上海市三林中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份上海市三林中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列判断正确的是（ ）
A．代数式一定是二次根式；
B．是一元二次方程；
C．能分解为
D．如果，那么不成正比例关系；
3．设，那么函数和函数在同一坐标系中的大致图像可能是（ ）
A．B．C．D．
4．若等腰三角形的周长是20cm，则能反映这个等腰三角形的腰长ycm与底边长xcm的函数关系的图像是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为（ ）

A．9B．6C．5D．4
6．下列命题中，真命题是（ ）
A．“把两个图形叠合”是命题；B．每一个命题一定有逆命题
C．真命题的逆命题一定是真命题D．每一个定理一定有逆定理
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．化简： ．
8．如果等式成立，需要添加条件 ．
9．解不等式，原不等式的解集是 ．
10．已知一元二次方程有一个根是3，那么 ．
11．已知关于x的方程有两个实数根，那么m ．
12．已知关于x的方程有一个根是，那么 ．
13．函数y=的定义域是
14．如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么的取值范围是 ．
15．已知反比例函数图像上三点的坐标分别是、、，且，试判断，，的大小关系 ．
16．经过原点O且半径6的圆的圆心的轨迹是 ．
17．《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图中，，与的和为10尺，为3尺，求的长， 尺．
18．如图，在矩形中，，，点是边上一动点，将沿折叠，使得点落在点处，点分别到的距离分别记为．若，则的长为 ．

三、简答题（本大题共4题，满分22分）
19．化简：．
20．用配方法解方程：
21．如图，已知和上各有一点．
(1)求作点，使到两边的距离相等，且；（不写作法，需要结论）
(2)连接，求证：．
22．已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求关于的函数解析式．
四、解答题（本大题共4题，满分26分）
23．如图1，要建一个面积为140平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；在与墙垂直的一边，要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米．

(1)这个仓库设计的长和宽分别为多少米；
(2)如图2，要在仓库外铺一圈宽为米、总面积为76平方米的地砖，求的值．
24．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，到达目的地后各自停留检修；设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的关系．
(1)甲、乙两地之间的距离是______千米；
(2)慢车的速度是______千米/小时；
(3)快车的速度是______千米/小时．
25．已知：如图是直角三角形，，点分别在边上，且，，．

(1)证明：线段能组成直角三角形；
(2)当是边上的中点时，判断：的位置关系．
26．已知正比例函数，反比例函数，在同一坐标平面内有公共点，且反比例函数的图像经过点．
(1)求的值；
(2)求正比例函数的解析式；
(3)如果轴上有一点，轴上有一点，若是等腰三角形，求点的坐标．
五、综合题（本大题共1题，满分10分）
27．如图，在中，，，，是边上的中线，动点从点出发以每秒个单位的速度沿线段向终点运动，动点从点出发以每秒个单位的速度在线段上运动，点与点同时出发，设动点运动时间为．
(1)求的长；
(2)若动点在线段上运动，设，求关于的函数解析式，并写出定义域；
(3)若动点在射线上运动，当点运动到终点时，点也停止运动，直接写出当时，的值．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了二次根式加减运算法则，二次根式的性质，直接利用二次根式加减运算法则判断即可．
【详解】解：A. ，原计算错误；
B. ，原计算错误；
C. ，原计算正确；
D. ，原计算错误；
故选C．
2．A
【分析】本题考查了二次根式、一元二次方程、因式分解、成正比例，根据二次根式、一元二次方程、成正比例的定义及因式分解的运算逐项判断即可求解，掌握二次根式、一元二次方程、成正比例的定义及因式分解的运算是解题的关键．
【详解】、∵，
∴代数式一定是二次根式，
故该选项正确，符合题意；
、∵方程根号里面含有未知数
∴不是整式方程，即不是一元二次方程，
故该选项错误，不符合题意；
、∵，
∴不能分解为，
故该选项错误，不符合题意；
、∵，
∴成正比例，
故该选项错误，不符合题意；
故选：．
3．A
【分析】本题考查了根据函数解析式确定反比例函数的图象和正比例函数的图象，根据，得到正比例函数的图象经过第二、四象限，反比例函数的图象经过第一、三象限，即可求解，掌握反比例函数的图象和正比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴正比例函数的图象经过第二、四象限，反比例函数的图象经过第一、三象限，
故选：．
4．B
【分析】根据三角形的周长公式，可得函数解析式，根据三角形的两边之和大于第三边，三角形的边是正数，可得自变量的取值范围，可得答案．
【详解】解：根据题意得 2y+x=20．
∴y=10-x，
由y+y>x，即20-x>x，得x<10，
又x>0，
∴0∴y关于x的函数关系式为y=10-x（0故选：B．
【点睛】本题考查了函数图像，利用三角形的两边之和大于第三边，三角形的边是正数得出自变量的取值范围是解题关键．
5．D
【分析】本题考查的是角平分线的性质定理的应用，本题过作于，再证明，从而可得答案．
【详解】解：如图，过作于，

∵，是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点到的距离为4．
故选D
6．B
【分析】本题考查了命题，根据命题的定义及有关概念逐项判断即可求解，掌握命题的定义及有关概念是解题的关键．
【详解】解：、“把两个图形叠合”不是命题，不符合题意；
、每一个命题一定有逆命题，正确，符合题意；
、真命题的逆命题不一定是真命题，故错误，不符合题意；
、每一个定理一定有逆命题，但不一定是逆定理，故错误，不符合题意；
故选：．
7．
【分析】本题考查了二次根式的化简，幂的乘方的逆运算，由幂的乘方的逆运算把算式转化为，再根据二次根式的性质即可求解，掌握二次根式的性质及幂的乘方的逆运算是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
8．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数列不等式组即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得，，
解得，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了解一元一次不等式，直接根据解一元一次不等式的步骤计算即可求解，掌握不等式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，，
即，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了一元二次方程根，解题的关键是把代入原方程，求出的值．
【详解】解：∵一元二次方程有一个根是3，
∴，解得，
故答案为：．
11．且
【分析】本题考查了一元二次方程根的概念和根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【详解】解：关于x的方程有两个实数根，
∴，解得：且，
故答案为：且．
12．
【分析】本题考查了方程的解的定义，掌握定义“一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键．
【详解】把 代入方程得：，
故答案为：．
13．x≥-1．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】由题意得，x+1≥0，
解得x≥-1．
故答案为x≥-1．
14．
【分析】本题考查了正比例函数的图象，根据正比例函数的图象经过第二、四象限得到，解不等式即可求解，掌握正比例函数的图象特点是解题的关键．
【详解】解：∵正比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
解得，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了反比例函数图象和性质，根据反比例函数的图象和性质即可求解，掌握反比例函数图象和性质
是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴双曲线分布在第一、三象限，在每一支曲线上，随的增大而减小，且时，，时，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．以点O为圆心，长为半径的圆
【分析】此题考查了点的运动轨迹问题和点和圆的位置关系与数量之间的联系．根据点和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析．
【详解】解：根据题意，圆心应满足到原点O的距离恒等于，即经过定点O，且半径为的圆的圆心轨迹是以点O为圆心，长为半径的圆．
故答案为：以点O为圆心，长为半径的圆．
17．
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】解：设尺，则尺，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴尺，
故答案为：．
18．或
【分析】分两种情况：当点在矩形内时，过点作交于，交于；当点在矩形外，过点作交于，交于点，则四边形是矩形，分别利用矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，当点在矩形内时，过点作交于，交于，
，
则四边形是矩形，
，
，
点分别到的距离分别记为，，
，
，，
由折叠可知：，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
；
如图，当点在矩形外，过点作交于，交于点，则四边形是矩形，
，
，
点分别到的距离分别记为，，
，即，
，，
由折叠可知：，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
19．
【分析】本题考查了二次根式的运算，利用完全平方公式、平方差公式、二次根式的性质、零指数幂公式分别化简，再进行加减运算即可得到结果，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
．
20．
【分析】先将二次项系数化为1，然后根据配方法，可即答案.
【详解】解：
故答案为
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
21．(1)作图见解析；
(2)证明见解析．
【分析】本题考查了角平分线、线段垂直平分线的画法和性质，全等三角形的判定和性质，根据题意，正确画出图形是解题的关键．
（）分别作的平分线，线段的垂直平分线，两条线相交于点，点即为所求；
（）连接，过点作，，证明，得到，由等量代换即可求证；
【详解】（1）解：如图，点即为所求作的点；
（2）解：如图，连接，过点作，，垂足分别为，
∵平分，，，
∴，，
∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
22．
【分析】此题考查了正比例函数的定义，反比例函数的定义，设，，得到，代入已知数据，得到关于的二元一次方程组，解方程组即可求解，正确理解正比例函数与反比例函数的定义并正确计算是解题的关键．
【详解】解：设，，
∵，
∴，
∵当时，；当时，，
∴，
解得，
∴．
23．(1)长和宽分别为14米、10米
(2)2
【分析】（1）首先设这个仓库的长为x米，则宽表示为，再根据面积为140平方米的仓库可得，再解一元二次方程即可．；
（2）根据大长方形的面积等于仓库的面积加上地砖的面积，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设这个仓库的长为x米，则宽表示为，由题意得：
，
解得：，
∵这堵墙的长为16米，
∴不合题意舍去，
∴，宽为：（米）．
答：这个仓库的长和宽分别为14米、10米．
（2）解：根据题意得：
，
解得：（不符合题意，舍去），
即a的值为2．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽．
24．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）根据函数图象即可求解；
（）根据函数图象即可求解；
（）根据函数图象列方程即可求解；
本题考查了一次函数与一元一次方程的实际应用，根据图象，得到相关信息是解题的关键．
【详解】（1）解：由图象可得，甲、乙两地之间的距离是千米，
故答案为：；
（2）解：由图象可得，慢车从乙地驶往甲地用时小时，
∴慢车的速度是千米/小时，
故答案为：；
（3）解：设快车的速度是千米/小时，
由题意得，，
解得，
故答案为：．
25．(1)证明见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】（）根据勾股逆定理即可求证；
（）延长，使得，连接，证明，得到，，得到，根据平行线的性质得到，由勾股定理得到，进而得到，由等腰三角形三线合一即可求证；
本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴线段能组成直角三角形；
（2）解：．
理由：延长，使得，连接，

∵是边上的中点，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
即．
26．(1)；
(2)；
(3)或或或或．
【分析】（）利用待定系数法求出反比例函数解析式，即可求解；
（）利用待定系数法即可求解；
（）分种情况，利用两点间距离坐标公式即可求解；
本题考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义，掌握两点间距离坐标公式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为，
把代入得，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
把代入得，，
∴，
∴正比例函数的解析式；
（3）解：设点的坐标为，
当时，，
解得，，
∴点的坐标为或；
当时，，
解得，
∴点的坐标为或；
当时，，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或或或．
27．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）设，则，利用勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可求出的长；
（）利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式得到，代入即可求解，由即可确定的取值范围；
（）由动点在射线上运动得到，同方法求出，进而得到，解方程即可求解；
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，求函数解析式，三角形的面积，利用勾股定理得到是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∵点为的中线，
∴；
（2）解：如图，过点作于，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵动点在线段上运动，
∴，
∴的取值范围为，
故；
（3）解：动点在射线上运动时，，
∴，
∴，
由整理得，，
即，
解得．