内蒙古呼伦贝尔市鄂伦春自治旗诺敏中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份内蒙古呼伦贝尔市鄂伦春自治旗诺敏中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共29页。试卷主要包含了选择题．，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。

一、选择题．（在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将各题中正确选选项的字母填入答题卡，共12小题，每小题3分，共36分）
1．一元二次方程至少有一个根是零的条件是（ ）
A．且B．
C． 且 D．
2．已知是关于的反比例函数，则( )
A．B．C．D．为一切实数
3．已知点与点是关于原点O的对称点，则（ ）
A． B． C． D．
4．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
5．如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，的长为（ ）
A．B．4C．D．8
6．不透明袋子中有除颜色外完全相同的4个黑球和2个白球，从袋子中随机摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ）．
A．3个都是黑球B．2个黑球1个白球
C．2个白球1个黑球D．至少有1个黑球
7．将抛物线向下平移3个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线（ ）
A．B．
C．D．
8．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
9．如图，边长为的正六边形内接于，则扇形（图中阴影部分）的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（ ）
A．56°B．62°C．68°D．78°
11．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BE=CF，连接CE、DF，将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，则旋转角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
12．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：
①；②；③；④；⑤其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．①③④D．①③④⑤
二、填空题．（本题5个小题，每题3分，共15分）
13．在二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则表中m的值为 ．
14．正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点，轴于B，轴于D，则四边形的面积为 ．
15．圆锥的高为，母线长为，则侧面展开图扇形圆心角为 度．
16．2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛（CBA），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为380场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，则可列方程为 ．
17．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是 .
三、解答题．（每题6分，共24分）
18．解方程：．
19．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣2）．
（I）求此反比例函数的解析式；
（II）当y≥2时，求x的取值范围．
20．如图，在中，是边上的中点，已知，．

(1)画出关于点的中心对称图形；
(2)求线段长的取值范围．
21．如图，是的直径，C，D是上两点，且平分，作于E．
(1)求证：；
(2)求证： ．
四、解答题．（本题6分）
22．如图1，将一张长，宽的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖纸盒，纸盒底面积为，求该有盖纸盒的高．（单位：）
五、解答题．（本题8分）
23．在一个不透明的布袋里装有个标号分别为的小球，这些球除标号外无其它差别．从布袋里随机取出一个小球，记下标号为，再从剩下的个小球中随机取出一个小球，记下标号为记点的坐标为．
(1)请用画树形图或列表的方法写出点所有可能的坐标；
(2)求两次取出的小球标号之和大于的概率；
(3)求点落在直线上的概率．
六、解答题．（本题8分）
24．某工厂生产种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系．部分数据如下表：
(1)求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．
(2)该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
①求：三月份每件产品的成本是多少万元？
②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元？
七、解答题．（本题10分）
25．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB=6，DB=8，∠EDB=∠EPB．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径；
(3)连接BE，求BE的长．
八、解答题．（本题13分）
26．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】将x=0代入原式即可求出c的值，另外注意a≠0．
【详解】解：由题意可知：a≠0，
当该方程至少有一个根为0时，
将x=0代入ax2+bx+c=0，
∴c=0，
综上，一元二次方程ax2+bx+c=0至少有一个根是零的条件是a≠0且c=0．
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义以及一元二次方程的解．
2．B
【分析】根据题意得， ，即可解得m的值．
【详解】∵是关于的反比例函数
∴
解得
故答案为：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及定义，掌握反比例函数的指数等于 是解题的关键．
3．A
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
本题比较容易，根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．就可以求出a、b的值．
【详解】解：根据题意得，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；根据判别式为正，即可求得k的取值范围，但要注意二次项系数非零．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
∴且，
故选：C．
5．C
【分析】先根据圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，证明是等腰直角三角形，进而求出，则．
【详解】解：∵，
∴，
∵的直径垂直于弦，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，证明是等腰直角三角形，得到是解题的关键．
6．D
【分析】根据白球两个，摸出三个球必然有一个黑球.
【详解】解：A袋子中装有4个黑球和2个白球，摸出的三个球中可能为两个白球一个黑球，所以A不是必然事件；
B．C．袋子中有4个黑球，有可能摸到的全部是黑球，B、C有可能不发生，所以B、C不是必然事件；
D．白球只有两个，如果摸到三个球不可能都是白梂，因此至少有一个是黑球，D正确．
故选D．
【点睛】本题考查随机事件，解题关键在于根据题意对选项进行判断即可.
7．D
【分析】根据函数平移的规律上加下减，左加右减即可得到答案.
【详解】解：由题意可得，
∵抛物线向下平移3个单位，再向右平移4个单位，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的平移，解题的关键是熟练掌握函数平移的规律上加下减，左加右减即可得到答案．
8．D
【分析】根据k=-5判断函数图像的两个分支在第二、四象限，故点的纵坐标最大，在每个象限内y随x的增大而增大，所以，由此得到答案.
【详解】∵，
∴函数图像的两个分支在二、四象限，
∴点在第二象限内，点，在第四象限内，
∴最大，
∵在每个象限内y随x的增大而增大，，，
∴
∴，
故选D.
【点睛】此题考查反比例函数的性质，熟记性质才能正确判断，需注意的是k值的符号决定图像所在的象限，此题还需注意三点不在同一分支上，要分象限进行比较.
9．B
【分析】根据已知条件可得出，圆的半径为3，再根据扇形的面积公式（）求解即可.
【详解】解：正六边形内接于，
，
，
是等边三角形，
，
扇形的面积，
故选：．
【点睛】本题考查的知识点求扇形的面积，熟记面积公式并通过题目找出圆心角的度数与圆的半径是解题的关键
10．C
【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
【详解】解：∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．
11．D
【详解】试题分析：∵正方形ABCD，O为正方形的中心，∴OD=OC，OD⊥OC，∴∠DOC=90°，由题意得到D对应点为C，连接OC，OD，∠DOC即为旋转角，则将△DCF绕着正方形的中心O按顺时针方向旋转到△CBE的位置，旋转角为90°，故选D．
考点：旋转的性质．
12．D
【分析】根据函数图象与坐标轴的交点、开口方向、对称轴，以及特殊点的代入进行判断每一个选项即可．
【详解】解：抛物线与轴有两个交点，
，
即，①正确；
抛物线开口向上，，与轴的交点在负半轴，则，
对称轴，则，
，②错误；
又抛物线对称轴是直线，
即，可得，③正确；
从图象可以看到，当时，
，
由③可知，
，④正确；
根据抛物线的轴对称性可知，它与轴的另一个交点应该在3、4之间，
当时，，
，⑤正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，关键是要会利用抛物线的轴对称性以及二次函数与方程之间的转换．
13．-1
【分析】二次函数的图象具有对称性，从函数值来看，函数值相等的点就是抛物线的对称点，由此可推出抛物线的对称轴，根据对称性求m的值．
【详解】根据图表可以得到，
点（-2，7）与（4，7）是对称点，
点（-1，2）与（3，2）是对称点，
∴函数的对称轴是：x=1，
∴横坐标是2的点与（0，-1）是对称点，
∴m=-1．
故答案是：-1.
【点睛】考查了二次函数的图象，解题关键是能够得到函数的对称轴．
14．2
【分析】本题考查的是平行四边形的判定，反比例函数的性质，掌握k的几何意义是解本题的关键；由反比例函数的性质先判断四边形是平行四边形，可得，再利用k的几何意义可得答案．
【详解】解：如图，
∵轴于B，轴于D，
由反比例函数的对称性可得：，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：2．
15．90
【分析】考查圆锥的侧面展开图，扇形的面积公式；用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．
首先利用勾股定理求得圆锥的底面半径长，然后利用圆锥的底面周长等于扇形的弧长求得圆心角的度数即可．
【详解】解：∵高为,母线长为,
∴圆锥的底面半径长为，
，
解得：，
故答案为：90．
16．x（x﹣1）＝380
【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛380场，可列出方程．
【详解】设参赛队伍有x支，根据题意得：
x（x﹣1）=380
故答案为x（x﹣1）=380．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．
17．
【分析】根据函数解析式求得A（，0），B（0．-3），得到OA=，OB=3，根据勾股定理得到AB=6，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，
∴A（，0），B（0．-3），
∴OA=，OB=3，
∴AB=6，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
如图示：
则PD⊥AB，PD=1，
∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，
∴△APD∽△ABO，
∴
∴
∴
∴或，
∴P点坐标为：
故答案为：
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
18．，
【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，先整理出一元二次方程，写出a，b，c，，然后按照求根公式代入求解即可．
【详解】解：
移项得：
合并同类项得：．
，，，
，
∴，
∴，.
19．(I) y＝﹣；(II) 当y≥2时，﹣2≤x＜0
【分析】（I）利用待定系数法可得反比例函数解析式；
（II）利用反比例函数的解析式不求出的点，利用函数图象即可求得答案.
【详解】（I）设解析式为y＝，
把点（2，﹣2）代入解析式得，
﹣2＝，
解得：k＝﹣4
∴反比例函数的解析式y＝﹣；
（II）当y＝2时，x＝﹣2，
如图，
所以当y≥2时，﹣2≤x＜0．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质以及待定系数法求反比例函数解析式，关键是正确求出函数解析式，画出函数图象的草图．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题知为中线，延长到E，只要使，然后连接即可；
（2）根据三角形三边关系，先求出的取值范围，即可求出的取值范围．
【详解】（1）如图，延长到E，使，连接，即为所求；

（2）由图知，，，，
由三角形三边关系知，
，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题主要考查了尺规作图和三角形三边关系，熟练掌握作一条线段等于已知线段，三角形任意两边的差小于第三边，任意两边的和大于第三边，是解决问题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，垂径定理等知识，解题的关键是：
（1）根据角平分线定义和等腰三角形等边对等角性质可得出，然后根据平行线的判定即可得证；
（2）过点O作于M，由垂径定理可得出，利用证明，得出，即可得证．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：过点O作于M，
∴，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴．
22．若纸盒的底面积是48，纸盒的高为2cm．
【分析】设当纸盒的高为时，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，
依题意，得，
化简，得：，
解得：．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去，
答：若纸盒的底面积是，纸盒的高为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）（3）．
【分析】(1)根据题意直接画出树状图即可
(2)根据（1）所画树状图分析即可得解
(3)若使点落在直线上，则有x+y=5，结合树状图计算即可.
【详解】解：(1)画树状图得：
共有种等可能的结果数；
(2)共有种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号之和大于的有种，
两次取出的小球标号之和大于的概率是；
(3)点落在直线上的情况共有4种，
点落在直线上的概率是．
【点睛】本题考查的知识点是求简单事件的概率问题，根据题目画出树状图，数形结合，可以使题目简单明了，更容易得到答案.
24．(1)
(2)①20万元；②，950万元
【分析】（1）从表格中任选两组数据，利用待定系数法求解；
（2）利用（1）中结论求出3月份销量，根据利润、销量、成本、售价之间的关系列方程即可；②列关于x的二次函数关系式，结合自变量的取值范围求出函数的最值即可．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，将，代入，得：
，
解得，
y与x的函数关系式为；
（2）解：①将代入，得（件），
设三月份每件产品的成本是a万元，
由题意得，
解得，
即三月份每件产品的成本是20万元；
②四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，
四月份每件产品的成本为万元，
由题意得：，
，
抛物线的图象开口向下，
抛物线的对称轴为，，
时，取最小值，此时，
综上可知，关于售价x的函数关系式是，最少利润是950万元．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数的实际应用，解题的关键是根据利润、销量、成本、售价之间的关系正确列出函数关系式．
25．(1)见解析
(2)3
(3)
【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证；
（2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，由求出的长，在直角三角形中，设，则有，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为圆的半径．
（3）延长、相交于点，证明，由全等三角形的性质得出，，求出的长，则可得出答案．
【详解】（1）证明：，
，
，，，
，
，
为的切线；
（2）解：在中，，，
根据勾股定理得：，
与都为的切线，
，
；
在中，设，则有，
根据勾股定理得：，
解得：，
则圆的半径为3．
（3）延长、相交于点，
与都为的切线，
平分，
，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查圆和三角形的综合应用．本题是中考题常考题型，熟练掌握圆中的等量关系，切线的证明方法，以及通过等量关系的转化证明三角形全等，利用解直角三角形解决求线段长度的问题是解题的关键．
26．（1）；（2）①，②存在，
【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可；
（2）①由点得，从而得，整理，化为顶点式即可得到结论；
②分MN=MC和两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可．
【详解】解：（1）把代入中，得

解得
∴．
（2）设直线的表达式为，把代入．
得，解这个方程组，得
∴．
∵点是x轴上的一动点，且轴．
∴．
∴
．
∵，
∴此函数有最大值．
又∵点P在线段上运动，且
∴当时，有最大值．
②∵点是x轴上的一动点，且轴．
∴．
∴
（i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，
∵C（0，-3）
∴MC=
∴
整理得，
∵，
∴，
解得，，
∴当时，CQ=MN=，
∴OQ=-3-()=
∴Q(0，)；
当m=时，CQ=MN=-，
∴OQ=-3-(-)=
∴Q(0，)；
(ii)若，如图，
则有
整理得，
解得，，（均不符合实际，舍去）
综上所述，点Q的坐标为
【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．
x
－2
－1
0
1
2
3
4
y
7
2
－1
－2
m
2
7
每件售价x/万元
…
24
26
28
30
32
…
月销售量y/件
…
52
48
44
40
36
…