程的应用，熟练掌握轴对称的性质以及找出等量关系列分式方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)方法一：∵大正方形的面积为(m+n)2，四个小长方形的面积为4mn，
∴中间阴影部分的面积为S=(m+n)2−4mn．
方法二：∵中间小正方形的边长为m−n，∴其面积为(m−n)2．
(2)观察图形可确定，大正方形的面积减去四个小长方形的面积等于中间阴影部分的面积，
∴(m+n)2−4mn=(m−n)2或(m+n)2=(m−n)2+4mn．
(3)由(2)得(m+n)2−4×12=42，即(m+n)2=64，
∴m+n=±8．
又m、n是正数，∴m+n=8．
【解析】(1)观察图形可确定：方法一，大正方形的面积为(m+n)2，四个小长方形的面积为4mn，中间阴影部分的面积为S=(m+n)2−4mn；
方法二，图2中阴影部分为正方形，其边长为m−n，所以其面积为(m−n)2．
(2)观察图形可确定，大正方形的面积减去四个小长方形的面积等于中间阴影部分的面积，即(m+n)2−4mn=(m−n)2或(m+n)2=(m−n)2+4mn．
(3)由(2)得，将m−n=4，mn=12，代入(2)式可求m+n=8．
本题是完全平方式的实际应用，完全平方式经常与正方形的面积公式和长方形的面积公式联系在一起，要学会观察图形．
24.【答案】(1)证明：过点F作FH⊥AB于H，如图1所示：
则∠AHF=90°，
∵AM平分∠DAH，
∴∠FAH=45°，
∴△AFH是等腰直角三角形，
∴FH=AH，AF= 2AH= 2FH，
∵AF= 2BE，
∴FH=AH=BE，
∴AH+AE=BE+AE，
∴HE=AB=BC，
在△FEH和△ECB中，
FH=EB∠FHE=∠B=90°HE=BC
∴△FEH≌△ECB(SAS)，
∴CE=EF；
(2)解：∵△FEH≌△ECB，
∴∠FEH=∠ECB，
∵在Rt△BCE中，∠ECB+∠CEB=90°，
∴∠FEH+∠CEB=90°，
∴∠CEF=90°，
由(1)知，CE=EF，
∴△CEF是等腰直角三角形，∠ECF=∠EFC=45°，
把Rt△CDG绕点C逆时针旋转90°至Rt△CBN位置，如图2所示：
则∠GCN=90°，CG=CN，DG=BN，
∴∠NCE=∠GCN−∠GCE=45°，
∴∠NCE=∠GCE，
在△CEG和△CEN中，
CG=CN∠GCE=∠NCECE=CE
∴△CEG≌△CEN(SAS)，
∴GE=NE=EB+BN=EB+DG，
∴△AEG的周长=AE+GE+AG=AE+EB+DG+AG=AB+AD=2a；
(3)解：设AE=x，
由(1)得：FH=BE=a−x，
则△EAF的面积=12AE×FH=12x(a−x)=−12(x−a2)2+a28
∴当x=a2，即点E在AB边中点时，△EAF的面积最大，最大值为a28
【解析】(1)过点F作FH⊥AB于H，则∠AHF=90°，证出△AFH是等腰直角三角形，得出FH=AH，AF= 2AH= 2FH，证出HE=AB=BC，证明△FEH≌△ECB(SAS)，即可得出CE=EF；
(2)证出∠CEF=90°，得出△CEF是等腰直角三角形，∠ECF=∠EFC=45°，把Rt△CDG绕点C逆时针旋转90°至Rt△CBN位置，则∠GCN=90°，CG=CN，DG=BN，得出∠NCE=∠GCN−∠GCE=45°，进而得出∠NCE=∠GCE，证得△CEG≌△CEN(SAS)，得到GE=EN=EB+BN=EB+DG，据此解答即可；
(3)设AE=x，由(1)得FH=BE=a−x，则△EAF的面积=12AE×FH=12x(a−x)=−12(x−a2)2+a28，由平方数的非负性质即可得出答案。
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质等知识；熟练掌握正方形和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键。